经典逻辑技术演示

发表于 由 giorgio.reveco
经典逻辑技术演示

经典逻辑技术演示

摘要
本课介绍了经典逻辑的几种技术，用于引入和消除合取和析取，以及排中律和矛盾律，也称为爆炸原理。此外，还解释了案例证明和归谬法，这两者在数学和逻辑演示中都非常有用。每种技术都进行了正式的介绍，并提供了逐步演示以便理解。如果您想深入了解命题逻辑并提高您的定理演示技能，本课将对您非常有用。


学习目标：

  1. 理解引入和消除合取和析取技术的依据。
  2. 理解经典逻辑中的排中律或重言式（TAU）的性质。
  3. 理解经典逻辑中的矛盾律（CON）或爆炸原理。
  4. 理解经典逻辑中的析取消除技术（∨-消除3）。
  5. 理解经典逻辑中的案例证明技术（CAS）。
  6. 理解经典逻辑中的归谬法（absurdo）。
  7. 应用经典逻辑的各种技术知识来解决复杂问题和演示。

目录
合取与析取的引入与消除
∨-引入
∨-消除
∧-引入
∧-消除
矛盾与重言式技术
排中律或重言式（TAU）
矛盾律或爆炸原理
∨-消除3
案例证明（CAS）
归谬法（ABSURDO）





合取与析取的引入与消除

经典逻辑的一个技术是引入和消除连接词和析取词。虽然这些技术的执行方式或多或少是直观的，但其依据并不完全显而易见，但可以从我们在前几课中已经证明的命题逻辑规则中得出。正式来说，引入和消除连接词和析取词的技术如下：

∨-引入\{\alpha \} \vdash (\alpha \vee \beta)
∨-消除\{(\alpha\vee\beta), \neg\alpha \} \vdash\beta
∧-引入\{\alpha.\beta \} \vdash(\alpha \wedge \beta)
∧-消除\{(\alpha \wedge \beta) \} \vdash \alpha

它们的命题逻辑证明如下：




∨-引入

(1)\{\alpha\} \vdash \alpha; 前提
(2)\{\alpha\} \vdash( \alpha \rightarrow (\neg \beta \rightarrow \alpha)); A1, 单调性
(3)\{\alpha\} \vdash (\neg \beta \rightarrow \alpha); MP(1,2)
(4)\boxed{\{\alpha\} \vdash (\beta \vee \alpha)}; \rightarrow-定义(3)




∨-消除

(1)\{(\alpha \vee \beta), \neg\alpha\}\vdash (\alpha \vee\beta); 前提
(2)\{(\alpha \vee \beta), \neg\alpha\}\vdash \neg\alpha ; 前提
(3)\{(\alpha \vee \beta), \neg\alpha\}\vdash (\neg \alpha \rightarrow \beta); \rightarrow-定义 (1)
(4)\boxed{\{(\alpha \vee \beta), \neg\alpha\}\vdash \beta}; MP(2,3)




∧-引入

(1)\{(\neg\alpha \vee \neg \beta), \neg\neg\beta\} \vdash \neg\alpha; \vee-消除
(2)\{\neg\neg\beta\} \vdash ((\neg\alpha \vee \neg \beta) \rightarrow \neg\alpha); TD(1)
(3)\{\neg\neg\beta\} \vdash (\neg \neg\alpha \rightarrow \neg (\neg\alpha \vee \neg \beta)); CPI(2))
(4) \vdash (\neg\neg\beta \rightarrow (\neg \neg\alpha \rightarrow \neg (\neg\alpha \vee \neg \beta))); TD(3)
(5) \{\alpha, \beta \} \vdash (\neg\neg\beta \rightarrow (\neg \neg\alpha \rightarrow \neg (\neg\alpha \vee \neg \beta))); 单调性 x2 (4)
(6) \{\alpha, \beta \} \vdash \beta; 前提
(7) \{\alpha, \beta \} \vdash \neg\neg\beta; DN(6)
(8) \{\alpha, \beta \} \vdash (\neg \neg\alpha \rightarrow \neg (\neg\alpha \vee \neg \beta)); MP(7,5)
(9) \{\alpha, \beta \} \vdash \alpha; 前提
(10) \{\alpha, \beta \} \vdash \neg\neg\alpha; DN(9)
(11) \{\alpha, \beta \} \vdash \neg (\neg\alpha \vee \neg \beta); MP(10,8)
(12)\boxed{\{\alpha, \beta \} \vdash (\alpha \wedge \beta)}; \wedge-定义(11)




∧-消除

(1)\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\alpha \wedge \beta); 前提
(2)\{\neg \alpha\} \vdash (\neg \alpha \vee \neg\beta); \vee-引入
(3) \vdash (\neg \alpha \rightarrow (\neg \alpha \vee \neg\beta)); TD(2)
(4) \vdash (\neg(\neg \alpha \vee \neg\beta) \rightarrow \alpha); CPI(3))
(5) \vdash ( ( \alpha \wedge \beta) \rightarrow \alpha); \wedge-定义(4)
(6) \{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash ( ( \alpha \wedge \beta) \rightarrow \alpha); 单调性(5)
(7)\boxed{\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash \alpha}; MP(1,6)




矛盾与重言式技术




排中律或重言式（tau）

经典逻辑的另一显著特征是排中律（tertium non datur）的性质。它指出，如果有两个陈述，其中一个否定了另一个，那么其中一个必须是真的；换句话说，在两个陈述中，一个否定另一个的合取必然形成一个重言式。正式来说，这表达为：

\vdash (\neg\alpha \vee\alpha)

它的证明很容易得出。

(1)\{\alpha\}\vdash \alpha; 前提
(2)\vdash (\alpha \rightarrow \alpha); TD(1)
(3)\boxed{\vdash (\neg \alpha \vee \alpha)}; 从 (2) 因为 (\alpha \rightarrow \beta) := (\neg \alpha \vee \beta)

另一种表述排中律的方法是通过不矛盾律，它指出一个陈述不能同时为真和假，并且正式表述为：

\vdash \neg(\neg\alpha \wedge \alpha)

这个性质不需要证明，不是因为它本身显而易见，而是因为它可以直接通过应用合取定义于排中律得出。




矛盾律或爆炸原理

经典逻辑的另一已知特性是爆炸原理，通常通过”从矛盾的前提中可以得出任何结论”来表述。其表述通常以以下两种方式之一呈现：

\{(\neg\alpha \wedge \alpha)\}\vdash \beta

\{\alpha, \neg\alpha\}\vdash \beta

这个规则的证明很简单：

(1)\{\alpha ,\neg\alpha\} \vdash \neg\alpha ; 前提
(2)\{\alpha ,\neg\alpha\} \vdash (\neg\alpha \vee \beta) ; \vee-引入
(3)\{\alpha ,\neg\alpha\} \vdash (\alpha \rightarrow \beta) ; \rightarrow-定义(2)
(4)\{\alpha ,\neg\alpha\} \vdash \alpha ; 前提
(5)\boxed{\{\alpha ,\neg\alpha\} \vdash \beta}; MP(4,3)




∨-消除3

推理规则（modus ponens）可以用两种不同方式写出。我们已经知道的一种形式是\{\alpha,(\alpha \rightarrow \beta)\}\vdash \beta。另一种形式则稍微不那么熟悉：

\{\alpha\}\vdash\beta \; \wedge \; \vdash \alpha \; \Longrightarrow \; \vdash \beta

集中于这种第二种形式，我们可以看到这一规则的扩展，我们称之为∨-消除3，因为它类似于从析取中得到的简化。这告诉我们，如果\gamma可以从\alpha和\beta中同时推断出来，并且\alpha和\beta之间的析取是一个定理，那么\gamma就是一个定理。这可以正式总结如下：

\{\alpha\}\vdash\gamma\; \wedge \; \{\beta\}\vdash\gamma \; \wedge \; \vdash (\alpha \vee \beta) \Longrightarrow \vdash \gamma

这种经典逻辑技术的证明如下：

(1)\boxed{\alpha \vdash \gamma}; 前提
(2)\boxed{\beta \vdash \gamma}; 前提
(3)\boxed{\vdash (\alpha \vee \beta)}; 前提
(4) \vdash (\alpha \rightarrow \gamma); TD(1)
(5) \vdash (\beta \rightarrow \gamma); TD(2)
(6) \vdash (\neg \gamma \rightarrow \neg \alpha); CPI(4)
(7) \vdash (\neg \gamma \rightarrow \neg \beta); CPI(5)
(8) \{\neg \gamma \}\vdash \neg \alpha; RTD(6)
(9) \{\neg \gamma\}\vdash \neg \beta; RTD(7)
(10) \{\neg \gamma\}\vdash (\neg \alpha \wedge \neg \beta); \wedge-引入(8,9)
(11) \vdash (\neg \gamma \rightarrow (\neg \alpha \wedge \neg \beta)); TD(10)
(12) \vdash (\neg(\neg \alpha \wedge \neg \beta)\rightarrow \gamma ); CPI(11)
(13) (A \wedge B) := \neg(\neg A \vee \neg B); \wedge – 定义
(14) \neg(A \wedge B) := \neg\neg(\neg A \vee \neg B); 否定 (13) 中的两边
(15) \neg(\neg\alpha \wedge \neg\beta) := \neg\neg(\neg\neg\alpha \vee \neg\neg\beta); 替换 A:=\neg\alpha 和 B:=\neg\beta 在 (14)
(16) \neg(\neg\alpha \wedge \neg\beta) \dashv \vdash (\alpha \vee \beta); DN(15)
(17) \vdash ((\alpha \vee \beta) \rightarrow \neg(\neg\alpha \wedge \neg\beta) ); TD(16)
(17) \vdash ((\alpha \vee \beta) \rightarrow \gamma ); SH(17,12)
(18)\boxed{ \vdash \gamma}; MP(3,17)




案例证明（cas）

经典逻辑的另一技术是案例证明。如果一个表达式\beta可以从另一个表达式\alpha及其否定中推断出，那么表达式\beta必然是一个定理。这正式表述为：\alpha \vdash \beta \; \wedge \; \neg\alpha \vdash \beta \Longrightarrow \vdash \beta。其证明如下：

\begin{array}{rll} (1) & \alpha \vdash \beta &; 前提\\ (2) & \neg \alpha \vdash \beta &; 前提 \\ (3) & \vdash \alpha \vee \neg\alpha &; TAU \\ (4) & \vdash \beta &; \vee-消除3(1,2,3) \end{array}




归谬法（absurdo）

经典逻辑中最常用的技术之一，特别是在数学中的演示，是归谬法。这表示，如果从一个表达式\alpha中推导出一个矛盾（一个陈述及其否定），那么\alpha的否定就是一个重言式。正式来说，它表述为：\{\alpha\}\vdash \beta \; \wedge \; \{\alpha\}\vdash \neg\beta \Longrightarrow \vdash \neg\alpha。可以通过以下推理证明：

(1)\boxed{\{\alpha\}\vdash \beta}; 前提
(2)\boxed{\{\alpha\}\vdash \neg\beta}; 前提
(3)\vdash (\alpha \rightarrow \beta); TD(1)
(4)\vdash (\alpha \rightarrow \neg\beta); TD(2)
(5)\vdash (\neg \beta \rightarrow \neg \alpha); CPI(3)
(6)\vdash (\beta \rightarrow \neg \alpha); CPI(4)
(7)\{\neg \beta \}\vdash \neg \alpha; RTD(5)
(8)\{\beta \}\vdash \neg \alpha; RTD(6)
(9)\boxed{\vdash \neg \alpha}; CAS(7,8)
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