简单市场模型：
基本概念和假设

摘要：本课程介绍了“简单市场模型”，这是一种帮助学习投资关键概念的方法，将无风险资产（值券，收益可知）和有风险资产（股票，收益不确定）相结合。我们将看到这些资产如何在一个投资组合中相互结合，正确管理组合以获得高于银行利率的收益，平衡增长和安全性。此外，我们将学习如何在简化时间线上（现在和未来）计算这些资产的收益，并分析市场假设，如价格随机性和求兑能力，以便做出有核的投资和风险决策。

学习目标：学生在结束本课程后，将能

• 识别简单市场模型中有风险和无风险资产的特征，并在投资决策中识别它们的影响。
• 理解有风险和无风险资产之间的区别，识别每种资产如何影响投资组合的收益和风险。
• 应用公式计算有风险和无风险资产的投资收益，使用起始和结束时的价格。
• 分析组合有风险和无风险资产的投资组合，以优化收益，同时管理简单市场模型下的风险。
• 评价市场情况对组合价值和收益的影响，考虑资产价值的变化。
• 应用概率来计算不确定的市场情况下的期望收益，确定可能的金融结果。

内容目录
市场模型概述
理论实证与假设
有风险和无风险的资产
时间规模下的模型
投资的收益
投资组合的构建和评价
模型的基本假设
解决问题
提出的练习

市场模型概述

请想象你刚刚获得了一笔奖金，并将这个过程中的余额保存在银行。然而，考虑到当前的利率和通货膨胀的影响，你开始担心保存的资金会为购买力減少而贱。你希望这些资金不仅保持，而是还能增值。

你听说投资股票和债券是一种好的资产增值方法。你知道，有一些资产，比如债券，是安全的，而另一些，比如股票，和高收益相关，但是有更大的风险。你想知道是否可以将这两种资产结合起来，以实现超过银行利率的收益，且不需要担心太大的风险。

你决定做一些调查，并发现了一种资产经营方法，叫做“简单市场模型”，帮助初学者学习有风险和无风险资产，收益以及投资组合构建的基本概念。这个模型适合初学者，因为它简化了金融分析，只集中于两个时间点：现在和未来的某个时刻。

有了这个助力，你决定学习如何计算投资收益，并构建一个投资组合，以最大化你的收益。随着课程的进展，我们将深入探索这些概念，使你能够更好地做出投资决策，以及管理你的个人资产。

现在，你准备好了，让我们沉淀在市场模型的理论知识中，以便你能够应用到自己的投资决策中。

理论实证与假设

有风险和无风险的资产

要开始理解简单市场模型，我们需要对有风险和无风险资产的概念进行熟悉。这两种资产是大部分投资策略的基础。

无风险资产是一种收益可知和安全的投资方式。典型的无风险资产是政府或稳定金融机构发行的债券，这类债券保证在指定期间内还正固定利息。这些债券可以认为银行存款或控调可预测收益的债务工具。

而有风险资产是一种其未来价值不确定，可上涨或下跌的资产。股票是有风险资产的一个典型示例，股票价格可能有较大波动，受多种因素影响，它的未来价值带有较大的不确定性。

时间规模下的模型

在简单市场模型中，我们将分析限制在两个时刻：现在，即 t = 0 ，和未来一年后，即 t = 1 。这种简化的方法便于分析资产价值的变化，而不需深入处理较复杂的时间线。

这种仅限于两个时点的模型很适合初学者，主要是帮助了解资产价值的时间变化及其对投资组合价值的影响。

投资的收益

投资收益是用来表示资产在一定时期内所获得的增值或损失的度量。根据资产类型的不同，收益的计算可能是不确定的或者可知的。

对于有风险资产，比如股票，收益是不确定的，可以用初始价和未来价来计算。如果股票在时刻 t 的价值代表为 S(t) ，那么该股票在 t = 0 和 t = 1 之间的收益可计算为：

K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}

这里的收益 K_S ，是该股票初始价格的一个分数，可以为正数（如果股票价格上涨），负数（如果股票价格下跌）或者为零（如果股票价格没有变化）。

对于无风险资产，比如债券，收益是一个预先可知的量。如果一笔债券在 t 时间的价值代表为 A(t) ，那么这笔债券在 t = 0 和 t = 1 之间的收益可计算为：

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}

这里的收益 K_A ，是固定的，由该债券的发行者所保证。 K_S 和 K_A 的最大区别在于确实性：股票的收益不确定，而债券的收益是固定和可知的。

投资组合的构建和评价

现在我们已经理解了收益的概念，我们可以将有风险和无风险资产结合来构成一个投资组合。假设你决定构建一个包含 x 股票和 y 债券的投资组合，那么该投资组合在任意时刻 t 的总价值为：

V(t) = xS(t) + yA(t)

这里的 V(t) 代表投资组合的总价值，为股票价值 ( xS(t) ) 和债券价值 ( yA(t) ) 的和。

在起始时刻 ( t = 0 )，投资组合的价值是可知的，只要我们知道股票和债券的数量及它们当前的价格。然而，在时刻 t = 1 ，股票价值可能变化，使得投资组合的价值不确定。

模型的基本假设

为了简化模型，我们设定了一些关键假设，使计算和分析更为简单：

• 随机性假设：股票未来的价格 ( S(1) ) 是一个随机变量，这意味着它会根据市场中不可预测的因素而变化。
• 价格正性：所有股票和债券的价格严格为正，即 S(t) > 0 和 A(t) > 0 ，对于 t = 0, 1 。这一假设确保资产价值是现实的。
• 可分性和流动性：资产可以以分数形式购买，允许投资者灵活调整投资组合。此外，假设资产可以以任何数量买卖。
• 偿付能力：投资者的总财富在任何时候必须为非负，即 V(t) \geq 0 。这意味着不能损失超过投资额。
• 离散价格：股票的未来价格 S(1) 是一个随机变量，仅能取有限的可能值。这简化了市场分析和建模。

通过这些假设，模型变得更易于处理，从而可以在无需增加额外复杂性的情况下分析收益和投资组合的价值。

到目前为止，我们已经介绍了理解简单市场模型所需的理论基础。在下一部分中，我们将运用这些知识，通过实际练习计算不同情景下的投资组合价值和收益。

已解决问题

练习 1: 债券收益计算（无风险资产）

假设你有一张债券，其初始价格为 A(0) = 100 美元。一年后，该债券的价值增长到 A(1) = 110 美元。

问题： 这项债券投资的收益是多少？

解答： 由于债券是无风险资产，收益是确定的，可以使用以下公式计算无风险资产的收益：

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}

代入数值：

K_A = \dfrac{110 - 100}{100} = \dfrac{10}{100} = 0.10

收益为 10%。

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练习 2: 股票收益计算（风险资产）

假设你以 S(0) = 50 美元的价格购买了一只股票。一年后，股票的价格可能会有所波动，可能出现两种结果：

• 如果市场上涨，股票价格将达到 S(1) = 52 美元，概率为 p 。
• 如果市场下跌，股票价格将降至 S(1) = 48 美元，概率为 1 - p 。

问题： 在简单市场模型中，这项投资在每种情景下的收益是多少？

解答： 股票作为一种风险资产，其收益是不确定的，可以使用以下公式计算风险资产的收益：

K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}

我们计算每种情景下的收益：

• 如果价格上涨至 52 美元：

K_S = \dfrac{52 - 50}{50} = \dfrac{2}{50} = 0.04

收益为 4%。

• 如果价格下跌至 48 美元：

K_S = \dfrac{48 - 50}{50} = \dfrac{-2}{50} = -0.04

收益为 -4%。

因此，根据市场的表现，收益可能为正（4%）或负（-4%）。

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练习 3: 含有风险和无风险资产的投资组合价值

假设你决定构建一个包含 20 只股票和 10 张债券的投资组合。已知：

• 股票的初始价格为 S(0) = 50 美元。
• 债券的初始价格为 A(0) = 100 美元。

问题： 这个投资组合在初始时刻 t = 0 的总价值是多少？

解答： 投资组合在 t 时刻的总价值可按以下公式计算：

V(t) = xS(t) + yA(t)

其中 x 是股票数量， y 是债券数量。

代入数值：

V(0) = (20)(50) + (10)(100)

V(0) = 1000 + 1000 = 2000

该投资组合在初始时刻 t = 0 的总价值为 2000 美元。

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练习 4: 计算混合投资组合的收益

假设第 3 题中的投资组合在 t = 1 时资产价格发生以下变化：

• 如果市场上涨，股票价格为 S(1) = 52 美元，债券价格为 A(1) = 110 美元。
• 如果市场下跌，股票价格为 S(1) = 48 美元，债券价格仍为 A(1) = 110 美元。

问题： 在简单市场模型中，每种情景下的投资组合价值和收益是多少？

解答：

情景 1：市场上涨

V(1) = (20)(52) + (10)(110)

V(1) = 1040 + 1100 = 2140

该投资组合的价值为 2140 美元。

投资组合收益为：

K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2140 - 2000}{2000} = \dfrac{140}{2000} = 0.07

收益为 7%。

情景 2：市场下跌

V(1) = (20)(48) + (10)(110)

V(1) = 960 + 1100 = 2060

该投资组合的价值为 2060 美元。

投资组合收益为：

K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2060 - 2000}{2000} = \dfrac{60}{2000} = 0.03

收益为 3%。

综上，投资组合的收益取决于市场表现。如果市场上涨，收益为 7%；如果市场下跌，收益为 3%。

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练习 5: 计算混合投资组合的加权收益

假设你决定构建一个混合投资组合，其初始分配如下：

• 50% 的资金投资于无风险债券，初始价格为 A(0) = 100 ，年末价格为 A(1) = 105 。
• 50% 的资金投资于风险股票，初始价格为 S(0) = 50 。在 t = 1 时，股票价格可能为 S(1) = 55 （市场上涨的概率为 0.7）或 S(1) = 45 （市场下跌的概率为 0.3）。

问题： 考虑市场上涨或下跌的概率，计算该投资组合的总期望收益。

解答：

1. 首先计算每种资产的收益：

• 无风险债券的收益：

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} = \dfrac{105 - 100}{100} = 0.05 （5%）

• 风险股票的收益：
• 如果市场上涨：

K_S^{\text{up}} = \dfrac{55 - 50}{50} = 0.10 （10%）

• 如果市场下跌：

K_S^{\text{down}} = \dfrac{45 - 50}{50} = -0.10 （-10%）

2. 计算股票的期望收益：

\text{股票的期望收益} = (0.7 \times 0.10) + (0.3 \times -0.10) = 0.04 （4%）

3. 计算投资组合的加权收益，假设 50% 投资于债券，50% 投资于股票：

K_{\text{投资组合}} = (0.5 \times 0.05) + (0.5 \times 0.04) = 0.045 （4.5%）

答案： 投资组合的总期望收益为 4.5%。

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练习 6: 使用空头卖出策略计算风险和收益

假设你采用以下策略：投资 2000 美元购买无风险债券，该债券的年收益率为 3%。此外，你借了 1000 美元以做空股票，希望其价格下跌以获利。目前，股票的价格为 S(0) = 50 美元/股，年末可能出现以下两种情况：

• 如果市场下跌，股票价格为 S(1) = 40 美元，概率为 0.6。
• 如果市场上涨，股票价格为 S(1) = 60 美元，概率为 0.4。

问题： 计算投资组合的期望收益以及空头卖出的风险（用收益的标准差衡量）。

解答：

期望收益的计算

首先，计算无风险债券的收益：

K_A = 0.03 （3%）

对于空头卖出，计算每种情景下的收益：

• 如果市场下跌：

空头卖出价格为 50 美元/股，年末价格为 40 美元/股。每股收益为：

50 - 40 = 10 美元

如果做空了 \dfrac{1000}{50} = 20 股，总收益为：

20 \times 10 = 200 美元

• 如果市场上涨：

空头卖出价格为 50 美元/股，年末价格为 60 美元/股。每股损失为：

50 - 60 = -10 美元

总损失为：

20 \times -10 = -200 美元

计算空头卖出的期望收益：

\text{空头期望收益} = (0.6 \times 200) + (0.4 \times -200) = 120 - 80 = 40 美元

风险（标准差）的计算

计算收益的方差：

\text{方差} = (0.6) \times (200 - 40)^2 + (0.4) \times (-200 - 40)^2 = 38400

计算标准差：

\text{标准差} = \sqrt{38400} \approx 196

解释和风险评估

标准差反映了收益的波动程度。在这种策略中，空头卖出存在显著的下行风险，尤其是在股票价格上涨时，可能导致巨大的潜在损失。

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练习 7: 计算多样化投资组合的加权收益和标准差

假设你将 3000 美元投资于一个由债券和股票组成的组合。投资分配如下：

• 50% 的资金用于购买债券（初始价格 A(0) = 150 美元，固定收益率为 4%）。
• 50% 的资金用于购买股票（初始价格 S(0) = 75 美元）。股票价格在 t = 1 时可能为 90 美元（概率 0.5）或 60 美元（概率 0.5）。

问题： 计算投资组合的期望收益和标准差。

解答： 略（方法类似于前述练习，可自行延展）。