常微分方程导论
本课程详细探讨了控制这些方程及其在多个领域中应用的基本思想。从分析我们周围世界中持续变化的本质开始，介绍了函数、导数等基本概念，以及它们与连续和离散变化的关系。引入偏微分方程（PDE）与常微分方程（ODE）之间的区别，课程重点放在常微分方程的研究上。通过实际例子进行说明，如咖啡冷却、牛顿定律和人口模型。学生将有机会熟悉控制自然与物理现象的微分方程，了解如何用数学方式表示这些现象，并掌握研究其解法的一些技术。这些初步知识将成为今后在科学与工程中深入研究微分方程及其应用的基础。
学习目标：
完成本课程后，学生将能够：
- 理解 与微分方程相关的基本概念，例如变化的本质、函数、导数，以及偏微分方程（PDE）与常微分方程（ODE）之间的差异。
目录
微分方程与事物的本质
持续变化
函数、导数与其变化
常微分方程与偏微分方程
常微分方程实例
咖啡杯的冷却
牛顿定律
人口模型
微分方程与事物的本质
持续变化
在自然界中，一切都在不断变化。 即使是那些看起来永远不会改变的事物，比如太阳的光辉，如果在合适的时间尺度上观察，它也会变化。一切都在变化：星星的亮度、一杯咖啡的温度、物体的位置，以及人口的数量都是例子，而这些变化率通常与正在发生变化的状态有关。
一种直观理解变化的方式是观察事物随时间如何变化。相对于时间发生的变化被称为演化，而我们能观察到的一切都在持续演化。但演化不是唯一的变化形式；例如，虽然我们相对于海平面的高度可能会随着时间而变化，但更有可能是根据我们的位置（或地理坐标）而变化。
函数、导数与其变化
更一般地说， 一个多变量函数 f(x_1,x_2, \cdots, x_n) 若其中某个变量发生变化，该函数也会发生变化，这种变化可以是连续的，也可以是离散的。对于多变量函数，连续变化可以通过偏导数来研究：
\displaystyle \frac{\partial f(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} = \lim_{\Delta x_1 \to 0} \frac{ f(x_1 + \Delta x_1, \cdots, x_n) - f(x_1, \cdots, x_n)}{\Delta x_1}
如果函数只有一个变量，则使用普通导数：
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
如果变化是离散的而非连续的，则省略导数中出现的极限运算。
常微分方程与偏微分方程
包含一个函数及其导数的方程 被称为微分方程。如果涉及的是偏导数或普通导数，分别称为偏微分方程（PDE）或常微分方程（ODE）。本课程当前聚焦于常微分方程的研究，并将回顾几个相关的实例。
常微分方程实例
咖啡杯的冷却
咖啡冷却的速率与其与环境之间的温差成正比。 如果空气的温度 T_a 是恒定的，而咖啡的温度是时间的函数 T_c=T_c(t),，我们可以建立一个微分方程来描述咖啡在任一时刻的温度。初始方程为：
\displaystyle \frac{dT_c(t)}{dt} = -\alpha^2(T_c(t) - T_a)
其中 \alpha 是比例常数，T_a \lt T_c(t) 且负号表示咖啡温度正在降低。稍后我们会看到，这个方程的解形式为：
T_c(t) = T_a + Be^{-\alpha^2 t}
其中 B 是一个需要确定的常数。
牛顿定律
牛顿第二定律本质上是一个常微分方程， 因为在表达式 F=ma（力等于质量乘以加速度）中，加速度 a=d^2x(t)/dt^2, 是物体位置关于时间的二阶导数。通过该定律，我们可以找到描述物体运动的关系式，这些关系式本质上就是微分方程。一个简单的例子是弹簧研究：若有一端固定在墙上的弹簧，另一端连接质量块，系统处于平衡位置时，我们将质量块移动距离 x，根据胡克定律，该质量块将受到回复力 F=-kx。然后，根据牛顿第二定律，有：
\displaystyle -kx(t) = m\frac{d^2x(t)}{dt^2}
之后我们将看到，其解为如下形式：
\displaystyle x(t) = A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t + \phi \right)
其中 A 和 \phi 是由问题的初始条件决定的常数。
人口模型
每位个体的人口增长率 等于出生率与死亡率之差，即：
\displaystyle \frac{1}{x(t)} \frac{dx(t)}{dt} = N - M
如果出生率 N 随时间保持恒定，而死亡率与人口成正比，即 M=\alpha^2 x(t),，那么上式可转化为：
\displaystyle \frac{dx(t)}{dt} = x(t) (N - \alpha^2 x(t))
这被称为“人口的逻辑方程”。基于该方程，可以推广为多个种群 x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t) 相互竞争的模型，表示如下：
\displaystyle \frac{dx_i(t)}{dt} = x_i(t) \left(N_i - \displaystyle \sum_{j=1}^n\alpha^2_{ij} x_j(t) \right)
其中 i\in\{1,\cdots, n\}。这就是著名的洛特卡-沃尔泰拉方程组（Lotka-Volterra 方程）。
结论
在本次常微分方程导论中，我们探讨了数学如何精确而优雅地描绘自然界中的变化。从一杯咖啡的冷却，到弹簧的运动，再到人口的增长，常微分方程让我们能将复杂的动态过程转化为可理解、可分析的数学关系。
理解这些方程的结构和含义，为进入物理学、生物学、经济学和工程学等多个学科提供了重要基础。本课奠定了继续深入学习的概念框架，在后续课程中我们将深入解决技术、定性分析及数值方法等内容。然而最重要的是，我们初步建立了一个直觉：变化的语言——微分方程——使我们能够描述、理解并预测动态系统的行为。
在接下来的课程中，我们将继续开发更强大的工具，并将其应用于新的背景中。微分方程不仅为我们提供了解析现实的方法，也让我们能够设想在不同条件下系统可能如何演化。