什么是匀加速直线运动？

匀加速直线运动，简称 MRUA，是一种我们已经隐含研究过的运动。当我们从路径方程中回顾如何建模时，你会看到这一点。但如果我们想要一个快速描述，MRUA 是一种在直线方向上加速度恒定的运动，即在一维中进行。

从路径方程推导匀加速直线运动

匀加速直线运动的推导 是直接从之前课程中通过积分得到的路径方程而来的。由于 MRUA 是一种具有恒定和一维加速度的运动，我们只需要在单一坐标轴上进行推导；如果我们在 \hat{x} 轴上进行推理，我们得到以下结果：

\begin{array}{rcl} a_x(t) & =& a_{0x} \\ \\ v_x(t) & =& \int a_{0x}dt = a_{0x}t + v_{0x} \\ \\ x(t) & =& \displaystyle \int v_{x}(t)dt = \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0 \end{array}

这里，a_{0x}, v_{0x} 和 x_0 都是常数，后两者是积分常数。有了这些，我们就得到了在 \hat{x} 轴方向上的匀加速直线运动的完整模型。对于其他任何坐标轴，推理过程是完全类似的。

匀加速直线运动与自由落体

匀加速直线运动的一个最具代表性的例子 是自由落体。这是一种在垂直方向上发展的匀加速直线运动，由重力加速度产生。其通过路径方程的模型如下：

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt + v_{0y} \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t+ y_0 \end{array}

这里的重力加速度是 g=9.81[m/s^2]。自由落体通常从静止开始 (v_{0y}=0) 并具有初始高度 y_0=h，因此方程简化为

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + h \end{array}

无论你手头有哪一组方程，通过向方程“提出正确的问题”，都可以从中提取信息。

如果一个物体从高度 h 开始静止下落

它需要多长时间才能落地？

如果我们问这个方程，它们会告诉我们“物体在高度为零时触地”，即 y(t)=0. 如果这种情况发生，那么我们必须在方程 \displaystyle \frac{1}{2}gt^2 + h = 0. 中解出时间。从中得到两个可能的结果：

\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{2h}{g}}

负时间指向过去，正时间指向未来。由于下落发生在未来，我们可以将下落时间定义为

\displaystyle t_{下落}=+\sqrt{\frac{2h}{g}}

它以什么速度落地？

我们可以通过将下落时间代入速度方程来回答这个问题。如果我们这样做，就得到下落速度：

\displaystyle v_{下落} = v_y(t_{下落})=-g\sqrt{\frac{2h}{g}}=-\sqrt{\frac{2g^2h}{g}} = -\sqrt{2gh}

与匀加速直线运动相关的练习

1. 一个移动物体以初速度 v_0=10[km/h] 通过原点，并且加速度为 a_0=\displaystyle \frac{20[km/h]}{5[s]}. 计算移动物体在以下时刻的位置和速度：a) t=5[s], b) t=10[s], c) t=15[s] 和 d) t=1[min]. [解答]
2. 一个人同时从 20[m] 的高度释放一颗钢球和一块石头。两个物体的尺寸相同，但重量不同。它们需要多长时间才能落地？它们在撞击地面时的速度是多少？一个物体能比另一个物体落得更快或者达到更高的速度吗？ [解答]
3. 一枚硬币被扔到井底。表明硬币到达底部的声音在 10 [s] 后被听到。井的深度是多少？ [解答]
4. 一个人垂直向天空吐痰，1.2[s] 后它落回到他的脸上。a) 他以什么速度吐痰？ b) 痰达到的高度是多少？ [解答]