定义：
设 f 是一个定义域为 D 的函数。若存在一点 x_0\in D，使得：

\left( \forall x \in D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)

则称 f 在该点取得一个 绝对最大值；类似地，若在 x_0 满足：

\left( \forall x \in D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)

则称 f 在该点取得一个 绝对最小值。

定义：
设 f 是一个定义域为 D 的函数，且 x_0\in D。若存在某个 h>0，使得：

(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)

则称 f 在 x_0 处取得一个 局部最大值；类似地，若满足：

(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)

则称 f 在 x_0 处取得一个 局部最小值。

定理：

设 x_0 是一个点，位于某个紧区间 I 的内部。若 f 在 x_0 处取得一个 局部 最大值或最小值，且 f^\prime(x_0) 存在，则必有 f^\prime(x_0)=0。

证明：
假设 f 在 x_0 处取得一个局部最大值。则存在 h_0 \gt 0，使得对所有满足 |h|\lt h_0 且 x_0+h\in I 的 h，都有：

f(x_0 + h)\leq f(x_0)

这等价于：

f(x_0 + h) - f(x_0)\leq 0

现在考虑两种情况：

• 若 h>0，则：

  \displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\leq 0

• 若 h\lt 0，则：

  \displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\geq 0

若 f^\prime(x_0) 存在，则当 h\to 0 时，增量商的极限存在，并且必须同时满足上述两种不等式，这就迫使：

\displaystyle f^\prime(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0

这正是所要证明的结论。

定义：
称 x_0 为 一阶导数的临界点，如果 f^\prime(x_0)=0，或者 f^\prime(x_0) 在该点不存在。

定理：
设 f 是定义并连续于 [a,b] 上、且在 ]a,b[ 上可导的函数。若 f(a)=f(b)，则存在某个 c\in]a,b[，使得 f^\prime(c)=0。

证明：
我们分析以下两种可能情况：

1. 若对所有 x\in]a,b[ 都有 f(x)=f(a)=f(b)，则 f 为常函数，因此对所有 x\in]a,b[ 都有 f^\prime(x)=0。特别地，存在某个 c\in]a,b[，使得 f^\prime(c)=0。
2. 若存在 x\in]a,b[ 使得 f(x)\neq f(a)=f(b)，则 f 非常函数。由于 f 在 [a,b] 上连续，根据魏尔斯特拉斯定理，它在 [a,b] 上取得绝对最大值和绝对最小值。

   此外，由于 f(a)=f(b) 且 f 不是常函数，这两个极值中至少有一个发生在区间内部 ]a,b[。

   因此，若 c\in]a,b[ 是一个使 f 取得局部极值的内点。由于 f 在 ]a,b[ 上可导，特别地 f^\prime(c) 存在，由前述定理可得 f^\prime(c)=0。

定理：
设 f 是一个在 [a,b] 上定义且连续，并在 ]a,b[ 上可导的函数。则存在某个 c\in]a,b[，使得：

f^\prime(c) =\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}

证明：
设 F 为如下定义的函数：

F(x) = f(x) - \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)

由于 f 具有相应性质，该函数在 [a,b] 上连续，并在 ]a,b[ 上可导。此外，F(a)=F(b)，因此可以应用罗尔定理，从而得出存在某个点 c\in]a,b[，使得 F^\prime(c)=0。

接下来，对 F 求导，得到：

F^\prime(x) = f^\prime(x) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}

在 c 处取值，并利用 F^\prime(c)=0：

0=F^\prime(c) = f^\prime(c) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}

因此：

f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}

这正是所要证明的结论。

定理：

• 若 f 是一个函数，并且满足 (\forall x\in ]a,b[)\left(0\lt f^\prime(x)\right)，则 f 在 ]a,b[ 上严格递增。
• 若 f 是一个函数，并且满足 (\forall x\in ]a,b[)\left(f^\prime(x)\lt 0\right)，则 f 在 ]a,b[ 上严格递减。

证明：
设 x_1,x_2\in ]a,b[，且 x_1 \lt x_2。由于 f 在 ]a,b[ 上可导，我们可以在区间 [x_1,x_2]\subset ]a,b[ 上对 f 应用微分中值定理。因此，存在某个点 c\in]x_1,x_2[，使得：

f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

由此可得：

• 若 f^\prime(c) \gt 0，则 f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \gt 0。
  因此，f 是递增的。
• 若 f^\prime(c) \lt 0，则 f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \lt 0。
  因此，f 是递减的。