定义域、值域和图像的定义

到目前为止，我们已经对线性函数、二次函数及其类似函数进行了相当详细的研究。我们还研究了直线、抛物线、椭圆和双曲线等曲线，以及多项式和一般代数函数的操作。完成这些内容后，现在更容易深入理解关于函数的一些更基础的方面，这就是我们这次将要审查的内容，首先引入定义域、值域和图像的概念。

设 f 为一个定义在集合 A 和 B 之间的函数

\begin{matrix}f & : & A & \longrightarrow & B \\ & & x & \longmapsto & y=f(x) \end{matrix}

集合 A 和 B 分别称为“输入集”和“输出集”。基于这些集合，定义了以下集合：

Dom(f) = \{x\in A\;|\; (\exists y \in B)(y=f(x))\}

Rec(f) = \{y\in B\;|\; (\exists ! x \in Dom(f))(y=f(x))\}

Graf(f) = \{(x,y)\in A\times B\;|\; x\in Dom(f) \wedge y=f(x) \}

示例分析

虽然定义域、值域和图像的概念本质上是理论问题，但它们的理解更多依赖于实际例子的应用。现在，我们将通过分析以下三个案例来展示这些概念的应用：

计算： f(x) = \sqrt{1-x^2} 的定义域、值域和图像

让我们开始分析 写出 y=f(x) 。如果我们这样做，就会得到以下方程

y = \sqrt{1-x^2}

如果我们将此表达式平方，我们很快就会得出一个我们已经熟悉的方程

\begin{array}{rl} & y^2 = 1-x^2 \\ \equiv & x^2 + y^2 = 1 \end{array}

这是单位圆的方程。

然而，在这里我们必须小心，因为平方操作“增加了一些信息”。从代数上讲，有两个值满足“是平方根”的条件，但在分析开始时，平方根被指定为一个函数，函数只能有一个结果。我们讨论的是主根。因此，最初的表述仅指单位圆的上半部分，而不是完整的图形。

根据这个图像，很明显

Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; |x|\leq 1\} = [-1,1]

Rec(f) = \{y\in\mathbb{R}\;|\; 0\leq y\leq 1\} = [0,1]

Graf(f) = \{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\;|\; x\in [-1,1] \wedge y=\sqrt{1-x^2}\}

虽然我从图形的角度进行了分析，但也可以通过复习相关操作，从更分析的角度进行。

f(x) = \color{red}{\sqrt{{1-x^2}}}

1-x^2 对所有实数都定义良好。

然而，平方根仅接受大于或等于零的值。

由此我们得到：

\begin{array}{rlrl} x\in Dom(f) & \leftrightarrow & 0 &\leq 1-x^2 \\ {} & \leftrightarrow & x^2 &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & |x| &\leq 1 \\ & \leftrightarrow & -1 &\leq x \leq 1 \\ \end{array}

因此:\; Dom(f) = \{x\in \mathbb{R}\;|x| \leq 1\} = [-1,1]

确定值域的分析方法通常复杂得多；最简单的情况通过找到反函数来解决，但在详细审查该主题之前，建议首先研究函数的复合以及其他更简单的情况，以建立坚实的基础。同时，我们即将审查的图形方法将涵盖确定值域的大部分难点。

分析： g(x) =\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

一种快速找到函数定义域的方法是询问哪些 x 值会“破坏函数”。显然，只有当分母为零时，函数才会失效。即：

\begin{array}{rl} & x^2 + 1 = 0 \\ \equiv & x^2 = -1 \\ \end{array}

由于没有实数可以满足这个条件，很显然

\color{blue}{Dom(g) = \mathbb{R}}

确定图像通常是确定函数值域的最快方法；为了实现这一点，多项式除法将是一个很好的工具。

通过进行多项式除法，我们得出：

y= \displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 1 -\displaystyle\frac{2}{x^2 + 1}

通过这种方式，我们将原始函数分解为两部分更简单的部分，我们称之为“整数部分”和“分数部分”。分别绘制这些部分的图像比一次性绘制原始函数的图像要容易得多。

分析： h(x) =\displaystyle \frac{x - 1}{\sqrt{x+1}}

代数分析 将有助于快速确定该函数的定义域。只需注意它将在以下情况下定义良好：

\begin{array}{rrl} & 0 & \lt x + 1 \\ \equiv & -1 & \lt x \\ \end{array}

因此，很明显 Dom(h)=]-1,+\infty[.

为了找到值域，最好绘制图像，为简单起见，我们将使用符号表。函数 h(x) 由两部分组成

h(x)=\displaystyle\frac{\color{green}{x-1}}{\color{red}{\sqrt{x+1}}}

上面的部分在 x=1 时为零；下面的部分不仅在 x=-1 时为零，在 x\lt-1 时也未定义。根据这些信息，构建了以下符号表：

根据表中的信息，现在绘制函数图像变得非常简单。

通过这些信息，现在确定定义域和值域就变得很简单了：

Dom(h)=]-1,+\infty[

Rec(h)=\mathbb{R}

建议练习

使用我们刚刚审查的工具，找到以下函数的定义域、值域和图像：

F(x) = \displaystyle\frac{4x^3 + 6x^2 -2x + 1}{x^2-4}