学习目标：

1. 理解什么是数学逻辑及其主要应用。
2. 理解逻辑与真理理论的区别。
3. 理解为什么在逻辑中使用形式语言，以及它如何使得论证和推理的表示和分析更加精确和严谨。
4. 理解自然语言与形式语言之间的区别。

什么是数学逻辑？

数学逻辑是逻辑的一个分支，研究数学推理和论证的基本原则。它用于分析和评估推理的有效性，并开发有助于执行数学定理证明的形式方法。数学逻辑还应用于其他领域，如计算机科学和科学哲学，并且被用作开发形式语言系统和自动推理的基础。

逻辑不是一种真理理论

重要的是要强调，逻辑不是关于真理的理论；因为它不涉及定义真理或谬误的讨论。相反，在预先假设某些表达式具有真值的前提下，它研究这些表达式之间如何相互关联或如何从中推导出其他表达式。

逻辑需要一种适当的语言

在进行逻辑推理之前，必须拥有一种适当的语言来执行。这种语言，我们称之为“形式语言”，具有执行有效推理所需的特征；也就是说，它是一种机制，可以根据前面表达式的真值找到或产生正确的表达式。

为什么逻辑需要一种形式语言？

逻辑需要一种形式语言，因为它是一种专门设计的语言，可以清晰和精确地表达论证和推理。通过使用形式语言，可以严格和准确地表示论证和推理的内容，从而分析和评估它们的有效性和一致性。

形式语言是一种基于严格和系统规则和惯例的语言，用于表示概念及其之间的关系。通过使用形式语言，可以更精确和严格地表示逻辑概念和论证，从而避免推理中的歧义和错误。这种语言的创建目的之一是避免日常语言中出现的不准确性和悖论：为获得形式语言的精确性，牺牲了日常语言的灵活性和表达丰富性。

自然语言与形式语言

自然语言是人类用于口头或书面交流的语言。一些自然语言的例子包括西班牙语、英语、法语、汉语、阿拉伯语等。

自然语言是复杂的交流系统，基于一套规则和惯例，使得思想、思维和情感能够清晰、精确地表达。这些语言由一组符号（如字母、单词和短语）组成，用于传递意义和交流信息。

与形式语言不同，形式语言专门设计用于清晰和精确地表达论证和推理，自然语言更加灵活和适应性强，适用于各种情况和环境中的交流。

在数学逻辑中，使用形式语言优于自然语言，主要是因为自然语言的灵活性和表达丰富性虽然在表达领域是其最大优势，但在精确性方面也是其最大弱点：其丰富的表达性和缺乏严谨性导致了无数在逻辑中需要避免的悖论。因此，为了获得形式语言的精确性，自然语言的所有表达能力都被牺牲了。

语言悖论

语言悖论是出现在语言中的逻辑问题，由于其内部矛盾，难以解决。这些悖论通常是一些陈述，如果被接受为真，会导致矛盾或荒谬的结论。

我们经常使用的自然语言是一个强大的工具，可以传达思想、思维和情感，但由于一些单词和短语的歧义，也可能具有误导性和难以理解。例如，一些单词具有多个不同的含义，有时很难确定说话者所指的含义。此外，一些短语在使用的上下文中可能具有矛盾的解释。

通过形式语言避免语言悖论

形式语言相对于自然语言的一个优势是，通过其精确性和没有歧义，可以避免语言悖论。通过使用形式语言，可以明确规定需要遵循的规则和惯例，以避免误解或矛盾。例如，在数学逻辑中，使用一种称为“命题逻辑语言”的形式语言，来清晰和精确地表示和表达基于命题的推理。该语言规定了避免某些语言悖论所需遵循的规则和惯例，并被用来以严谨和系统的方式进行逻辑测试和证明。

除了命题逻辑语言之外，还有其他为更复杂情况设计的语言，旨在实现相同的目标，如一阶和二阶谓词逻辑语言。

5个语言悖论的例子

1. 非谎言悖论： 当有人说“所有说的话都是谎言”时，它就出现了。如果所有说的话都是谎言，那么说“所有说的话都是谎言”这一声明也是谎言，因此它是假的。如果“所有说的话都是谎言”这一声明不是谎言，那么所说的某些话是真实的，因此该声明是假的。结果是，如果它是真的，它是假的，反之亦然。
2. 撒谎者悖论： 它源于“我在撒谎”这一陈述，如果它是真实的或虚假的，就会产生逻辑矛盾。如果它是真实的，那么此人是在撒谎，因此这一陈述是假的。如果它是假的，那么此人没有撒谎，因此这一陈述是真实的。最后，就像前一个例子一样，如果它是真实的，它是假的，反之亦然。
3. 自我指涉性质的悖论： 自我指涉的悖论源于指代自身的表达，从而导致矛盾，例如，当谈到“不能用少于二十个单词写出来的最小数字”时。这本身就是一个悖论，因为该表达本身少于二十个单词。
4. 理发师悖论： 其呈现如下：“在一个镇上，有一个理发师，给镇上所有不自己剃须的男人剃须。那理发师自己剃须吗？” 乍一看，这个陈述似乎没有问题，但理发师自己呢？很明显，理发师是个男人（否则我们不会说“理发师”），如果他可以自己剃须，那么他不能自己剃须；另一方面，如果他不能自己剃须，那么他可以自己剃须，如此循环往复。
5. 空集存在的悖论： 它基于空集（或没有元素的集合）存在的陈述，但同时它构成的任何元素都不存在（因为它没有元素）。因此，我们有一个存在的对象，并且它是由不存在的对象组成的。

数学逻辑或符号逻辑

数学逻辑，也称为符号逻辑，是逻辑的一个分支，涉及使用符号和数学符号来表示和分析论证和表达式。这种逻辑形式基于这样的想法：思维和推理是可以通过数学建模、分析和研究的过程，并且符号和数学符号有助于一致且准确地表示和操作这些过程。

数学逻辑的研究从回顾将用于表示其元素的语言开始，因此我们区分出最常见的：命题逻辑和一阶及二阶谓词逻辑。在这些逻辑中，数学推理技术得到发展，这些技术允许严格证明无数数学结果和定理。

符号逻辑的研究是数学基本支柱之一的一部分。

数学的四个基本支柱

数学逻辑是数学基础的重要组成部分。这些基础由以下四个支柱组成：

1. 证明理论： 它关注如何呈现和评估数学和科学论证的研究。该理论基于这样一个想法：证明必须严格、逻辑且基于形式原则。证明理论包括对不同类型证明的研究，如归纳证明和演绎证明，以及如何使用这些证明类型来解决数学和科学问题。这正是我们在研究数学逻辑时所做的。
2. 集合论： 是数学的一个分支，研究集合，即元素或对象的集合。该理论包括关于如何定义和分类集合以及如何对其进行操作的研究。集合论是现代数学的一个基本部分，已被用于开发和应用许多数学的基本概念和原则。
3. 计算理论： 其基本部分包括：
   1. 复杂性理论： 是计算机科学的一个分支，研究问题和算法的复杂性。该理论包括如何衡量和比较不同问题和算法的复杂性，以及如何开发和使用更高效的算法来解决这些问题的研究。
   2. 可计算性理论： 是计算机科学的一部分，研究哪些问题和函数可以由计算机解决或评估，哪些不能。该理论包括如何定义和分类可计算问题和函数，以及如何开发和使用它们的研究。
4. 模型论： 在逻辑和数学中，它研究形式理论（用形式语言写成的陈述，用于确立某些数学结构的主张）与其模型（在这些结构下保持的）之间的关系。这些数学结构可以是群、域、图等。模型论允许对纯形式的表达进行语义解释，并且还允许研究陈述之间的完备性、一致性和独立性问题。

很难深入研究这些支柱中的每一个而不涉及其他支柱的某些方面。这些支柱的研究通常是交织在一起的。当我们问自己什么是数学逻辑时，通常最终会用涉及这些四个支柱之间交互研究的组合来回答这个问题。