不定积分与基本积分技巧

本课介绍了计算最基本不定积分的基本技巧，以及积分算子的性质。这包括多项式积分、指数函数、双曲函数和基本三角函数的积分。

学习目标：
在本课结束时，学生将能够：

理解不定积分过程是求导的逆过程。
计算多项式及涉及指数函数、双曲函数和三角函数的表达式的积分。
运用积分的性质进行代数变换，以简化积分计算。

内容目录
不定积分的重要性
 反导数、不定积分与函数的原函数
 基本积分技巧

不定积分的重要性

不定积分是微积分中的一个基本工具，在物理和数学科学中有着广泛的应用。它们允许我们计算给定函数的原函数，而这又可用于计算曲线下的面积、固体体积、概率计算以及在物理、工程、统计和经济学中的许多其他应用。此外，不定积分在求解微分方程中也是不可或缺的，因此在许多科学与技术领域中都至关重要。

反导函数、不定积分与函数的原函数

如果函数 $F(x)$ 的导数是 $f(x)$ ，在某个给定区间 $I$ 上，那么称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在该区间上的一个原函数。

需要注意的是，如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，那么 $F(x) + C$ 也是，其中 $C$ 是任意实常数。这可以表示为：

$\displaystyle \int f(x) dx = F(x) + C$

常数 $C$ 被称为积分常数，它的存在说明一个函数的原函数不是一个唯一的函数，而是一族函数：所有导数等于 $f(x)$ 的函数集合，在区间 $I$ 上。

术语“反导函数”、“原函数”和“不定积分”表示的是同一个概念，因此我们可以互换使用。简而言之，不定积分是求导的逆过程，从这一思想出发可以推导出其最基本的性质。

不定积分的基本性质

为了计算不定积分，我们首先需要了解一些基本性质，这些性质直接继承自导数的性质。

$\displaystyle \int \dfrac{df(x)}{dx} dx = f(x) + C$
因为不定积分是求导的逆过程。

$\displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx$
其中 $\lambda$ 是任意实常数。这是因为：

$\begin{array} {} \displaystyle \int \lambda \dfrac{d\phi(x)}{dx}dx &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx}\lambda \phi(x) dx \\ \\ &= \lambda \phi(x) + C_1 \\ \\ &= \lambda(\phi(x) + C_2) \\ \\ &= \lambda \displaystyle \int \frac{d\phi(x)}{dx}dx \end{array}$

然后，使用 $f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx}$ 得：

$\displaystyle \int \lambda f(x) dx = \lambda \int f(x)dx$

$\displaystyle \int f(x) + g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$

这一点可以类似地证明。我们考虑两个函数 $\phi(x)$ 和 $\psi(x)$ ，使得：

$f(x) = \dfrac{d\phi(x)}{dx}$ 和 $g(x) = \dfrac{d\psi(x)}{dx}$

于是有：

$\begin{array} {} \displaystyle \int f(x) + g(x) dx &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} + \dfrac{d\psi(x)}{dx} dx \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d}{dx} (\phi(x) + \psi(x)) dx \\ \\ &= \phi(x) + \psi(x) + C \\ \\ &= (\phi(x) + C_1) + (\psi(x) + C_2) \\ \\ &= \displaystyle \int \dfrac{d\phi(x)}{dx} dx + \int \dfrac{d\psi(x)}{dx}dx \\ \\ &= \displaystyle \int f(x) dx + \int g(x) dx \end{array}$

基本积分技巧

存在一些基本的积分技巧，可以通过导数的结果来计算某些不定积分。利用这些技巧，我们可以得到以下对积分非常有用的结果：

多项式函数的积分

$\displaystyle \int 1 dx = x + C$

因为 $\dfrac{d}{dx} (x + C)= 1$
$\displaystyle \int x^q dx = \dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C,$ 前提是 $q\neq -1$

因为 $\dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{x^{q+1}}{q+1} + C\right) = x^q.$

通过这些结果及基本性质，我们可以毫不费力地计算任何多项式的积分。

例子：

$\displaystyle \int \left( 3x+2 \right) dx = \dfrac{3}{2}x^2 + 2x + C$
$\displaystyle \int \left( 5x^2 + 2x + 3 \right) dx= \dfrac{5}{3}x^3 + x + 3x + C$
$\displaystyle \int \left( 4x^{12} - 7x^{-1/3} + 1 \right) dx$

\begin{array} {} &= \dfrac{4}{13}x^{13} - \dfrac{7}{2/3}x^{2/3} + x + C \\ \\ &= \dfrac{4}{13}x^{13} - \dfrac{21}{2}x^{2/3} + x + C \end{array}

指数函数与对数函数的积分

根据已知的指数函数和对数函数的导数结果，我们有以下基本结果：

$\displaystyle \int e^{x}dx = e^{x} + C$
因为 $\dfrac{d}{dx}\left(e^x + C\right) = e^x$
$\displaystyle \int \dfrac{1}{x} dx = ln|x| + C$

因为 $\dfrac{d}{dx}\left(ln|x| + C \right) = \dfrac{1}{|x|} sig(x) = \dfrac{1}{x}$

其中 $sig(x)$ 是符号函数，其定义如下：

$sig(x) = \left\{\begin{array}{} +1 &,&0\lt x \\ -1 &,& x\lt 0 \end{array}\right.$

1/x

的积分结果扩展了我们对积分函数的处理能力，因为我们可以开始对由多项式构成的分式函数进行积分。

例子：

$\displaystyle \int \dfrac{x^2 + 3x + 2}{5x^2}dx = \int \dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{5}\dfrac{1}{x^2}dx$

$=\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{5}ln(x) - \dfrac{2}{5}\dfrac{1}{x} + C$

$\displaystyle \int \dfrac{x^2 - 3 x + 2}{(x-2)^2}dx = \int \dfrac{(x-2)^2 + (x-2)}{(x-2)^2} dx$

$= \displaystyle \int 1 + \dfrac{1}{x-2} dx\\ \\ = x + \displaystyle \int \dfrac{1}{x-2}dx = x + ln|x-2| + C$

因为
$\dfrac{d}{dx}\left( ln|x-2| + C\right) = \dfrac{1}{|x-2|}sig(x-2) = \dfrac{1}{x-2}$

基本双曲函数的积分

基本的双曲函数为：

$\begin{array} {} sinh(x) &=& \dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \\ cosh(x) &=& \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} \end{array}$

由于我们已经了解了指数函数的积分，因此对双曲正弦与双曲余弦函数的积分将非常简单。

对于双曲正弦函数，其积分几乎是直接的：

$\begin{array} {} \displaystyle \int sinh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx - \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x + e^{-x} \right) + C = cosh(x) + C \end{array}$

而对于双曲余弦函数，计算几乎完全类似：

$\begin{array} {} \displaystyle \int cosh(x) dx &=& \displaystyle \int \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left( \displaystyle \int e^x dx + \int e^{-x} dx \right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \left(e^x - e^{-x} \right) + C = sinh(x) + C \end{array}$

除此之外，还有很多其他双曲函数也可以进行积分：

$\begin{array} {} tanh(x) &=& \dfrac{sinh(x)}{cosh(x)} \\ sech(x) &=& \dfrac{1}{cosh(x)} \\ {}csch(x) &=& \dfrac{1}{sinh(x)} \\ ctgh(x) &=& \dfrac{1}{tanh(x)} \end{array}$

不过，这些函数的积分需要使用稍后将学习的其他技巧。

基本三角函数的积分

基本的三角函数是 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 。根据我们对导数的认识，它们的积分非常直接：

$\begin{array} {} \displaystyle \int sin(x) dx = -cos(x) + C \\ \\ {} \displaystyle \int cos(x) dx = sen(x) + C \end{array}$

这是因为：

$\begin{array} {} \dfrac{d}{dx}\left( sin(x) + C \right) &=& cos(x) \\ \\ {} \dfrac{d}{dx}\left( cos(x) + C \right) &=& -sin(x) \\ \\ \end{array}$

结论

本课我们从理论基础到最基本的实际应用，全面地探讨了不定积分。我们学会了将其视为求导的逆过程，掌握了其基本性质，并能够直接应用技巧计算多项式函数、指数函数、对数函数、双曲函数与三角函数的积分。这些知识构成了解决更复杂积分问题的基础，对今后在物理、工程以及其他科学领域中的高级应用至关重要。掌握这些基础知识后，我们将在后续课程中介绍更复杂的积分技巧。