库仑定律与静电力
“库仑定律与静电力”不仅扩展了我们对电力的理解，还产生了一些意想不到的轶事。例如，本杰明·富兰克林在一次尝试用电击晕并烹饪一只火鸡的实验中，意外地成为了实验对象：一次放电让他晕头转向，头发竖起，活生生地展示了电场线。而现在，轮到我们研究电力了。
学习目标：
在本节课结束后，学生将能够：
- 建模 利用叠加原理计算试验电荷上的合力，建模电现象。
- 简化 将电力的研究限制在静电情况下，以便更容易分析。
- 应用 库仑定律计算不同情况下两电荷之间的力。
- 分析 利用简化的库仑定律公式分析以电荷源为中心的系统。
- 解决 处理与电荷分布相关的实际问题。
目录:
叠加原理
静电简化
库仑定律
以电荷源为中心的库仑定律
练习
现在是时候开始数学建模这些现象了，为此我们将介绍库仑定律。但首先需要解释几个关键点，它们是：叠加原理和静电简化。
叠加原理
电动力学的基本问题是确定“电荷云”q_1, q_2, \cdots对试验电荷q_0施加的力，当每个电荷的位置是已知的时间函数时。通常情况下，电荷源和试验电荷相对运动。
通过叠加原理可以简化这一问题。该原理指出，试验电荷与某个电荷源的相互作用完全独立于其与其他电荷源的相互作用。这意味着我们可以分别计算\vec{F}_1（由电荷q_1产生的力），\vec{F}_2（由电荷q_2产生的力），然后将它们相加以获得总力：
\vec{F}_{tot} = \displaystyle \sum_{i}\vec{F}_i
静电简化
如果只需要叠加力，可能有人会说只需指出描述每个电荷源对试验电荷施加的力的方程即可解决问题。然而，问题并非如此简单。问题在于力不仅取决于距离和电荷量，还取决于每个粒子的速度和加速度。此外，“电信息”（位置、速度和加速度的变化）以光速传播，因此需要一定的时间到达试验电荷并产生影响。
因此，为了简化研究，我们暂时将研究范围限制在静电情况，即所有电荷源保持静止，仅试验电荷可以移动。在这一背景下，库仑定律应运而生。
库仑定律
假设我们有一个试验电荷 q_0 位于位置 \vec{r}，以及一个源电荷 q 位于位置 \vec{r}^\prime。源电荷对试验电荷施加的力 \vec{F}_{q \to q_0}(\vec{r}) 是多少？对此问题的答案由库仑定律给出，公式如下：
\vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime \|^2} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|}
库仑定律不仅总结了静电力的符号规则，还指出电荷之间的力与它们之间的距离平方成反比。
常数 \epsilon_0 被称为真空电容率。其国际单位制中的值为：
\displaystyle \epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \left[ \frac{C^2}{N\cdot m^2}\right]
以电荷源为中心的库仑定律
库仑定律 可以通过一种更简单的方式表达，即将观察点放在电荷源上，即：\vec{r}^\prime = \vec{0}。这样，我们得到：
\displaystyle \vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \frac{\vec{r} }{\|\vec{r} \|} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \hat{r}
其中 \hat{r}=\vec{r}/\|\vec{r}\| 是从源电荷指向试验电荷的单位向量。
练习
- 将 12 个大小相同的点电荷 q 放置在正十二边形的顶点上（类似于钟表上的数字）。放置在中心的点电荷 q 所受的合力是多少？
- 将上一个练习中的 12 个电荷移去一个，假设移去的是位于 12 点位置的电荷（如果按钟表想象）。此时中心点电荷 q 所受的力是多少？
- 扩展前两个练习的推理，现在考虑 n 个电荷源分布在正 n 边形的顶点上，并在中心放置一个试验电荷。
- 考虑三个点电荷：q_1=+3[nC] 位置为 (0;0)[mm], q_2=-5[nC] 位置为 (0,56;0)[mm], 以及 q_3=+7[nC] 位置为 (1;1)[mm]。计算电荷 q_3 所受的总力。
- 在一条直线上放置一个电荷 q_1 = 3[C]，另一电荷 q_2 = 7[C] 距其 40 [mm]。若在这两者之间放置第三个电荷，使其所受合力为零，此第三电荷与两电荷之间的距离是多少？
- 将两小铜球分别置于相距 2.0[m] 的位置，每个铜球质量为 0.040[kg]。已知铜的摩尔质量为 63.5[g/mol]，原子序数为 20，回答以下问题：
- 每个铜球含有多少电子？
- 为了使两个球之间产生约 10^4[N] 的吸引力，需要转移多少电子？
- 这占铜球电子总数的几分之一？