命题逻辑的5个对称性

摘要：
在这节课中，我们将探讨双重否定、假设三段论、蕴涵的逆否命题、推理定理以及连结词的定义如何结合形成命题逻辑的对称性。通过清晰简单的演示，你将学会掌握等价性，并将其应用于你自己的逻辑挑战中。

本课讨论的对称性包括： $\downarrow$ -对称性， $\vee$ -对称性， $\wedge$ -对称性， $\leftrightarrow$ -对称性和 $\veebar$ -对称性。此外，还强调了证明之间的相互作用，以及每个证明如何依赖于前一个证明来简化未来的推理。这节课不仅能让你深入了解命题逻辑，还能教你如何利用先前的证明来优化学习过程。

学习目标：
在本课结束时，学生将能够

记住命题逻辑的基本概念，如假设三段论和双重否定。
识别命题逻辑的5个对称性。
理解对称性等价证明的过程。
应用假设、推理定理及其逆命题于证明中。
关联连结词的定义与对称性。
重视一次性完成证明并在未来的证明中重复使用的重要性。
发展进行逻辑证明的分析和批判技能。

内容目录
$\vee$ – 对称性
 $\downarrow$ – 对称性
 $\wedge$ – 对称性
 $\leftrightarrow$ – 对称性
 $\veebar$ – 对称性
 最后的观察

假设三段论、双重否定和蕴涵的逆否命题、推理定理以及连结词定义的直接结果是我们将要审查的命题逻辑的5个对称性。

$(\alpha \downarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\downarrow \alpha)$	$\downarrow$ -对称性
$(\alpha \vee \beta) \dashv\vdash (\beta\vee \alpha)$	$\vee$ -对称性
$(\alpha \wedge \beta) \dashv\vdash (\beta\wedge \alpha)$	$\wedge$ -对称性
$(\alpha \leftrightarrow \beta) \dashv\vdash (\beta\leftrightarrow \alpha)$	$\leftrightarrow$ -对称性
$(\alpha \veebar \beta) \dashv\vdash (\beta\veebar\alpha)$	$\veebar$ -对称性

这些等价证明并非完全直观，但与我们之前看到的一些证明不同，它们相对简单。以下显示了每个证明的单向演示；逆向证明几乎相同，读者可以练习逆向证明。

$\vee$ -对称性

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$(1)$	$\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\alpha \vee\beta)$	; 前提
$(2)$	$\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \alpha \rightarrow \beta)$	; 因为 $(\alpha \vee \beta) := (\neg \alpha \rightarrow \beta)$
$(3)$	$\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash (\neg \beta \rightarrow \alpha)$	; CPI(2)
$(4)$	$\boxed{\{(\alpha \vee \beta)\}\vdash ( \beta \vee \alpha)}$	; 因为 $( \beta \vee \alpha) := (\neg\beta\rightarrow\alpha)$

逆向推理只需很少的变动，假设从 $\{(\beta\vee\alpha)\}\vdash (\beta\vee\alpha)$

$\downarrow$ -对称性

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$(1)$	$\{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash \neg(\alpha \downarrow \beta)$	; 前提
$(2)$	$\{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\alpha \vee \beta)$	; 从 (1) 因为 $(\alpha\vee\beta) := \neg(\alpha \downarrow \beta)$
$(3)$	$\{\neg(\alpha \downarrow \beta)\}\vdash (\beta \vee \alpha)$	; $\vee$ -对称性
$(4)$	$\vdash (\neg(\alpha \downarrow \beta) \rightarrow (\beta \vee \alpha))$	; TD(3)
$(5)$	$\vdash (\neg(\beta \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta))$	; CPI(4)
$(6)$	$\vdash ((\beta \downarrow \alpha) \rightarrow (\alpha \downarrow \beta))$	; 从 (5) 因为 $(\beta\vee\alpha) := \neg(\beta \downarrow \alpha)$
$(7)$	$\boxed{\{(\beta \downarrow \alpha) \} \vdash (\alpha \downarrow \beta)}$	; RTD(6)

最终，逆向推理从 $\{\neg(\beta\downarrow\alpha)\}\vdash \neg(\beta\downarrow\alpha)$ 的假设开始获得相反方向的推理

$\wedge$ -对称性

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$(1)$	$\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\alpha \wedge \beta)$	; 前提
$(2)$	$\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\alpha \downarrow \neg\beta)$	; 从 (1) 因为 $(\alpha \wedge \beta) := (\neg\alpha \downarrow \neg\beta)$
$(3)$	$\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash (\neg\beta \downarrow \neg\alpha)$	; $\downarrow$ -对称性 (2)
$(4)$	$\boxed{\{(\alpha \wedge \beta)\} \vdash ( \beta \wedge \alpha)}$	; 从 (3) 因为 $(\beta \wedge \alpha) := (\neg\beta \downarrow \neg\alpha)$

与前一个一样，逆向推理从 $\{( \beta \wedge \alpha)\}\vdash ( \beta \wedge \alpha)$ 的假设开始获得相反方向的推理

$\leftrightarrow$ -对称性

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$(1)$	$\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta)$	; 前提
$(2)$	$\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\alpha \rightarrow \beta))$	; 从 (1) 因为 $(\alpha \leftrightarrow \beta) := ((\alpha \rightarrow \beta) \wedge (\beta \rightarrow \alpha))$
$(3)$	$\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta) )$	; $\wedge$ -对称性(2)
$(4)$	$\boxed{\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha)}$	; 从 (3) 因为 $(\beta \leftrightarrow \alpha) := ((\beta \rightarrow \alpha) \wedge (\alpha \rightarrow \beta))$

与前一个一样，但假设从 $\{( \beta \leftrightarrow \alpha)\}\vdash ( \beta\leftrightarrow \alpha)$

$\veebar$ -对称性

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$(1)$	$\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash (\alpha \leftrightarrow \beta)$	; 前提
$(2)$	$\{(\alpha \leftrightarrow \beta)\} \vdash ( \beta \leftrightarrow \alpha)$	; $\leftrightarrow$ -对称性(1)
$(3)$	$\vdash ((\alpha \leftrightarrow \beta) \rightarrow ( \beta \leftrightarrow \alpha))$	; TD(2)
$(4)$	$\vdash (\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha) \rightarrow \neg (\alpha \leftrightarrow \beta))$	; CPI(3)
$(5)$	$\{\neg ( \beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash \neg (\alpha \leftrightarrow \beta)$	; RTD(4)
$(6)$	$\boxed{\{ ( \beta \veebar \alpha)\} \vdash (\alpha \veebar \beta)}$	; 从 (5) 因为 $( \beta \veebar \alpha) := \neg\beta \leftrightarrow \alpha)$ 和 $(\alpha \veebar \beta) := \neg (\alpha \leftrightarrow \beta)$

如同所有其他情况一样，证明假设从 $\{(\beta \leftrightarrow \alpha)\} \vdash (\beta \leftrightarrow \alpha)$ 以获得相反方向的推理。

最后的观察

读者应注意的一个方面是选择证明这5个命题逻辑对称性的顺序。注意每个证明的选择方式使其利用之前完成的一些证明。这反映了进行证明时应遵循的方法：证明只进行一次（且仅一次！）；在那之后，你的目标应集中在使用先前的证明来简化未来的推理。

命题逻辑的5个对称性

\vee-对称性

\downarrow-对称性

\wedge-对称性

\leftrightarrow-对称性

\veebar-对称性