{"id":36014,"date":"2026-01-10T18:40:42","date_gmt":"2026-01-10T18:40:42","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=36014"},"modified":"2026-01-10T18:40:42","modified_gmt":"2026-01-10T18:40:42","slug":"el-euklidische-divisionsalgorithmus","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/el-euklidische-divisionsalgorithmus\/","title":{"rendered":"El euklidische Divisionsalgorithmus"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\n  text-align: justify;\n}\nh1{\n  text-align:center;\n  text-transform: uppercase;\n}\nh2{\n  text-align:center;\n  text-transform: uppercase;\n  font-size:24pt;\n}\nh3{\n  text-align: center;\n  text-transform: uppercase;\n  font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Der Divisionsalgorithmus<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>In dieser Unterrichtseinheit entwickeln wir den <strong>Divisionsalgorithmus<\/strong> als das Prinzip, das f\u00fcr ganze Zahlen die eindeutige Zerlegung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span> formalisiert. Zun\u00e4chst wird die <strong>Existenz<\/strong> von Quotient und Rest bewiesen und anschlie\u00dfend ihre <strong>Eindeutigkeit<\/strong>. Abschlie\u00dfend wird die Bedeutung des Restes interpretiert, die Theorie mit dem <strong>schriftlichen Divisionsalgorithmus<\/strong> als Rechenverfahren verkn\u00fcpft und seine nat\u00fcrliche Verbindung zur modularen Arithmetik sowie zu rechnerischen Anwendungen aufgezeigt.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele<\/strong><\/p>\n<p>Nach Abschluss dieser Unterrichtseinheit ist der Studierende in der Lage:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Zu identifizieren<\/strong> die grundlegenden Begriffe und Rollen der ganzzahligen Division (Dividend, Divisor, Quotient, Rest) sowie den Begriff der Teilbarkeit als exakten Spezialfall.<\/li>\n<li><strong>Zu erkl\u00e4ren<\/strong> die Aussage des Algorithmus\/Theorems der euklidischen Division, einschlie\u00dflich der Bedingungen, die den Rest festlegen (<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span>), und ihres Zwecks zur Vermeidung von Mehrdeutigkeiten.<\/li>\n<li><strong>Anzuwenden<\/strong> die euklidische Zerlegung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span>, um <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> in konkreten Beispielen zu bestimmen und dabei die Schranke f\u00fcr den Rest zu \u00fcberpr\u00fcfen.<\/li>\n<li><strong>Zu analysieren<\/strong> die Behandlung von F\u00e4llen in Abh\u00e4ngigkeit vom Vorzeichen des Dividenden und des Divisors und zu begr\u00fcnden, warum die euklidische Konvention einen nichtnegativen Rest beibeh\u00e4lt.<\/li>\n<li><strong>Auszuf\u00fchren<\/strong> den schriftlichen Divisionsalgorithmus als mechanisches Verfahren auf der Grundlage der Stellenwertdarstellung zur Bestimmung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span>.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><b><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/b><br \/>\n<a href=\"#1\">Division und Teilbarkeit<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Satz der euklidischen Division<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Beweis der euklidischen Division<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Interpretation von Quotient und Rest<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Schriftlicher Divisionsalgorithmus<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Schlussfolgerung<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Vorgeschlagene und gel\u00f6ste \u00dcbungen<\/a>\n<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Division und Teilbarkeit<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/nlER6VzrGwA?si=79gpsAzwc7wcWEVn\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>In der Arithmetik beschreibt die Teilbarkeit den \u201eexakten\u201c Fall: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span> bedeutet, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> sich exakt als ein Vielfaches von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> schreiben l\u00e4sst. Obwohl jedoch nicht immer Teilbarkeit zwischen zwei beliebigen ganzen Zahlen besteht, k\u00f6nnen wir dennoch fragen, \u201ewie oft eine Zahl in eine andere hineinpasst und, falls nicht exakt, was \u00fcbrig bleibt\u201c. In diesem Kontext entsteht der <strong>Divisionsalgorithmus<\/strong>, der garantiert, dass eine beliebige ganze Zahl <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> als ein Vielfaches von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> plus einem \u201eRest\u201c geschrieben werden kann.<\/p>\n<p>Als Beispiel betrachten wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=3<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=16<\/span><\/span>. Es ist klar, dass 3 die 16 nicht teilt. Dennoch ist es m\u00f6glich, einen Quotienten und einen Rest f\u00fcr die Division zu finden, denn<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">16 = 5\\cdot 3 + 1<\/span>\n<figure id=\"attachment_35775\" aria-describedby=\"caption-attachment-35775\" style=\"width: 1492px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3.jpg\" alt=\"Un grupo de 16 cajas han sido separadas en grupos de a 3, como resultado se obtienen 5 grupos de cajas y sobra 1\" width=\"1492\" height=\"230\" class=\"size-full wp-image-35775 lazyload\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-35775\" class=\"wp-caption-text\"><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3.jpg\" alt=\"Un grupo de 16 cajas han sido separadas en grupos de a 3, como resultado se obtienen 5 grupos de cajas y sobra 1\" width=\"1492\" height=\"230\" class=\"size-full wp-image-35775 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3.jpg 1492w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3-300x46.jpg 300w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3-1024x158.jpg 1024w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3-768x118.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1492px) 100vw, 1492px\" \/><\/noscript> Eine Gruppe von 16 Kisten wurde in Gruppen zu je 3 aufgeteilt; als Ergebnis erh\u00e4lt man 5 Gruppen von Kisten und es bleibt 1 \u00fcbrig<\/figcaption><\/figure>\n<p>Folglich erh\u00e4lt man beim Dividieren von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=16<\/span><\/span> durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=3<\/span><\/span> (wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> der <strong>Dividend<\/strong> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> der <strong>Divisor<\/strong> ist), dargestellt durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">16\/3<\/span><\/span> oder <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">16\\div 3<\/span><\/span>, als <strong>Quotient<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=5<\/span><\/span> und als <strong>Rest<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=1<\/span><\/span>. Allgemein besagt der <em>Divisionsalgorithmus<\/em>, dass es f\u00fcr beliebige ganze Zahlen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> (Divisor) und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> (Dividend) mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span> eindeutige ganze Zahlen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> gibt, so dass<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r,\\qquad 0\\le r&lt;|a|<\/span>\n<p>In diesem Beispiel gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">16=3\\cdot 5+1<\/span><\/span>, und die Bedingung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span> ist erf\u00fcllt, da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le 1&lt;3<\/span><\/span>. Diese Formulierung vermeidet Mehrdeutigkeiten, wenn der Divisor (oder der Dividend) negativ sein kann, und stellt sicher, dass der Rest stets nichtnegativ und strikt kleiner als der Betrag des Divisors ist.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Satz der euklidischen Division<\/h2>\n<p>Das Ergebnis der Anwendung des Divisionsalgorithmus ist das, was als <strong>euklidische Division<\/strong> bezeichnet wird, und beruht auf dem folgenden Resultat.<\/p>\n<p><b>Satz:<\/b> Seien <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>. Dann existieren eindeutige <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,r\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span>, so dass<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nb=qa+r,\\qquad 0\\le r&lt;|a|.\n\n<\/span>\n<p>Die ganze Zahl <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> hei\u00dft <strong>Quotient<\/strong> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> hei\u00dft <strong>Rest<\/strong> der Division von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span>.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Beweis der euklidischen Division<\/h2>\n<p>Dieser Beweis gliedert sich in zwei Teile: Zun\u00e4chst wird gezeigt, dass Quotient und Rest existieren; und anschlie\u00dfend, dass sie, sofern sie existieren, eindeutig sind.<\/p>\n<h3>Existenz<\/h3>\n<p>Seien <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span> und definieren wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d=|a|<\/span><\/span>, so dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d&gt;0<\/span><\/span> gilt. Zun\u00e4chst betrachten wir den Fall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\ge 0<\/span><\/span>: Wir zeigen, dass es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,r\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> gibt, so dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq+r<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;d<\/span><\/span>. Anschlie\u00dfend behandeln wir den Fall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b&lt;0<\/span><\/span>. Am Ende ersetzen wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span><\/span> durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|<\/span><\/span>, um die Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span> zu erhalten.<\/p>\n<p>F\u00fcr <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\ge 0<\/span><\/span> formulieren wir die Aussage <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(b)<\/span><\/span>: \u201eEs existieren <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,r\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> derart, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq+r<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;d<\/span><\/span> gilt.\u201c Wir werden durch Induktion zeigen, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(b)<\/span><\/span> f\u00fcr alle <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\ge 0<\/span><\/span> g\u00fcltig ist.<\/p>\n<p><strong>Induktionsanfang:<\/strong> F\u00fcr <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=0<\/span><\/span> erh\u00e4lt man durch Wahl von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=0<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=0<\/span><\/span> die Gleichung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0=d\\cdot 0+0<\/span><\/span> sowie <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le 0&lt;d<\/span><\/span>. Daher ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(0)<\/span><\/span> wahr.<\/p>\n<p><strong>Induktionsschritt:<\/strong> Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\ge 0<\/span><\/span> und es gelte die Induktionsannahme, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(k)<\/span><\/span> wahr ist. Dann existieren <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,r\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> mit<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nk=dq+r,\\qquad 0\\le r&lt;d.\n\n<\/span>\n<p>Addiert man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span> auf beiden Seiten, so erh\u00e4lt man<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nk+1=dq+(r+1).\n\n<\/span>\n<p>Ferner folgt aus <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;d<\/span><\/span>, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r+1\\le d<\/span><\/span> gilt. Folglich k\u00f6nnen nur die F\u00e4lle <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r+1&lt;d<\/span><\/span> oder <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r+1=d<\/span><\/span> eintreten.<\/p>\n<p><b>Fall 1:<\/b> Falls <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r+1&lt;d<\/span><\/span>, definieren wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q&#039;=q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r&#039;=r+1<\/span><\/span>. Dann gilt<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nk+1=dq&#039;+r&#039;,\\qquad 0\\le r&#039;&lt;d.\n\n<\/span>\n<p><b>Fall 2:<\/b> Falls <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r+1=d<\/span><\/span>, so ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k+1=dq+d=d(q+1)+0<\/span><\/span>. Wir setzen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q&#039;=q+1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r&#039;=0<\/span><\/span>, und es gilt<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nk+1=dq&#039;+r&#039;,\\qquad 0\\le r&#039;&lt;d.\n\n<\/span>\n<p>In beiden F\u00e4llen haben wir ganze Zahlen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q&#039;,r&#039;<\/span><\/span> konstruiert, so dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k+1=dq&#039;+r&#039;<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&#039;&lt;d<\/span><\/span> gilt. Damit ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(k+1)<\/span><\/span> wahr. Wir schlie\u00dfen durch vollst\u00e4ndige Induktion, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(b)<\/span><\/span> f\u00fcr alle <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\ge 0<\/span><\/span> gilt.<\/p>\n<p>Betrachten wir nun den Fall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b&lt;0<\/span><\/span>. Dann ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-b&gt;0<\/span><\/span>. Wendet man das vorherige Ergebnis auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-b<\/span><\/span> an, so existieren <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,r\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> mit<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n-b=dq+r,\\qquad 0\\le r&lt;d.\n\n<\/span>\n<p>Durch Multiplikation mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-1<\/span><\/span> erh\u00e4lt man<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nb=-dq-r.\n\n<\/span>\n<p>Ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=0<\/span><\/span>, so gen\u00fcgt es, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_1=-q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_1=0<\/span><\/span> zu w\u00e4hlen; dann gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq_1+r_1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r_1&lt;d<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Ist hingegen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r&gt;0<\/span><\/span>, so definieren wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_1=-q-1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_1=d-r<\/span><\/span>. Da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0&lt;r&lt;d<\/span><\/span> gilt, folgt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0&lt;d-r&lt;d<\/span><\/span>, also <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r_1&lt;d<\/span><\/span>. Au\u00dferdem gilt<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\ndq_1+r_1=d(-q-1)+(d-r)=-dq-d+d-r=-dq-r=b.\n\n<\/span>\n<p>Folglich existieren f\u00fcr jedes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> ganze Zahlen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_1,r_1\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> derart, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq_1+r_1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r_1&lt;d<\/span><\/span> gilt.<\/p>\n<p>Schlie\u00dflich erinnern wir daran, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d=|a|<\/span><\/span> ist. Ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a&gt;0<\/span><\/span>, so gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d=a<\/span><\/span> und die Gleichung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq_1+r_1<\/span><\/span> l\u00e4sst sich als <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=aq_1+r_1<\/span><\/span> schreiben, mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r_1&lt;|a|<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a&lt;0<\/span><\/span>, so gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d=-a<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq_1+r_1=(-a)q_1+r_1=a(-q_1)+r_1<\/span><\/span>. Definiert man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=-q_1<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=r_1<\/span><\/span>, so erh\u00e4lt man<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nb=qa+r,\\qquad 0\\le r&lt;|a|.\n\n<\/span>\n<p>Damit ist die Existenz von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> f\u00fcr beliebige <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span> bewiesen.<\/p>\n<h3>Eindeutigkeit<\/h3>\n<p>Es sei angenommen, dass es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,q&#039;,r,r&#039;\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> gibt, so dass<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nb=qa+r=q&#039;a+r&#039;,\\qquad 0\\le r,r&#039;&lt;|a|.\n\n<\/span>\n<p>Durch Subtraktion beider Ausdr\u00fccke erh\u00e4lt man<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\na(q-q&#039;)=r&#039;-r.\n\n<\/span>\n<p>Da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r,r&#039;&lt;|a|<\/span><\/span> gilt, folgt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|r&#039;-r|&lt;|a|<\/span><\/span>. Dagegen ist die linke Seite ein Vielfaches von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> und damit auch ein Vielfaches von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|<\/span><\/span>. Das einzige ganzzahlige Vielfache von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|<\/span><\/span> mit streng kleinerem Absolutwert als <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|<\/span><\/span> ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span>; denn gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a| m \\neq 0<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span>, so ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\big| |a| m \\big| \\ge |a| <\/span><\/span>. Folglich ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r&#039;-r=0<\/span><\/span>, das hei\u00dft <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=r&#039;<\/span><\/span>, und durch Einsetzen in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span> folgt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=q&#039;<\/span><\/span>. Damit ist die Zerlegung eindeutig.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Interpretation von Quotient und Rest<\/h2>\n<ul>\n<li style=\"text-align: justify;\">\n    <strong>Was \u201eRest\u201c bedeutet.<\/strong> Gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span>, so ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=b-qa<\/span><\/span> das, was \u201e\u00fcbrig bleibt\u201c, wenn man von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> das Vielfache <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">qa<\/span><\/span> abzieht. Mit anderen Worten ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> der \u00dcberschuss, der entsteht, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> an das Gitter der Vielfachen von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> angepasst wird.\n  <\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">\n    <strong>Warum<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span> <strong>gefordert wird.<\/strong> Ohne diese Bedingung w\u00e4re das Paar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(q,r)<\/span><\/span> nicht eindeutig. In der Tat gilt: Ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span>, so auch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=a(q+1)+(r-a)<\/span><\/span>. Die Bedingung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span> zwingt den Rest, in einem festen Intervall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{0,1,2,\\dots,|a|-1\\}<\/span><\/span> zu liegen, und verhindert damit die unendlichen \u201eUm-Etikettierungen\u201c derselben Zahl.\n  <\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">\n    <strong>Was geschieht, wenn<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> <strong>negativ ist.<\/strong> Der Satz bleibt unver\u00e4ndert g\u00fcltig: Der Rest bleibt nichtnegativ und durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|<\/span><\/span> beschr\u00e4nkt. Dies ist relevant, da einige Programmiersprachen eine Trunkierung gegen null verwenden und negative Reste liefern k\u00f6nnen, w\u00e4hrend in der Mathematik die Konvention <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span> gew\u00e4hlt wird, damit der Rest ein \u201estandardm\u00e4\u00dfiger\u201c Repr\u00e4sentant ist.<\/p>\n<p>    Au\u00dferdem stimmt bei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a&gt;0<\/span><\/span> der Quotient mit der Abrundungsfunktion (Floor) \u00fcberein:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nq=\\left\\lfloor \\frac{b}{a}\\right\\rfloor,\\qquad r=b-a\\left\\lfloor \\frac{b}{a}\\right\\rfloor.\n\n<\/span>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Schriftlicher Divisionsalgorithmus<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ABw4QYdD6Pg?si=eJiA7P6cD7RdlYYN\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>Ausgehend von der euklidischen Division l\u00e4sst sich der schriftliche Divisionsalgorithmus implementieren, wobei die Stellenwertdarstellung der Zahlen genutzt wird. Dieser Algorithmus ist ein Rechenverfahren, das es erm\u00f6glicht, die Werte <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> schnell zu bestimmen, wenn man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\div a<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span> berechnen m\u00f6chte.<\/p>\n<p>Zu seiner Beschreibung betrachten wir zun\u00e4chst einige Beispiele, die den Ablauf und die m\u00f6glichen Situationen w\u00e4hrend der Ausf\u00fchrung des Algorithmus veranschaulichen.<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>Angenommen, wir m\u00f6chten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">57\\div 4<\/span><\/span> berechnen. Dabei ist 57 der <strong>Dividend<\/strong> und 4 der <strong>Divisor<\/strong>. Dazu f\u00fchren wir die folgende Abfolge von Rechnungen aus:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\color{red}57 \\div 4 =\\color{black}  \\\\ &amp; \\text{Die Division hinschreiben.} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp; \\color{red}5&#039;\\color{black}7 \\div 4 =  \\\\ &amp; \\text{Das erste Pr\u00e4fix (von links) des Dividenden abtrennen, das}\\\\\n\n&amp;\\text{gr\u00f6\u00dfer oder gleich dem Divisor ist, in diesem Fall 5.} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp; 5&#039;7 \\div 4 = \\color{red}1\\color{black} \\\\ &amp; \\text{An die gr\u00f6\u00dfte Zahl denken, die mit $4$ multipliziert}\\\\\n\n&amp;\\text{kleiner oder gleich $5$ ist, und sie rechts der Gleichung notieren. Es ist 1.} \\\\ \\\\\n\n(4) &amp; \\begin{array}{ll}\\phantom{-|}5&#039;7 \\div 4 &amp;= 1 \\\\ \\color{red}-|\\underline{4}\\color{black} &amp; \\\\ \\color{red}\\phantom{-|}1\\color{black} &amp;  \\end{array} \\\\ &amp; \\text{Das Ergebnis mit dem Divisor multiplizieren und vom gew\u00e4hlten Wert subtrahieren.} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp; \\begin{array}{ll}\\phantom{-|}5&#039;\\color{red}7&#039;\\color{black} \\div 4 &amp;= 1 \\\\ -|\\underline{4} &amp; \\\\ \\phantom{-|}1\\color{red}7\\color{black} &amp;  \\end{array} \\\\ &amp; \\text{Die n\u00e4chste Ziffer ausw\u00e4hlen und \u201eherunterholen\u201c.} \\\\ \\\\\n\n(6) &amp; \\begin{array}{ll}\\phantom{-|}5&#039;7&#039; \\div 4 &amp;= 1\\color{red}4\\color{black} \\\\ -|\\underline{4} &amp; \\\\ \\phantom{-|}17 &amp; \\\\ \\color{red}-|\\underline{16}\\color{black} &amp; \\\\ \\color{red}\\phantom{-|}1\\color{black}  \\end{array} \\\\ &amp; \\text{Die Sequenz mit der zuletzt erhaltenen Zahl wiederholen.}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Der Algorithmus endet, wenn keine Ziffern mehr \u201eherunterzuholen\u201c sind, und liefert als Ergebnis den Quotienten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=14<\/span><\/span> und den Rest <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=1<\/span><\/span>. Insbesondere ist der Rest stets kleiner als der Divisor.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Angenommen, wir m\u00f6chten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">132\\div 5<\/span><\/span> berechnen. Dazu f\u00fchren wir die folgende Abfolge von Rechnungen aus:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n(1) &amp;1&#039;32 \\div 5 = \\\\\n\n&amp; \\text{Das erste Pr\u00e4fix des Dividenden abtrennen und eine nat\u00fcrliche Zahl suchen, die,}\\\\\n\n&amp; \\text{mit 5 multipliziert, kleiner oder gleich diesem ist. Falls dies nicht m\u00f6glich ist,}\\\\\n\n&amp; \\text{die n\u00e4chste Ziffer einbeziehen, bis es m\u00f6glich ist.} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp;\\begin{array}{ll}\\phantom{-|}13&#039;2 \\div 5 &amp;= 2 \\\\ -|\\underline{10} &amp; \\\\ \\phantom{-|1}3 &amp; \\end{array}\\\\\n\n&amp; \\text{Sobald der vorherige Schritt funktioniert, den Algorithmus regul\u00e4r ausf\u00fchren.} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp;\\begin{array}{ll}\\phantom{-|}13&#039;2&#039; \\div 5 &amp;= 26 \\\\ -|\\underline{10} &amp; \\\\ \\phantom{-|1}32 &amp;  \\\\ \\phantom{\\,} -|\\underline{30} &amp; \\\\ \\phantom{-|30} 2 &amp;  \\end{array}\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/li>\n<li>\n<p>Hat der Dividend mehr Ziffern, wird das Verfahren in gleicher Weise ausgef\u00fchrt. Beispielsweise erh\u00e4lt man bei der Berechnung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">3521\\div 12<\/span><\/span>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{ll}\n\n\\phantom{-|}35&#039;2&#039;1&#039; \\div 12 &amp; = 293 \\\\\n\n-|\\underline{24} &amp; \\\\\n\n\\phantom{-|}112 &amp; \\\\\n\n-|\\underline{108} &amp; \\\\\n\n\\phantom{-|10}41 &amp; \\\\\n\n\\phantom{0}-|\\underline{36} &amp; \\\\\n\n\\phantom{10-|}5 &amp; \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/li>\n<li>\n<p>Ist eine der Zahlen negativ, gibt es zwei zul\u00e4ssige Arten, das Ergebnis darzustellen. Die Standardform in der Zahlentheorie ist jedoch jene, bei der der Rest positiv ist und somit mit der euklidischen Division \u00fcbereinstimmt. Berechnen wir zum Beispiel <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598\\div 21<\/span><\/span>, so ergeben sich die folgenden m\u00f6glichen Entwicklungen, die beide als Identit\u00e4ten korrekt sind:<\/p>\n<ul>\n<li>\n        <b>Mit negativem Rest:<\/b> Dieser wird erhalten, indem man das Vorzeichen zu Beginn der Rechnung entfernt und es am Ende wiederherstellt.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{ll}\n\n\\phantom{-}59&#039;8&#039; \\div 21 &amp;= 28 \\\\\n\n-|\\underline{42} &amp; \\\\\n\n\\phantom{-|&#039;}178 &amp; \\\\\n\n\\phantom{\\,}-|\\underline{168} &amp; \\\\\n\n\\phantom{-|00}10 &amp; \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Daraus folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">598 = 21 \\times 28 + 10<\/span>\n<p>Multipliziert man anschlie\u00dfend die gesamte Gleichung mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-1<\/span><\/span>, so erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598 = 21 \\times (-28) - 10<\/span>\n<p>Somit ist in dieser Darstellung das Ergebnis von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598\\div 21<\/span><\/span> der Quotient <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=-28<\/span><\/span> und der Rest <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=-10<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Multipliziert man erneut die gesamte Gleichung mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-1<\/span><\/span>, so erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">598 = (-21)\\times(-28) + 10<\/span>\n<p>Damit ist das Ergebnis von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">598\\div (-21)<\/span><\/span> der Quotient <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=-28<\/span><\/span> und der Rest <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=10<\/span><\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n        <b>Mit positivem Rest und konsistent mit der euklidischen Division:<\/b> Ausgehend von der vorherigen Entwicklung gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598 = 21 \\times (-28) - 10<\/span>\n<p>Addiert man anschlie\u00dfend <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0=21-21<\/span><\/span> auf der rechten Seite dieser Gleichung, so erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598 = 21 \\times (-28) - 10 \\color{red}+ 21 - 21\\color{black} = 21\\times(-29) + 11<\/span>\n<p>Folglich ergibt die Berechnung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598\\div 21<\/span><\/span>, in \u00dcbereinstimmung mit der euklidischen Division, den Quotienten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=-29<\/span><\/span> und den Rest <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=11<\/span><\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Hinsichtlich der Konventionen der euklidischen Division entspricht nur das Ergebnis mit positivem Rest dem euklidischen Quotienten und Rest. Dennoch sind beide Darstellungen korrekte Identit\u00e4ten und k\u00f6nnen in unterschiedlichen Kontexten n\u00fctzlich sein. Obwohl der schriftliche Divisionsalgorithmus negative Reste liefern kann, ist dies praktisch, um Ergebnisse auf mechanische Weise zu erhalten und algebraische Manipulationen ohne zus\u00e4tzliche Zwischenschritte durchzuf\u00fchren. Andererseits erm\u00f6glichen Ergebnisse mit positivem Rest, die mit der euklidischen Division konsistent sind, die Festlegung eines kanonischen Repr\u00e4sentanten jeder Restklasse (beispielsweise in <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{0,1,\\dots,n-1\\}<\/span><\/span>), was die pr\u00e4zise und eindeutige Kennzeichnung der ganzen Zahlen erleichtert. Es sei darauf hingewiesen, dass es auch andere Konventionen f\u00fcr Repr\u00e4sentanten gibt, wie etwa symmetrische Reste, die ebenfalls g\u00fcltig sind, sobald die entsprechende Regel festgelegt ist.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Schlussfolgerung<\/h2>\n<p>Der Divisionsalgorithmus garantiert, dass jede ganzzahlige Division eindeutig in der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span> dargestellt werden kann, wodurch ein Standardkriterium zur Interpretation von Quotient und Rest festgelegt wird, selbst wenn negative Zahlen beteiligt sind. Der schriftliche Divisionsalgorithmus ist nichts anderes als eine praktische Umsetzung dieser Zerlegung, gest\u00fctzt auf die Stellenwertdarstellung, und erm\u00f6glicht die mechanische Berechnung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span>. Schlie\u00dflich vermeidet diese euklidische Form nicht nur Mehrdeutigkeiten, sondern stellt auch eine nat\u00fcrliche Verbindung zur modularen Arithmetik her: Der Rest <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> fungiert als kanonischer Repr\u00e4sentant der Restklasse von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> modulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span>, Grundlage vieler Techniken in der Zahlentheorie und in rechnerischen Anwendungen, die in zuk\u00fcnftigen Beitr\u00e4gen behandelt werden.<\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h2>Vorgeschlagene und gel\u00f6ste \u00dcbungen<\/h2>\n<h3>Euklidische Division<\/h3>\n<ol>\n<li><strong>(gel\u00f6st)<\/strong> Bestimme <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> so, dass\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">137 = 9q + r,\\qquad 0\\le r\\lt 9.<\/span>\n<p><strong>L\u00f6sung:<\/strong> Suche die gr\u00f6\u00dfte Zahl, die, mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">9<\/span><\/span> multipliziert, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">137<\/span><\/span> nicht \u00fcberschreitet. Es gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">15\\times 9 = 135<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">16\\times 9 = 144<\/span><\/span>; daher ist der gesuchte Quotient <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=15<\/span><\/span>. Berechne nun den Rest <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=137-9q<\/span><\/span> und \u00fcberpr\u00fcfe, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r\\lt 9<\/span><\/span> gilt. Bei der \u00dcberpr\u00fcfung erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nr=137-9\\cdot 15=137-135=2.\n\n<\/span>\n<p>Somit gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">137=9\\cdot 15+2<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le 2\\lt 9<\/span><\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<li><strong>(gel\u00f6st)<\/strong> Bestimme <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> so, dass\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2025 = 37q + r,\\qquad 0\\le r\\lt 37.<\/span>\n<p><strong>L\u00f6sung:<\/strong> Suche die gr\u00f6\u00dfte Zahl, die, mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">37<\/span><\/span> multipliziert, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2025<\/span><\/span> nicht \u00fcberschreitet. Man beobachtet, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">37\\times 54 = 1998<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">37\\times 55 = 2035<\/span><\/span> gilt; daher ist der gesuchte Quotient <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=54<\/span><\/span>. Berechne nun den Rest <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=2025-37q<\/span><\/span> und \u00fcberpr\u00fcfe, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r\\lt 37<\/span><\/span> gilt. Bei der \u00dcberpr\u00fcfung erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nr=2025-37\\cdot 54=2025-1998=27.\n\n<\/span>\n<p>Somit gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2025=37\\cdot 54+27<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le 27\\lt 37<\/span><\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<li>Bestimme <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> so, dass\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">745 = 23q + r,\\qquad 0\\le r\\lt 23.<\/span>\n<\/li>\n<li>Bestimme <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> so, dass\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-314 = 11q + r,\\qquad 0\\le r\\lt 11.<\/span>\n<\/li>\n<li>Bestimme <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> so, dass\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">598 = (-21)q + r,\\qquad 0\\le r\\lt |-21|.<\/span>\n<\/li>\n<li><strong>Festgelegter Rest und Suche nach ganzen Zahlen.<\/strong> Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=12<\/span><\/span>.\n<p>(a) Beschreibe die Menge aller ganzen Zahlen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span>, deren euklidische Division durch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">12<\/span><\/span> den Rest <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=5<\/span><\/span> hat.<\/p>\n<p>(b) Bestimme die kleinste ganze Zahl <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\gt 1000<\/span><\/span>, die dies erf\u00fcllt, und bestimme den entsprechenden Quotienten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Schriftlicher Divisionsalgorithmus<\/h3>\n<p>Wende in jedem Fall den schriftlichen Divisionsalgorithmus an, um den Quotienten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> und den Rest <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> zu berechnen. \u00dcberf\u00fchre das Ergebnis in die euklidische Division, wenn der Algorithmus einen negativen Rest liefert.\n<\/p>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">84\\div 6.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">197\\div 8.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1256\\div 7.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-3521\\div 12.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-98765\\div 24.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">845\\div -13.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-12345\\div -37.<\/span><\/span><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Der Divisionsalgorithmus In dieser Unterrichtseinheit entwickeln wir den Divisionsalgorithmus als das Prinzip, das f\u00fcr ganze Zahlen die eindeutige Zerlegung mit formalisiert. Zun\u00e4chst wird die Existenz von Quotient und Rest bewiesen und anschlie\u00dfend ihre Eindeutigkeit. Abschlie\u00dfend wird die Bedeutung des Restes interpretiert, die Theorie mit dem schriftlichen Divisionsalgorithmus als Rechenverfahren verkn\u00fcpft und seine nat\u00fcrliche Verbindung zur [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":35980,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":2,"footnotes":""},"categories":[1302,1418],"tags":[],"class_list":["post-36014","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-mathematik","category-zahlentheorie"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.4 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>El euklidische Divisionsalgorithmus - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Lerne den Divisionsalgorithmus und die euklidische Division: Existenz und Eindeutigkeit von q und r, F\u00e4lle mit negativen Zahlen, schriftlicher Divisionsalgorithmus, Beispiele und \u00dcbungen.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/el-euklidische-divisionsalgorithmus\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"El euklidische Divisionsalgorithmus\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Lerne den Divisionsalgorithmus und die euklidische Division: Existenz und Eindeutigkeit von q und r, F\u00e4lle mit negativen Zahlen, schriftlicher Divisionsalgorithmus, Beispiele und \u00dcbungen.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/el-euklidische-divisionsalgorithmus\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"toposuranos.com\/material\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2026-01-10T18:40:42+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/divisioneuclidiana-1024x683.jpg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:title\" content=\"El euklidische Divisionsalgorithmus\" \/>\n<meta name=\"twitter:description\" content=\"Lerne den Divisionsalgorithmus und die euklidische Division: Existenz und Eindeutigkeit von q und r, F\u00e4lle mit negativen Zahlen, schriftlicher Divisionsalgorithmus, Beispiele und \u00dcbungen.\" \/>\n<meta name=\"twitter:image\" content=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/divisioneuclidiana.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:creator\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Escrito por\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Tiempo de lectura\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"1 minuto\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/el-euklidische-divisionsalgorithmus\\\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/el-euklidische-divisionsalgorithmus\\\/\"},\"author\":{\"name\":\"giorgio.reveco\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\"},\"headline\":\"El euklidische Divisionsalgorithmus\",\"datePublished\":\"2026-01-10T18:40:42+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/el-euklidische-divisionsalgorithmus\\\/\"},\"wordCount\":3169,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/el-euklidische-divisionsalgorithmus\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2026\\\/01\\\/divisioneuclidiana.jpg\",\"articleSection\":[\"Mathematik\",\"Zahlentheorie\"],\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/el-euklidische-divisionsalgorithmus\\\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/el-euklidische-divisionsalgorithmus\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/de\\\/el-euklidische-divisionsalgorithmus\\\/\",\"name\":\"El euklidische Divisionsalgorithmus - 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