{"id":35757,"date":"2026-01-10T18:40:44","date_gmt":"2026-01-10T18:40:44","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=35757"},"modified":"2026-01-10T18:40:44","modified_gmt":"2026-01-10T18:40:44","slug":"el-algoritmo-de-la-division-euclidiana","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/el-algoritmo-de-la-division-euclidiana\/","title":{"rendered":"El Algoritmo de la Divisi\u00f3n Euclidiana"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\n  text-align: justify;\n}\nh1{\n  text-align:center;\n  text-transform: uppercase;\n}\nh2{\n  text-align:center;\n  text-transform: uppercase;\n  font-size:24pt;\n}\nh3{\n  text-align: center;\n  text-transform: uppercase;\n  font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>El Algoritmo de la Divisi\u00f3n<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>En esta clase desarrollaremos el <strong>algoritmo de la divisi\u00f3n<\/strong> como el principio que formaliza, para enteros, la descomposici\u00f3n \u00fanica <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span>. Se demuestra primero la <strong>existencia<\/strong> del cociente y el resto  y luego su <strong>unicidad<\/strong>. Finalmente, se interpreta el significado del resto, se vincula la teor\u00eda con el <strong>algoritmo largo de la divisi\u00f3n<\/strong> como procedimiento de c\u00e1lculo, y se anticipa su conexi\u00f3n natural con la aritm\u00e9tica modular y aplicaciones computacionales.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Objetivos de Aprendizaje<\/strong><\/p>\n<p>Al completar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Identificar<\/strong> los conceptos y roles b\u00e1sicos de la divisi\u00f3n entera (dividendo, divisor, cociente, resto) y la noci\u00f3n de divisibilidad como caso exacto.<\/li>\n<li><strong>Explicar<\/strong> el enunciado del algoritmo\/teorema de la divisi\u00f3n euclidiana, incluyendo las condiciones que fijan el resto (<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span>) y su prop\u00f3sito para evitar ambig\u00fcedades.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> la descomposici\u00f3n euclidiana <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span> para determinar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> en ejemplos concretos, verificando la cota del resto.<\/li>\n<li><strong>Analizar<\/strong> el tratamiento de casos seg\u00fan el signo del dividendo y del divisor, justificando por qu\u00e9 la convenci\u00f3n euclidiana mantiene un resto no negativo.<\/li>\n<li><strong>Ejecutar<\/strong> el algoritmo largo de la divisi\u00f3n como procedimiento mec\u00e1nico basado en representaci\u00f3n posicional para obtener <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span>.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><b><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/b><br \/>\n<a href=\"#1\">Divisi\u00f3n y divisibilidad<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Teorema de la divisi\u00f3n euclidiana<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Demostraci\u00f3n de la divisi\u00f3n euclidiana<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Interpretaci\u00f3n del cociente y el resto<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Algoritmo largo de la divisi\u00f3n<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Conclusi\u00f3n<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Ejercicios propuestos y resueltos<\/a>\n<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Divisi\u00f3n y divisibilidad<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/nlER6VzrGwA?si=79gpsAzwc7wcWEVn\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>En aritm\u00e9tica, la divisibilidad describe el caso \u00abexacto\u00bb: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span> significa que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> se escribe exactamente como m\u00faltiplo de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span>. Sin embargo, aunque no siempre hay divisibilidad entre dos enteros cualesquiera, a\u00fan podemos preguntarnos \u00abcu\u00e1ntas veces calza un n\u00famero dentro de otro y, si no lo hace exactamente, qu\u00e9 es lo que sobra\u00bb. Este es el contexto en el que surge el <strong>algoritmo de la divisi\u00f3n<\/strong>, que garantiza que un entero cualquiera <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> puede escribirse como un m\u00faltiplo de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> m\u00e1s un \u00abresto\u00bb.<\/p>\n<p>A modo de ejemplo, consideremos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=3<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=16<\/span><\/span>. Es claro que 3 no divide a 16. Sin embargo, s\u00ed es posible encontrar un cociente y un resto para la operaci\u00f3n de divisi\u00f3n, porque<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">16 = 5\\cdot 3 + 1<\/span>\n<figure id=\"attachment_35775\" aria-describedby=\"caption-attachment-35775\" style=\"width: 1492px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3.jpg\" alt=\"Un grupo de 16 cajas han sido separadas en grupos de a 3, como resultado se obtienen 5 grupos de cajas y sobra 1\" width=\"1492\" height=\"230\" class=\"size-full wp-image-35775 lazyload\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-35775\" class=\"wp-caption-text\"><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3.jpg\" alt=\"Un grupo de 16 cajas han sido separadas en grupos de a 3, como resultado se obtienen 5 grupos de cajas y sobra 1\" width=\"1492\" height=\"230\" class=\"size-full wp-image-35775 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3.jpg 1492w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3-300x46.jpg 300w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3-1024x158.jpg 1024w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2025\/12\/division16por3-768x118.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1492px) 100vw, 1492px\" \/><\/noscript> Un grupo de 16 cajas han sido separadas en grupos de a 3, como resultado se obtienen 5 grupos de cajas y sobra 1<\/figcaption><\/figure>\n<p>En consecuencia, al dividir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=16<\/span><\/span> por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=3<\/span><\/span> (donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> es el <strong>dividendo<\/strong> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> es el <strong>divisor<\/strong>), representado por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">16\/3<\/span><\/span> o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">16\\div 3<\/span><\/span>, se obtiene como <strong>cociente<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=5<\/span><\/span> y como <strong>resto<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=1<\/span><\/span>. En general, el <em>algoritmo de la divisi\u00f3n<\/em> afirma que, para cualesquiera enteros <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> (divisor) y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> (dividendo) con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>, existen enteros \u00fanicos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> tales que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r,\\qquad 0\\le r&lt;|a|<\/span>\n<p>En este ejemplo, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">16=3\\cdot 5+1<\/span><\/span>, y la condici\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span> se cumple porque <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le 1&lt;3<\/span><\/span>. Esta formulaci\u00f3n evita ambig\u00fcedades cuando el divisor (o el dividendo) puede ser negativo y garantiza que el resto sea siempre no negativo y estrictamente menor que el valor absoluto del divisor.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Teorema de la divisi\u00f3n euclidiana<\/h2>\n<p>El resultado de aplicar el algoritmo de la divisi\u00f3n es lo que se conoce como <strong>divisi\u00f3n euclidiana<\/strong> y se sustenta en el siguiente resultado.<\/p>\n<p><b>Teorema:<\/b> Sean <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>. Entonces existen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,r\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> \u00fanicos tales que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nb=qa+r,\\qquad 0\\le r&lt;|a|.\n\n<\/span>\n<p>El entero <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> se llama <strong>cociente<\/strong> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> se llama <strong>resto<\/strong> de la divisi\u00f3n de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span>.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Demostraci\u00f3n de la divisi\u00f3n euclidiana<\/h2>\n<p>Esta demostraci\u00f3n se divide en dos partes: primero se demuestra que el cociente y el resto existen; y luego, dado que existen, son \u00fanicos.<\/p>\n<h3>Existencia<\/h3>\n<p>Sean <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span> y definamos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d=|a|<\/span><\/span>, de modo que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d&gt;0<\/span><\/span>. Probaremos primero el caso <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\ge 0<\/span><\/span>: mostraremos que existen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,r\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> tales que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq+r<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;d<\/span><\/span>. Luego trataremos el caso <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b&lt;0<\/span><\/span>. Al final, reemplazaremos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d<\/span><\/span> por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|<\/span><\/span> para obtener la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Para <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\ge 0<\/span><\/span>, establecemos la proposici\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(b)<\/span><\/span>: \u00abexisten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,r\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> tales que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq+r<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;d<\/span><\/span>\u00bb. Demostraremos por inducci\u00f3n que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(b)<\/span><\/span> es v\u00e1lida para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\ge 0<\/span><\/span>.<\/p>\n<p><strong>Caso base:<\/strong> Para <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=0<\/span><\/span>, tomando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=0<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=0<\/span><\/span> se obtiene <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0=d\\cdot 0+0<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le 0&lt;d<\/span><\/span>. Por lo tanto, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(0)<\/span><\/span> es verdadera.<\/p>\n<p><strong>Paso inductivo:<\/strong> Sea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\ge 0<\/span><\/span> y supongamos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(k)<\/span><\/span> es verdadera. Entonces existen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,r\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> tales que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nk=dq+r,\\qquad 0\\le r&lt;d.\n\n<\/span>\n<p>Sumando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1<\/span><\/span> a ambos lados se obtiene<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nk+1=dq+(r+1).\n\n<\/span>\n<p>Adem\u00e1s, de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;d<\/span><\/span> se sigue que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r+1\\le d<\/span><\/span>. En consecuencia, solo pueden ocurrir los casos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r+1&lt;d<\/span><\/span> o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r+1=d<\/span><\/span>.<\/p>\n<p><b>Caso 1:<\/b> Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r+1&lt;d<\/span><\/span>, definimos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q&#039;=q<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r&#039;=r+1<\/span><\/span>. Entonces<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nk+1=dq&#039;+r&#039;,\\qquad 0\\le r&#039;&lt;d.\n\n<\/span>\n<p><b>Caso 2:<\/b> Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r+1=d<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k+1=dq+d=d(q+1)+0<\/span><\/span>. Definimos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q&#039;=q+1<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r&#039;=0<\/span><\/span>, y se cumple<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nk+1=dq&#039;+r&#039;,\\qquad 0\\le r&#039;&lt;d.\n\n<\/span>\n<p>En ambos casos hemos construido enteros <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q&#039;,r&#039;<\/span><\/span> tales que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k+1=dq&#039;+r&#039;<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&#039;&lt;d<\/span><\/span>. Por lo tanto, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(k+1)<\/span><\/span> es verdadera. Concluimos por inducci\u00f3n que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(b)<\/span><\/span> vale para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\ge 0<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Ahora consideremos el caso <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b&lt;0<\/span><\/span>. Entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-b&gt;0<\/span><\/span>. Aplicando el resultado anterior a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-b<\/span><\/span>, existen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,r\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> tales que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n-b=dq+r,\\qquad 0\\le r&lt;d.\n\n<\/span>\n<p>Multiplicando por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-1<\/span><\/span> se obtiene<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nb=-dq-r.\n\n<\/span>\n<p>Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=0<\/span><\/span>, basta tomar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_1=-q<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_1=0<\/span><\/span>, con lo cual <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq_1+r_1<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r_1&lt;d<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r&gt;0<\/span><\/span>, definimos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_1=-q-1<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r_1=d-r<\/span><\/span>. Como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0&lt;r&lt;d<\/span><\/span>, se tiene <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0&lt;d-r&lt;d<\/span><\/span>, es decir, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r_1&lt;d<\/span><\/span>. Adem\u00e1s,<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\ndq_1+r_1=d(-q-1)+(d-r)=-dq-d+d-r=-dq-r=b.\n\n<\/span>\n<p>En consecuencia, para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> existen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_1,r_1\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> tales que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq_1+r_1<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r_1&lt;d<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Finalmente, recordemos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d=|a|<\/span><\/span>. Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a&gt;0<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d=a<\/span><\/span> y la igualdad <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq_1+r_1<\/span><\/span> se escribe como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=aq_1+r_1<\/span><\/span>, con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r_1&lt;|a|<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a&lt;0<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d=-a<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=dq_1+r_1=(-a)q_1+r_1=a(-q_1)+r_1<\/span><\/span>. Definiendo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=-q_1<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=r_1<\/span><\/span>, se obtiene<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nb=qa+r,\\qquad 0\\le r&lt;|a|.\n\n<\/span>\n<p>Con esto queda probada la existencia de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> para cualesquiera <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>.<\/p>\n<h3>Unicidad<\/h3>\n<p>Sup\u00f3ngase que existen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q,q&#039;,r,r&#039;\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> tales que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nb=qa+r=q&#039;a+r&#039;,\\qquad 0\\le r,r&#039;&lt;|a|.\n\n<\/span>\n<p>Restando ambas expresiones se obtiene<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\na(q-q&#039;)=r&#039;-r.\n\n<\/span>\n<p>Como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r,r&#039;&lt;|a|<\/span><\/span>, se cumple <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|r&#039;-r|&lt;|a|<\/span><\/span>. En cambio, el miembro izquierdo es m\u00faltiplo de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span>, y por tanto tambi\u00e9n es m\u00faltiplo de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|<\/span><\/span>. El \u00fanico m\u00faltiplo entero de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|<\/span><\/span> con valor absoluto estrictamente menor que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|<\/span><\/span> es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span><\/span>; en efecto, si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a| m \\neq 0<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\big| |a| m \\big| \\ge |a| <\/span><\/span>. Por consiguiente, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r&#039;-r=0<\/span><\/span>, es decir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=r&#039;<\/span><\/span>, y al sustituir en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span> se deduce <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=q&#039;<\/span><\/span>. Por esto la descomposici\u00f3n es \u00fanica.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Interpretaci\u00f3n del cociente y el resto<\/h2>\n<ul>\n<li style=\"text-align: justify;\">\n    <strong>Qu\u00e9 significa \u00abresto\u00bb.<\/strong> Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=b-qa<\/span><\/span> es lo que \u00absobra\u00bb al quitarle a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> el m\u00faltiplo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">qa<\/span><\/span>. En otras palabras, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> es el residuo de ajustar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> a la rejilla de m\u00faltiplos de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span>.\n  <\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">\n    <strong>Por qu\u00e9 se exige<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span>. Sin esta condici\u00f3n, el par <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(q,r)<\/span><\/span> no ser\u00eda \u00fanico. En efecto, si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span>, entonces tambi\u00e9n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=a(q+1)+(r-a)<\/span><\/span>. La condici\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span> fuerza al resto a vivir en una ventana fija <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{0,1,2,\\dots,|a|-1\\}<\/span><\/span>, y eso bloquea las infinitas \u00abre-etiquetaciones\u00bb del mismo n\u00famero.\n  <\/li>\n<li style=\"text-align: justify;\">\n    <strong>Qu\u00e9 pasa si<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> <strong>es negativo.<\/strong> El teorema sigue siendo v\u00e1lido sin cambios: el resto se mantiene no negativo y acotado por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|<\/span><\/span>. Esto es relevante porque algunos lenguajes de programaci\u00f3n usan truncamiento hacia cero y pueden producir restos negativos, mientras que en matem\u00e1ticas se adopta la convenci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span> para que el resto sea un representante \u00abest\u00e1ndar\u00bb.<\/p>\n<p>    Adem\u00e1s, cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a&gt;0<\/span><\/span>, el cociente coincide con el piso:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nq=\\left\\lfloor \\frac{b}{a}\\right\\rfloor,\\qquad r=b-a\\left\\lfloor \\frac{b}{a}\\right\\rfloor.\n\n<\/span>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Algoritmo largo de la divisi\u00f3n<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ABw4QYdD6Pg?si=eJiA7P6cD7RdlYYN\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>A partir de la divisi\u00f3n euclidiana es posible implementar el algoritmo largo de la divisi\u00f3n, aprovechando la representaci\u00f3n posicional de los n\u00fameros. Este algoritmo es una t\u00e9cnica de c\u00e1lculo que permite encontrar r\u00e1pidamente los valores <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> cuando se desea calcular <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\div a<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Para describirlo, revisemos primero algunos ejemplos que ilustran el proceso y las posibles situaciones durante la ejecuci\u00f3n del algoritmo.<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>Supongamos que queremos calcular <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">57\\div 4<\/span><\/span>. Aqu\u00ed 57 es el <strong>dividendo<\/strong> y 4 el <strong>divisor<\/strong>. Para lograrlo realizaremos la siguiente secuencia de c\u00e1lculos:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\color{red}57 \\div 4 =\\color{black}  \\\\ &amp; \\text{Escribir la operaci\u00f3n de divisi\u00f3n.} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp; \\color{red}5&#039;\\color{black}7 \\div 4 =  \\\\ &amp; \\text{Separar el primer prefijo (desde la izquierda) del dividendo que}\\\\\n\n&amp;\\text{sea mayor o igual que el divisor, en este caso 5.} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp; 5&#039;7 \\div 4 = \\color{red}1\\color{black} \\\\ &amp; \\text{Pensar en el mayor n\u00famero que, multiplicado por $4$,}\\\\\n\n&amp;\\text{resulte menor o igual que $5$ y escribirlo a la derecha de la igualdad. Es 1.}\\\\ \\\\\n\n(4) &amp; \\begin{array}{ll}\\phantom{-|}5&#039;7 \\div 4 &amp;= 1 \\\\ \\color{red}-|\\underline{4}\\color{black} &amp; \\\\ \\color{red}\\phantom{-|}1\\color{black} &amp;  \\end{array} \\\\ &amp; \\text{Multiplicar el resultado por el divisor y restarlo del valor seleccionado.} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp; \\begin{array}{ll}\\phantom{-|}5&#039;\\color{red}7&#039;\\color{black} \\div 4 &amp;= 1 \\\\ -|\\underline{4} &amp; \\\\ \\phantom{-|}1\\color{red}7\\color{black} &amp;  \\end{array} \\\\ &amp; \\text{Seleccionar y \u00abbajar\u00bb el siguiente d\u00edgito.} \\\\ \\\\\n\n(6) &amp; \\begin{array}{ll}\\phantom{-|}5&#039;7&#039; \\div 4 &amp;= 1\\color{red}4\\color{black} \\\\ -|\\underline{4} &amp; \\\\ \\phantom{-|}17 &amp; \\\\ \\color{red}-|\\underline{16}\\color{black} &amp; \\\\ \\color{red}\\phantom{-|}1\\color{black}  \\end{array} \\\\ &amp; \\text{Repetir la secuencia con el \u00faltimo n\u00famero obtenido.}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>El algoritmo finaliza cuando se han agotado los d\u00edgitos por \u00abbajar\u00bb, entregando como resultado el cociente <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=14<\/span><\/span> y el resto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=1<\/span><\/span>. En particular, el resto ser\u00e1 siempre menor que el divisor.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Supongamos que queremos calcular <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">132\\div 5<\/span><\/span>. Para lograrlo realizaremos la siguiente secuencia de c\u00e1lculos:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n(1) &amp;1&#039;32 \\div 5 = \\\\\n\n&amp; \\text{Separar el primer prefijo del dividendo y buscar alg\u00fan natural que,}\\\\\n\n&amp; \\text{multiplicado por 5, sea menor o igual que \u00e9l. Si no se puede,}\\\\\n\n&amp; \\text{incorporar el siguiente d\u00edgito hasta que se pueda.} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp;\\begin{array}{ll}\\phantom{-|}13&#039;2 \\div 5 &amp;= 2 \\\\ -|\\underline{10} &amp; \\\\ \\phantom{-|1}3 &amp; \\end{array}\\\\\n\n&amp; \\text{Cuando el paso anterior funcione, ejecutar el algoritmo con normalidad.} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp;\\begin{array}{ll}\\phantom{-|}13&#039;2&#039; \\div 5 &amp;= 26 \\\\ -|\\underline{10} &amp; \\\\ \\phantom{-|1}32 &amp;  \\\\ \\phantom{\\,} -|\\underline{30} &amp; \\\\ \\phantom{-|30} 2 &amp;  \\end{array}\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/li>\n<li>\n<p>Si el dividendo tiene m\u00e1s d\u00edgitos, el procedimiento se ejecuta del mismo modo. Por ejemplo, al calcular <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">3521\\div 12<\/span><\/span> se obtiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{ll}\n\n\\phantom{-|}35&#039;2&#039;1&#039; \\div 12 &amp; = 293 \\\\\n\n-|\\underline{24} &amp; \\\\\n\n\\phantom{-|}112 &amp; \\\\\n\n-|\\underline{108} &amp; \\\\\n\n\\phantom{-|10}41 &amp; \\\\\n\n\\phantom{0}-|\\underline{36} &amp; \\\\\n\n\\phantom{10-|}5 &amp; \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/li>\n<li>\n<p>Si uno de los n\u00fameros es negativo, existen dos formas aceptables de presentar el resultado. No obstante, la forma est\u00e1ndar en teor\u00eda de n\u00fameros es aquella en que el resto es positivo y, por tanto, consistente con la divisi\u00f3n de Euclides. Por ejemplo, si calculamos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598\\div 21<\/span><\/span>, se tienen los siguientes desarrollos posibles, ambos correctos como identidades:<\/p>\n<ul>\n<li>\n        <b>Con resto negativo:<\/b> Este se obtiene eliminando el signo al inicio de la operaci\u00f3n y restaur\u00e1ndolo al final.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{ll}\n\n\\phantom{-}59&#039;8&#039; \\div 21 &amp;= 28 \\\\\n\n-|\\underline{42} &amp; \\\\\n\n\\phantom{-|&#039;}178 &amp; \\\\\n\n\\phantom{\\,}-|\\underline{168} &amp; \\\\\n\n\\phantom{-|00}10 &amp; \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>A partir de esto se tiene que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">598 = 21 \\times 28 + 10<\/span>\n<p>Luego, si multiplicamos toda la igualdad por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-1<\/span><\/span>, se obtiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598 = 21 \\times (-28) - 10<\/span>\n<p>De modo que, en esta representaci\u00f3n, el resultado de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598\\div 21<\/span><\/span> es cociente <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=-28<\/span><\/span> y resto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=-10<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Y si multiplicamos nuevamente toda la igualdad por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-1<\/span><\/span>, se obtiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">598 = (-21)\\times(-28) + 10<\/span>\n<p>De modo que el resultado de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">598\\div (-21)<\/span><\/span> es cociente <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=-28<\/span><\/span> y resto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=10<\/span><\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n        <b>Con resto positivo y consistente con la divisi\u00f3n de Euclides:<\/b> A partir del desarrollo anterior se tiene que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598 = 21 \\times (-28) - 10<\/span>\n<p>Luego, sumando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0=21-21<\/span><\/span> en el lado derecho de esta igualdad, se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598 = 21 \\times (-28) - 10 \\color{red}+ 21 - 21\\color{black} = 21\\times(-29) + 11<\/span>\n<p>Por lo tanto, siendo consistentes con la divisi\u00f3n de Euclides, el resultado de calcular <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-598\\div 21<\/span><\/span> da un cociente <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=-29<\/span><\/span> y el resto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=11<\/span><\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>Respecto de lo convencional en la divisi\u00f3n de Euclides, s\u00f3lo el resultado con resto positivo corresponde al cociente y resto euclidianos. Sin embargo, ambas expresiones son identidades correctas y pueden ser \u00fatiles en contextos distintos. Si bien el algoritmo de divisi\u00f3n larga puede producir restos negativos, esto resulta pr\u00e1ctico para obtener resultados de manera mec\u00e1nica y realizar manipulaciones algebraicas sin pasos adicionales. Por otro lado, los resultados con resto positivo, consistentes con la divisi\u00f3n de Euclides, permiten fijar un representante can\u00f3nico de cada clase residual (por ejemplo, en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{0,1,\\dots,n-1\\}<\/span><\/span>), lo que facilita el etiquetado de los enteros de forma precisa y libre de ambig\u00fcedad. Cabe se\u00f1alar que tambi\u00e9n existen otras convenciones de representantes, como los residuos sim\u00e9tricos, igualmente v\u00e1lidas una vez fijada la regla.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Conclusi\u00f3n<\/h2>\n<p>El algoritmo de la divisi\u00f3n garantiza que toda divisi\u00f3n entera puede expresarse de forma \u00fanica como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=qa+r<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r&lt;|a|<\/span><\/span>, lo que fija un criterio est\u00e1ndar para interpretar el cociente y el resto incluso cuando intervienen n\u00fameros negativos. El algoritmo largo de la divisi\u00f3n no es m\u00e1s que una implementaci\u00f3n pr\u00e1ctica de esta descomposici\u00f3n, apoyada en la representaci\u00f3n posicional, y permite calcular <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> de manera mec\u00e1nica. Finalmente, esta forma euclidiana no solo evita ambig\u00fcedades, sino que tambi\u00e9n conecta naturalmente con la aritm\u00e9tica modular: el resto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span><\/span> act\u00faa como un representante can\u00f3nico de la clase residual de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> m\u00f3dulo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span>, base de muchas t\u00e9cnicas en teor\u00eda de n\u00fameros y en aplicaciones computacionales que podr\u00e1n ser revisadas en proximas entregas.<\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejercicios propuestos y resueltos<\/h2>\n<h3>Divisi\u00f3n euclidiana<\/h3>\n<ol>\n<li><strong>(resuelto)<\/strong> Encuentra <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> tales que\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">137 = 9q + r,\\qquad 0\\le r\\lt 9.<\/span>\n<p><strong>Soluci\u00f3n:<\/strong> Busca el n\u00famero m\u00e1s grande que, multiplicado por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">9<\/span> no sobrepase a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">137<\/span><\/span>. Tenemos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">15\\times 9 = 135<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">16\\times 9 = 144<\/span><\/span>, por lo tanto, el cociente buscado es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=15<\/span><\/span>. Ahora calcula el resto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=137-9q<\/span><\/span> y verifica que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r\\lt 9<\/span><\/span>. Haciendo la verificaci\u00f3n se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nr=137-9\\cdot 15=137-135=2.\n\n<\/span>\n<p>Por tanto, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">137=9\\cdot 15+2<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le 2\\lt 9<\/span><\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<li><strong>(resuelto)<\/strong> Encuentra <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> tales que\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2025 = 37q + r,\\qquad 0\\le r\\lt 37.<\/span>\n<p><strong>Soluci\u00f3n:<\/strong> Busca el n\u00famero m\u00e1s grande que, multiplicado por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">37<\/span> no sobrepase a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2025<\/span><\/span>. Observa que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">37\\times 54 = 1998<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">37\\times 55 = 2035<\/span><\/span>, por lo tanto, el cociente buscado es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q=54<\/span><\/span>. Ahora calcula el resto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=2025-37q<\/span><\/span> y verifica que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le r\\lt 37<\/span><\/span>. Haciendo la verificaci\u00f3n se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\nr=2025-37\\cdot 54=2025-1998=27.\n\n<\/span>\n<p>Por tanto, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2025=37\\cdot 54+27<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\le 27\\lt 37<\/span><\/span>.<\/p>\n<\/li>\n<li>Encuentra <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> tales que\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">745 = 23q + r,\\qquad 0\\le r\\lt 23.<\/span>\n<\/li>\n<li>Encuentra <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> tales que\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-314 = 11q + r,\\qquad 0\\le r\\lt 11.<\/span>\n<\/li>\n<li>Encuentra <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> tales que\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">598 = (-21)q + r,\\qquad 0\\le r\\lt |-21|.<\/span>\n<\/li>\n<li><strong>Resto fijado y b\u00fasqueda de enteros.<\/strong> Sea <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=12<\/span>.\n<p>(a) Describe el conjunto de todos los enteros <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> cuya divisi\u00f3n euclidiana por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">12<\/span> tiene resto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=5<\/span>.<\/p>\n<p>(b) Encuentra el menor entero <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\gt 1000<\/span> que cumpla lo anterior y determina el cociente <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span> correspondiente.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Algoritmo largo de la divisi\u00f3n<\/h3>\n<p>En cada caso, aplica el algoritmo largo de la divisi\u00f3n para calcular el cociente <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span> y el resto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span>. Transforma el resultado a divisi\u00f3n euclidiana cuando el algoritmo proporcione resto negativo.\n<\/p>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">84\\div 6.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">197\\div 8.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1256\\div 7.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-3521\\div 12.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-98765\\div 24.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">845\\div -13.<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-12345\\div -37.<\/span><\/span><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El Algoritmo de la Divisi\u00f3n En esta clase desarrollaremos el algoritmo de la divisi\u00f3n como el principio que formaliza, para enteros, la descomposici\u00f3n \u00fanica con . 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