{"id":35747,"date":"2021-09-30T13:00:59","date_gmt":"2021-09-30T13:00:59","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=35747"},"modified":"2025-12-29T03:34:33","modified_gmt":"2025-12-29T03:34:33","slug":"der-elektrische-fluss-und-das-gausssche-gesetz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-elektrische-fluss-und-das-gausssche-gesetz\/","title":{"rendered":"Der elektrische Fluss und das Gau\u00dfsche Gesetz"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Der elektrische Fluss und das Gau\u00dfsche Gesetz<\/h1>\n<p>\nIn der Elektrostatik kann die Berechnung des elektrischen Feldes \u201evon Grund auf\u201c sehr aufwendig werden, wenn die Geometrie der Ladungsverteilung nicht trivial ist. Der elektrische Fluss und das Gau\u00dfsche Gesetz bieten einen intelligenteren Weg: Anstatt sich mit endlosen Integralen auseinanderzusetzen, w\u00e4hlt man eine geeignete geschlossene Oberfl\u00e4che und nutzt die Symmetrie des Systems, um saubere und \u00fcberpr\u00fcfbare Ergebnisse zu erhalten. In der Praxis bedeutet dies weniger Schritte, weniger Fehler und eine bessere konzeptuelle Kontrolle \u00fcber das eigene Vorgehen. Wenn du vom Zustand \u201eIch kenne das Rezept\u201c zu \u201eIch verstehe die Methode\u201c gelangen m\u00f6chtest, wirst du hier sehen, wie Gauss scheinbar schwere Probleme in direkte L\u00f6sungen verwandelt und wann es sich tats\u00e4chlich lohnt, dieses Gesetz anzuwenden.\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><b>Lernziele<\/b><\/p>\n<ol>\n<li><strong>Erkl\u00e4ren<\/strong> der Funktionsweise des Gau\u00dfschen Gesetzes f\u00fcr das elektrische Feld.<\/li>\n<li><strong>Anwenden<\/strong> des Gau\u00dfschen Gesetzes zur Berechnung elektrischer Felder unter Ausnutzung der Symmetrien kartesischer, zylindrischer und sph\u00e4rischer Koordinaten.<\/li>\n<li><strong>In Beziehung setzen<\/strong> der Integral- und der Differentialform mithilfe des Divergenztheorems, wobei identifiziert wird, was jeder Term darstellt.<\/li>\n<li><strong>Gegen\u00fcberstellen<\/strong> des Gau\u00dfschen Ansatzes mit der direkten Berechnung \u00fcber das Coulomb-Integral und Erl\u00e4uterung, wann er die Komplexit\u00e4t reduziert und wann er keine geschlossene L\u00f6sung liefert.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><b><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/b><br \/>\n<a href=\"#1\">L\u00f6sung elektrostatischer Probleme<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Elektrische Feldlinien<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Anmerkung zur Dichte der Feldlinien und ihrer Darstellung<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Elektrischer Feldfluss<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Gau\u00dfsches Gesetz<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Probleme mit sph\u00e4rischer Symmetrie<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Weitere Symmetrien<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\">Probleme mit zylindrischer und planarer Symmetrie<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/b96XremJiKQ\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>L\u00f6sung der Elektrostatik<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=128s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Aus dem bisher Besprochenen folgt, dass<\/span><\/strong><\/a> es ausreicht, die Form des elektrischen Feldelements und dessen Verteilung im Raum zu kennen, um das gesamte elektrische Feld zu bestimmen. Liegt eine volumetrische Verteilung vor, so gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\vec{E}(\\vec{r}) = \\int_V d\\vec{E}(\\vec{r})= \\int_V \\frac{\\rho(\\vec{r}^\\prime)}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{\\vec{r}-\\vec{r}^\\prime}{\\|\\vec{r}-\\vec{r}^\\prime\\|^3}dV<\/span>\n<p>wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho(\\vec{r}^\\prime)<\/span><\/span> die volumetrische Ladungsdichte ist. Im Falle einer Fl\u00e4chen- oder Linienladungsdichte ersetzen wir <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> entsprechend durch <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma<\/span> oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lambda<\/span>. Ab diesem Punkt entscheidet sich, ob wir das elektrische Feld bestimmen k\u00f6nnen oder nicht, daran, ob es gelingt, das Integral zu l\u00f6sen.<\/p>\n<p>Obwohl die Formulierung des Problems in der Regel direkt ist, werden wir fr\u00fcher oder sp\u00e4ter feststellen, dass seine Auswertung nicht immer einfach ist. Tats\u00e4chlich besteht ein gro\u00dfer Teil des Studiums der Elektrostatik darin, Strategien zu entwickeln, die es erlauben, die Berechnung unn\u00f6tig komplizierter Integrale zu vermeiden. Viele dieser Vereinfachungen stammen aus der Vektoranalysis, insbesondere aus der Verwendung der Divergenz.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Elektrische Feldlinien<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=235s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Bevor wir die Vektoranalysis<\/span><\/strong><\/a> in unsere Untersuchung der Elektrostatik einf\u00fchren, stellen wir einige Ideen vor, die dazu beitragen, das Thema etwas intuitiver zu machen. Gemeint sind die <strong>elektrischen Feldlinien<\/strong>.<\/p>\n<p>Beginnen wir mit dem einfachsten Fall: dem elektrischen Feld einer Punktladung, die sich im Koordinatenursprung befindet. Dieses hat die Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\vec{E}(\\vec{r}) = \\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{q}{\\|\\vec{r}\\|^2}\\hat{r}<\/span>\n<p>Dies erlaubt es uns, das elektrische Feld im Raum als eine Menge von \u201ePfeilen\u201c darzustellen, deren Richtung und L\u00e4nge die Richtung und die Intensit\u00e4t des elektrischen Feldes an jedem Punkt beschreiben.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEhlkOkwoYFrKYwfidmawFFb60AlBumv8u2irJnN87xYJnTfY7h2U1HL3Hzfh7kQZHhyctM7r70IfEXZkh0faUjZrGr3H_h6xrjeED-GqV39v_t2OzPD0zD9sjlm9t_twIEuaJcte9qhEGIKH3Bzn7a_AZ1rCh53DFunFLiXm09JalAMYQNAjKjv3oOosA\" width=\"400\" height=\"300\" alt=\"Elektrisches Feld einer Punktladung in Vektordarstellung\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEhlkOkwoYFrKYwfidmawFFb60AlBumv8u2irJnN87xYJnTfY7h2U1HL3Hzfh7kQZHhyctM7r70IfEXZkh0faUjZrGr3H_h6xrjeED-GqV39v_t2OzPD0zD9sjlm9t_twIEuaJcte9qhEGIKH3Bzn7a_AZ1rCh53DFunFLiXm09JalAMYQNAjKjv3oOosA\" width=\"400\" height=\"300\" alt=\"Elektrisches Feld einer Punktladung in Vektordarstellung\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p>Da die Intensit\u00e4t des elektrischen Feldes mit dem Quadrat der Entfernung vom Ursprung abnimmt, werden die Vektoren mit zunehmendem Abstand immer kleiner. Zudem zeigen sie radial von der Ladung nach au\u00dfen.<\/p>\n<p>Diese Darstellung ist n\u00fctzlich, es gibt jedoch eine noch aussagekr\u00e4ftigere: das \u201eVerbinden des Kontinuums von Pfeilen\u201c zur Bildung eines Linienfeldes. Auf diese Weise ist es nicht mehr die L\u00e4nge der Pfeile, die die Intensit\u00e4t des elektrischen Feldes angibt, sondern die \u201eDichte der Feldlinien\u201c im Diagramm.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEgebGCEuU6Akvc8M-p8m0FjK-a1AGtq4H7A2fAuy1r6M08uAnWQRYJfHIRtcRAvGt3CQZHCI7EwCHv3os55aZpef1KDTHFDiS2Sf8nvyXH_ctiildMSeSK-suC7al5kbGmFReywKsEJh1GVsHDtTqRShAyiJZFQER2fKav4wOcn9z8q7zjmjk3T07UHTQ\" width=\"400\" height=\"300\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEgebGCEuU6Akvc8M-p8m0FjK-a1AGtq4H7A2fAuy1r6M08uAnWQRYJfHIRtcRAvGt3CQZHCI7EwCHv3os55aZpef1KDTHFDiS2Sf8nvyXH_ctiildMSeSK-suC7al5kbGmFReywKsEJh1GVsHDtTqRShAyiJZFQER2fKav4wOcn9z8q7zjmjk3T07UHTQ\" width=\"400\" height=\"300\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><br \/>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Anmerkung zur Dichte der Feldlinien und ihrer Darstellung<\/h3>\n<p>Bevor wir fortfahren, ist es sinnvoll, ein Detail zur Darstellung der elektrischen Feldlinien zu beachten. Diese Art der Repr\u00e4sentation ist nicht vollst\u00e4ndig getreu, wenn sie in einer Ebene (2D) gezeichnet wird. In einer 2D-Zeichnung verteilt sich bei einem Kreis mit dem Radius <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> die Gesamtzahl der Linien \u00fcber den Umfang des Kreises, sodass die lineare Dichte<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{n}{2\\pi r}<\/span>\n<p>betr\u00e4gt. Diese nimmt mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> ab und nicht mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r^2<\/span><\/span>, wie es f\u00fcr die Intensit\u00e4t des elektrischen Feldes zu erwarten w\u00e4re. Interpretiert man das Modell jedoch dreidimensional (wie einen Igel), so w\u00fcrde sich die Gesamtzahl der Linien \u00fcber die Oberfl\u00e4che einer Kugel verteilen<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{n}{4\\pi r^2}<\/span>\n<p>und dies nimmt tats\u00e4chlich mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r^2<\/span><\/span> ab. Mit anderen Worten: Auch wenn die Darstellung der Feldlinien \u00fcblicherweise in zwei Dimensionen erfolgt, soll damit in Wirklichkeit eine dreidimensionale Situation zusammengefasst werden. Wir verf\u00fcgen schlicht nicht \u00fcber dreidimensionales Papier, um sie darzustellen: Wir repr\u00e4sentieren in 2D, was wir in 3D kommunizieren m\u00f6chten.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Elektrischer Feldfluss<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=665s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn wir uns nach der Anzahl<\/span><\/strong><\/a> der elektrischen Feldlinien fragen, die eine bestimmte Oberfl\u00e4che durchqueren, so wird die Antwort durch den Fluss des elektrischen Feldes \u00fcber diese Oberfl\u00e4che gegeben. Entsprechend definiert man den elektrischen Fluss eines Feldes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{E}<\/span><\/span> durch eine Oberfl\u00e4che <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> als<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi_{\\vec{E},S} =\\displaystyle \\int_S \\vec{E}\\cdot d\\vec{S}<\/span>\n<p>Wir d\u00fcrfen uns dabei nicht von der intuitiven Vorstellung der \u201eAnzahl der elektrischen Feldlinien, die eine Oberfl\u00e4che durchqueren\u201c, t\u00e4uschen lassen. Erinnern wir uns daran, dass diese Anzahl von Linien (oder deren Dichte) lediglich eine Art ist, die Intensit\u00e4t des elektrischen Feldes darzustellen. Der berechnete elektrische Fluss ist daher eine skalare Gr\u00f6\u00dfe, die mit der Intensit\u00e4t des elektrischen Feldes verkn\u00fcpft ist, das die Oberfl\u00e4che <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> durchsetzt.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h3>Gau\u00dfsches Gesetz<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=758s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Da die Intensit\u00e4t des elektrischen Feldes<\/span><\/strong><\/a> proportional zur elektrischen Ladung ist, sollten wir den elektrischen Fluss durch eine Oberfl\u00e4che, die eine bestimmte Ladung einschlie\u00dft, als eine zur eingeschlossenen Ladung proportionale Gr\u00f6\u00dfe ausdr\u00fccken k\u00f6nnen. Tats\u00e4chlich l\u00e4sst sich zeigen, dass dies der Fall ist. Betrachten wir die folgende Abbildung:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEgGcCL8WVnhwXmxDkhsW5W31AyJiEsJDsVZZDNm1kQ-MREYYaaBvYb7CBkGSCkfPgiNbDGFP-R4LHr_9pH6ijy0Ji7m1VgzO2pjJwjFDOqAd61VGMJfb4CDfmGyn9uacon7VcpXlB9cd7ZltDUEc3fhDQ86PuKqQb7kN-JuNgGxInlRKiyY91nU2zHfIg\" width=\"500\" height=\"400\" alt=\"Elektrischer Fluss durch eine geschlossene Oberfl\u00e4che\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEgGcCL8WVnhwXmxDkhsW5W31AyJiEsJDsVZZDNm1kQ-MREYYaaBvYb7CBkGSCkfPgiNbDGFP-R4LHr_9pH6ijy0Ji7m1VgzO2pjJwjFDOqAd61VGMJfb4CDfmGyn9uacon7VcpXlB9cd7ZltDUEc3fhDQ86PuKqQb7kN-JuNgGxInlRKiyY91nU2zHfIg\" width=\"500\" height=\"400\" alt=\"Elektrischer Fluss durch eine geschlossene Oberfl\u00e4che\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p>Hieraus ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\oint_S \\vec{E}\\cdot d\\vec{S} &amp;= \\displaystyle \\oint_S \\left(\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0} \\frac{q_{enc}}{\\|\\vec{r}\\|^2}\\hat{r} \\right)\\cdot d\\vec{S} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\frac{q_{enc}}{4\\pi\\epsilon_0} \\oint_S \\frac{\\hat{r}}{\\|\\vec{r}\\|^2}\\cdot d\\vec{S} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\frac{q_{enc}}{4\\pi\\epsilon_0} \\underbrace{\\oint_S d{\\Omega}}_{= 4\\pi} = \\frac{q_{enc}}{\\epsilon_0}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEjLQhqvLJZMuQHfXHj_WYfbajP9PYwVdNgs4eVflg_jQAJSFu5czNfBgMBTWOWXCE5Tx3-DYwrs8eNpOuJoflvQYbUwpl3BG4BaZxJdnJirqRPsbZM00TfnzyGQvuAimfenB3GUYnEJdZDh2xiXWX5ftu0bN-UYH3G4rydnrnBqEpKDNnNXgdpi5EP81w\" width=\"400\" height=\"300\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEjLQhqvLJZMuQHfXHj_WYfbajP9PYwVdNgs4eVflg_jQAJSFu5czNfBgMBTWOWXCE5Tx3-DYwrs8eNpOuJoflvQYbUwpl3BG4BaZxJdnJirqRPsbZM00TfnzyGQvuAimfenB3GUYnEJdZDh2xiXWX5ftu0bN-UYH3G4rydnrnBqEpKDNnNXgdpi5EP81w\" width=\"400\" height=\"300\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p>Zusammenfassend erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\color{blue}{\\oint_S \\vec{E}\\cdot d\\vec{S} = \\frac{q_{enc}}{\\epsilon_0}}<\/span>\n<p>Dies ist das <strong>Gau\u00dfsche Gesetz f\u00fcr das elektrische Feld in seiner Integralform<\/strong> und zeigt eine Proportionalit\u00e4tsbeziehung zwischen dem elektrischen Fluss durch eine geschlossene Oberfl\u00e4che und der eingeschlossenen Ladung. Beachte, dass es hier in seiner \u201eIntegralform\u201c dargestellt wurde, um hervorzuheben, dass auch eine Differentialform existiert, die mithilfe des Gau\u00dfschen Divergenztheorems im Kontext der Vektoranalysis gewonnen wird.<\/p>\n<div style=\"background-color: #c0ffc0; padding: 20px;\">\n<h4>Gau\u00dfsches Divergenztheorem<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=1007s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}<\/span><\/span> ein differenzierbares Vektorfeld ist<\/span><\/strong><\/a> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> eine geschlossene Oberfl\u00e4che ist, die ein Volumen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span> einschlie\u00dft, dann gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\oint_S\\vec{F}\\cdot d\\vec{S} = \\int_V (\\vec{\\nabla}\\cdot \\vec{F})dV<\/span>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=1055s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wendet man das Divergenztheorem<\/span><\/strong><\/a> auf den Fluss des elektrischen Feldes \u00fcber die geschlossene Oberfl\u00e4che <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> an, so erh\u00e4lt man<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\oint_S\\vec{E}\\cdot d\\vec{S} = \\int_V (\\vec{\\nabla}\\cdot\\vec{E})dV = \\frac{q_{enc}}{\\epsilon_0}<\/span>\n<p>Andererseits gilt auch<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{q_{enc}}{\\epsilon_0} = \\int_V \\frac{\\rho}{\\epsilon_0} dV<\/span>\n<p>Aus diesen beiden letzten Gleichungen folgt schlie\u00dflich<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\vec{\\nabla}\\cdot\\vec{E} = \\frac{\\rho}{\\epsilon_0}}<\/span>\n<p>Dies ist das <strong>Gau\u00dfsche Gesetz f\u00fcr das elektrische Feld in seiner Differentialform.<\/strong><\/p>\n<p>Nun k\u00f6nnen wir das Gau\u00dfsche Gesetz nutzen, um die geometrischen Symmetrien einiger Probleme besser auszusch\u00f6pfen und die Berechnung der Integrale, die zum elektrischen Feld f\u00fchren, erheblich zu vereinfachen.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Probleme mit sph\u00e4rischer Symmetrie<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/04itEuVNDN4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<ol>\n<li>Bestimmen Sie das elektrische Feld in einem Abstand <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">z<\/span> vom Zentrum einer kugelf\u00f6rmigen Oberfl\u00e4che mit dem Radius <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R<\/span>, die eine gleichm\u00e4\u00dfige Fl\u00e4chenladungsdichte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma<\/span> besitzt. Analysieren Sie beide F\u00e4lle: wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">z\\lt R<\/span><\/span> und wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">z\\geq R<\/span><\/span>.<\/li>\n<li>F\u00fchren Sie dieselbe Analyse wie in der vorherigen Aufgabe durch, betrachten Sie nun jedoch eine massive Kugel mit gleichm\u00e4\u00dfig verteilter Volumenladungsdichte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span>. Erstellen Sie anschlie\u00dfend ein Diagramm von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{E}\\|<\/span><\/span> als Funktion von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">z<\/span>.<\/li>\n<li>Angenommen, das elektrische Feld in einem Abstand <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> vom Koordinatenursprung ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{E}=kr^2\\hat{r}<\/span><\/span>, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> eine Konstante ist. Bestimmen Sie die zu diesem Feld geh\u00f6rige Ladungsdichte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span>.<\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h2>Weitere Symmetrien<\/h3>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/6eMaax9orAo\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6eMaax9orAo&amp;t=122s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Das Gau\u00dfsche Gesetz ist immer g\u00fcltig<\/span><\/strong><\/a>, aber nicht immer n\u00fctzlich. In den vorherigen Beispielen gilt: W\u00e4re <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> nicht uniform, h\u00e4tten wir keine sph\u00e4rische Symmetrie oder w\u00fcrde eine andere Form f\u00fcr die gau\u00dfsche Oberfl\u00e4che gew\u00e4hlt, so bliebe es dennoch wahr, dass der elektrische Fluss <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_{enc}\/\\epsilon_0<\/span><\/span> betr\u00e4gt. Das elektrische Feld m\u00fcsste jedoch weder konstant sein noch in die gleiche Richtung zeigen wie das Fl\u00e4chenelement <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d\\vec{S}<\/span><\/span>; und ohne diese Bedingungen k\u00f6nnen wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{E}\\|<\/span><\/span> nicht aus dem Integral herausziehen.<\/p>\n<p>Die Symmetrie ist bei der Anwendung des Gau\u00dfschen Gesetzes zur L\u00f6sung von Problemen von entscheidender Bedeutung.<\/p>\n<p>Es gibt viele Arten von Symmetrien, die wir ausnutzen k\u00f6nnen. Unter ihnen sind die folgenden drei die h\u00e4ufigsten:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Sph\u00e4rische Symmetrie:<\/strong> Die gau\u00dfsche Oberfl\u00e4che ist eine konzentrische Kugel.<\/li>\n<li><strong>Zylindrische Symmetrie:<\/strong> Die gau\u00dfsche Oberfl\u00e4che ist ein koaxialer Zylinder.<\/li>\n<li><strong>Planare Symmetrie:<\/strong> Die gau\u00dfsche Oberfl\u00e4che ist ein rechteckiger Kasten.<\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<h3>Probleme mit zylindrischer und planarer Symmetrie<\/h3>\n<ol>\n<li><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6eMaax9orAo&amp;t=630s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Betrachten Sie einen zylindrischen Leiter<\/span><\/strong><\/a>, der unendlich lang und gerade ist, den Radius <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R<\/span> besitzt und mit einer Ladungsdichte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> der Form\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho(r) = \\left\\{\\begin{array}{lll}\n\nkr &amp; ; &amp; r\\lt R \\\\ \\\\\n\n0 &amp; ; &amp; R\\lt r \\\\ \\\\\n\n\\end{array}\\right.<\/span>\n<p>aufgeladen ist, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> eine Konstante ist. Berechnen Sie das elektrische Feld im Inneren des Zylinders.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6eMaax9orAo&amp;t=1895s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Bestimmen Sie das elektrische Feld, das<\/span><\/strong><\/a> von einer unendlichen Ebene mit einer gleichm\u00e4\u00dfigen Fl\u00e4chenladungsdichte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma<\/span> erzeugt wird.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Der elektrische Fluss und das Gau\u00dfsche Gesetz In der Elektrostatik kann die Berechnung des elektrischen Feldes \u201evon Grund auf\u201c sehr aufwendig werden, wenn die Geometrie der Ladungsverteilung nicht trivial ist. Der elektrische Fluss und das Gau\u00dfsche Gesetz bieten einen intelligenteren Weg: Anstatt sich mit endlosen Integralen auseinanderzusetzen, w\u00e4hlt man eine geeignete geschlossene Oberfl\u00e4che und nutzt [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":35708,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":1,"footnotes":""},"categories":[1258,1252],"tags":[],"class_list":["post-35747","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-elektromagnetismus","category-physik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.4 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Der elektrische Fluss und das Gau\u00dfsche Gesetz - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Der elektrische Fluss misst, wie viel \u201eAustritt\u201c des Feldes eine Oberfl\u00e4che durchquert; das Gau\u00dfsche Gesetz verkn\u00fcpft ihn mit der eingeschlossenen Ladung \u222eE\u00b7dA = Qenc\/\u03b50\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/der-elektrische-fluss-und-das-gausssche-gesetz\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Der elektrische Fluss und das Gau\u00dfsche Gesetz\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Der elektrische Fluss misst, wie viel \u201eAustritt\u201c des Feldes eine Oberfl\u00e4che durchquert; 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