{"id":35695,"date":"2025-12-26T18:56:29","date_gmt":"2025-12-26T18:56:29","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=35695"},"modified":"2025-12-26T18:56:29","modified_gmt":"2025-12-26T18:56:29","slug":"was-ist-die-divisibilitaet","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/was-ist-die-divisibilitaet\/","title":{"rendered":"Was ist die Divisibilit\u00e4t?"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Divisibilit\u00e4t<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><br \/>\nDie <strong>Divisibilit\u00e4t<\/strong> ist der eigentliche Ausgangspunkt der Zahlentheorie, weil sie die ganzen Zahlen in ein System mit Struktur verwandelt: Man betrachtet Zahlen nicht mehr als blo\u00dfe \u201eMengen\u201c, sondern als Elemente, die zueinander passen oder nicht passen. Mit einer einzigen Struktur, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span>, lassen sich sowohl Kriterien der Vereinfachung und Faktorisierung als auch der Kern einiger Verfahren ausdr\u00fccken, etwa des euklidischen Algorithmus, der es erm\u00f6glicht, gr\u00f6\u00dfte gemeinsame Teiler selbst bei gro\u00dfen Zahlen in Sekunden zu berechnen. Dar\u00fcber hinaus bildet sie die technische Grundlage von Ideen, die in der angewandten Mathematik und der Informatik immer wieder auftreten: Kongruenzen, modulare Arithmetik, Validierungen, Codes und (in weiterer Folge) Kryptographie. Die Beherrschung der Divisibilit\u00e4t bedeutet im Wesentlichen, unsichtbare Muster in den ganzen Zahlen zu erkennen und sie in Verfahren zu \u00fcberf\u00fchren, die stets funktionieren.<br \/>\n<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><b>Lernziele<\/b><br \/>\nAm Ende dieses Skripts wird der Studierende in der Lage sein:\n<\/p>\n<ol>\n<li>die Teilbarkeitsrelation zwischen ganzen Zahlen zu <strong>verstehen<\/strong>.<\/li>\n<li>die Definition der Divisibilit\u00e4t und ihre Eigenschaften zu <strong>verstehen<\/strong>.<\/li>\n<li>mathematische Beweise von Ergebnissen und Theoremen im Zusammenhang mit der Divisibilit\u00e4t zu <strong>entwickeln<\/strong>.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><b><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u><\/b><br \/>\n<a href=\"#1\">Definition der Divisibilit\u00e4t<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Grundlegende Eigenschaften der Divisibilit\u00e4t<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Vorgeschlagene \u00dcbungen<\/a>\n<\/p>\n<p><center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/HLrwdLse18U?si=tDiiV02P7ppdb4xF\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\n<\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Definition der Divisibilit\u00e4t<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\nDie informelle Idee von \u201e<em>a teilt b<\/em>\u201c wird pr\u00e4zise, wenn wir sie als eine Relation zwischen ganzen Zahlen ausdr\u00fccken. Wir sagen, dass eine ganze Zahl <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> eine ganze Zahl <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> <strong>teilt<\/strong>, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> als ein exaktes Vielfaches von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> geschrieben werden kann. Diese Definition bildet die Grundlage des gesamten Skripts, da sie Aussagen der Art \u201epasst genau\u201c in ein \u00fcberpr\u00fcfbares Kriterium \u00fcberf\u00fchrt.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n<strong>Definition.<\/strong> Seien <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>. Wir sagen, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> teilt, und schreiben <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span>, genau dann, wenn es eine ganze Zahl <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> gibt, sodass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=ka<\/span><\/span>. Andernfalls schreiben wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\nmid b<\/span><\/span>.\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b := (\\exists k \\in \\mathbb{Z})(b = ka )<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">\nIn dieser Definition wird die Zahl <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> als <strong>Quotient<\/strong> (oder Faktor) bezeichnet, der mit der Divisibilit\u00e4t verkn\u00fcpft ist. Beispielsweise ist die Aussage <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">6\\mid 42<\/span><\/span> gleichbedeutend mit der Behauptung, dass es ein <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> gibt, sodass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">42=6k<\/span><\/span>; in diesem Fall gen\u00fcgt es, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=7<\/span><\/span> zu w\u00e4hlen.\n<\/p>\n<h3>Es ist wichtig zu ber\u00fccksichtigen<\/h3>\n<ul>\n<li>\n    Die Bedingung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span> ist wesentlich. W\u00fcrde man versuchen, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=0<\/span><\/span> zuzulassen, so w\u00fcrde die Teilbarkeitsbedingung verlangen, dass es ein <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> gibt, sodass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=0\\cdot k<\/span><\/span> gilt. Da jedoch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\cdot k=0<\/span><\/span> f\u00fcr jedes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> ist, w\u00e4re die einzige M\u00f6glichkeit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=0<\/span><\/span>. In diesem Fall g\u00e4be es kein durch die Relation \u201efestgelegtes\u201c <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span>, da jedes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> die Gleichung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0=0\\cdot k<\/span><\/span> erf\u00fcllt. Anders ausgedr\u00fcckt wird der informelle Ausdruck <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=b\/a<\/span><\/span> zu <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0\/0<\/span><\/span>, was nicht definiert ist. Um diese Degeneration zu vermeiden, bei der der Begriff des Quotienten seine Bedeutung verliert, fordert man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>. Aus diesem Grund wird die Relation <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\mid b<\/span><\/span> nicht als g\u00fcltig betrachtet.\n<\/li>\n<li>\n        Dagegen ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid 0<\/span><\/span> f\u00fcr jedes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span> wahr, da es gen\u00fcgt, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span> zu w\u00e4hlen, und dann <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0=a\\cdot 0<\/span><\/span> gilt.\n    <\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">\nAus dieser Definition folgt eine \u00c4quivalenz, die wir wiederholt verwenden werden: Zu sagen, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span> gilt, ist gleichbedeutend damit, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> zur Menge der ganzzahligen Vielfachen von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> geh\u00f6rt, das hei\u00dft <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\in a\\mathbb{Z}<\/span><\/span>, wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mathbb{Z}=\\{ak:\\,k\\in\\mathbb{Z}\\}<\/span><\/span> ist. Diese Schreibweise hebt hervor, dass die Divisibilit\u00e4t kein \u201eTrick\u201c ist, sondern eine Art, sehr strukturierte Teilmengen innerhalb von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{Z}<\/span><\/span> zu beschreiben.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Grundlegende Eigenschaften der Divisibilit\u00e4t<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Reflexivit\u00e4t:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid a<\/span><\/span>.<br \/>\n<u>Beweis<\/u>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n(1)&amp;\\vdash a=ka \\leftrightarrow k=1 &amp;\\text{; Multiplikatives Neutralelement in $\\mathbb{Z}$}\\\\\n\n(2)&amp;\\vdash(\\exists k \\in \\mathbb{Z})(a=ka) &amp;\\text{; Existentielle Einf\u00fchrung (1)}\\\\\n\n(3) &amp;\\vdash a \\mid a &amp;\\text{; Def. der Divisibilit\u00e4t (2)} \\\\\n\n&amp;\\blacksquare &amp;\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<\/li>\n<li><strong>Transitivit\u00e4t:<\/strong> wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\mid c<\/span><\/span>, dann <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid c<\/span><\/span>.\n<p><u>Beweis<\/u>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n(1)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k_1\\in\\mathbb{Z})(b=k_1a)  &amp;\\text{; Def. der Divisibilit\u00e4t, Voraussetzung}\\\\\n\n(2)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k_2\\in\\mathbb{Z})(c=k_2b)  &amp;\\text{; Def. der Divisibilit\u00e4t, Voraussetzung}\\\\\n\n(3)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k_1,k_2\\in\\mathbb{Z})(b=k_1a \\wedge c=k_2b)  &amp;\\text{; $\\exists$-Kompaktierung(1,2)}\\\\\n\n(4)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k_1,k_2\\in\\mathbb{Z})(k_2b=k_1k_2a \\wedge c=k_2b)  &amp;\\text{; Aus(3)}\\\\\n\n(5)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k_1,k_2\\in\\mathbb{Z})( c=k_1k_2a)  &amp;\\text{; Aus(4)}\\\\\n\n&amp;\\text{Algebra innerhalb des Quantors}&amp; \\\\\n\n(6)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k\\in\\mathbb{Z})( c=ka)  &amp;\\text{; Aus(5)}\\\\\n\n&amp;\\text{Abgeschlossenheit von $\\mathbb{Z}$ unter der Multiplikation}&amp; \\\\\n\n(7)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash a\\mid c  &amp;\\text{; Def. der Divisibilit\u00e4t (6)}\\\\\n\n(8)&amp; \\vdash (a\\mid b \\wedge  b\\mid c) \\rightarrow  a\\mid c  &amp;\\text{; $\\wedge$-TD(7)}\\\\\n\n&amp;\\blacksquare&amp;\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<\/li>\n<li><strong>Vertr\u00e4glichkeit mit Addition und Subtraktion:<\/strong> wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid c<\/span><\/span>, dann <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid (b+c)<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid (b-c)<\/span><\/span>.<br \/>\n<u>Beweis<\/u>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k_1 \\in \\mathbb{Z})(b=k_1 a) &amp;\\text{; Def. der Divisibilit\u00e4t, Voraussetzung}\\\\\n\n(2)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k_2 \\in \\mathbb{Z})(c=k_2 a) &amp;\\text{; Def. der Divisibilit\u00e4t, Voraussetzung}\\\\\n\n(3)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k_1, k_2 \\in \\mathbb{Z})(b=k_1 a \\wedge c=k_2 a) &amp;\\text{; $\\exists$-Kompaktierung(1,2)}\\\\\n\n(4)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k_1, k_2 \\in \\mathbb{Z})(b+c= (k_1+k_2)a) &amp;\\text{; Aus(3)}\\\\\n\n&amp;\\text{Algebra innerhalb des Quantors.}&amp; \\\\\n\n(5)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k \\in \\mathbb{Z})(b+c= ka) &amp;\\text{; Aus(4)}\\\\\n\n&amp;\\text{Abgeschlossenheit von $\\mathbb{Z}$ unter der Addition.}&amp; \\\\\n\n(6)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash a\\mid (b+c) &amp;\\text{; Def. der Divisibilit\u00e4t (5)}\\\\\n\n(7)&amp;\\vdash (a\\mid b \\wedge a\\mid c) \\rightarrow a\\mid (b+c) &amp;\\text{; $\\wedge$-TD(6)}\\\\\n\n(8)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k_1, k_2 \\in \\mathbb{Z})(b-c= (k_1-k_2)a) &amp;\\text{; Aus(3)}\\\\\n\n&amp;\\text{Algebra innerhalb des Quantors.}&amp; \\\\\n\n(9)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists \\overline{k} \\in \\mathbb{Z})(b-c= \\overline{k}a) &amp;\\text{; Aus(8)}\\\\\n\n&amp;\\text{Abgeschlossenheit von $\\mathbb{Z}$ unter der Subtraktion.}&amp; \\\\\n\n(10)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash a\\mid (b-c) &amp;\\text{; Def. der Divisibilit\u00e4t (9)}\\\\\n\n(11)&amp;\\vdash (a\\mid b \\wedge a\\mid c) \\rightarrow a\\mid (b-c) &amp;\\text{; $\\wedge$-TD(10)}\\\\\n\n(12)&amp;\\vdash (a\\mid b \\wedge a\\mid c) \\rightarrow \\left(a\\mid (b+c) \\wedge a\\mid (b-c)\\right) &amp;\\text{;$\\wedge$-Einf\u00fchrung im Konsequens(7,11) }\\\\\n\n&amp;\\blacksquare&amp;\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/li>\n<li><strong>Vertr\u00e4glichkeit mit Produkten:<\/strong> wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span>, dann <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid (bc)<\/span><\/span> f\u00fcr jedes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span>.<br \/>\n<u>Beweis<\/u>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n(1)&amp; \\{a\\mid b\\}\\vdash (\\exists k\\in\\mathbb{Z})(b=ka) &amp;\\text{; Def. der Divisibilit\u00e4t, Voraussetzung}\\\\\n\n(2)&amp; \\{a\\mid b\\}\\vdash \\left(\\forall c \\in \\mathbb{Z}\\right) (\\exists k\\in\\mathbb{Z})(cb=cka) &amp;\\text{; Aus(1), $\\forall$-Einf\u00fchrung (c beliebig)}\\\\\n\n&amp;\\text{Algebra in }\\mathbb{Z}\\text{ innerhalb des existenziellen Quantors.}&amp;\\\\\n\n(3)&amp; \\{a\\mid b\\}\\vdash \\left(\\forall c \\in \\mathbb{Z}\\right) (\\exists \\overline{k}\\in\\mathbb{Z})(cb=\\overline{k}a) &amp;\\text{; Aus(2), Abgeschlossenheit: }\\overline{k}=ck\\\\\n\n(4)&amp; \\{a\\mid b\\}\\vdash \\left(\\forall c \\in \\mathbb{Z}\\right) (a \\mid cb) &amp;\\text{; Def. der Divisibilit\u00e4t (3)}\\\\\n\n(5)&amp; \\vdash a\\mid b \\rightarrow \\left(\\forall c \\in \\mathbb{Z}\\right) (a \\mid cb) &amp;\\text{; TD(4)}\\\\\n\n&amp;\\blacksquare&amp;\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h3><b>Satz:<\/b> Schranke des Teilers<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">\nIst <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\neq 0<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span>, so gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|\\le |b|<\/span><\/span>.\n<\/p>\n<p><b>Beweis:<\/b><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash b \\neq 0\n\n&amp; \\text{; Voraussetzung} \\\\\n\n(2) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash (\\exists k \\in \\mathbb{Z}) (b=ka)\n\n&amp; \\text{; Def. der Divisibilit\u00e4t, Voraussetzung} \\\\\n\n(3) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash (\\exists k \\in \\mathbb{Z}) (|b|=|k||a|)\n\n&amp; \\text{; Eigenschaft des Absolutbetrags, aus (2)} \\\\\n\n(4) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash (\\exists k \\in \\mathbb{Z}) (k\\neq 0 \\wedge |b|=|k||a|)\n\n&amp; \\text{; Aus (1,3)} \\\\\n\n(5) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash (\\exists k \\in \\mathbb{Z}) (1\\le |k| \\wedge |b|=|k||a|)\n\n&amp; \\text{; Aus (4), denn }k\\neq 0\\Rightarrow |k|\\ge 1 \\\\\n\n(6) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash |a|\\le |b|\n\n&amp; \\text{; Aus (5)} \\\\\n\n&amp;\\blacksquare&amp;\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Vorgeschlagene \u00dcbungen<\/h2>\n<ol>\n<li>Zeigen Sie, dass der Satz \u201eSchranke des Teilers\u201c nicht notwendigerweise gilt, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=0<\/span><\/span>.<\/li>\n<li>Betrachten wir eine Menge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und eine Relation <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> auf dieser Menge. Sind die Elemente <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x,y\\in A<\/span><\/span> so beschaffen, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> durch <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> in Relation steht, so schreibt man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\rho y<\/span><\/span><\/span>. Die Relation <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> hei\u00dft eine <strong>partielle Ordnungsrelation<\/strong> auf <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span>, wenn gilt:\n<p>a)<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x\\in A) (x\\rho x)<\/span><\/span>,<br \/>\nb) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x,y\\in A) ( (x\\rho y \\wedge y\\rho x) \\rightarrow x=y)<\/span><\/span><br \/>\nc) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x,y,z\\in A) ( (x\\rho y \\wedge y\\rho z) \\rightarrow x\\rho z)<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Beweisen Sie, dass die Teilbarkeitsrelation eine partielle Ordnungsrelation auf den ganzen Zahlen ist.<\/li>\n<li>Beweisen Sie mittels Induktion, dass aus <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b_1, a\\mid b_2, \\cdots, a\\mid b_n<\/span><\/span> folgt, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid \\sum_{i=1}^n b_i x_i<\/span><\/span> f\u00fcr jede Menge <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{x_i\\}_{i=1}^n \\subset \\mathbb{Z}<\/span><\/span>. Beweisen Sie au\u00dferdem, dass, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b_i<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i\\in \\{1,2,3,\\cdots, n\\}<\/span><\/span> gilt und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span> als eine lineare Kombination dieser <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b_i<\/span><\/span> geschrieben werden kann, dann <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid c<\/span><\/span> gilt. <\/li>\n<li>Ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>, so zeigen Sie, dass die Menge <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{x\\;:\\; d\\mid a\\}<\/span><\/span> endlich ist.<\/li>\n<li>Betrachten Sie ein festes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\in\\mathbb{Z}^+<\/span><\/span>, und sei\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S=\\{d\\,:\\,d\\in\\mathbb{Z}^+ \\wedge d\\mid n\\}<\/span>\n<p>Beweisen Sie:<\/p>\n<ol>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d\\in S \\leftrightarrow n\/d\\in S<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"a\">Werden die Elemente von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> in aufsteigender Reihenfolge angeordnet: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1=d_1 \\lt d_2 \\lt \\cdots \\lt d_t =n<\/span><\/span>, so stehen die zugeh\u00f6rigen Elemente <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\mid d_i<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i \\in \\{1,2,\\cdots, t\\}<\/span><\/span> in absteigender Reihenfolge.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li>Seien <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}^+<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ab=c<\/span><\/span>. Beweisen Sie, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\min\\{a,b\\}\\le \\sqrt{c}<\/span><\/span> gilt.<\/li>\n<li>Eine ganze Zahl <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> hei\u00dft gerade, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2\\mid n<\/span><\/span>, und ungerade, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2\\nmid n<\/span><\/span>. Beweisen Sie, dass die Summe und die Differenz von:\n<ol>\n<li type=\"a\">zwei geraden Zahlen eine gerade Zahl ist.<\/li>\n<li type=\"a\">zwei ungeraden Zahlen eine gerade Zahl ist.<\/li>\n<li type=\"a\">einer geraden und einer ungeraden Zahl eine ungerade Zahl ist.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li>Ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> eine ungerade Zahl verschieden von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\pm 1<\/span><\/span>, so zeigen Sie, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> nicht zwei aufeinanderfolgende gerade Zahlen teilen kann.<\/li>\n<li>Seien <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,n\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> so, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a-b|\\lt |n|<\/span><\/span> gilt. Beweisen Sie, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> weder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> noch <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> teilen kann.<\/li>\n<li>Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span>. Beweisen Sie:\n<ol>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall n \\in \\mathbb{Z})(a\\mid n) \\leftrightarrow a=\\pm 1<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall n \\in \\mathbb{Z})(n\\mid a) \\leftrightarrow a=0<\/span><\/span><\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li>Seien <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> und nehmen wir an, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\neq 0<\/span><\/span>. Zeigen Sie, dass aus <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ac\\mid bc<\/span><\/span> folgt, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span> gilt. <\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Divisibilit\u00e4t Die Divisibilit\u00e4t ist der eigentliche Ausgangspunkt der Zahlentheorie, weil sie die ganzen Zahlen in ein System mit Struktur verwandelt: Man betrachtet Zahlen nicht mehr als blo\u00dfe \u201eMengen\u201c, sondern als Elemente, die zueinander passen oder nicht passen. 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