{"id":35628,"date":"2025-12-26T18:56:32","date_gmt":"2025-12-26T18:56:32","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=35628"},"modified":"2025-12-26T18:56:32","modified_gmt":"2025-12-26T18:56:32","slug":"que-es-la-divisibilidad","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/que-es-la-divisibilidad\/","title":{"rendered":"\u00bfQu\u00e9 es la Divisibilidad?"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Divisibilidad<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><br \/>\nLa <strong>divisibilidad<\/strong> es el punto de partida real de la teor\u00eda de n\u00fameros porque convierte a los enteros en un sistema con estructura: ya no miras n\u00fameros como \u201ccantidades\u201d, sino como piezas que encajan o no encajan entre s\u00ed. Con una sola estructura, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span>, puedes expresar desde criterios de simplificaci\u00f3n y factorizaci\u00f3n hasta el coraz\u00f3n de algunos procedimientos como el algoritmo de Euclides, que hace posible calcular m\u00e1ximos comunes divisores en segundos incluso con n\u00fameros grandes. Adem\u00e1s, es la base t\u00e9cnica de ideas que aparecen una y otra vez en matem\u00e1tica aplicada y computaci\u00f3n: congruencias, aritm\u00e9tica modular, validaciones, c\u00f3digos, y (m\u00e1s adelante) criptograf\u00eda. Dominar divisibilidad es, en esencia, aprender a detectar patrones invisibles en los enteros y a convertirlos en procedimientos que funcionan siempre.<br \/>\n<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><b>Objetivos de Aprendizaje<\/b><br \/>\nAl finalizar este apunte el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la relaci\u00f3n de divisibilidad entre n\u00fameros enteros.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la definici\u00f3n de divisibilidad y sus propiedades.<\/li>\n<li><strong>Desarrollar<\/strong> demostraciones matem\u00e1ticas de resultados y teoremas relacionados con la divisibilidad.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><b><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u><\/b><br \/>\n<a href=\"#1\">Definici\u00f3n de divisibilidad<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Propiedades fundamentales de la divisibilidad<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Ejercicios Propuestos<\/a>\n<\/p>\n<p><center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/HLrwdLse18U?si=tDiiV02P7ppdb4xF\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Definici\u00f3n de divisibilidad<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">\nLa idea informal de \u201c<em>a divide a b<\/em>\u201d se vuelve precisa cuando la expresamos como una relaci\u00f3n entre enteros. Diremos que un entero <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> <strong>divide<\/strong> a un entero <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> puede escribirse como un m\u00faltiplo exacto de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span>. Esta definici\u00f3n es la base del resto del apunte, porque transforma frases del tipo \u201cencaja exacto\u201d en un criterio verificable.\n<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\n<strong>Definici\u00f3n.<\/strong> Sean <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>. Decimos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span> divide a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span>, y escribimos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span>, si y solo si existe un entero <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=ka<\/span><\/span>. En caso contrario, escribimos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\nmid b<\/span><\/span>.\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b := (\\exists k \\in \\mathbb{Z})(b = ka )<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">\nEn esta definici\u00f3n, el n\u00famero <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> se llama <strong>cociente<\/strong> (o factor) asociado a la divisibilidad. Por ejemplo, afirmar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">6\\mid 42<\/span><\/span> equivale a afirmar que existe <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">42=6k<\/span><\/span>; en este caso, basta tomar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=7<\/span><\/span>.\n<\/p>\n<h3>Es importante considerar<\/h3>\n<ul>\n<li>\n    La condici\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span> es esencial. Porque si intent\u00e1ramos permitir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=0<\/span><\/span>, la condici\u00f3n de divisibilidad exigir\u00eda que existiera <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=0\\cdot k<\/span><\/span>. Pero <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\cdot k=0<\/span><\/span> para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span>, as\u00ed que la \u00fanica posibilidad ser\u00eda <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=0<\/span><\/span>. En ese caso, no habr\u00eda un <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/span> \u201cdeterminado\u201d por la relaci\u00f3n, ya que cualquier <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> satisface <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0=0\\cdot k<\/span><\/span>. Dicho de otra forma, la expresi\u00f3n informal <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=b\/a<\/span><\/span> se vuelve <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0\/0<\/span><\/span>, que no est\u00e1 definida. Para evitar esta degeneraci\u00f3n (donde la noci\u00f3n de cociente deja de ser significativa), se exige <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>. Por este motivo no se considera v\u00e1lida la relaci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\mid b<\/span><\/span>.\n<\/li>\n<li>\n        En cambio, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid 0<\/span><\/span> es verdadero para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>, porque basta tomar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span> y se cumple <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0=a\\cdot 0<\/span><\/span>.\n    <\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">\nDesde esta definici\u00f3n se desprende una equivalencia que usaremos de manera recurrente: decir que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span> es lo mismo que decir que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/span> pertenece al conjunto de m\u00faltiplos enteros de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span><\/span>, es decir, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\in a\\mathbb{Z}<\/span><\/span>, donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mathbb{Z}=\\{ak:\\,k\\in\\mathbb{Z}\\}<\/span><\/span>. Esta forma de escribirlo enfatiza que la divisibilidad no es un \u201ctruco\u201d, sino una forma de describir subconjuntos muy estructurados dentro de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{Z}<\/span><\/span>.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Propiedades fundamentales de la divisibilidad<\/h2>\n<ul>\n<li><strong>Reflexividad:<\/strong> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid a<\/span><\/span>.<br \/>\n<u>Demostraci\u00f3n<\/u>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n(1)&amp;\\vdash a=ka \\leftrightarrow k=1 &amp;\\text{; Neutro Multiplicativo en $\\mathbb{Z}$}\\\\\n\n(2)&amp;\\vdash(\\exists k \\in \\mathbb{Z})(a=ka) &amp;\\text{; Int. Exitencial (1)}\\\\\n\n(3) &amp;\\vdash a \\mid a &amp;\\text{; Def. de divisibilidad (2)} \\\\\n\n&amp;\\blacksquare &amp;\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<\/li>\n<li><strong>Transitividad:<\/strong> si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\mid c<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid c<\/span><\/span>.\n<p><u>Demostraci\u00f3n<\/u>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n(1)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k_1\\in\\mathbb{Z})(b=k_1a)  &amp;\\text{; Def. de divisibilidad, Presunci\u00f3n}\\\\\n\n(2)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k_2\\in\\mathbb{Z})(c=k_2b)  &amp;\\text{; Def. de divisibilidad, Presunci\u00f3n}\\\\\n\n(3)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k_1,k_2\\in\\mathbb{Z})(b=k_1a \\wedge c=k_2b)  &amp;\\text{; $\\exists$-Compactaci\u00f3n(1,2)}\\\\\n\n(4)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k_1,k_2\\in\\mathbb{Z})(k_2b=k_1k_2a \\wedge c=k_2b)  &amp;\\text{; De(3)}\\\\\n\n(5)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k_1,k_2\\in\\mathbb{Z})( c=k_1k_2a)  &amp;\\text{; De(4)}\\\\\n\n&amp;\\text{\u00c1lgebra dentro del cuantificador}&amp; \\\\\n\n(6)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash (\\exists k\\in\\mathbb{Z})( c=ka)  &amp;\\text{; De(5)}\\\\\n\n&amp;\\text{Cerradura de $\\mathbb{Z}$ para la multiplicaci\u00f3n}&amp; \\\\\n\n(7)&amp; \\{a\\mid b ,  b\\mid c\\} \\vdash a\\mid c  &amp;\\text{; Def. de divisibilidad (6)}\\\\\n\n(8)&amp; \\vdash (a\\mid b \\wedge  b\\mid c) \\rightarrow  a\\mid c  &amp;\\text{; $\\wedge$-TD(7)}\\\\\n\n&amp;\\blacksquare&amp;\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<\/li>\n<li><strong>Compatibilidad con suma y resta:<\/strong> si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid c<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid (b+c)<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid (b-c)<\/span><\/span>.<br \/>\n<u>Demostraci\u00f3n<\/u>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k_1 \\in \\mathbb{Z})(b=k_1 a) &amp;\\text{; Def. de divisibilidad, Presunci\u00f3n}\\\\\n\n(2)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k_2 \\in \\mathbb{Z})(c=k_2 a) &amp;\\text{; Def. de divisibilidad, Presunci\u00f3n}\\\\\n\n(3)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k_1, k_2 \\in \\mathbb{Z})(b=k_1 a \\wedge c=k_2 a) &amp;\\text{; $\\exists$-Compactaci\u00f3n(1,2)}\\\\\n\n(4)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k_1, k_2 \\in \\mathbb{Z})(b+c= (k_1+k_2)a) &amp;\\text{; De(3)}\\\\\n\n&amp;\\text{\u00c1lgebra dentro del cuantificador.}&amp; \\\\\n\n(5)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k \\in \\mathbb{Z})(b+c= ka) &amp;\\text{; De(4)}\\\\\n\n&amp;\\text{Cerradura de $\\mathbb{Z}$ para la suma.}&amp; \\\\\n\n(6)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash a\\mid (b+c) &amp;\\text{; Def, de divisibilidad (5)}\\\\\n\n(7)&amp;\\vdash (a\\mid b \\wedge a\\mid c) \\rightarrow a\\mid (b+c) &amp;\\text{; $\\wedge$-TD(6)}\\\\\n\n(8)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists k_1, k_2 \\in \\mathbb{Z})(b-c= (k_1-k_2)a) &amp;\\text{; De(3)}\\\\\n\n&amp;\\text{\u00c1lgebra dentro del cuantificador.}&amp; \\\\\n\n(9)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash (\\exists \\overline{k} \\in \\mathbb{Z})(b-c= \\overline{k}a) &amp;\\text{; De(8)}\\\\\n\n&amp;\\text{Cerradura de $\\mathbb{Z}$ para la resta.}&amp; \\\\\n\n(10)&amp;\\{a\\mid b, a\\mid c\\}\\vdash a\\mid (b-c) &amp;\\text{; Def, de divisibilidad (9)}\\\\\n\n(11)&amp;\\vdash (a\\mid b \\wedge a\\mid c) \\rightarrow a\\mid (b-c) &amp;\\text{; $\\wedge$-TD(10)}\\\\\n\n(12)&amp;\\vdash (a\\mid b \\wedge a\\mid c) \\rightarrow \\left(a\\mid (b+c) \\wedge a\\mid (b-c)\\right) &amp;\\text{;$\\wedge$-Int. en consecuente(7,11) }\\\\\n\n&amp;\\blacksquare&amp;\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/li>\n<li><strong>Compatibilidad con productos:<\/strong> si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid (bc)<\/span><\/span> para todo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span>.<br \/>\n<u>Demostraci\u00f3n<\/u>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n(1)&amp; \\{a\\mid b\\}\\vdash (\\exists k\\in\\mathbb{Z})(b=ka) &amp;\\text{; Def. de divisibilidad, Presunci\u00f3n}\\\\\n\n(2)&amp; \\{a\\mid b\\}\\vdash \\left(\\forall c \\in \\mathbb{Z}\\right) (\\exists k\\in\\mathbb{Z})(cb=cka) &amp;\\text{; De(1), $\\forall$-Int (c arbitrario)}\\\\\n\n&amp;\\text{\u00c1lgebra en }\\mathbb{Z}\\text{ dentro del cuantificador existencial.}&amp;\\\\\n\n(3)&amp; \\{a\\mid b\\}\\vdash \\left(\\forall c \\in \\mathbb{Z}\\right) (\\exists \\overline{k}\\in\\mathbb{Z})(cb=\\overline{k}a) &amp;\\text{; De(2), cerradura: }\\overline{k}=ck\\\\\n\n(4)&amp; \\{a\\mid b\\}\\vdash \\left(\\forall c \\in \\mathbb{Z}\\right) (a \\mid cb) &amp;\\text{; Def. de divisibilidad (3)}\\\\\n\n(5)&amp; \\vdash a\\mid b \\rightarrow \\left(\\forall c \\in \\mathbb{Z}\\right) (a \\mid cb) &amp;\\text{; TD(4)}\\\\\n\n&amp;\\blacksquare&amp;\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h3><b>Teorema:<\/b> cota del divisor<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">\nSi <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b\\neq 0<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a|\\le |b|<\/span><\/span>.\n<\/p>\n<p><b>Demostraci\u00f3n:<\/b><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash b \\neq 0\n\n&amp; \\text{; Presunci\u00f3n} \\\\\n\n(2) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash (\\exists k \\in \\mathbb{Z}) (b=ka)\n\n&amp; \\text{; Def. de divisibilidad, Presunci\u00f3n} \\\\\n\n(3) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash (\\exists k \\in \\mathbb{Z}) (|b|=|k||a|)\n\n&amp; \\text{; Prop. valor absoluto, De(2)} \\\\\n\n(4) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash (\\exists k \\in \\mathbb{Z}) (k\\neq 0 \\wedge |b|=|k||a|)\n\n&amp; \\text{; De(1,3)} \\\\\n\n(5) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash (\\exists k \\in \\mathbb{Z}) (1\\le |k| \\wedge |b|=|k||a|)\n\n&amp; \\text{; De(4), si }k\\neq 0\\Rightarrow |k|\\ge 1 \\\\\n\n(6) &amp;\\{b\\in \\mathbb{Z}\\setminus\\{0\\} , a\\mid b\\}\\vdash |a|\\le |b|\n\n&amp; \\text{; De(5)} \\\\\n\n&amp;\\blacksquare&amp;\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Ejercicios Propuestos<\/h2>\n<ol>\n<li>Muestre que el teorema \u00abcota del divisor\u00bb no es necesariamente cierto si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b=0<\/span><\/span><\/li>\n<li>Consideremos un conjunto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> y una relaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> sobre ese conjunto. Si los elementos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x,y\\in A<\/span> fueran tales que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> est\u00e1 relacionado con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> mediante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span>, entonces  se escribe <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\rho y<\/span><\/span><\/span>. La relaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> se dice que es <strong>de orden parcial<\/strong> sobre <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> si:\n<p>a)<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x\\in A) (x\\rho x)<\/span><\/span>,<br \/>\nb) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x,y\\in A) ( (x\\rho y \\wedge y\\rho x) \\rightarrow x=y)<\/span><\/span><br \/>\nc) <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x,y,z\\in A) ( (x\\rho y \\wedge y\\rho z) \\rightarrow x\\rho z)<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Demuestra que la relaci\u00f3n de divisibilidad es una relac\u00edon de orden parcial sobre los n\u00fameros enteros.<\/li>\n<li>Pruebe por inducci\u00f3n que si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b_1, a\\mid b_2, \\cdots, a\\mid b_n<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid \\sum_{i=1}^n b_i x_i<\/span><\/span> para cualquier conjunto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{x_i\\}_{i=1}^n \\subset \\mathbb{Z}<\/span><\/span>. Ademas pruebe que si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b_i<\/span><\/span>, con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i\\in \\{1,2,3,\\cdots, n\\}<\/span><\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span> puede ser escrito como una combinaci\u00f3n lineal de esos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b_i<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid c<\/span><\/span>. <\/li>\n<li>Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span><\/span>, muestre que el conjunto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{x\\;:\\; d\\mid a\\}<\/span><\/span> es un conjunto finito.<\/li>\n<li>Considere un <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\in\\mathbb{Z}^+<\/span><\/span> fijo, y sea\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S=\\{d\\,:\\,d\\in\\mathbb{Z}^+ \\wedge d\\mid n\\}<\/span>\n<p>Pruebe:<\/p>\n<ol>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d\\in S \\leftrightarrow n\/d\\in S<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"a\">Si los elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> son puestos en orden creciente: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1=d_1 \\lt d_2 \\lt \\cdots \\lt d_t =n<\/span><\/span>, entonces los elementos correspondientes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\mid d_i<\/span><\/span> con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i \\in \\{1,2,\\cdots, t\\}<\/span><\/span> est\u00e1n en orden decreciente.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li>Suponga que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b\\in\\mathbb{Z}^+<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ab=c<\/span><\/span>. Demuestre que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\min\\{a,b\\}\\le \\sqrt{c}<\/span><\/span>.<\/li>\n<li>Un entero <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> se dice que es par si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2\\mid n<\/span><\/span>, e impar si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2\\nmid n<\/span><\/span>. Demuestre que la suma y la diferencia de:\n<ol>\n<li type=\"a\">dos pares es un n\u00famero par.<\/li>\n<li type=\"a\">dos impares es un n\u00famero par.<\/li>\n<li type=\"a\">de un par y un impar es un n\u00famero impar.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> es un impar distinto de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\pm 1<\/span><\/span>, prueba que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> no puede dividir dos pares consecutivos.<\/li>\n<li>Sean <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,n\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> tales que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|a-b|\\lt |n|<\/span><\/span>. Pruebe que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> no puede dividir ni a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> ni a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span>.<\/li>\n<li>Suponga que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span>. Pruebe que:\n<ol>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall n \\in \\mathbb{Z})(a\\mid n) \\leftrightarrow a=\\pm 1<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall n \\in \\mathbb{Z})(n\\mid a) \\leftrightarrow a=0<\/span><\/span><\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<li>Sean <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> y supongamos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\neq 0<\/span><\/span>. Muestre que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ac\\mid bc<\/span><\/span> implica que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\mid b<\/span><\/span> <\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Divisibilidad La divisibilidad es el punto de partida real de la teor\u00eda de n\u00fameros porque convierte a los enteros en un sistema con estructura: ya no miras n\u00fameros como \u201ccantidades\u201d, sino como piezas que encajan o no encajan entre s\u00ed. 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