{"id":35406,"date":"2021-09-30T13:00:47","date_gmt":"2021-09-30T13:00:47","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=35406"},"modified":"2025-12-29T00:03:41","modified_gmt":"2025-12-29T00:03:41","slug":"el-flujo-electrico-y-la-ley-de-gauss","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/el-flujo-electrico-y-la-ley-de-gauss\/","title":{"rendered":"El Flujo El\u00e9ctrico y la Ley de Gauss"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>El Flujo El\u00e9ctrico y la Ley de Gauss<\/h1>\n<p>\nEn electrost\u00e1tica, calcular el campo el\u00e9ctrico \u201cdesde cero\u201d puede volverse muy costoso cuando la geometr\u00eda de la distribuci\u00f3n de carga no es trivial. El flujo el\u00e9ctrico y la Ley de Gauss ofrecen una v\u00eda m\u00e1s inteligente: en lugar de pelear con integrales interminables, eliges una superficie cerrada adecuada y aprovechas la simetr\u00eda del sistema para obtener resultados limpios y verificables. En la pr\u00e1ctica, esto se traduce en menos pasos, menos errores y m\u00e1s control conceptual sobre lo que est\u00e1s haciendo. Si quieres pasar de \u201cs\u00e9 la receta\u201d a \u201centiendo el m\u00e9todo\u201d, aqu\u00ed vas a ver c\u00f3mo Gauss convierte problemas que parecen pesados en soluciones directas, y cu\u00e1ndo realmente conviene usarla.\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><b>Objetivos de Aprendizaje<\/b><\/p>\n<ol>\n<li><strong>Explicar<\/strong> el funcionamiento de la ley de Gauss para el campo el\u00e9ctrico.<\/li>\n<li><strong>Utilizar<\/strong> la ley de Gauss para calcular campos el\u00e9ctricos aprovechando las simetr\u00edas de las coordenadas cartesianas, cil\u00edndricas y esf\u00e9ricas.<\/li>\n<li><strong>Relacionar<\/strong> la forma integral y diferencial mediante el Teorema de la Divergencia, identificando qu\u00e9 representa cada t\u00e9rmino.<\/li>\n<li><strong>Contrastar<\/strong> el enfoque de Gauss con el c\u00e1lculo directo por integral de Coulomb, explicando cu\u00e1ndo reduce complejidad y cu\u00e1ndo no entrega una soluci\u00f3n cerrada.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><b><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/b><br \/>\nResoluci\u00f3n de la electrost\u00e1tica<br \/>\nL\u00edneas de campo el\u00e9ctrico<br \/>\nNota sobre la densidad de las l\u00edneas de campo y su representaci\u00f3n<br \/>\nFlujo de Campo El\u00e9ctrico<br \/>\nLey de Gauss<\/p>\n<p>Ejercicios: C\u00e1lculo de campos el\u00e9ctricos con simetr\u00eda esf\u00e9rica<br \/>\nSimetr\u00edas espaciales<br \/>\nEjercicios: C\u00e1lculo de campos el\u00e9ctricos con simetr\u00eda cil\u00edndrica y planar\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/b96XremJiKQ\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>Resoluci\u00f3n de la electrost\u00e1tica<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=128s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Con lo revisado hasta ahora tenemos que<\/span><\/strong><\/a> basta conocer la forma del elemento de campo el\u00e9ctrico y su distribuci\u00f3n en el espacio para determinar el campo el\u00e9ctrico total. Si tenemos una distribuci\u00f3n volum\u00e9trica, entonces<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\vec{E}(\\vec{r}) = \\int_V d\\vec{E}(\\vec{r})= \\int_V \\frac{\\rho(\\vec{r}^\\prime)}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{\\vec{r}-\\vec{r}^\\prime}{\\|\\vec{r}-\\vec{r}^\\prime\\|^3}dV<\/span>\n<p>donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho(\\vec{r}^\\prime)<\/span><\/span> es la densidad volum\u00e9trica de carga. En caso de tener una densidad superficial o lineal de carga, reemplazaremos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma<\/span> o <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lambda<\/span>, respectivamente. Desde este punto en adelante, lo que determina si podemos o no encontrar el campo el\u00e9ctrico es si logramos o no resolver la integral.<\/p>\n<p>Aunque plantear el problema suele ser directo, m\u00e1s temprano que tarde descubriremos que no siempre es f\u00e1cil evaluarlo. De hecho, gran parte del estudio de la electrost\u00e1tica consiste en desarrollar estrategias que permitan evitar el c\u00e1lculo de integrales innecesariamente complicadas. Muchas de estas simplificaciones provienen del an\u00e1lisis vectorial, en particular del uso de la divergencia.<\/p>\n<h2>L\u00edneas de campo el\u00e9ctrico<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=235s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Antes de introducir el an\u00e1lisis vectorial<\/span><\/strong><\/a> en nuestro estudio de la electrost\u00e1tica, presentaremos algunas ideas que ayudar\u00e1n a volver el tema un poco m\u00e1s intuitivo. Me refiero a las <strong>l\u00edneas de campo el\u00e9ctrico<\/strong>.<\/p>\n<p>Partamos por lo m\u00e1s sencillo: el campo el\u00e9ctrico de una carga puntual ubicada en el origen de coordenadas. Este es de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\vec{E}(\\vec{r}) = \\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{q}{\\|\\vec{r}\\|^2}\\hat{r}<\/span>\n<p>Esto nos permite representar el campo el\u00e9ctrico en el espacio como un conjunto de \u00abflechas\u00bb cuya direcci\u00f3n y tama\u00f1o describen la direcci\u00f3n e intensidad del campo el\u00e9ctrico en cada punto.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEhlkOkwoYFrKYwfidmawFFb60AlBumv8u2irJnN87xYJnTfY7h2U1HL3Hzfh7kQZHhyctM7r70IfEXZkh0faUjZrGr3H_h6xrjeED-GqV39v_t2OzPD0zD9sjlm9t_twIEuaJcte9qhEGIKH3Bzn7a_AZ1rCh53DFunFLiXm09JalAMYQNAjKjv3oOosA\" width=\"400\" height=\"300\" alt=\"Campo el\u00e9ctrico de una carga puntual en forma de vectores\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEhlkOkwoYFrKYwfidmawFFb60AlBumv8u2irJnN87xYJnTfY7h2U1HL3Hzfh7kQZHhyctM7r70IfEXZkh0faUjZrGr3H_h6xrjeED-GqV39v_t2OzPD0zD9sjlm9t_twIEuaJcte9qhEGIKH3Bzn7a_AZ1rCh53DFunFLiXm09JalAMYQNAjKjv3oOosA\" width=\"400\" height=\"300\" alt=\"Campo el\u00e9ctrico de una carga puntual en forma de vectores\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p>Dado que la intensidad del campo el\u00e9ctrico decae con el cuadrado de la distancia al origen, los vectores se hacen cada vez m\u00e1s peque\u00f1os a medida que nos alejamos. Adem\u00e1s, apuntan radialmente desde la carga hacia afuera.<\/p>\n<p>Esta representaci\u00f3n es \u00fatil, pero existe otra a\u00fan m\u00e1s informativa: \u00abconectar el continuo de flechas\u00bb para formar un campo de l\u00edneas. De este modo, no ser\u00e1 el largo de las flechas lo que indicar\u00e1 la intensidad del campo el\u00e9ctrico, sino la \u00abdensidad de l\u00edneas de campo\u00bb en el diagrama.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEgebGCEuU6Akvc8M-p8m0FjK-a1AGtq4H7A2fAuy1r6M08uAnWQRYJfHIRtcRAvGt3CQZHCI7EwCHv3os55aZpef1KDTHFDiS2Sf8nvyXH_ctiildMSeSK-suC7al5kbGmFReywKsEJh1GVsHDtTqRShAyiJZFQER2fKav4wOcn9z8q7zjmjk3T07UHTQ\" width=\"400\" height=\"300\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEgebGCEuU6Akvc8M-p8m0FjK-a1AGtq4H7A2fAuy1r6M08uAnWQRYJfHIRtcRAvGt3CQZHCI7EwCHv3os55aZpef1KDTHFDiS2Sf8nvyXH_ctiildMSeSK-suC7al5kbGmFReywKsEJh1GVsHDtTqRShAyiJZFQER2fKav4wOcn9z8q7zjmjk3T07UHTQ\" width=\"400\" height=\"300\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<h3>Nota sobre la densidad de las l\u00edneas de campo y su representaci\u00f3n<\/h3>\n<p>Antes de continuar, conviene notar un detalle sobre el diagrama de l\u00edneas de campo el\u00e9ctrico. Este tipo de representaci\u00f3n no es del todo fiel cuando se dibuja en un plano (2D). En un dibujo 2D, si consideramos un c\u00edrculo de radio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span>, el n\u00famero total de l\u00edneas se reparte sobre el per\u00edmetro de la circunferencia, de modo que la densidad lineal es<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{n}{2\\pi r}<\/span>\n<p>Esto decae con respecto a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> y no con respecto a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r^2<\/span><\/span>, como se espera que lo haga la intensidad del campo el\u00e9ctrico. Sin embargo, si interpretamos el modelo en tres dimensiones (como un erizo), entonces el n\u00famero total de l\u00edneas quedar\u00eda dividido por la superficie de una esfera<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{n}{4\\pi r^2}<\/span>\n<p>y esto s\u00ed decae respecto a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r^2<\/span><\/span>. En otras palabras, aunque la representaci\u00f3n de l\u00edneas de campo se realice habitualmente en 2 dimensiones, lo que en realidad se pretende sintetizar es una situaci\u00f3n en 3 dimensiones. Simplemente no tenemos papel en tres dimensiones para dibujarla: representamos en 2D lo que queremos comunicar en 3D.<\/p>\n<h2>Flujo de Campo El\u00e9ctrico<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=665s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Cuando nos preguntamos por el n\u00famero<\/span><\/strong><\/a> de l\u00edneas de campo el\u00e9ctrico que cruzan una determinada superficie, la respuesta viene dada por el flujo del campo el\u00e9ctrico sobre esa superficie. As\u00ed, se define el flujo el\u00e9ctrico de un campo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{E}<\/span><\/span> sobre una superficie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> como<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi_{\\vec{E},S} =\\displaystyle \\int_S \\vec{E}\\cdot d\\vec{S}<\/span>\n<p>No debemos dejarnos enga\u00f1ar por la noci\u00f3n intuitiva de \u00abn\u00famero de l\u00edneas de campo el\u00e9ctrico que cruzan una superficie\u00bb. Recordemos que ese n\u00famero de l\u00edneas (o densidad de l\u00edneas) es una forma de representar la intensidad del campo el\u00e9ctrico. Por lo tanto, el flujo el\u00e9ctrico que calculamos es una magnitud escalar asociada a la intensidad de campo el\u00e9ctrico que atraviesa la superficie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span>.<\/p>\n<h3>Ley de Gauss<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=758s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Dado que la intensidad del campo el\u00e9ctrico<\/span><\/strong><\/a> es proporcional a la carga el\u00e9ctrica, deber\u00edamos poder expresar el flujo el\u00e9ctrico sobre una superficie que encierra cierta carga como una cantidad proporcional a la carga encerrada. De hecho, no es dif\u00edcil demostrar que as\u00ed ocurre. Consideremos la siguiente figura:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEgGcCL8WVnhwXmxDkhsW5W31AyJiEsJDsVZZDNm1kQ-MREYYaaBvYb7CBkGSCkfPgiNbDGFP-R4LHr_9pH6ijy0Ji7m1VgzO2pjJwjFDOqAd61VGMJfb4CDfmGyn9uacon7VcpXlB9cd7ZltDUEc3fhDQ86PuKqQb7kN-JuNgGxInlRKiyY91nU2zHfIg\" width=\"500\" height=\"400\" alt=\"Flujo el\u00e9ctrico en una superficie cerrada\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEgGcCL8WVnhwXmxDkhsW5W31AyJiEsJDsVZZDNm1kQ-MREYYaaBvYb7CBkGSCkfPgiNbDGFP-R4LHr_9pH6ijy0Ji7m1VgzO2pjJwjFDOqAd61VGMJfb4CDfmGyn9uacon7VcpXlB9cd7ZltDUEc3fhDQ86PuKqQb7kN-JuNgGxInlRKiyY91nU2zHfIg\" width=\"500\" height=\"400\" alt=\"Flujo el\u00e9ctrico en una superficie cerrada\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p>A partir de esto se tiene que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\oint_S \\vec{E}\\cdot d\\vec{S} &amp;= \\displaystyle \\oint_S \\left(\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0} \\frac{q_{enc}}{\\|\\vec{r}\\|^2}\\hat{r} \\right)\\cdot d\\vec{S} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\frac{q_{enc}}{4\\pi\\epsilon_0} \\oint_S \\frac{\\hat{r}}{\\|\\vec{r}\\|^2}\\cdot d\\vec{S} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\frac{q_{enc}}{4\\pi\\epsilon_0} \\underbrace{\\oint_S d{\\Omega}}_{= 4\\pi} = \\frac{q_{enc}}{\\epsilon_0}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEjLQhqvLJZMuQHfXHj_WYfbajP9PYwVdNgs4eVflg_jQAJSFu5czNfBgMBTWOWXCE5Tx3-DYwrs8eNpOuJoflvQYbUwpl3BG4BaZxJdnJirqRPsbZM00TfnzyGQvuAimfenB3GUYnEJdZDh2xiXWX5ftu0bN-UYH3G4rydnrnBqEpKDNnNXgdpi5EP81w\" width=\"400\" height=\"300\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEjLQhqvLJZMuQHfXHj_WYfbajP9PYwVdNgs4eVflg_jQAJSFu5czNfBgMBTWOWXCE5Tx3-DYwrs8eNpOuJoflvQYbUwpl3BG4BaZxJdnJirqRPsbZM00TfnzyGQvuAimfenB3GUYnEJdZDh2xiXWX5ftu0bN-UYH3G4rydnrnBqEpKDNnNXgdpi5EP81w\" width=\"400\" height=\"300\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p>En s\u00edntesis, obtenemos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\color{blue}{\\oint_S \\vec{E}\\cdot d\\vec{S} = \\frac{q_{enc}}{\\epsilon_0}}<\/span>\n<p>Esta es la <strong>Ley de Gauss para el campo el\u00e9ctrico en su forma integral<\/strong>, y muestra una relaci\u00f3n de proporcionalidad entre el flujo el\u00e9ctrico a trav\u00e9s de una superficie cerrada y la carga encerrada. N\u00f3tese que la he presentado en su \u00abforma integral\u00bb para remarcar que tambi\u00e9n existe una forma diferencial, la cual se obtiene usando el Teorema de la Divergencia de Gauss en el contexto del an\u00e1lisis vectorial.<\/p>\n<div style=\"background-color: #c0ffc0; padding: 20px;\">\n<h4>Teorema de la Divergencia de Gauss<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=1007s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}<\/span><\/span> es un campo vectorial diferenciable<\/span><\/strong><\/a> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> es una superficie cerrada que encierra un volumen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span>, entonces se cumple que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\oint_S\\vec{F}\\cdot d\\vec{S} = \\int_V (\\vec{\\nabla}\\cdot \\vec{F})dV<\/span>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=b96XremJiKQ&amp;t=1055s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Aplicando el teorema de la divergencia<\/span><\/strong><\/a> al flujo del campo el\u00e9ctrico sobre la superficie cerrada <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> se tiene que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\oint_S\\vec{E}\\cdot d\\vec{S} = \\int_V (\\vec{\\nabla}\\cdot\\vec{E})dV = \\frac{q_{enc}}{\\epsilon_0}<\/span>\n<p>Por otro lado, tambi\u00e9n se tiene<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{q_{enc}}{\\epsilon_0} = \\int_V \\frac{\\rho}{\\epsilon_0} dV<\/span>\n<p>A partir de estas \u00faltimas dos ecuaciones, se obtiene finalmente que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\vec{\\nabla}\\cdot\\vec{E} = \\frac{\\rho}{\\epsilon_0}}<\/span>\n<p>Esta es la <strong>Ley de Gauss para el campo el\u00e9ctrico en su forma diferencial.<\/strong><\/p>\n<p>Ahora podemos valernos de la Ley de Gauss para aprovechar mejor las simetr\u00edas geom\u00e9tricas de algunos problemas y simplificar, en gran medida, el c\u00e1lculo de las integrales que conducen al campo el\u00e9ctrico.<\/p>\n<h2>Problemas con simetr\u00eda esf\u00e9rica<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/04itEuVNDN4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<ol>\n<li>Encontrar el campo el\u00e9ctrico a una distancia <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">z<\/span> del centro de una superficie esf\u00e9rica de radio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R<\/span> que tiene una densidad de carga uniforme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma<\/span>. Analice ambos casos: cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">z\\lt R<\/span><\/span>, y cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">z\\geq R<\/span><\/span>.<\/li>\n<li>Haga el mismo an\u00e1lisis que en el ejercicio anterior, pero ahora considerando una esfera maciza y cargada uniformemente con una densidad volum\u00e9trica <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span>. Luego confeccione un gr\u00e1fico de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{E}\\|<\/span><\/span> en funci\u00f3n de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">z<\/span>.<\/li>\n<li>Supongamos que el campo el\u00e9ctrico, a una distancia <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> del origen de coordenadas, es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{E}=kr^2\\hat{r}<\/span><\/span>, con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> constante. Encuentre la densidad de carga <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> asociada a dicho campo.<\/li>\n<\/ol>\n<h2>M\u00e1s Simetr\u00edas<\/h3>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/6eMaax9orAo\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6eMaax9orAo&amp;t=122s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">La ley de Gauss siempre es verdadera<\/span><\/strong><\/a>, pero no siempre es \u00fatil. En los ejemplos anteriores, si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> no fuera uniforme, si no tuvi\u00e9ramos simetr\u00eda esf\u00e9rica, o si se eligiera otra figura para la superficie gaussiana, seguir\u00eda siendo cierto que el flujo el\u00e9ctrico es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_{enc}\/\\epsilon_0<\/span><\/span>, pero el campo el\u00e9ctrico no tendr\u00eda por qu\u00e9 ser constante ni estar orientado en la misma direcci\u00f3n que el elemento <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d\\vec{S}<\/span><\/span>; y sin estas condiciones no podemos extraer <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{E}\\|<\/span><\/span> de la integral.<\/p>\n<p>La simetr\u00eda es crucial en la aplicaci\u00f3n de la Ley de Gauss en la resoluci\u00f3n de problemas.<\/p>\n<p>Existen muchos tipos de simetr\u00edas que podemos aprovechar. Entre todas ellas, las siguientes tres son las m\u00e1s frecuentes:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Simetr\u00eda esf\u00e9rica:<\/strong> La superficie gaussiana es una esfera conc\u00e9ntrica.<\/li>\n<li><strong>Simetr\u00eda cil\u00edndrica:<\/strong> La superficie gaussiana es un cilindro coaxial.<\/li>\n<li><strong>Simetr\u00eda planar:<\/strong> La superficie gaussiana es una caja rectangular.<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Problemas con con simetr\u00eda cil\u00edndrica y planar<\/h3>\n<ol>\n<li><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6eMaax9orAo&amp;t=630s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Considere un cable cil\u00edndrico<\/span><\/strong><\/a> infinitamente largo, recto, de radio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R<\/span> y cargado con una densidad de carga <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho<\/span> de la forma\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\rho(r) = \\left\\{\\begin{array}{lll}\n\nkr &amp; ; &amp; r\\lt R \\\\ \\\\\n\n0 &amp; ; &amp; R\\lt r \\\\ \\\\\n\n\\end{array}\\right.<\/span>\n<p>donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> es una constante. Calcule el campo el\u00e9ctrico en el interior del cilindro.<\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=6eMaax9orAo&amp;t=1895s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Encontrar el campo el\u00e9ctrico que produce<\/span><\/strong><\/a> un plano infinito provisto de una densidad uniforme de carga <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma<\/span>.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El Flujo El\u00e9ctrico y la Ley de Gauss En electrost\u00e1tica, calcular el campo el\u00e9ctrico \u201cdesde cero\u201d puede volverse muy costoso cuando la geometr\u00eda de la distribuci\u00f3n de carga no es trivial. 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