{"id":35291,"date":"2024-12-20T13:00:28","date_gmt":"2024-12-20T13:00:28","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=35291"},"modified":"2025-12-11T17:08:55","modified_gmt":"2025-12-11T17:08:55","slug":"weierstrass-satz-ueber-die-extremalwerte","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/weierstrass-satz-ueber-die-extremalwerte\/","title":{"rendered":"Weierstrass\u2019 Satz \u00fcber die Extremalwerte"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Weierstrass\u2019 Satz \u00fcber die Extremalwerte<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>Warum wird in so vielen Optimierungsproblemen beinahe selbstverst\u00e4ndlich angenommen, dass \u201eein Maximum existiert\u201c oder dass \u201ees stets ein Minimum\u201c auf einem bestimmten Intervall gibt, obwohl in Wirklichkeit nichts erzwingt, dass dies eintreten muss? Der <strong>Weierstrass\u2019sche Satz<\/strong> ist das fehlende St\u00fcck dieses Puzzles: Er garantiert, dass eine auf einem abgeschlossenen und beschr\u00e4nkten Intervall definierte stetige Funktion nicht nur beschr\u00e4nkt ist, sondern ihre Extremwerte tats\u00e4chlich annimmt. In diesem Beitrag \u00fcberpr\u00fcfen wir seine Formulierung, konstruieren ausf\u00fchrlich einen strengen Beweis, der auf punktweiser Stetigkeit, Kompaktheit und dem Supremumsaxiom basiert, und erl\u00e4utern seine moderne Interpretation im Rahmen stetiger Funktionen auf kompakten Mengen. Die Idee besteht darin, dass du am Ende den Satz nicht nur als eine Aussage erinnerst, sondern verstehst, warum er wahr ist und warum er immer wieder in der Analysis, in der Optimierung und in angewandten Modellen auftaucht.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><b>Lernziele<\/b><\/p>\n<ol>\n<li>\n    <strong>Das Verst\u00e4ndnis des Weierstrass\u2019schen Satzes.<\/strong><br \/>\n    Die Voraussetzungen des Satzes (stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschr\u00e4nkten Intervall <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span>) sowie seine Hauptaussagen: Beschr\u00e4nktheit und Existenz von Maximum und Minimum, pr\u00e4zise identifizieren.\n  <\/li>\n<li>\n    <strong>Den Weierstrass\u2019schen Satz im Sinne der Kompaktheit interpretieren.<\/strong><br \/>\n    Das Ergebnis in moderner Sprache formulieren: Stetige Funktionen bilden kompakte Mengen auf Mengen ab, auf denen Extremwerte angenommen werden, wodurch der Fall <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span> mit dem allgemeinen Rahmen der reellen Analysis verkn\u00fcpft wird.\n  <\/li>\n<li>\n    <strong>Den Weierstrass\u2019schen Satz mit Optimierungsproblemen in Beziehung setzen.<\/strong><br \/>\n    Die Rolle des Satzes als theoretische Grundlage f\u00fcr die Existenz von Maxima und Minima in vielen Optimierungsproblemen einer Variablen erkennen, sowohl in theoretischen als auch in angewandten Kontexten.\n  <\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><b><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/b><br \/>\n<a href=\"#1\"><b>Einleitung<\/b><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><b>Formulierung des Weierstrass\u2019schen Satzes<\/b><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Beweis<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Schritt 1: Punktweise Stetigkeit auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Schritt 2: Offene \u00dcberdeckung, die mit der Stetigkeit verbunden ist<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Schritt 3: Kompaktheit von <span dir=\"ltr\">[a,b]<\/span> und endliche Teil\u00fcberdeckung<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Schritt 4: Konstruktion eines <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span>, das nicht von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> abh\u00e4ngt (gleichm\u00e4\u00dfige Stetigkeit)<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\">Schritt 5: Von gleichm\u00e4\u00dfiger Stetigkeit zur Beschr\u00e4nktheit von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/a><br \/>\n<a href=\"#9\">Schritt 6: Existenz von Maximum und Minimum<\/a><br \/>\n<a href=\"#10\"><b>Interpretation im Sinne der Kompaktheit und Schlussfolgerung<\/b><\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/N5mSrhJgCds\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Einleitung<\/h2>\n<p>\nDer <strong>Weierstrass\u2019sche Satz \u00fcber die Extremalwerte<\/strong> geh\u00f6rt zu jenen Resultaten, die zwar gew\u00f6hnlich in den ersten Kapiteln der reellen Analysis erscheinen, in Wirklichkeit jedoch einen gro\u00dfen Teil der angewandten Mathematik stillschweigend tragen. Immer dann, wenn in Physik, Wirtschaft oder Statistik davon die Rede ist, eine Gr\u00f6\u00dfe unter bestimmten Nebenbedingungen zu \u201emaximieren\u201c oder zu \u201eminimieren\u201c, verwenden wir im Hintergrund eine Idee, die eng mit derjenigen verkn\u00fcpft ist, welche dieser Satz garantiert: Eine auf einem abgeschlossenen und beschr\u00e4nkten Intervall definierte stetige Funktion <strong>ist nicht nur beschr\u00e4nkt, sondern nimmt ihre Extremalwerte tats\u00e4chlich an<\/strong>.\n<\/p>\n<p>\nIntuitiv mag es \u201eoffensichtlich\u201c erscheinen, dass, wenn wir eine stetige Kurve \u00fcber einem Segment <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> zeichnen, es dann einen h\u00f6chsten und einen tiefsten Punkt geben muss. Dennoch gen\u00fcgt es, kleine \u00c4nderungen in den Voraussetzungen vorzunehmen, damit diese Intuition spektakul\u00e4r scheitert: Wenn wir das Intervall \u00f6ffnen, wenn die Funktion nicht mehr stetig ist oder wenn der Definitionsbereich unbeschr\u00e4nkt ist, k\u00f6nnen die Maxima und Minima schlichtweg verschwinden. Der Weierstrass\u2019sche Satz bringt Ordnung in diese Intuition und sagt uns pr\u00e4zise, <em>wann<\/em> wir uns auf sie verlassen k\u00f6nnen und <em>warum<\/em>.\n<\/p>\n<p>\nAus theoretischer Sicht ist dieser Satz die erste ernsthafte Begegnung mit der Idee der <strong>Kompaktheit<\/strong>: In moderner Sprache besagt er, dass eine stetige Funktion kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet. Aus praktischer Sicht \u00fcbersetzt sich dies in die Existenz von L\u00f6sungen f\u00fcr viele Optimierungsprobleme in einer Dimension und wird ein entscheidender Baustein f\u00fcr sp\u00e4tere Resultate wie den <b>Mittelwertsatz<\/b> und letztlich f\u00fcr ein ruhiges Verst\u00e4ndnis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung sein.\n<\/p>\n<p>\nIn diesem Abschnitt formulieren wir den Weierstrass\u2019schen Satz und entwickeln ausf\u00fchrlich seinen Beweis, wobei wir uns auf die Stetigkeit in <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> und das Supremumsaxiom st\u00fctzen. Die Idee ist, dass dir dieser Text als solide Referenz dient: sowohl zum Studium des Ergebnisses selbst als auch als Grundlage, zu der du zur\u00fcckkehren kannst, wann immer du ihn zum Beweis anderer S\u00e4tze oder zur strengen Rechtfertigung der Existenz von Maxima und Minima in konkreten Problemen ben\u00f6tigst.\n<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Formulierung des Weierstrass\u2019schen Satzes<\/h2>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify; background-color: #e0e0ff;\">\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=N5mSrhJgCds&amp;t=439s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Jede definierte Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span><\/strong><\/a> und stetig auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b],<\/span><\/span> ist beschr\u00e4nkt und besitzt Minimal- und Maximalwerte, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span>, sodass f\u00fcr <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span> gilt: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)\\in[m,M]<\/span><\/span>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/p>\n<h3>Beweis<\/h3>\n<p>\nWir wollen zeigen, dass wenn <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f:[a,b]\\to\\mathbb{R}<\/span><\/span><\/strong> auf dem abgeschlossenen und beschr\u00e4nkten Intervall <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> stetig ist, dann ist <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> beschr\u00e4nkt und nimmt auf <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> sowohl einen Maximal- als auch einen Minimalwert an. Den Beweis unterteilen wir in zwei Hauptteile:\n<\/p>\n<ul>\n<li>Zun\u00e4chst zeigen wir, dass die Stetigkeit von <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> auf <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> impliziert, dass <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> <em>gleichm\u00e4\u00dfig stetig<\/em> ist, und daraus folgern wir, dass sie <strong>beschr\u00e4nkt<\/strong> ist.<\/li>\n<li>Anschlie\u00dfend beweisen wir mithilfe des Supremumsaxioms, dass <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> auf dem Intervall ihre Maximal- und Minimalwerte annimmt.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Schritt 1:<\/b> Punktweise Stetigkeit auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/h4>\n<p>\nNach Voraussetzung ist <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> in jedem Punkt <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> stetig. Nach der Definition der Stetigkeit mittels <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span> bedeutet dies:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n(\\forall x_0\\in[a,b])(\\forall \\epsilon\\gt 0)(\\exists \\delta(x_0)\\gt 0)\n\n\\big(|x-x_0|\\lt\\delta(x_0)\\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\\lt\\epsilon\\big).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nAn dieser Stelle kann die Zahl <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta(x_0)<\/span><\/span><\/strong> vom Punkt <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong> abh\u00e4ngen. Unser unmittelbares Ziel wird es sein, aus diesen <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta(x_0)<\/span><\/span><\/strong> eine einzige Zahl <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span><\/strong> zu konstruieren, die nicht von <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong> abh\u00e4ngt und gleichzeitig f\u00fcr alle Punkte des Intervalls funktioniert.\n<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Schritt 2:<\/b> Offene \u00dcberdeckung, die mit der Stetigkeit verbunden ist<\/h4>\n<p>\nWir fixieren ein beliebiges <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon\\gt 0<\/span><\/span><\/strong>. F\u00fcr jedes <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> erlaubt uns die Stetigkeit von <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong>, eine Zahl <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta(x_0)\\gt 0<\/span><\/span><\/strong> so zu w\u00e4hlen, dass\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x-x_0|\\lt\\delta(x_0)\\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\\lt\\frac{\\epsilon}{2}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nAuf Grundlage dieser Werte definieren wir f\u00fcr jedes <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> ein offenes Intervall\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nI_{x_0}=\\left(x_0-\\frac{\\delta(x_0)}{2},\\,x_0+\\frac{\\delta(x_0)}{2}\\right).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nJedes <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{x_0}<\/span><\/span><\/strong> ist eine offene Menge in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span>, und zudem bildet die Familie\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n\\{I_{x_0}\\}_{x_0\\in[a,b]}\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\neine <strong>offene \u00dcberdeckung<\/strong> von <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>. Denn zu jedem beliebigen Punkt <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> gen\u00fcgt es, <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0=y<\/span><\/span><\/strong> zu setzen; aufgrund der Konstruktion gilt <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y\\in I_y<\/span><\/span><\/strong>. Somit geh\u00f6rt jeder Punkt des Intervalls zu mindestens einer der offenen Mengen <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{x_0}<\/span><\/span><\/strong>.\n<\/p>\n<p>\nDiese Familie offener Mengen ist im Allgemeinen <strong>unendlich<\/strong> (es gibt eine f\u00fcr jedes <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>). Hier kommt nun die Kompaktheit von <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> ins Spiel.\n<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Schritt 3:<\/b> Kompaktheit von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span> und endliche Teil\u00fcberdeckung<\/h4>\n<p>\nNach dem Satz von Heine\u2013Borel ist eine Teilmenge von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span><\/span> genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschr\u00e4nkt ist. Das Intervall <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> ist abgeschlossen und beschr\u00e4nkt, also kompakt. Nach der Definition der Kompaktheit bedeutet dies:\n<\/p>\n<p>\nAus <strong>jeder<\/strong> offenen \u00dcberdeckung von <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> (auch wenn sie unendlich viele Mengen enth\u00e4lt) l\u00e4sst sich eine <strong>endliche Teil\u00fcberdeckung<\/strong> ausw\u00e4hlen.\n<\/p>\n<p>\nWenden wir diese Eigenschaft auf die offene \u00dcberdeckung <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{I_{x_0}\\}_{x_0\\in[a,b]}<\/span><\/span><\/strong> an, so folgen existierende Punkte <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1,\\dots,x_N\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>, sodass die entsprechenden Intervalle\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nI_{x_1},\\, I_{x_2},\\,\\dots,\\,I_{x_N}\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\ndecken weiterhin das gesamte Intervall ab:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n[a,b]\\subset I_{x_1}\\cup I_{x_2}\\cup\\cdots\\cup I_{x_N}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nDamit sind wir von einer unendlichen Familie offener Intervalle zu einer Teil\u00fcberdeckung mit nur <strong>endlich vielen<\/strong> Intervallen \u00fcbergegangen, ohne die Eigenschaft zu verlieren, <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> vollst\u00e4ndig zu \u00fcberdecken.\n<\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Schritt 4:<\/b> Konstruktion eines <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span>, das nicht von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> abh\u00e4ngt (gleichm\u00e4\u00dfige Stetigkeit)<\/h4>\n<p>\nAus der endlichen Teil\u00fcberdeckung definieren wir die Zahl\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n\\delta=\\min\\left\\{\\frac{\\delta(x_1)}{2},\\frac{\\delta(x_2)}{2},\\dots,\\frac{\\delta(x_N)}{2}\\right\\}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nDa es sich um das Minimum endlich vieler positiver Zahlen handelt, gilt <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta\\gt 0<\/span><\/span><\/strong>. Wir werden sehen, dass dieses <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span><\/strong> f\u00fcr <strong>jeden<\/strong> Punkt <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> funktioniert, das hei\u00dft, es h\u00e4ngt nicht von der Wahl von <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong> ab.\n<\/p>\n<p>\nBetrachten wir nun:\n<\/p>\n<ul>\n<li>einen beliebigen Punkt <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> und<\/li>\n<li>einen Punkt <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> mit der Eigenschaft <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x-x_0|\\lt\\delta<\/span><\/span><\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>\nDa die Intervalle <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{x_1},\\dots,I_{x_N}<\/span><\/span><\/strong> <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> \u00fcberdecken, geh\u00f6rt der Punkt <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong> mindestens zu einem dieser Intervalle, sagen wir zu <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{x_j}<\/span><\/span><\/strong> f\u00fcr ein <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">j\\in\\{1,\\dots,N\\}<\/span><\/span><\/strong>. Nach der Definition von <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{x_j}<\/span><\/span><\/strong> bedeutet dies:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x_0-x_j|\\lt\\frac{\\delta(x_j)}{2}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nAu\u00dferdem gilt nach der Definition von <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span><\/span><\/strong> die Ungleichung <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta\\le\\frac{\\delta(x_j)}{2}<\/span><\/span><\/strong>, sodass aus <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x-x_0|\\lt\\delta<\/span><\/span><\/strong> folgt:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x-x_0|\\lt\\frac{\\delta(x_j)}{2}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nWenden wir die Dreiecksungleichung an,\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x-x_j|\\le |x-x_0|+|x_0-x_j|\n\n\\lt \\frac{\\delta(x_j)}{2}+\\frac{\\delta(x_j)}{2}\n\n=\\delta(x_j).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nNach der Wahl von <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta(x_j)<\/span><\/span><\/strong> (Stetigkeit von <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> in <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_j<\/span><\/span><\/strong> f\u00fcr den Wert <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon\/2<\/span><\/span><\/strong>) implizieren die Ungleichungen <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x_0-x_j|\\lt\\delta(x_j)<\/span><\/span><\/strong> und <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x-x_j|\\lt\\delta(x_j)<\/span><\/span><\/strong>,\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|f(x_0)-f(x_j)|\\lt\\frac{\\epsilon}{2}\n\n\\quad\\text{und}\\quad\n\n|f(x)-f(x_j)|\\lt\\frac{\\epsilon}{2}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nMit der Dreiecksungleichung erhalten wir schlie\u00dflich\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|f(x)-f(x_0)|\n\n\\le |f(x)-f(x_j)| + |f(x_j)-f(x_0)|\n\n\\lt \\frac{\\epsilon}{2}+\\frac{\\epsilon}{2}\n\n=\\epsilon.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nDa <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong> und <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/strong> beliebig waren, haben wir gezeigt, dass f\u00fcr das zu Beginn festgelegte <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon<\/span><\/strong> ein <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta\\gt 0<\/span><\/span><\/strong> existiert, das unabh\u00e4ngig von <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong> ist und f\u00fcr alle Punkte gilt:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n(\\forall x_0\\in[a,b])(\\forall x\\in[a,b])\n\n\\big(|x-x_0|\\lt\\delta\\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\\lt\\epsilon\\big).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nWenn wir nun <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong> als <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span><\/strong> bezeichnen, l\u00e4sst sich dies wie folgt schreiben:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n(\\forall \\epsilon\\gt 0)(\\exists \\delta\\gt 0)(\\forall x,y\\in[a,b])\n\n\\big(|x-y|\\lt\\delta\\Rightarrow |f(x)-f(y)|\\lt\\epsilon\\big),\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nDies ist genau die Definition der <strong>gleichm\u00e4\u00dfigen Stetigkeit<\/strong> von <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> auf <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>. Im Folgenden werden wir dieses Resultat nur f\u00fcr den Fall <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon=1<\/span><\/span><\/strong> anwenden.\n<\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Schritt 5:<\/b> Von gleichm\u00e4\u00dfiger Stetigkeit zur Beschr\u00e4nktheit von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/h4>\n<p>\nWenden wir nun die gleichm\u00e4\u00dfige Stetigkeit mit <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon=1<\/span><\/span><\/strong> an. Dann existiert eine Zahl <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta_1\\gt 0<\/span><\/span><\/strong>, sodass f\u00fcr alle <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x,y\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> gilt:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x-y|\\lt\\delta_1\\Rightarrow |f(x)-f(y)|\\lt 1.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nWir teilen nun das Intervall <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> in endlich viele Teilintervalle auf, deren L\u00e4nge kleiner als <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta_1<\/span><\/span><\/strong> ist. Das hei\u00dft, wir w\u00e4hlen eine ganze Zahl <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/strong> und Punkte\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\na = x_0 \\lt x_1 \\lt \\cdots \\lt x_n = b\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nso dass f\u00fcr jedes <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0,1,\\dots,n-1<\/span><\/span><\/strong> gilt:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nx_{k+1}-x_k\\lt\\delta_1.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nWir betrachten nun die endliche Menge der Werte\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n\\{f(x_0),f(x_1),\\dots,f(x_{n-1})\\}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nDa es sich um eine endliche Menge reeller Zahlen handelt, k\u00f6nnen wir problemlos definieren:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nC = \\max\\{|f(x_k)| \\;|\\; k=0,1,\\dots,n-1\\}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nWir zeigen nun, dass <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C+1<\/span><\/span><\/strong> eine obere Schranke im Absolutwert f\u00fcr <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> auf dem gesamten Intervall <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> ist. Sei <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> ein beliebiger Punkt. Dann existiert ein Index <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/strong> mit <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[x_k,x_{k+1}]<\/span><\/span><\/strong>. Insbesondere gilt:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x-x_k|\\le x_{k+1}-x_k\\lt\\delta_1.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nNach der gleichm\u00e4\u00dfigen Stetigkeit mit <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon=1<\/span><\/span><\/strong> folgt aus <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x-x_k|\\lt\\delta_1<\/span><\/span><\/strong>, dass\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|f(x)-f(x_k)|\\lt 1.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nWenden wir nun die Dreiecksungleichung an:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|f(x)|\\le |f(x)-f(x_k)| + |f(x_k)| \\lt 1 + |f(x_k)| \\le 1 + C.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nDa <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> beliebig war, erhalten wir:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|f(x)|\\le C+1 \\quad \\text{f\u00fcr alle } x\\in[a,b],\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\ndas hei\u00dft, die Funktion <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> ist auf <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> <strong>beschr\u00e4nkt<\/strong>.\n<\/p>\n<p><a name=\"9\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Schritt 6:<\/b> Existenz von Maximal- und Minimalwerten<\/h4>\n<p>\nWir definieren die Menge der Funktionswerte auf dem Intervall:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nH=\\{f(x)\\;|\\;x\\in[a,b]\\}\\subset\\mathbb{R}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nWir wissen bereits, dass <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span><\/strong> nicht leer und beschr\u00e4nkt ist (da <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> nicht leer ist), und daher existieren nach dem Supremumsaxiom reelle Zahlen\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nM=\\sup H,\\qquad m=\\inf H.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nWir zeigen nun, dass <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span><\/strong> als Funktionswert erreicht wird, das hei\u00dft, dass ein <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> existiert mit <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_1)=M<\/span><\/span><\/strong>. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch.\n<\/p>\n<p>\nAngenommen, <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span><\/strong> erreiche den Wert <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span><\/strong> niemals, das hei\u00dft:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n(\\forall x\\in[a,b])\\big(f(x)\\lt M\\big).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nUnter dieser Annahme ist die Funktion\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\ng(x)=\\frac{1}{M-f(x)}\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nwohldefiniert und positiv f\u00fcr jedes <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>, da nach Voraussetzung <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M-f(x)\\gt 0<\/span><\/span><\/strong>. Au\u00dferdem ist <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span><\/strong> stetig, da <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> stetig ist und <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span><\/strong> konstant. Nach dem ersten Teil des Beweises ist jede stetige Funktion auf <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> beschr\u00e4nkt, sodass eine Zahl <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N\\gt 0<\/span><\/span><\/strong> existiert mit\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n(\\forall x\\in[a,b])\\big(g(x)\\le N\\big).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nInsbesondere gilt f\u00fcr jedes <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n\\frac{1}{M-f(x)} = g(x)\\le N,\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nwas \u00e4quivalent ist zu\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nM-f(x)\\ge \\frac{1}{N}\n\n\\quad\\Rightarrow\\quad\n\nf(x)\\le M-\\frac{1}{N}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nDies bedeutet, dass alle Werte von <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span><\/strong> auf <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> kleiner oder gleich <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M-\\frac{1}{N}<\/span><\/span><\/strong> sind. Insbesondere erf\u00fcllt das Supremum von <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span><\/strong>:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n\\sup H\\le M-\\frac{1}{N}\\lt M,\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nwas der Definition von <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span><\/strong> als Supremum von <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span><\/strong> widerspricht. Daher war unsere Annahme falsch, und es muss einen Punkt <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> geben mit\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nf(x_1)=M.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nEin v\u00f6llig analoges Argument, angewandt auf das Infimum <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=\\inf H<\/span><\/span><\/strong> (etwa durch Betrachtung der Funktion <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h(x)=-f(x)<\/span><\/span><\/strong>), zeigt, dass ein Punkt <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> existiert mit\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nf(x_2)=m.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p><a name=\"10\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Interpretation im Sinne der Kompaktheit und Schlussfolgerung<\/h2>\n<p>\nWir haben gezeigt, dass jede stetige Funktion <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f:[a,b]\\to\\mathbb{R}<\/span><\/span><\/strong> beschr\u00e4nkt ist und ihre Maximal- und Minimalwerte auf <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> annimmt. In der modernen Sprache der Analysis interpretiert man dies so, dass in <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span><\/span><\/strong> abgeschlossene und beschr\u00e4nkte Intervalle wie <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> kompakte Mengen sind und stetige Funktionen kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbilden.\n<\/p>\n<p>\nInsbesondere gilt: Wenn <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/strong> kompakt ist und <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> auf <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/strong> stetig ist, dann ist das Bild <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(I)<\/span><\/span><\/strong> eine kompakte Teilmenge von <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span><\/span><\/strong>. Dies garantiert, dass <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(I)<\/span><\/span><\/strong> beschr\u00e4nkt ist und dass darin tats\u00e4chlich ein Maximal- und ein Minimalwert erreicht werden, was genau dem Inhalt des Weierstrass\u2019schen Satzes entspricht.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Weierstrass\u2019 Satz \u00fcber die Extremalwerte Warum wird in so vielen Optimierungsproblemen beinahe selbstverst\u00e4ndlich angenommen, dass \u201eein Maximum existiert\u201c oder dass \u201ees stets ein Minimum\u201c auf einem bestimmten Intervall gibt, obwohl in Wirklichkeit nichts erzwingt, dass dies eintreten muss? 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