{"id":35223,"date":"2024-12-20T13:00:22","date_gmt":"2024-12-20T13:00:22","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=35223"},"modified":"2025-12-11T17:05:56","modified_gmt":"2025-12-11T17:05:56","slug":"teorema-de-weierstrass-de-los-valores-extremos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/teorema-de-weierstrass-de-los-valores-extremos\/","title":{"rendered":"Teorema de Weierstrass de los Valores Extremos"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Teorema de Weierstrass de los Valores Extremos<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em>\u00bfPor qu\u00e9 en tantos problemas de optimizaci\u00f3n se da casi por sentado que \u201cel m\u00e1ximo existe\u201d o que \u201csiempre hay un m\u00ednimo\u201d en cierto intervalo, cuando en realidad nada obliga a que eso ocurra? El <strong>Teorema de Weierstrass<\/strong> es la pieza que faltaba en ese rompecabezas: garantiza que una funci\u00f3n continua definida en un intervalo cerrado y acotado no solo est\u00e1 acotada, sino que alcanza efectivamente sus valores extremos. En esta entrada revisamos su enunciado, construimos con detalle una demostraci\u00f3n rigurosa basada en continuidad puntual, compacidad y el axioma del supremo, y comentamos su interpretaci\u00f3n moderna en t\u00e9rminos de funciones continuas sobre conjuntos compactos. La idea es que al terminar no solo recuerdes el teorema como una frase, sino que entiendas por qu\u00e9 es cierto y por qu\u00e9 aparece una y otra vez en an\u00e1lisis, en optimizaci\u00f3n y en modelos aplicados.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><b>Objetivos de aprendizaje<\/b><\/p>\n<ol>\n<li>\n    <strong>Comprender el enunciado del Teorema de Weierstrass.<\/strong><br \/>\n    Identificar con precisi\u00f3n las hip\u00f3tesis del teorema (funci\u00f3n continua en un intervalo cerrado y acotado <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span>) y sus conclusiones principales: acotaci\u00f3n y existencia de valores m\u00e1ximo y m\u00ednimo.\n  <\/li>\n<li>\n    <strong>Interpretar el Teorema de Weierstrass en t\u00e9rminos de compacidad.<\/strong><br \/>\n    Formular el resultado en lenguaje moderno: las funciones continuas env\u00edan conjuntos compactos en conjuntos donde los valores extremos se alcanzan, conectando el caso de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span> con el marco general de an\u00e1lisis real.\n  <\/li>\n<li>\n    <strong>Relacionar el Teorema de Weierstrass con problemas de optimizaci\u00f3n.<\/strong><br \/>\n    Reconocer el papel del teorema como fundamento te\u00f3rico para la existencia de m\u00e1ximos y m\u00ednimos en muchos problemas de optimizaci\u00f3n en una variable, tanto en contextos te\u00f3ricos como aplicados.\n  <\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><b><u>INDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/b><br \/>\n<a href=\"#1\"><b>Introduccion<\/b><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><b>Enunciado del Teorema de Weierstrass<\/b><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Demostraci\u00f3n<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Paso 1: Continuidad puntual en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Paso 2: Recubrimiento abierto asociado a la continuidad<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Paso 3: Compacidad de <span dir=\"ltr\">[a,b]<\/span> y subrecubrimiento finito<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Paso 4: Construcci\u00f3n de un <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span> que no depende de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> (continuidad uniforme)<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\">Paso 5: De continuidad uniforme a acotaci\u00f3n de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/a><br \/>\n<a href=\"#9\">Paso 6: Existencia de valores m\u00e1ximo y m\u00ednimo<\/a><br \/>\n<a href=\"#10\"><b>Interpretaci\u00f3n en t\u00e9rminos de compacidad y conclusi\u00f3n<\/b><\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/N5mSrhJgCds\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<p>\nEl <strong>Teorema de Weierstrass de los Valores Extremos<\/strong> es uno de esos resultados que, si bien suele aparecer en las primeras unidades de An\u00e1lisis Real, en realidad sostiene silenciosamente una enorme parte de la matem\u00e1tica aplicada. Cada vez que en f\u00edsica, econom\u00eda o estad\u00edstica hablamos de \u00abmaximizar\u00bb o \u00abminimizar\u00bb una cantidad sujeta a ciertas restricciones, en el fondo estamos usando una idea muy cercana a la que garantiza este teorema: que una funci\u00f3n continua definida en un intervalo cerrado y acotado <strong>no solo est\u00e1 acotada, sino que alcanza efectivamente sus valores extremos<\/strong>.\n<\/p>\n<p>\nIntuitivamente puede parecer \u00abobvio\u00bb que si dibujamos una curva continua sobre un segmento <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>, entonces debe existir un punto m\u00e1s alto y uno m\u00e1s bajo. Sin embargo, basta hacer peque\u00f1os cambios en las hip\u00f3tesis para que esta intuici\u00f3n falle de forma estrepitosa: si abrimos el intervalo, si la funci\u00f3n deja de ser continua o si el dominio no es acotado, los m\u00e1ximos y m\u00ednimos pueden simplemente desaparecer. El Teorema de Weierstrass pone orden en esta intuici\u00f3n y nos dice con precisi\u00f3n <em>cu\u00e1ndo<\/em> podemos confiar en ella y <em>por qu\u00e9<\/em>.\n<\/p>\n<p>\nDesde el punto de vista te\u00f3rico, este teorema es el primer encuentro serio con la idea de <strong>compacidad<\/strong>: en lenguaje moderno, lo que est\u00e1 diciendo es que una funci\u00f3n continua transforma conjuntos compactos en conjuntos compactos. Desde el punto de vista pr\u00e1ctico, esto se traduce en la existencia de soluciones para muchos problemas de optimizaci\u00f3n en una dimensi\u00f3n, y ser\u00e1 una pieza clave para resultados posteriores como el <b>Teorema del Valor Medio<\/b> y, en \u00faltima instancia, para entender con calma el Teorema Fundamental del C\u00e1lculo.\n<\/p>\n<p>\nEn este apartado enunciaremos el Teorema de Weierstrass y desarrollaremos con detalle su demostraci\u00f3n, apoy\u00e1ndonos en la noci\u00f3n de continuidad en <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> y en el axioma del supremo. La idea es que este texto te sirva como referencia s\u00f3lida: tanto para estudiar el resultado en s\u00ed, como para volver a \u00e9l cada vez que necesites usarlo al demostrar otros teoremas o al justificar rigurosamente la existencia de m\u00e1ximos y m\u00ednimos en problemas concretos.\n<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Enunciado del Teorema de Weierstrass<\/h2>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: justify; background-color: #e0e0ff;\">\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=N5mSrhJgCds&amp;t=439s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Toda funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> definida<\/span><\/strong><\/a> y continua en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b],<\/span><\/span> es acotada y tiene valores m\u00ednimo y m\u00e1ximo, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span>, tales que si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)\\in[m,M]<\/span><\/span>.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/p>\n<h3>Demostraci\u00f3n<\/h3>\n<p>\nProbemos que si <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f:[a,b]\\to\\mathbb{R}<\/span><\/span><\/strong> es continua en el intervalo cerrado y acotado <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>, entonces <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> es acotada y alcanza un valor m\u00e1ximo y un valor m\u00ednimo en <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>. Dividiremos la demostraci\u00f3n en dos grandes partes:\n<\/p>\n<ul>\n<li>Primero, mostraremos que la continuidad de <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> en <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> implica que <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> es <em>uniformemente continua<\/em>, y a partir de ello deduciremos que es <strong>acotada<\/strong>.<\/li>\n<li>Luego, usando el axioma del supremo, probaremos que <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> alcanza sus valores m\u00e1ximo y m\u00ednimo en el intervalo.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Paso 1:<\/b> Continuidad puntual en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/h4>\n<p>\nPor hip\u00f3tesis, <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> es continua en cada punto <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>. Por definici\u00f3n de continuidad en t\u00e9rminos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span>, esto significa que:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n(\\forall x_0\\in[a,b])(\\forall \\epsilon\\gt 0)(\\exists \\delta(x_0)\\gt 0)\n\n\\big(|x-x_0|\\lt\\delta(x_0)\\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\\lt\\epsilon\\big).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nEn este punto, el n\u00famero <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta(x_0)<\/span><\/span><\/strong> puede depender del punto <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong>. Nuestro objetivo inmediato ser\u00e1 construir, a partir de estos <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta(x_0)<\/span><\/span><\/strong>, un \u00fanico n\u00famero <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span><\/strong> que no dependa de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong> y que funcione a la vez para todos los puntos del intervalo.\n<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Paso 2:<\/b> Recubrimiento abierto asociado a la continuidad<\/h4>\n<p>\nFijemos un <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon\\gt 0<\/span><\/span><\/strong> cualquiera. Para cada <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>, la continuidad de <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> nos permite escoger un n\u00famero <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta(x_0)\\gt 0<\/span><\/span><\/strong> tal que\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x-x_0|\\lt\\delta(x_0)\\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\\lt\\frac{\\epsilon}{2}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nA partir de estos valores definimos, para cada <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>, un intervalo abierto\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nI_{x_0}=\\left(x_0-\\frac{\\delta(x_0)}{2},\\,x_0+\\frac{\\delta(x_0)}{2}\\right).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nCada <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{x_0}<\/span><\/span><\/strong> es un conjunto abierto en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span> y, adem\u00e1s, la familia\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n\\{I_{x_0}\\}_{x_0\\in[a,b]}\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nforma un <strong>recubrimiento abierto<\/strong> de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>. En efecto, dado un punto cualquiera <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>, basta tomar <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0=y<\/span><\/span><\/strong>; por construcci\u00f3n, <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y\\in I_y<\/span><\/span><\/strong>. As\u00ed, cada punto del intervalo pertenece al menos a uno de los abiertos <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{x_0}<\/span><\/span><\/strong>.\n<\/p>\n<p>\nEsta familia de abiertos es, en general, <strong>infinita<\/strong> (hay uno por cada <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>). Aqu\u00ed es donde entra en juego la compacidad de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>.\n<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Paso 3:<\/b> Compacidad de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span> y subrecubrimiento finito<\/h4>\n<p>\nSabemos por el Teorema de Heine\u2013Borel que un subconjunto de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span><\/span> es compacto si y solo si es cerrado y acotado. El intervalo <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> es cerrado y acotado, luego es compacto. Por definici\u00f3n de compacidad, esto significa que:\n<\/p>\n<p>\nDe <strong>todo<\/strong> recubrimiento abierto de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> (aunque tenga infinitos conjuntos) se puede extraer un <strong>subrecubrimiento finito<\/strong>.\n<\/p>\n<p>\nAplicando esta propiedad al recubrimiento abierto <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{I_{x_0}\\}_{x_0\\in[a,b]}<\/span><\/span><\/strong>, se sigue que existen puntos <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1,\\dots,x_N\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> tales que los intervalos correspondientes\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nI_{x_1},\\, I_{x_2},\\,\\dots,\\,I_{x_N}\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nsiguen recubriendo todo el intervalo:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n[a,b]\\subset I_{x_1}\\cup I_{x_2}\\cup\\cdots\\cup I_{x_N}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nHemos pasado as\u00ed de una familia infinita de intervalos abiertos a un subrecubrimiento con solo <strong>un n\u00famero finito<\/strong> de intervalos, sin perder la propiedad de recubrir <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>.\n<\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Paso 4:<\/b> Construcci\u00f3n de un <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span> que no depende de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> (continuidad uniforme)<\/h4>\n<p>\nA partir del subrecubrimiento finito definimos el n\u00famero\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n\\delta=\\min\\left\\{\\frac{\\delta(x_1)}{2},\\frac{\\delta(x_2)}{2},\\dots,\\frac{\\delta(x_N)}{2}\\right\\}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nComo se trata del m\u00ednimo de una cantidad finita de n\u00fameros positivos, se cumple que <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta\\gt 0<\/span><\/span><\/strong>. Veremos que este <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span><\/strong> funciona para <strong>todo<\/strong> punto <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>, es decir, no depende de la elecci\u00f3n de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong>.\n<\/p>\n<p>\nTomemos ahora:\n<\/p>\n<ul>\n<li>un punto arbitrario <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>, y<\/li>\n<li>un punto <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> tal que <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x-x_0|\\lt\\delta<\/span><\/span><\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>\nComo los intervalos <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{x_1},\\dots,I_{x_N}<\/span><\/span><\/strong> recubren <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>, el punto <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong> pertenece al menos a uno de ellos, digamos a <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{x_j}<\/span><\/span><\/strong> para alg\u00fan <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">j\\in\\{1,\\dots,N\\}<\/span><\/span><\/strong>. Por la definici\u00f3n de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{x_j}<\/span><\/span><\/strong>, esto significa que\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x_0-x_j|\\lt\\frac{\\delta(x_j)}{2}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nAdem\u00e1s, por la definici\u00f3n de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span><\/span><\/strong> tenemos <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta\\le\\frac{\\delta(x_j)}{2}<\/span><\/span><\/strong>, de modo que de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x-x_0|\\lt\\delta<\/span><\/span><\/strong> se deduce\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x-x_0|\\lt\\frac{\\delta(x_j)}{2}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nAplicando la desigualdad triangular,\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x-x_j|\\le |x-x_0|+|x_0-x_j|\n\n\\lt \\frac{\\delta(x_j)}{2}+\\frac{\\delta(x_j)}{2}\n\n=\\delta(x_j).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nPor la elecci\u00f3n de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta(x_j)<\/span><\/span><\/strong> (continuidad de <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> en <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_j<\/span><\/span><\/strong> para el valor <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon\/2<\/span><\/span><\/strong>), las desigualdades <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x_0-x_j|\\lt\\delta(x_j)<\/span><\/span><\/strong> y <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x-x_j|\\lt\\delta(x_j)<\/span><\/span><\/strong> implican\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|f(x_0)-f(x_j)|\\lt\\frac{\\epsilon}{2}\n\n\\quad\\text{y}\\quad\n\n|f(x)-f(x_j)|\\lt\\frac{\\epsilon}{2}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nUsando de nuevo la desigualdad triangular se obtiene\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|f(x)-f(x_0)|\n\n\\le |f(x)-f(x_j)| + |f(x_j)-f(x_0)|\n\n\\lt \\frac{\\epsilon}{2}+\\frac{\\epsilon}{2}\n\n=\\epsilon.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nComo <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong> y <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/strong> eran arbitrarios, hemos demostrado que para el <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon<\/span><\/strong> fijado al inicio existe un <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta\\gt 0<\/span><\/span><\/strong>, independiente de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong>, tal que\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n(\\forall x_0\\in[a,b])(\\forall x\\in[a,b])\n\n\\big(|x-x_0|\\lt\\delta\\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\\lt\\epsilon\\big).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nSi renombramos <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span><\/strong> como <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span><\/strong>, esto se escribe como:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n(\\forall \\epsilon\\gt 0)(\\exists \\delta\\gt 0)(\\forall x,y\\in[a,b])\n\n\\big(|x-y|\\lt\\delta\\Rightarrow |f(x)-f(y)|\\lt\\epsilon\\big),\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nque es precisamente la definici\u00f3n de <strong>continuidad uniforme<\/strong> de <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> en <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>. En lo que sigue, solo necesitaremos aplicar este resultado al caso <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon=1<\/span><\/span><\/strong>.\n<\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Paso 5:<\/b> De continuidad uniforme a acotaci\u00f3n de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/h4>\n<p>\nApliquemos ahora la continuidad uniforme con <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon=1<\/span><\/span><\/strong>. Existe un n\u00famero <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta_1\\gt 0<\/span><\/span><\/strong> tal que para todos los <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x,y\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> se cumple\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x-y|\\lt\\delta_1\\Rightarrow |f(x)-f(y)|\\lt 1.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nDividimos ahora el intervalo <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> en una cantidad finita de subintervalos cuya longitud sea menor que <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta_1<\/span><\/span><\/strong>. Es decir, elegimos un entero <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span><\/strong> y puntos\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\na = x_0 \\lt x_1 \\lt \\cdots \\lt x_n = b\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nde modo que para cada <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0,1,\\dots,n-1<\/span><\/span><\/strong> se cumpla\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nx_{k+1}-x_k\\lt\\delta_1.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nConsideramos ahora el conjunto finito de valores\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n\\{f(x_0),f(x_1),\\dots,f(x_{n-1})\\}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nAl ser un conjunto finito de reales, podemos definir sin problemas\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nC = \\max\\{|f(x_k)| \\;|\\; k=0,1,\\dots,n-1\\}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nMostraremos que <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C+1<\/span><\/span><\/strong> es una cota superior en valor absoluto para <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> en todo el intervalo <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>. Sea <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> un punto arbitrario. Entonces existe un \u00edndice <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/strong> tal que <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[x_k,x_{k+1}]<\/span><\/span><\/strong>. En particular,\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|x-x_k|\\le x_{k+1}-x_k\\lt\\delta_1.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nPor la continuidad uniforme con <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon=1<\/span><\/span><\/strong>, de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x-x_k|\\lt\\delta_1<\/span><\/span><\/strong> se sigue que\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|f(x)-f(x_k)|\\lt 1.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nUsando la desigualdad triangular:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|f(x)|\\le |f(x)-f(x_k)| + |f(x_k)| \\lt 1 + |f(x_k)| \\le 1 + C.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nComo <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> fue arbitrario, concluimos que\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n|f(x)|\\le C+1 \\quad \\text{para todo } x\\in[a,b],\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nes decir, la funci\u00f3n <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> es <strong>acotada<\/strong> en <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>.\n<\/p>\n<p><a name=\"9\"><\/a><\/br><\/p>\n<h4><b>Paso 6:<\/b> Existencia de valores m\u00e1ximo y m\u00ednimo<\/h4>\n<p>\nDefinimos el conjunto de valores que toma la funci\u00f3n en el intervalo:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nH=\\{f(x)\\;|\\;x\\in[a,b]\\}\\subset\\mathbb{R}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nYa sabemos que <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span><\/strong> es no vac\u00edo (porque <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> no lo es) y acotado, as\u00ed que por el axioma del supremo existen n\u00fameros reales\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nM=\\sup H,\\qquad m=\\inf H.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nProbemos que <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span><\/strong> se alcanza como valor de la funci\u00f3n, es decir, que existe <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> con <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x_1)=M<\/span><\/span><\/strong>. Procederemos por reducci\u00f3n al absurdo.\n<\/p>\n<p>\nSupongamos que <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span><\/strong> nunca alcanza el valor <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span><\/strong>, es decir:\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n(\\forall x\\in[a,b])\\big(f(x)\\lt M\\big).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nBajo esta suposici\u00f3n, la funci\u00f3n\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\ng(x)=\\frac{1}{M-f(x)}\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nest\u00e1 bien definida y es positiva para todo <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong>, ya que por hip\u00f3tesis <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M-f(x)\\gt 0<\/span><\/span><\/strong>. Adem\u00e1s, como <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> es continua y <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span><\/strong> es constante, tambi\u00e9n lo es <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span><\/strong>. Por la primera parte de la demostraci\u00f3n, toda funci\u00f3n continua en <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> est\u00e1 acotada, por lo que existe un n\u00famero <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N\\gt 0<\/span><\/span><\/strong> tal que\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n(\\forall x\\in[a,b])\\big(g(x)\\le N\\big).\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nEn particular, para todo <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> se verifica\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n\\frac{1}{M-f(x)} = g(x)\\le N,\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nlo que equivale a\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nM-f(x)\\ge \\frac{1}{N}\n\n\\quad\\Rightarrow\\quad\n\nf(x)\\le M-\\frac{1}{N}.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nEsto significa que todos los valores de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span><\/strong> en <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> son menores o iguales que <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M-\\frac{1}{N}<\/span><\/span><\/strong>. En particular, el supremo de <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span><\/strong> satisface\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\n\\sup H\\le M-\\frac{1}{N}\\lt M,\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nlo cual contradice la definici\u00f3n de <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span><\/strong> como supremo de <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span><\/strong>. Por tanto, nuestra suposici\u00f3n inicial era falsa, y debe existir un punto <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> tal que\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nf(x_1)=M.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p>\nUn razonamiento completamente an\u00e1logo, aplicado al \u00ednfimo <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=\\inf H<\/span><\/span><\/strong> (por ejemplo, considerando la funci\u00f3n <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h(x)=-f(x)<\/span><\/span><\/strong>), demuestra que existe un punto <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2\\in[a,b]<\/span><\/span><\/strong> tal que\n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\n\nf(x_2)=m.\n\n<\/span>\n<\/p>\n<p><a name=\"10\"><\/a><\/br><\/p>\n<h2>Interpretaci\u00f3n en t\u00e9rminos de compacidad y conclusi\u00f3n<\/h2>\n<p>\nHemos probado que toda funci\u00f3n continua <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f:[a,b]\\to\\mathbb{R}<\/span><\/span><\/strong> es acotada y alcanza sus valores m\u00e1ximo y m\u00ednimo en <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong>. En el lenguaje moderno del an\u00e1lisis, esto se interpreta diciendo que, en <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span><\/span><\/strong>, los intervalos cerrados y acotados como <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span><\/strong> son conjuntos compactos y que las funciones continuas env\u00edan conjuntos compactos en conjuntos compactos.\n<\/p>\n<p>\nEn particular, si <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/strong> es compacto y <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/strong> es continua en <strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/strong>, entonces la imagen <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(I)<\/span><\/span><\/strong> es un subconjunto compacto de <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}<\/span><\/span><\/strong>. Esto garantiza que <strong><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(I)<\/span><\/span><\/strong> es acotado y que en \u00e9l se alcanzan efectivamente un valor m\u00e1ximo y un valor m\u00ednimo, que es precisamente el contenido del Teorema de Weierstrass.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Teorema de Weierstrass de los Valores Extremos \u00bfPor qu\u00e9 en tantos problemas de optimizaci\u00f3n se da casi por sentado que \u201cel m\u00e1ximo existe\u201d o que \u201csiempre hay un m\u00ednimo\u201d en cierto intervalo, cuando en realidad nada obliga a que eso ocurra? 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