{"id":35209,"date":"2024-12-01T13:00:13","date_gmt":"2024-12-01T13:00:13","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=35209"},"modified":"2025-11-22T22:35:09","modified_gmt":"2025-11-22T22:35:09","slug":"kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/","title":{"rendered":"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen<\/h1>\n<p><em>Mit dem, was wir bisher gesehen haben, verf\u00fcgen wir bereits \u00fcber alle grundlegenden Werkzeuge, um nahezu jede Ableitung zu berechnen. Dennoch m\u00fcssen wir zwischen der blo\u00dfen M\u00f6glichkeit, eine Ableitung zu bestimmen, und dem Aufwand, den wir in solche Rechnungen investieren, unterscheiden. An dieser Stelle kommen S\u00e4tze wie derjenige \u00fcber die Kettenregel f\u00fcr die Berechnung in einer Variablen ins Spiel. Die Kettenregel erm\u00f6glicht es uns, Ableitungen schnell zu berechnen, die sonst eine ziemlich m\u00fchsame und komplizierte Arbeit erfordern w\u00fcrden.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\">\n<b><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u><\/b><br \/>\n<b><a href=\"#1\">Der Satz der Kettenregel in einer reellen Variablen<\/a><\/b><br \/>\n<a href=\"#11\">Beweis der Kettenregel<\/a><br \/>\n<a href=\"#12\">Beispiele zur Anwendung der Kettenregel bei Funktionen einer Variablen<\/a><br \/>\n<a href=\"#13\">Vorsichtshinweis im Zusammenhang mit der Kettenregel<\/a><br \/>\n<b><a href=\"#2\">N\u00fctzliche Ergebnisse aus der Kettenregel<\/a><\/b><br \/>\n<a href=\"#21\">Satz \u00fcber die Umkehrfunktion<\/a><br \/>\n<a href=\"#211\">Ableitung der Exponentialfunktion<\/a><br \/>\n<a href=\"#212\">Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionen<\/a><br \/>\n<a href=\"#22\">Implizites Ableiten<\/a><br \/>\n<a href=\"#221\">Ableitungen rationaler Potenzen<\/a><br \/>\n<a href=\"#221\">Ableitungen rationaler Potenzen<\/a><br \/>\n<b><a href=\"#3\">\u00dcbungsleitfaden<\/a><\/b>\n<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/0y2SQpbRe3A\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Der Satz der Kettenregel in einer reellen Variablen<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=0y2SQpbRe3A&amp;t=165s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Seien <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> zwei Funktionen<\/span><\/a>, die sich zusammensetzen lassen<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f: A\\subseteq \\mathbb{R} \\longmapsto B\\subseteq \\mathbb{R}<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g: B\\subseteq Dom(g) \\longmapsto D\\subseteq \\mathbb{R}<\/span>\n<p>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> differenzierbar ist und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> differenzierbar ist, dann ist die zusammengesetzte Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g\\circ f<\/span><\/span> f\u00fcr alle <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in A<\/span><\/span> differenzierbar und es gilt die Formel<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}(g\\circ f)(x) = \\frac{d}{dx} g(f(x)) = \\frac{dg(f(x))}{df(x)} \\frac{df(x)}{dx}<\/span>\n<p><a name=\"11\"><\/a><\/p>\n<h3>Beweis der Kettenregel<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=0y2SQpbRe3A&amp;t=242s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Betrachten wir die Funktionen<\/span><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> wie zuvor definiert. Wenn wir die Ableitung der Zusammensetzung berechnen, ergibt sich<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\n\\dfrac{d}{dx} g(f(x))&amp; = &amp; \\displaystyle\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{g(f(x + \\Delta x)) - g(f(x))}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp;\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{g(f(x + \\Delta x)) - g(f(x))}{\\Delta x} \\cdot \\frac{f(x + \\Delta x) - f(x)}{f(x+\\Delta x) - f(x)} \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{g(f(x + \\Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\\Delta x) - f(x)} \\cdot \\frac{f(x + \\Delta x) - f(x)}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp;\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{g(f(x + \\Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\\Delta x) - f(x)} \\cdot \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x + \\Delta x) - f(x)}{\\Delta x}\\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\lim_{f(x+\\Delta x) \\to f(x) } \\frac{g(f(x + \\Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\\Delta x) - f(x)} \\cdot \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x + \\Delta x) - f(x)}{\\Delta x}\\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\frac{dg(f(x))}{df(x)} \\frac{df(x)}{dx}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Was zu zeigen war.<\/p>\n<p><a name=\"12\"><\/a><\/p>\n<h3>Beispiele f\u00fcr die Anwendung der Kettenregel bei Funktionen einer Variablen<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=0y2SQpbRe3A&amp;t=423s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Etwas, das zumindest auf den ersten Blick klar erscheint,<\/span><\/a> aber aus einer operativen Perspektive nicht ganz so offensichtlich ist, ist die Tatsache, dass uns die Kettenregel sagt, dass wir bei einer Zusammensetzung von Funktionen \u201evon au\u00dfen nach innen\u201c ableiten k\u00f6nnen. Um dies auf eine leicht verst\u00e4ndliche Weise zu erkl\u00e4ren, sind Beispiele bei weitem der schnellste Weg.<\/p>\n<ol>\n<li>Wenn wir die Ableitung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = (2x^2+1)^{12}<\/span><\/span> berechnen sollen, w\u00fcrden wir zun\u00e4chst die Potenzen entwickeln und dann die Potenzregel auf jeden Teil des gro\u00dfen Polynoms anwenden, das wir als Ergebnis erhalten h\u00e4tten. Eine unn\u00f6tig anstrengende Arbeit. Mit der Kettenregel l\u00e4sst sich die Ableitung in wenigen Zeilen berechnen:<br \/>\n<\/p>\n<p style=\"align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}<\/span>\n<\/li>\n<li>Versuche, die Ableitung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x) = \\sin(\\cos(x))<\/span><\/span> nur mit den grundlegenden Ableitungstechniken zu berechnen, und stelle dich auf ewiges Leiden ein. Tu es mit der Kettenregel, und das Ergebnis erscheint tr\u00e4nenlos und in wenigen Schritten:<br \/>\n<\/p>\n<p style=\"align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx} \\sin(\\cos(x))= -\\cos(cos(x))\\sin(x) <\/span>\n<\/li>\n<li>Du kannst auch die Ableitung von Funktionen berechnen, die die Zusammensetzung vieler Funktionen sind. Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\cos(\\cos(\\cos(x))),<\/span><\/span> dann ergibt sich die Ableitung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">df\/dx<\/span><\/span> als:<br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\n\\displaystyle \\frac{d}{dx} \\cos(\\cos(\\cos(x))) &amp;=&amp; -\\sin(\\cos(\\cos(x)))\\cdot(-\\sin(\\cos(x))\\cdot(-\\sin(x)) \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; -\\sin(\\cos(\\cos(x)))\\cdot\\sin(\\cos(x))\\cdot\\sin(x)\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Wie du sehen kannst, bedeutet die Anwendung der Kettenregel einfach, schrittweise von au\u00dfen nach innen abzuleiten.<\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"13\"><\/a><\/p>\n<h3>Vorsichtsma\u00dfnahme im Zusammenhang mit der Kettenregel<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=0y2SQpbRe3A&amp;t=607s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">In der Literatur werden \u00fcberall die gro\u00dfen Vorteile<\/span><\/a> der Anwendung der Kettenregel gezeigt, aber nur wenige betonen ausdr\u00fccklich die Vorsichtsma\u00dfnahmen, die vor ihrer Verwendung zu beachten sind. Trotz der St\u00e4rke dieses Theorems musst du immer gro\u00dfe Aufmerksamkeit auf die Definitionsbereiche und Wertebereiche der Funktionen richten, bevor du die Kettenregel anwendest. Vor der Rechnung musst du sicherstellen, dass die Definitions- und Wertebereiche der Funktionen f\u00fcr die Komposition kompatibel sind; denn wenn du das nicht tust, l\u00e4ufst du Gefahr, Ableitungen an Stellen zu berechnen, an denen sie nicht existieren. Wenn du beispielsweise eine Funktion der Form<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\ln(\\cos(x))<\/span>\n<p>ableitest und dich blind auf die Kettenregel verl\u00e4sst, wirst du Rechnungen wie die folgende durchf\u00fchren:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}\\ln(\\cos(x)) = -\\frac{1}{\\cos(x)}\\sin(x) = -\\tan(x)<\/span>\n<p>Klarerweise ist die Tangensfunktion f\u00fcr den Wert <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=2\\pi\/3<\/span><\/span> wohldefiniert, denn ihr Wert ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tan(2\\pi\/3) = -\\sqrt{3}<\/span><\/span>. Aber die Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\ln(\\cos(x))<\/span><\/span> ist dort nicht wohldefiniert, weil <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(2\\pi\/3) = \\ln(\\cos(2\\pi\/3)) = \\ln(-1\/2),<\/span><\/span> und der Logarithmus negativer Zahlen existiert nicht! In solchen F\u00e4llen ist es notwendig, bevor man die Kettenregel anwendet, anzugeben, dass die zu betrachtenden Werte von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> solche sind, die die Kosinusfunktion positiv halten (sodass die Kompatibilit\u00e4t unter Komposition gew\u00e4hrleistet ist), und nur dann gilt die Kettenregel.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>N\u00fctzliche Ergebnisse, die sich aus der Kettenregel ergeben<\/h2>\n<p>Die Kettenregel ist nicht nur hilfreich, um Ableitungsberechnungen durchzuf\u00fchren, die sonst unertr\u00e4glich w\u00e4ren, sondern sie dient auch dazu, die Ableitungstechniken auf viele weitere Funktionen auszuweiten. Im Folgenden werden wir diese Techniken, ihre Ergebnisse und ihre Beweise durchgehen.<\/p>\n<p><a name=\"21\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/5ddoUcIhgjU\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"21\"><\/a><\/p>\n<h3>Satz \u00fcber die Umkehrfunktion<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=5ddoUcIhgjU&amp;t=75s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Sei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> eine bijektive Funktion<\/span><\/a> und in einem Intervall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I\\subseteq \\mathbb{R}<\/span><\/span> differenzierbar. Mit Hilfe der Kettenregel ist es m\u00f6glich, die Ableitung der Identit\u00e4tsfunktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(f^{-1}\\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x.<\/span><\/span> zu berechnen. Die Rechnungen liefern folgendes Ergebnis:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1 = \\displaystyle \\frac{d}{dx} x = \\frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\\frac{df(x)}{dx}<\/span>\n<p>Aus diesem Ausdruck kann man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">df^{-1}(f(x))\/df(x)<\/span><\/span> isolieren und erh\u00e4lt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \\frac{1}{\\frac{df(x)}{dx}}}<\/span>\n<p>Dies ist das, was als Satz \u00fcber die Umkehrfunktion zur Berechnung von Ableitungen bekannt ist. In der Literatur wird dieser Satz h\u00e4ufig in der Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{dx}{dy}= \\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}}<\/span>\n<p>angegeben. Beide Formen der Darstellung des Satzes \u00fcber die Umkehrfunktion sind \u00e4quivalent und ergeben sich daraus, dass man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=f(x)<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=f^{-1}(y).<\/span><\/span> setzt.<\/p>\n<p>Bis hierher haben wir alles gesehen, was man \u00fcber den Inhalt des Satzes \u00fcber die Umkehrfunktion sagen kann. Nun werden wir sehen, wie man ihn zur Berechnung einiger Ableitungen nutzen kann, die auf andere Weise ziemlich schwierig w\u00e4ren.<\/p>\n<p><a name=\"211\"><\/a><\/p>\n<h4>Ableitung der Exponentialfunktion<\/h4>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=5ddoUcIhgjU&amp;t=215s\" target=\"_blank\" style=\"color: #ff0000;\" rel=\"noopener\">Als wir die grundlegenden Ableitungstechniken studierten,<\/a><\/span> sahen wir, dass<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}\\ln(x) = \\frac{1}{x}<\/span>\n<p>Mit diesem Ergebnis und dem Satz \u00fcber die Umkehrfunktion l\u00e4sst sich leicht zeigen, dass<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}e^x = e^x<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;color: #000080;\"><strong>BEWEIS:<\/strong><\/p>\n<p>Es ist klar, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\ln(x)<\/span><\/span> gleichbedeutend damit ist, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=e^y.<\/span><\/span> Dann gilt unter Anwendung des Satzes \u00fcber die Umkehrfunktion:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}e^y = \\frac{dx}{dy} = \\frac{1}{\\frac{dy}{dx}} = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\ln(x)} = x = e^y<\/span>\n<p>Das hei\u00dft:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}e^y = e^y<\/span>\n<p>Wenn wir in diesem letzten Ausdruck die \u201ey\u201c durch \u201ex\u201c ersetzen, erhalten wir das, was gezeigt werden sollte:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}e^x = e^x.<\/span>\n<p><a name=\"212\"><\/a><\/p>\n<h4>Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionen<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=5ddoUcIhgjU\" target:=\"\" span=\"\" style=\"color: #ff0000;\" 0=\"\" a=\"\">Der Satz \u00fcber die Umkehrfunktion<\/a> erm\u00f6glicht es uns ebenfalls, die Ableitungen aller inversen trigonometrischen Funktionen zu erhalten. Diese sind:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{ccccccc}\n\n\\dfrac{d}{dx}\\text{Arcsin}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{\\sqrt{1-x^2}} &amp;\\phantom{asd}&amp;\\dfrac{d}{dx}\\text{Arccos}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{-1}{\\sqrt{1-x^2}} \\\\ \\\\\n\n\\dfrac{d}{dx}\\text{Arctan}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{1+x^2} &amp;\\phantom{asd}&amp;\\dfrac{d}{dx}\\text{Arccot}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{-1}{1-x^2} \\\\ \\\\\n\n\\dfrac{d}{dx}\\text{Arcsec}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{x\\sqrt{x^2-1}} &amp;\\phantom{asd}&amp;\\dfrac{d}{dx}\\text{Arccsc}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{-1}{x\\sqrt{x^2-1}}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000080;\"><strong>BEWEIS<\/strong><\/p>\n<h5>Arkussinus<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3e3fe861f9\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span><div id=\"target-id69e3e3fe861f9\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p>Die Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(x)<\/span><\/span> ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[\\frac{-\\pi}{2}+k\\pi , \\frac{\\pi}{2}+ k\\pi \\right],<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschr\u00e4nkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, sodass die bijektive Sinusfunktion die Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\sin : \\left[-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}\\right] \\longrightarrow [-1,1]<\/span>\n<p>hat und unter diesen Bedingungen gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\sin(x) \\longleftrightarrow x=arcsin(y).<\/span>\n<p>Wenn wir den Satz \u00fcber die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcsin(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\sin(x)} = \\frac{1}{\\cos(x)}<\/span>\n<p>Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identit\u00e4t<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>woraus folgt, dass f\u00fcr <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in [-\\pi\/2, \\pi\/2]<\/span><\/span> gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\cos(x) = \\sqrt{1 - \\sin^2(x)}<\/span>\n<p>Setzen wir dies in die Ableitung des Arkussinus ein, so erhalten wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcsin(y) = \\frac{1}{\\cos(x)} = \\frac{1}{ \\sqrt{1 - \\sin^2(x)}}<\/span>\n<p>Und da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\sin(x)<\/span><\/span>, folgt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcsin(y) = \\frac{1}{ \\sqrt{1 - y^2}}<\/span>\n<p>Schlie\u00dflich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck \u201ey\u201c durch \u201ex\u201c ersetzen, erhalten wir das gew\u00fcnschte Resultat:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}arcsin(x) = \\frac{1}{ \\sqrt{1 - x^2}}}<\/span>\n<\/div>\n<h5>Arkuskosinus<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3e3fe864c5\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span><div id=\"target-id69e3e3fe864c5\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p>Die Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cos(x)<\/span><\/span> ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left[0+k\\pi , \\pi+ k\\pi \\right],<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschr\u00e4nkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, sodass die bijektive Kosinusfunktion die Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cos : \\left[0, \\pi\\right] \\longrightarrow [-1,1]<\/span>\n<p>hat und unter diesen Bedingungen gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\cos(x) \\longleftrightarrow x=arccos(y).<\/span>\n<p>Wenn wir den Satz \u00fcber die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arccos(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\cos(x)} = \\frac{-1}{\\sin(x)}<\/span>\n<p>Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identit\u00e4t<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>woraus folgt, dass f\u00fcr <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in [0, \\pi]<\/span><\/span> gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\sin(x) = \\sqrt{1 - \\cos^2(x)}<\/span>\n<p>Setzen wir dies in die Ableitung des Arkuskosinus ein, so erhalten wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arccos(y) = \\frac{-1}{\\sin(x)} = \\frac{-1}{ \\sqrt{1 - \\cos^2(x)}}<\/span>\n<p>Und da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\cos(x)<\/span><\/span>, folgt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arccos(y) = \\frac{-1}{ \\sqrt{1 - y^2}}<\/span>\n<p>Schlie\u00dflich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck \u201ey\u201c durch \u201ex\u201c ersetzen, erhalten wir das gew\u00fcnschte Resultat:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}arccos(x) = \\frac{-1}{ \\sqrt{1 - x^2}}}<\/span>\n<\/div>\n<h5>Arkustangens<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3e3fe8663a\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span><div id=\"target-id69e3e3fe8663a\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p>Die Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tan(x)<\/span><\/span> ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[-\\frac{\\pi}{2}+k\\pi , \\frac{\\pi}{2}+ k\\pi \\right],<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschr\u00e4nkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, sodass die bijektive Tangensfunktion die Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\tan : \\left[-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}\\right] \\longrightarrow \\mathbb{R}<\/span>\n<p>hat und unter diesen Bedingungen gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\tan(x) \\longleftrightarrow x=arctan(y).<\/span>\n<p>Wenn wir den Satz \u00fcber die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arctan(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\tan(x)} = \\frac{1}{\\sec^2(x)}<\/span>\n<p>Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identit\u00e4t<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>woraus folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\sec^2(x) =1+\\tan^2(x)<\/span>\n<p>Setzen wir dies in die Ableitung des Arkustangens ein, so erhalten wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arctan(y) = \\frac{1}{\\sec^2(x)} = \\frac{1}{ 1+\\tan^2(x)}<\/span>\n<p>Und da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\tan(x)<\/span><\/span>, folgt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arctan(y) = \\frac{1}{1 + y^2}<\/span>\n<p>Schlie\u00dflich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck \u201ey\u201c durch \u201ex\u201c ersetzen, erhalten wir das gew\u00fcnschte Resultat:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}arctan(x) = \\frac{1}{1+ x^2}}<\/span>\n<\/div>\n<h5>Arkuskotangens<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3e3fe867ba\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span><div id=\"target-id69e3e3fe867ba\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p>Die Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">cot(x)<\/span><\/span> ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left[0+k\\pi , \\pi+ k\\pi \\right],<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschr\u00e4nkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, sodass die bijektive Kotangensfunktion die Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ctg : \\left[0, \\pi\\right] \\longrightarrow \\mathbb{R}<\/span>\n<p>hat und unter diesen Bedingungen gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=ctg(x) \\longleftrightarrow x=arcctg(y).<\/span>\n<p>Wenn wir den Satz \u00fcber die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcctg(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}ctg(x)} = \\frac{-1}{\\csc^2(x)}<\/span>\n<p>Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identit\u00e4t<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>woraus folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\csc^2(x) =1+ctg^2(x)<\/span>\n<p>Setzen wir dies in die Ableitung des Arkuskotangens ein, so erhalten wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcctg(y) = \\frac{-1}{\\csc^2(x)} = \\frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}<\/span>\n<p>Und da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=ctg(x)<\/span><\/span>, folgt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcctg(y) = \\frac{-1}{1 + y^2}<\/span>\n<p>Schlie\u00dflich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck \u201ey\u201c durch \u201ex\u201c ersetzen, erhalten wir das gew\u00fcnschte Resultat:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}arcctg(x) = \\frac{-1}{1+ x^2}}<\/span>\n<\/div>\n<h5>Arkussinus<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3e3fe8690d\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span><div id=\"target-id69e3e3fe8690d\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p>Die Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sec(x)<\/span><\/span> ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[0+k\\pi , \\pi+ k\\pi \\right]\\setminus\\left\\{\\frac{\\pi}{2} + k\\pi\\right\\},<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschr\u00e4nkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, sodass die bijektive Sekansfunktion die Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sec : \\left[0, \\pi\\right]\\setminus\\{\\pi\/2\\} \\longrightarrow \\mathbb{R}\\setminus]-1,1[<\/span>\n<p>hat und unter diesen Bedingungen gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\sec(x) \\longleftrightarrow x={arcsec}(y).<\/span>\n<p>Wenn wir den Satz \u00fcber die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\sec(x)} = \\frac{1}{\\sec(x)\\tan(x)}<\/span>\n<p>Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identit\u00e4t<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>woraus folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\tan^2(x) =\\sec^2(x)-1<\/span>\n<p>Setzen wir dies in die Ableitung des Arkussekans ein, so erhalten wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \\frac{1}{\\sec(x)\\tan(x)} = \\frac{1}{sec(x)\\sqrt{\\sec^2(x)-1}}<\/span>\n<p>Und da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\sec(x)<\/span><\/span>, folgt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \\frac{1}{y\\sqrt{y^2-1}}<\/span>\n<p>Schlie\u00dflich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck \u201ey\u201c durch \u201ex\u201c ersetzen, erhalten wir das gew\u00fcnschte Resultat:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \\frac{1}{x\\sqrt{x^2-1}}}<\/span><\/p&#093;\n&#091;\/expand&#093;\n\n\n\n<h5>Arkuskosekans<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3e3fe86a27\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span>\n<p>Die Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\csc(x)<\/span><\/span> ist bijektiv, sofern wir ihren Definitionsbereich auf eine Menge der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[-\\frac{\\pi}{2}+k\\pi , \\frac{\\pi}{2} + k\\pi \\right]\\setminus\\left\\{0+k\\pi\\right\\}<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> eine beliebige ganze Zahl ist. Ohne Einschr\u00e4nkung der Allgemeinheit kann man sich auf den Hauptfall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span> beschr\u00e4nken, sodass die bijektive Kosekansfunktion die Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\csc : \\left[-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}\\right]\\setminus\\{0\\} \\longrightarrow \\mathbb{R}\\setminus]-1,1[<\/span>\n<p>hat und unter diesen Bedingungen gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\csc(x) \\longleftrightarrow x={arccsc}(y).<\/span>\n<p>Wenn wir den Satz \u00fcber die Umkehrfunktion anwenden, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\csc(x)} = \\frac{-1}{\\csc(x)ctg(x)}<\/span>\n<p>Erinnern wir uns nun an die trigonometrische Identit\u00e4t<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>woraus folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ctg^2(x) =\\csc^2(x)-1<\/span>\n<p>Setzen wir dies in die Ableitung des Arkuskosekans ein, so erhalten wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \\frac{-1}{\\csc(x)ctg(x)} = \\frac{-1}{csc(x)\\sqrt{\\csc^2(x)-1}}<\/span>\n<p>Und da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\csc(x)<\/span><\/span>, folgt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \\frac{-1}{y\\sqrt{y^2-1}}<\/span>\n<p>Schlie\u00dflich, wenn wir in diesem letzten Ausdruck \u201ey\u201c durch \u201ex\u201c ersetzen, erhalten wir das gew\u00fcnschte Resultat:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \\frac{-1}{x\\sqrt{x^2-1}}}<\/span>\n<\/div>\n<p><a name=\"22\"><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/hOAydWcd6zw\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/a><\/p>\n<h3>Implizites Ableiten<\/h3>\n<p>Alle Ableitungen, die wir bisher berechnet haben, wurden auf Funktionen angewendet, die explizit definiert waren: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=f(x)<\/span><\/span>. Es gibt jedoch Situationen, in denen es aufgrund der Beziehung zwischen Variablen entweder nicht einfach ist, die explizite Darstellung der Funktion zu erhalten, oder eine solche Aufgabe schlicht nicht durchf\u00fchrbar ist. F\u00fcr solche F\u00e4lle eignet sich die Technik des impliziten Ableitens, deren Grundlagen \u2013 einmal mehr \u2013 in der Kettenregel liegen.<\/p>\n<p>Um diese Technik zu verstehen, sind Beispiele hilfreicher als Beweise. Betrachten wir daher die Beziehung zwischen den Variablen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span>, die durch die Gleichung<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^3 +y^3- 9xy=0<\/span>\n<p>gegeben ist. Wenn wir diese Beziehung grafisch darstellen, erkennen wir, dass es sich nicht um den Graphen einer Funktion handelt. Es ist der Graph einer Kurve, die als \u201eBlatt des Descartes\u201c bezeichnet wird.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-l30tAMcTkk0\/YLCIuWcDueI\/AAAAAAAAFIY\/K7uSR44DepgIjBlSVV7mCQO-Z0iy_RnRQCLcBGAsYHQ\/s0\/hojaDeDescartes.PNG\" alt=\"hoja de descartes\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"690\" height=\"515\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-l30tAMcTkk0\/YLCIuWcDueI\/AAAAAAAAFIY\/K7uSR44DepgIjBlSVV7mCQO-Z0iy_RnRQCLcBGAsYHQ\/s0\/hojaDeDescartes.PNG\" alt=\"hoja de descartes\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"690\" height=\"515\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p>Wenn wir nun zum Beispiel die Ableitung von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> bez\u00fcglich <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> berechnen m\u00f6chten, h\u00e4tten wir erhebliche Schwierigkeiten, eine explizite Darstellung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> zu finden, die die Gleichung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=f(x)<\/span><\/span> erf\u00fcllt, um dann abzuleiten. Stattdessen \u00fcberspringen wir diesen Schritt und nehmen implizit an, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> eine Funktion von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> ist, das hei\u00dft <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=y(x)<\/span><\/span>. Dadurch wird die Gleichung der Descartes-Kurve zu:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0<\/span>\n<p>Nun k\u00f6nnen wir alles unter Anwendung der Kettenregel ableiten. Wenn wir dies tun, gelangen wir zum folgenden Ergebnis:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\n\\displaystyle 3x^{2} + 3\\,y(x)^{2}\\,\\frac{dy}{dx} - \\left(9\\,y(x) + 9x\\,\\frac{dy}{dx}\\right) &amp;=&amp; 0 \\\\ \\\\\n\n\\displaystyle 3x^{2} + 3\\,y(x)^{2}\\,\\frac{dy}{dx} - 9\\,y(x) - 9x\\,\\frac{dy}{dx} &amp;=&amp; 0 \\\\ \\\\\n\n\\displaystyle \\frac{dy}{dx}\\,\\big(3\\,y(x)^{2} - 9x\\big) &amp;=&amp; 9\\,y(x) - 3x^{2} \\\\ \\\\\n\n\\displaystyle \\frac{dy}{dx} &amp;=&amp; \\dfrac{9\\,y(x) - 3x^{2}}{3\\,y(x)^{2} - 9x} \\\\ \\\\\n\n\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{dy}{dx}} &amp;\\color{blue}{=}&amp; \\color{blue}{\\dfrac{3\\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Damit k\u00f6nnen wir, sofern wir einen Punkt der Kurve kennen, die Steigung der Tangente an der Kurve in diesem Punkt berechnen. Aus dem Graphen k\u00f6nnen wir zum Beispiel schlie\u00dfen, dass der Punkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2,4)<\/span><\/span> auf der Kurve liegt; dies stimmt, denn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2^3 + 4^3 - 9\\cdot 2\\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0. <\/span><\/span> Damit k\u00f6nnen wir sofort sagen, dass die Steigung der Tangente durch diesen Punkt ist:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\left.\\frac{dy}{dx}\\right|_{(2,4)}= \\frac{3\\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\\cdot 2}= \\frac{8}{10}= \\frac{4}{5}}<\/span>\n<p><a name=\"221\"><\/a><\/p>\n<h4>Ableitungen rationaler Potenzen<\/h4>\n<p>Durch implizites Ableiten l\u00e4sst sich der Geltungsbereich einer grundlegenden Ableitungstechnik erweitern: der Ableitung von Funktionen der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=x^n<\/span><\/span>, wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span>. Nun k\u00f6nnen wir von ganzzahligen zu rationalen Exponenten \u00fcbergehen und leicht zeigen, dass<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}x^{p\/q}= \\frac{p}{q}x^{(p\/q) -1}<\/span>\n<p>wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p,q\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q\\neq 0<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Der Beweis lautet: Sei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=x^{p\/q}<\/span><\/span>. Wenden wir auf beide Seiten den nat\u00fcrlichen Logarithmus an, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\ln(y) = \\displaystyle \\frac{p}{q}\\ln(x)<\/span>\n<p>Leiten wir diese Gleichung nun implizit ab, so gilt<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\frac{1}{y}\\frac{dy}{dx} = \\frac{p}{q}\\frac{1}{x}<\/span>\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{dy}{dx} = \\frac{p}{q}\\frac{1}{x}y(x)= \\frac{p}{q}\\frac{1}{x}x^{p\/q} = \\frac{p}{q}x^{(p\/q) - 1}}<\/span>\n<p><a name=\"3\"><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KwJ5Bb5Ch_o\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcbungsleitfaden:<\/h2>\n<h4>Kettenregel \u2013 Eine Variable<\/h4>\n<ol>\n<li>Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:<br \/>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"20px\">a.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=(x^2-3)^{12}<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">b.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\left(\\frac{4x^3 - x\\cos(2x) - 1}{\\sin(2x) + 2} \\right)^5<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"20px\">c.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\cos(1-x^2)<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">d.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\tan(x\\cos(3-x^2))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"20px\">e.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\frac{1}{(\\sec(2x)-1)^{3\/2}}<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">f.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\frac{\\tan(2x)}{1-\\cot(2x)}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"20px\">g.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\ln\\left(\\frac{\\tan(x)}{x^2+1}\\right)<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">h.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=3^{\\csc(4x)}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/li>\n<li>Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen:<br \/>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"20px\">a.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\frac{1}{\\sqrt{x}arctan\\left(x^3\\right)}<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">b.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\\sqrt{x^2+1}}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"20px\">c.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=x^x<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">d.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)={arccsc}\\left(x^{\\ln(x)}\\right)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"20px\">e.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\ln\\left(arctan(e^x)\\right)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen Mit dem, was wir bisher gesehen haben, verf\u00fcgen wir bereits \u00fcber alle grundlegenden Werkzeuge, um nahezu jede Ableitung zu berechnen. Dennoch m\u00fcssen wir zwischen der blo\u00dfen M\u00f6glichkeit, eine Ableitung zu bestimmen, und dem Aufwand, den wir in solche Rechnungen investieren, unterscheiden. An dieser Stelle kommen S\u00e4tze wie [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":35164,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":0,"footnotes":""},"categories":[1330,1302],"tags":[],"class_list":["post-35209","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-differentialrechnung","category-mathematik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v26.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Kettenregel in der Analysis: einfache Erkl\u00e4rung, Beweise, Beispiele und \u00dcbungen. Enth\u00e4lt implizites Ableiten und die Umkehrfunktion.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Kettenregel in der Analysis: einfache Erkl\u00e4rung, Beweise, Beispiele und \u00dcbungen. Enth\u00e4lt implizites Ableiten und die Umkehrfunktion.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"toposuranos.com\/material\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2024-12-01T13:00:13+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2025-11-22T22:35:09+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena-1024x683.jpg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:title\" content=\"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen\" \/>\n<meta name=\"twitter:description\" content=\"Kettenregel in der Analysis: einfache Erkl\u00e4rung, Beweise, Beispiele und \u00dcbungen. Enth\u00e4lt implizites Ableiten und die Umkehrfunktion.\" \/>\n<meta name=\"twitter:image\" content=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:creator\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Escrito por\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Tiempo de lectura\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"12 minutos\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/\"},\"author\":{\"name\":\"giorgio.reveco\",\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\"},\"headline\":\"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen\",\"datePublished\":\"2024-12-01T13:00:13+00:00\",\"dateModified\":\"2025-11-22T22:35:09+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/\"},\"wordCount\":2690,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena.jpg\",\"articleSection\":[\"Differentialrechnung\",\"Mathematik\"],\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/\",\"url\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/\",\"name\":\"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen - toposuranos.com\/material\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena.jpg\",\"datePublished\":\"2024-12-01T13:00:13+00:00\",\"dateModified\":\"2025-11-22T22:35:09+00:00\",\"description\":\"Kettenregel in der Analysis: einfache Erkl\u00e4rung, Beweise, Beispiele und \u00dcbungen. Enth\u00e4lt implizites Ableiten und die Umkehrfunktion.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena.jpg\",\"width\":1536,\"height\":1024},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Portada\",\"item\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#website\",\"url\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/\",\"name\":\"toposuranos.com\/material\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"es\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization\",\"name\":\"toposuranos.com\/material\",\"url\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png\",\"contentUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png\",\"width\":2400,\"height\":2059,\"caption\":\"toposuranos.com\/material\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\",\"https:\/\/x.com\/topuranos\",\"https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g\",\"https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190\"]},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\",\"name\":\"giorgio.reveco\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/image\/\",\"url\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"contentUrl\":\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"caption\":\"giorgio.reveco\"},\"description\":\"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\/\/toposuranos.com\/material\"],\"url\":\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen - toposuranos.com\/material","description":"Kettenregel in der Analysis: einfache Erkl\u00e4rung, Beweise, Beispiele und \u00dcbungen. Enth\u00e4lt implizites Ableiten und die Umkehrfunktion.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen","og_description":"Kettenregel in der Analysis: einfache Erkl\u00e4rung, Beweise, Beispiele und \u00dcbungen. Enth\u00e4lt implizites Ableiten und die Umkehrfunktion.","og_url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2024-12-01T13:00:13+00:00","article_modified_time":"2025-11-22T22:35:09+00:00","og_image":[{"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena-1024x683.jpg","type":"","width":"","height":""}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen","twitter_description":"Kettenregel in der Analysis: einfache Erkl\u00e4rung, Beweise, Beispiele und \u00dcbungen. Enth\u00e4lt implizites Ableiten und die Umkehrfunktion.","twitter_image":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"12 minutos"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen","datePublished":"2024-12-01T13:00:13+00:00","dateModified":"2025-11-22T22:35:09+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/"},"wordCount":2690,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena.jpg","articleSection":["Differentialrechnung","Mathematik"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/","url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/","name":"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen - toposuranos.com\/material","isPartOf":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena.jpg","datePublished":"2024-12-01T13:00:13+00:00","dateModified":"2025-11-22T22:35:09+00:00","description":"Kettenregel in der Analysis: einfache Erkl\u00e4rung, Beweise, Beispiele und \u00dcbungen. Enth\u00e4lt implizites Ableiten und die Umkehrfunktion.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#breadcrumb"},"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#primaryimage","url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena.jpg","contentUrl":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/cadena.jpg","width":1536,"height":1024},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kettenregel-fuer-die-ableitung-der-zusammensetzung-von-funktionen\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Portada","item":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Kettenregel f\u00fcr die Ableitung der Zusammensetzung von Funktionen"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#website","url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/","name":"toposuranos.com\/material","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"es"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization","name":"toposuranos.com\/material","url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","width":2400,"height":2059,"caption":"toposuranos.com\/material"},"image":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","https:\/\/x.com\/topuranos","https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g","https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190"]},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1","name":"giorgio.reveco","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","caption":"giorgio.reveco"},"description":"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.","sameAs":["http:\/\/toposuranos.com\/material"],"url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/35209","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=35209"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/35209\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media\/35164"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=35209"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=35209"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=35209"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}