{"id":35143,"date":"2024-12-01T13:00:04","date_gmt":"2024-12-01T13:00:04","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=35143"},"modified":"2025-11-22T22:33:11","modified_gmt":"2025-11-22T22:33:11","slug":"regla-de-la-cadena-para-la-derivada-de-la-composicion-de-funciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/regla-de-la-cadena-para-la-derivada-de-la-composicion-de-funciones\/","title":{"rendered":"Regla de la Cadena para la derivada de la composici\u00f3n de funciones"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Regla de la Cadena para la derivada de la composici\u00f3n de funciones<\/h1>\n<p><em>Con lo que hemos visto hasta ahora, ya tenemos todo lo b\u00e1sico para calcular casi cualquier derivada. Sin embargo, debemos distinguir entre la posibilidad de calcular una derivada y el esfuerzo que invertimos en realizar tales cuentas, y aqu\u00ed es donde entran en juego los teoremas como el de la regla de la cadena para el c\u00e1lculo de una variable. La regla de la cadena nos permitir\u00e1 calcular r\u00e1pidamente derivadas que de otra forma implicar\u00edan un trabajo bastante tedioso y complicado.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\">\n<b><u>INDICE DE CONTENIDOS<\/u><\/b><br \/>\n<b><a href=\"#1\">El teorema de la regla de la cadena en una variable real<\/a><\/b><br \/>\n<a href=\"#11\">Demostraci\u00f3n de la regla de la cadena<\/a><br \/>\n<a href=\"#12\">Ejemplos de uso de la regla de la cadena en funciones de una variable<\/a><br \/>\n<a href=\"#13\">Precauci\u00f3n a tener en cuenta frente a la regla de la cadena<\/a><br \/>\n<b><a href=\"#2\">Resultados \u00fatiles obtenidos a partir de la regla de la cadena<\/a><\/b><br \/>\n<a href=\"#21\">Teorema de la funci\u00f3n inversa<\/a><br \/>\n<a href=\"#211\">Derivada de la funci\u00f3n exponencial<\/a><br \/>\n<a href=\"#212\">Derivada de las Trigonom\u00e9tricas Inversas<\/a><br \/>\n<a href=\"#22\">Derivaci\u00f3n Impl\u00edcita<\/a><br \/>\n<a href=\"#221\">Derivadas de potencias racionales<\/a><br \/>\n<a href=\"#221\">Derivadas de potencias racionales<\/a><br \/>\n<b><a href=\"#3\">Gu\u00eda de Ejercicios<\/a><\/b>\n<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/0y2SQpbRe3A\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>El teorema de la regla de la cadena en una variable real<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=0y2SQpbRe3A&amp;t=165s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Sean <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> dos funciones<\/span><\/a> susceptibles de composici\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f: A\\subseteq \\mathbb{R} \\longmapsto B\\subseteq \\mathbb{R}<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g: B\\subseteq Dom(g) \\longmapsto D\\subseteq \\mathbb{R}<\/span>\n<p>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> es derivable en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> es derivable en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span>, entonces la funci\u00f3n compuesta <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g\\circ f<\/span><\/span> es derivable para todos los <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in A<\/span><\/span> y valdr\u00e1 la f\u00f3rmula<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}(g\\circ f)(x) = \\frac{d}{dx} g(f(x)) = \\frac{dg(f(x))}{df(x)} \\frac{df(x)}{dx}<\/span>\n<p><a name=\"11\"><\/a><\/p>\n<h3>Demostraci\u00f3n de la regla de la cadena<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=0y2SQpbRe3A&amp;t=242s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Consideremos las funciones<\/span><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> tal y como las definidas anteriormente. Si calculamos la derivada de la composici\u00f3n entonces se tendr\u00e1<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\n\\dfrac{d}{dx} g(f(x))&amp; = &amp; \\displaystyle\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{g(f(x + \\Delta x)) - g(f(x))}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp;\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{g(f(x + \\Delta x)) - g(f(x))}{\\Delta x} \\cdot \\frac{f(x + \\Delta x) - f(x)}{f(x+\\Delta x) - f(x)} \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{g(f(x + \\Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\\Delta x) - f(x)} \\cdot \\frac{f(x + \\Delta x) - f(x)}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp;\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{g(f(x + \\Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\\Delta x) - f(x)} \\cdot \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x + \\Delta x) - f(x)}{\\Delta x}\\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\lim_{f(x+\\Delta x) \\to f(x) } \\frac{g(f(x + \\Delta x)) - g(f(x))}{f(x+\\Delta x) - f(x)} \\cdot \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x + \\Delta x) - f(x)}{\\Delta x}\\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\frac{dg(f(x))}{df(x)} \\frac{df(x)}{dx}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Que es lo que se quer\u00eda demostrar.<\/p>\n<p><a name=\"12\"><\/a><\/p>\n<h3>Ejemplos de uso de la regla de la cadena en funciones de una variable<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=0y2SQpbRe3A&amp;t=423s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Algo que queda claro, al menos a primera vista,<\/span><\/a> pero que no lo es tanto desde una perspectiva operacional, es el hecho de que la regla de la cadena nos est\u00e1 diciendo que cuando nos encontramos con una composici\u00f3n de funciones, podemos derivar \u00abde afuera hacia adentro\u00bb. Para explicar esto de una forma que sea f\u00e1cil de entender, los ejemplos son por lejos el camino m\u00e1s r\u00e1pido.<\/p>\n<ol>\n<li>Si nos piden derivar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = (2x^2+1)^{12}<\/span><\/span> primero desarrollar\u00edamos las potencias y luego aplicar\u00edamos la derivada de la potencia sobre cada una de las partes de ese gran polinomio que habr\u00edamos obtenido como resultado. Un trabajo innecesariamente extenuante. Con la regla de la cadena el c\u00e1lculo de la derivada se puede hacer en pocas l\u00edneas:<br \/>\n<\/p>\n<p style=\"align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx} (2x^2+1)^{12} = 12(2x^2+1)^{11}(4x)= 48x(2x^2+1)^{11}<\/span>\n<\/li>\n<li>Intenta calcular la derivada de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x) = \\sin(\\cos(x))<\/span><\/span> s\u00f3lo con las t\u00e9cnicas b\u00e1sicas de derivaci\u00f3n y enfrenta al sufrimiento eterno. Hazlo usando la regla de la cadena y el resultado aparecer\u00e1 sin l\u00e1grimas y en pocos pasos:<br \/>\n<\/p>\n<p style=\"align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx} \\sin(\\cos(x))= -\\cos(cos(x))\\sin(x) <\/span>\n<\/li>\n<li>Tambi\u00e9n puedes calcular la derivada de funciones que son la composici\u00f3n de muchas funciones. Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\cos(\\cos(\\cos(x))),<\/span><\/span> la derivada de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">df\/dx<\/span><\/span> te queda como:<br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\n\\displaystyle \\frac{d}{dx} \\cos(\\cos(\\cos(x))) &amp;=&amp; -\\sin(\\cos(\\cos(x)))\\cdot(-\\sin(\\cos(x))\\cdot(-\\sin(x)) \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; -\\sin(\\cos(\\cos(x)))\\cdot\\sin(\\cos(x))\\cdot\\sin(x)\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Como puedes ver, aplicar la regla de la cadena es simplemente derivar encadenadamente desde afuera hasta dentro.<\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"13\"><\/a><\/p>\n<h3>Precauci\u00f3n a tener en cuenta frente a la regla de la cadena<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=0y2SQpbRe3A&amp;t=607s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">En la literatura, todos muestran los grandes beneficios<\/span><\/a> de usar la regla de la cadena, pero muy pocos son enf\u00e1ticos en las precauciones que se deben tomar antes de utilizarla. A pesar de la potencia de este teorema, siempre debes prestar mucha atenci\u00f3n a los dominios y recorridos de las funciones antes de aplicar la regla de la cadena. Antes de trabajar debes asegurarte de que los dominios y recorrido de las funciones sean compatibles para la composici\u00f3n; porque si no lo haces, corres el riesgo de calcular derivadas donde no existen. Si derivas, por ejemplo, una funci\u00f3n del estilo<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\ln(\\cos(x))<\/span>\n<p>si confias ciegamente en la regla de la cadena, har\u00e1s c\u00e1lculos como el siguiente:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}\\ln(\\cos(x)) = -\\frac{1}{\\cos(x)}\\sin(x) = -\\tan(x)<\/span>\n<p>Claramente la funci\u00f3n tangente esta bien definida para un valor de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=2\\pi\/3<\/span><\/span>, porque su valor es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tan(2\\pi\/3) = -\\sqrt{3}<\/span><\/span>. Pero, la funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\ln(\\cos(x))<\/span><\/span> no est\u00e1 bien definida ah\u00ed porque <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(2\\pi\/3) = \\ln(\\cos(2\\pi\/3)) = \\ln(-1\/2),<\/span><\/span> y no existe el logaritmo de n\u00fameros negativos! En casos como esto es necesario indicar, antes de aplicar la regla de la cadena, que los valores de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> a considerar son tales que mantienen positiva a la funci\u00f3n coseno (de modo tal que se asegure la compatibilidad bajo composici\u00f3n) y s\u00f3lo entonces valdr\u00e1 la regla de la cadena.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Resultados \u00fatiles obtenidos a partir de la regla de la cadena<\/h2>\n<p>La regla de la cadena no s\u00f3lo es \u00fatil para lograr c\u00e1lculos de derivadas que de otra forma ser\u00edan insufribles, es \u00fatil tambi\u00e9n para expandir a\u00fan m\u00e1s las t\u00e9cnicas de derivaci\u00f3n a muchas otras funciones. A continuaci\u00f3n, revisaremos esas t\u00e9cnicas, sus resultados y demostraciones<\/p>\n<p><a name=\"21\"><\/a><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/5ddoUcIhgjU\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><a name=\"21\"><\/a><\/p>\n<h3>Teorema de la funci\u00f3n inversa<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=5ddoUcIhgjU&amp;t=75s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Sea <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> una funci\u00f3n biyectiva<\/span><\/a> y derivable en alg\u00fan intervalo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I\\subseteq \\mathbb{R}<\/span><\/span>. Utilizando la regla de la cadena es factible el c\u00e1lculo de la derivada de la funci\u00f3n identidad <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(f^{-1}\\circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x.<\/span><\/span> Las cuentas dan el siguiente resultado:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1 = \\displaystyle \\frac{d}{dx} x = \\frac{d}{dx} f^{-1}(f(x)) = \\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}\\frac{df(x)}{dx}<\/span>\n<p>A partir de esto se puede despejar <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">df^{-1}(f(x))\/df(x)<\/span><\/span> y se tiene como resultado:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{df^{-1}(f(x))}{df(x)}= \\frac{1}{\\frac{df(x)}{dx}}}<\/span>\n<p>Esto es lo que se conoce como el teorema de la funci\u00f3n inversa para el c\u00e1lculo de las derivadas. En la literatura es com\u00fan ver este teorema escrito en la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{dx}{dy}= \\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}}<\/span>\n<p>Ambas formas de expresar el teorema de la funci\u00f3n inversa son equivalentes y se obtienen de escribir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=f(x)<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=f^{-1}(y).<\/span><\/span><\/p>\n<p>Hasta aqu\u00ed hemos visto todo lo que se puede decir sobre lo que trata el teorema de la funci\u00f3n inversa, ahora veremos c\u00f3mo lo podemos utilizar para calcular algunas derivadas que de otra forma ser\u00eda bastante dif\u00edcil.<\/p>\n<p><a name=\"211\"><\/a><\/p>\n<h4>Derivada de la funci\u00f3n exponencial<\/h4>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=5ddoUcIhgjU&amp;t=215s\" target=\"_blank\" style=\"color: #ff0000;\" rel=\"noopener\">Cuando estudiamos las t\u00e9cnicas<\/a><\/span> b\u00e1sicas de derivaci\u00f3n vimos que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}\\ln(x) = \\frac{1}{x}<\/span>\n<p>Con este resultado y el teorema de la funci\u00f3n inversa es facil probar que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}e^x = e^x<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;color: #000080;\"><strong>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/strong><\/p>\n<p>Es claro que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\ln(x)<\/span><\/span> es equivalente a decir que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=e^y.<\/span><\/span> Luego, aplicando el teorema de la funci\u00f3n inversa se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}e^y = \\frac{dx}{dy} = \\frac{1}{\\frac{dy}{dx}} = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\ln(x)} = x = e^y<\/span>\n<p>Es decir:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}e^y = e^y<\/span>\n<p>Si en esta ultima expresi\u00f3n remplazamos las \u00aby\u00bb por \u00abx\u00bb, obtenemos lo que se quer\u00eda demostrar:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}e^x = e^x.<\/span>\n<p><a name=\"212\"><\/a><\/p>\n<h4>Derivada de las Trigonom\u00e9tricas Inversas<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=5ddoUcIhgjU\" target:=\"\" span=\"\" style=\"color: #ff0000;\" 0=\"\" a=\"\">El teorema de la funci\u00f3n inversa<\/a> tambi\u00e9n nos permitir\u00e1 obtener las derivadas; de todas las inversas trigonom\u00e9tricas. Estas son:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{ccccccc}\n\n\\dfrac{d}{dx}\\text{Arcsin}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{\\sqrt{1-x^2}} &amp;\\phantom{asd}&amp;\\dfrac{d}{dx}\\text{Arccos}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{-1}{\\sqrt{1-x^2}} \\\\ \\\\\n\n\\dfrac{d}{dx}\\text{Arctan}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{1+x^2} &amp;\\phantom{asd}&amp;\\dfrac{d}{dx}\\text{Arccot}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{-1}{1-x^2} \\\\ \\\\\n\n\\dfrac{d}{dx}\\text{Arcsec}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{x\\sqrt{x^2-1}} &amp;\\phantom{asd}&amp;\\dfrac{d}{dx}\\text{Arccsc}(x) &amp;=&amp; \\dfrac{-1}{x\\sqrt{x^2-1}}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000080;\"><strong>DEMOSTRACI\u00d3N<\/strong><\/p>\n<h5>Arco seno<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3f8f097322\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span><div id=\"target-id69e3f8f097322\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p>La funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(x)<\/span><\/span> es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[\\frac{-\\pi}{2}+k\\pi , \\frac{\\pi}{2}+ k\\pi \\right],<\/span><\/span> siendo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> un entero cualquiera. Sin p\u00e9rdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span>, de modo que la funci\u00f3n seno biyectivo ser\u00e1 de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\sin : \\left[-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}\\right] \\longrightarrow [-1,1]<\/span>\n<p>y bajo estas condiciones se cumple que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\sin(x) \\longleftrightarrow x=arcsin(y).<\/span>\n<p>Si aplicamos el teorema de la funci\u00f3n inversa se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcsin(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\sin(x)} = \\frac{1}{\\cos(x)}<\/span>\n<p>Ahora, recordemos la identidad trigonom\u00e9trica<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>de donde se infiere que, si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in [-\\pi\/2, \\pi\/2]<\/span><\/span>, entonces se cumple<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\cos(x) = \\sqrt{1 - \\sin^2(x)}<\/span>\n<p>Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco seno se llegar\u00e1 a la expresi\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcsin(y) = \\frac{1}{\\cos(x)} = \\frac{1}{ \\sqrt{1 - \\sin^2(x)}}<\/span>\n<p>Y como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\sin(x)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcsin(y) = \\frac{1}{ \\sqrt{1 - y^2}}<\/span>\n<p>Finalmente, sustituyendo las \u00aby\u00bb por \u00abx\u00bb en esta \u00faltima expresi\u00f3n llegamos a lo que se quer\u00eda demostrar:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}arcsin(x) = \\frac{1}{ \\sqrt{1 - x^2}}}<\/span>\n<\/div>\n<h5>Arco coseno<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3f8f0975b6\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span><div id=\"target-id69e3f8f0975b6\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p>La funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cos(x)<\/span><\/span> es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left[0+k\\pi , \\pi+ k\\pi \\right],<\/span><\/span> siendo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> un entero cualquiera. Sin p\u00e9rdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span>, de modo que la funci\u00f3n coseno biyectivo ser\u00e1 de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cos : \\left[0, \\pi\\right] \\longrightarrow [-1,1]<\/span>\n<p>y bajo estas condiciones se cumple que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\cos(x) \\longleftrightarrow x=arccos(y).<\/span>\n<p>Si aplicamos el teorema de la funci\u00f3n inversa se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arccos(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\cos(x)} = \\frac{-1}{\\sin(x)}<\/span>\n<p>Ahora, recordemos la identidad trigonom\u00e9trica<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>de donde se infiere que, si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in [0, \\pi]<\/span><\/span>, entonces se cumple<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\sin(x) = \\sqrt{1 - \\cos^2(x)}<\/span>\n<p>Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco coseno se llegar\u00e1 a la expresi\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arccos(y) = \\frac{-1}{\\sin(x)} = \\frac{-1}{ \\sqrt{1 - \\cos^2(x)}}<\/span>\n<p>Y como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\cos(x)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arccos(y) = \\frac{-1}{ \\sqrt{1 - y^2}}<\/span>\n<p>Finalmente, sustituyendo las \u00aby\u00bb por \u00abx\u00bb en esta \u00faltima expresi\u00f3n llegamos a lo que se quer\u00eda demostrar:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}arccos(x) = \\frac{-1}{ \\sqrt{1 - x^2}}}<\/span>\n<\/div>\n<h5>Arco tangente<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3f8f0976f4\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span><div id=\"target-id69e3f8f0976f4\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p>La funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tan(x)<\/span><\/span> es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[-\\frac{\\pi}{2}+k\\pi , \\frac{\\pi}{2}+ k\\pi \\right],<\/span><\/span> siendo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> un entero cualquiera. Sin perdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0,<\/span><\/span> de modo que la funci\u00f3n coseno biyectivo ser\u00e1 de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\tan : \\left[-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}\\right] \\longrightarrow \\mathbb{R}<\/span>\n<p>y bajo estas condiciones se cumple que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\tan(x) \\longleftrightarrow x=arctan(y).<\/span>\n<p>Si aplicamos el teorema de la funci\u00f3n inversa se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arctan(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\tan(x)} = \\frac{1}{\\sec^2(x)}<\/span>\n<p>Ahora, recordemos la identidad trigonom\u00e9trica<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>de donde se infiere que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\sec^2(x) =1+\\tan^2(x)<\/span>\n<p>Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco tangente se llegar\u00e1 a la expresi\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arctan(y) = \\frac{1}{\\sec^2(x)} = \\frac{1}{ 1+\\tan^2(x)}<\/span>\n<p>Y como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\tan(x)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arctan(y) = \\frac{1}{1 + y^2}<\/span>\n<p>Finalmente, sustituyendo las \u00aby\u00bb por \u00abx\u00bb en esta \u00faltima expresi\u00f3n llegamos a lo que se quer\u00eda demostrar:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}arctan(x) = \\frac{1}{1+ x^2}}<\/span>\n<\/div>\n<h5>Arco cotangente<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3f8f097834\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span><div id=\"target-id69e3f8f097834\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p>La funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">cot(x)<\/span><\/span> es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left[0+k\\pi , \\pi+ k\\pi \\right],<\/span><\/span> siendo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> un entero cualquiera. Sin p\u00e9rdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span>, de modo que la funci\u00f3n cotangente biyectivo ser\u00e1 de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ctg : \\left[0, \\pi\\right] \\longrightarrow \\mathbb{R}<\/span>\n<p>y bajo estas condiciones se cumple que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=ctg(x) \\longleftrightarrow x=arcctg(y).<\/span>\n<p>Si aplicamos el teorema de la funci\u00f3n inversa se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcctg(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}ctg(x)} = \\frac{-1}{\\csc^2(x)}<\/span>\n<p>Ahora, recordemos la identidad trigonom\u00e9trica<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>de donde se infiere que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\csc^2(x) =1+ctg^2(x)<\/span>\n<p>Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco cotangente se llegar\u00e1 a la expresi\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcctg(y) = \\frac{-1}{\\csc^2(x)} = \\frac{-1}{ 1+ctg^2(x)}<\/span>\n<p>Y como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=ctg(x)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}arcctg(y) = \\frac{-1}{1 + y^2}<\/span>\n<p>Finalmente, sustituyendo las \u00aby\u00bb por \u00abx\u00bb en esta \u00faltima expresi\u00f3n llegamos a lo que se quer\u00eda demostrar:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}arcctg(x) = \\frac{-1}{1+ x^2}}<\/span>\n<\/div>\n<h5>Arco secante<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3f8f09794d\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span><div id=\"target-id69e3f8f09794d\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p>La funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sec(x)<\/span><\/span> es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[0+k\\pi , \\pi+ k\\pi \\right]\\setminus\\left\\{\\frac{\\pi}{2} + k\\pi\\right\\},<\/span><\/span> siendo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> un entero cualquiera. Sin perdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span>, de modo que la funci\u00f3n secante biyectivo ser\u00e1 de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sec : \\left[0, \\pi\\right]\\setminus\\{\\pi\/2\\} \\longrightarrow \\mathbb{R}\\setminus]-1,1[<\/span>\n<p>y bajo estas condiciones se cumple que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\sec(x) \\longleftrightarrow x={arcsec}(y).<\/span>\n<p>Si aplicamos el teorema de la funci\u00f3n inversa se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\sec(x)} = \\frac{1}{\\sec(x)\\tan(x)}<\/span>\n<p>Ahora, recordemos la identidad trigonom\u00e9trica<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>de donde se infiere que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\tan^2(x) =\\sec^2(x)-1<\/span>\n<p>Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco secante se llegar\u00e1 a la expresi\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \\frac{1}{\\sec(x)\\tan(x)} = \\frac{1}{sec(x)\\sqrt{\\sec^2(x)-1}}<\/span>\n<p>Y como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\sec(x)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \\frac{1}{y\\sqrt{y^2-1}}<\/span>\n<p>Finalmente, sustituyendo las \u00aby\u00bb por \u00abx\u00bb en esta \u00faltima expresi\u00f3n llegamos a lo que se quer\u00eda demostrar:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}{arcsec}(x) = \\frac{1}{x\\sqrt{x^2-1}}}<\/span>\n<\/div>\n<h5>Arco cosecante<\/h5>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e3f8f097a61\"  tabindex=\"0\" title=\"Mostrar Demostraci\u00f3n\"    >Mostrar Demostraci\u00f3n<\/span><div id=\"target-id69e3f8f097a61\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p>La funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\csc(x)<\/span><\/span> es biyectiva siempre que restrinjamos su dominio a un conjunto de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[-\\frac{\\pi}{2}+k\\pi , \\frac{\\pi}{2} + k\\pi \\right]\\setminus\\left\\{0+k\\pi\\right\\}<\/span><\/span>, siendo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> un entero cualquiera. Sin perdida de generalidad es posible limitarse al caso principal, donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k=0<\/span><\/span>, de modo que la funci\u00f3n cosecante biyectivo ser\u00e1 de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\csc : \\left[-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}\\right]\\setminus\\{0\\} \\longrightarrow \\mathbb{R}\\setminus]-1,1[<\/span>\n<p>y bajo estas condiciones se cumple que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\csc(x) \\longleftrightarrow x={arccsc}(y).<\/span>\n<p>Si aplicamos el teorema de la funci\u00f3n inversa se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \\frac{1}{\\frac{d}{dx}\\csc(x)} = \\frac{-1}{\\csc(x)ctg(x)}<\/span>\n<p>Ahora, recordemos la identidad trigonom\u00e9trica<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1<\/span>\n<p>de donde se infiere que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ctg^2(x) =\\csc^2(x)-1<\/span>\n<p>Luego, si remplazamos esto en la derivada del arco cosecante se llegar\u00e1 a la expresi\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arcsec}(y) = \\frac{-1}{\\csc(x)ctg(x)} = \\frac{-1}{csc(x)\\sqrt{\\csc^2(x)-1}}<\/span>\n<p>Y como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=\\csc(x)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dy}{arccsc}(y) = \\frac{-1}{y\\sqrt{y^2-1}}<\/span>\n<p>Finalmente, sustituyendo las \u00aby\u00bb por \u00abx\u00bb en esta \u00faltima expresi\u00f3n llegamos a lo que se quer\u00eda demostrar:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{d}{dx}{arccsc}(x) = \\frac{-1}{x\\sqrt{x^2-1}}}<\/span>\n<\/div>\n<p><a name=\"22\"><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/hOAydWcd6zw\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/a><\/p>\n<h3>Derivaci\u00f3n Impl\u00edcita<\/h3>\n<p>Todas las derivadas que hemos calculado hasta ahora se han realizado sobre funciones que se han definido de forma expl\u00edcita: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=f(x)<\/span><\/span>. Sin embargo, hay situaciones en que a partir de la relaci\u00f3n entre variables, o no es sencillo obtener la expresi\u00f3n explicita de la funci\u00f3n, o simplemente tal tarea no es realizable. Para este tipo de casos es que sirve la t\u00e9cnica de la derivaci\u00f3n impl\u00edcita y sus fundamentos se encuentran, una vez mas, en la regla de la cadena.<\/p>\n<p>Para entender esta t\u00e9cnica valen m\u00e1s los ejemplos que las demostraciones, as\u00ed que consideremos la relaci\u00f3n entre las variables <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> dada por la ecuaci\u00f3n<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^3 +y^3- 9xy=0<\/span>\n<p>Si graficamos esta relaci\u00f3n nos daremos cuenta de que no es el gr\u00e1fico de ninguna funci\u00f3n. Es el gr\u00e1fico de una curva llamada \u00abhoja de Descartes\u00bb.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-l30tAMcTkk0\/YLCIuWcDueI\/AAAAAAAAFIY\/K7uSR44DepgIjBlSVV7mCQO-Z0iy_RnRQCLcBGAsYHQ\/s0\/hojaDeDescartes.PNG\" alt=\"hoja de descartes\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"690\" height=\"515\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-l30tAMcTkk0\/YLCIuWcDueI\/AAAAAAAAFIY\/K7uSR44DepgIjBlSVV7mCQO-Z0iy_RnRQCLcBGAsYHQ\/s0\/hojaDeDescartes.PNG\" alt=\"hoja de descartes\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"690\" height=\"515\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p>Ahora, si quisi\u00e9ramos calcular, por ejemplo: la derivada de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> con respecto a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span>, entonces tendr\u00edamos serias dificultades con encontrar de forma explicita expresi\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> que satisface la ecuaci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=f(x)<\/span><\/span> para luego derivar. Lo que hacemos, sin embargo, es saltarnos ese paso y asumimos impl\u00edcitamente que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> es funci\u00f3n de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span>, es decir: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=y(x)<\/span><\/span>. Haciendo esto, la relaci\u00f3n de la hoja de Descartes se transforma en:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^3 +y^3(x)- 9xy(x)=0<\/span>\n<p>Y podemos, en consecuencia, derivar todo utilizando la regla de la cadena. Si lo hacemos, llegaremos al siguiente resultado:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rcl}\n\n\\displaystyle 3x^{2} + 3\\,y(x)^{2}\\,\\frac{dy}{dx} - \\left(9\\,y(x) + 9x\\,\\frac{dy}{dx}\\right) &amp;=&amp; 0 \\\\ \\\\\n\n\\displaystyle 3x^{2} + 3\\,y(x)^{2}\\,\\frac{dy}{dx} - 9\\,y(x) - 9x\\,\\frac{dy}{dx} &amp;=&amp; 0 \\\\ \\\\\n\n\\displaystyle \\frac{dy}{dx}\\,\\big(3\\,y(x)^{2} - 9x\\big) &amp;=&amp; 9\\,y(x) - 3x^{2} \\\\ \\\\\n\n\\displaystyle \\frac{dy}{dx} &amp;=&amp; \\dfrac{9\\,y(x) - 3x^{2}}{3\\,y(x)^{2} - 9x} \\\\ \\\\\n\n\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{dy}{dx}} &amp;\\color{blue}{=}&amp; \\color{blue}{\\dfrac{3\\,y(x) - x^{2}}{y(x)^{2} - 3x}}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>A partir de esto podemos calcular, si conocemos un punto de la curva, la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto. Por ejemplo, a partir del gr\u00e1fico podemos intuir que el punto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2,4)<\/span><\/span> est\u00e1 sobre la curva; y de hecho, esto se corrobora porque <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2^3 + 4^3 - 9\\cdot 2\\cdot 4 = 8+64 - 72 = 0. <\/span><\/span> Sabiendo esto podemos decir r\u00e1pidamente que la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto ser\u00e1:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\left.\\frac{dy}{dx}\\right|_{(2,4)}= \\frac{3\\cdot 4 - 2^2}{4^2 - 3\\cdot 2}= \\frac{8}{10}= \\frac{4}{5}}<\/span>\n<p><a name=\"221\"><\/a><\/p>\n<h4>Derivadas de potencias racionales<\/h4>\n<p>Derivando impl\u00edcitamente es posible ampliar el alcance de una de las t\u00e9cnicas b\u00e1sicas de derivaci\u00f3n. Esta es la derivada de funciones del tipo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=x^n<\/span><\/span>, con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span>. Ahora podemos pasar de considerar enteros a racionales y demostrar sin dificultad que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{d}{dx}x^{p\/q}= \\frac{p}{q}x^{(p\/q) -1}<\/span>\n<p>Donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p,q\\in\\mathbb{Z}<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q\\neq 0<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>Para demostrar esto decimos: sea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=x^{p\/q}<\/span><\/span> y le aplicamos logaritmo natural para obtener:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\ln(y) = \\displaystyle \\frac{p}{q}\\ln(x)<\/span>\n<p>Ahora, derivando impl\u00edcitamente esta expresi\u00f3n se tendr\u00e1<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\frac{1}{y}\\frac{dy}{dx} = \\frac{p}{q}\\frac{1}{x}<\/span>\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{\\frac{dy}{dx} = \\frac{p}{q}\\frac{1}{x}y(x)= \\frac{p}{q}\\frac{1}{x}x^{p\/q} = \\frac{p}{q}x^{(p\/q) - 1}}\n\n<\/span>\n<p><a name=\"3\"><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KwJ5Bb5Ch_o\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/a><\/p>\n<h2>Gu\u00eda de Ejercicios:<\/h2>\n<h4>Regla de la Cadena Una Variable<\/h4>\n<ol>\n<li>Calcule las derivadas del siguiente grupo de funciones:<br \/>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"20px\">a.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=(x^2-3)^{12}<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">b.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\left(\\frac{4x^3 - x\\cos(2x) - 1}{\\sin(2x) + 2} \\right)^5<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"20px\">c.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\cos(1-x^2)<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">d.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\tan(x\\cos(3-x^2))<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"20px\">e.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\frac{1}{(\\sec(2x)-1)^{3\/2}}<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">f.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\frac{\\tan(2x)}{1-\\cot(2x)}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"20px\">g.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\ln\\left(\\frac{\\tan(x)}{x^2+1}\\right)<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">h.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=3^{\\csc(4x)}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/li>\n<li>Calcule la derivada del siguiente grupo de funciones:<br \/>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"20px\">a.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\frac{1}{\\sqrt{x}arctan\\left(x^3\\right)}<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">b.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\displaystyle \\frac{{arcsec}(x^2-x+2)}{\\sqrt{x^2+1}}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"20px\">c.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=x^x<\/span><\/span><\/td>\n<td width=\"20px\">d.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)={arccsc}\\left(x^{\\ln(x)}\\right)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"20px\">e.<\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=\\ln\\left(arctan(e^x)\\right)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Regla de la Cadena para la derivada de la composici\u00f3n de funciones Con lo que hemos visto hasta ahora, ya tenemos todo lo b\u00e1sico para calcular casi cualquier derivada. 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