{"id":34827,"date":"2022-07-12T13:00:55","date_gmt":"2022-07-12T13:00:55","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34827"},"modified":"2025-09-21T02:58:39","modified_gmt":"2025-09-21T02:58:39","slug":"die-galilei-transformationen-und-ihre-grenzen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/die-galilei-transformationen-und-ihre-grenzen\/","title":{"rendered":"Die Galilei-Transformationen und ihre Grenzen"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Die Galilei-Transformationen und ihre Grenzen<\/h1>\n<p class=\"eq\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nDas Relativit\u00e4tsprinzip besagt, dass die Beobachtungen vom Inertialsystem abh\u00e4ngen, jedoch so, dass die physikalischen Gesetze erhalten bleiben. Einen ersten und intuitiven Zugang zu diesem Prinzip bieten die Galilei-Transformationen, die beschreiben, wie sich Beobachtungen zwischen Inertialsystemen in der klassischen Mechanik \u00e4ndern. In dieser Vorlesung werden wir diese Transformationen und ihre Eigenschaften untersuchen und auch sehen, wie sie beim Ph\u00e4nomen der Wellenausbreitung versagen.<\/br><\/em><\/p>\n<p><strong>LERNZIELE<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<ol>\n<li><strong>Erkennen<\/strong> der grundlegenden Konzepte der Galilei-Transformationen, einschlie\u00dflich ihrer grundlegenden Formulierung und zugrunde liegenden Prinzipien.<\/li>\n<li><strong>Analysieren<\/strong> der galileischen Geometrie von Raum und Zeit und ihrer Trennung im Rahmen der klassischen Mechanik.<\/li>\n<li><strong>Bewerten<\/strong> der Grenzen der Galilei-Transformationen bei der Anwendung auf Ph\u00e4nomene wie die Wellenausbreitung und ihre Relevanz f\u00fcr den Fortschritt hin zur speziellen Relativit\u00e4tstheorie.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><\/p>\n<p class=\"indx\"><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Formulierung der Galilei-Transformationen<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Die inverse Transformation<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Die absolute Zeit und die Addition der Geschwindigkeiten<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Galileische Geometrie von Raum und Zeit<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\"><strong>Die Galilei-Relativit\u00e4t und die physikalischen Gesetze<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Angewandt auf die Newtonsche Dynamik<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Angewandt auf die Wellenausbreitung<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\">Welche Wirkung haben die Galilei-Transformationen auf die Wellenausbreitung?<\/a><\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ku-9nbTSaJg?si=1dmuCtjzBPUy14v_\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\n<\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Formulierung der Galilei-Transformationen<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Die Newtonsche Physik beruht auf dem Relativit\u00e4tsprinzip, das durch die Galilei-Transformationen modelliert wird, wobei die Zeit als universelle Koordinate f\u00fcr alle Inertialbeobachter festgelegt ist; das hei\u00dft: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=t^\\prime<\/span>. Unter dieser Annahme hat sich gezeigt, dass die lineare Transformation, die die Beobachtungen zweier Inertialsysteme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> verbindet, wie in der Vorlesung \u00fcber <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/el-principio-de-relatividad-especial\/?fbclid=IwAR2_lpF1hyUlbSzFQ5B5OQpPu1Vhc_20zTGu8D4pxKPsSvzZRvLSzPdwQXU\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">das Relativit\u00e4tsprinzip<\/a> besprochen, die Form einer linearen Transformation hat:<\/p>\n<p><a name=\"eq1\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nt^\\prime &amp;= At + Bx,\\\\ x^\\prime &amp;= Dt + Ex,\\\\ y^\\prime &amp;= y, \\\\ z^\\prime &amp;=z,\n\n\\end{array}<\/span> <strong>[1]<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">nimmt die folgende Form an, wenn die Inertialsysteme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> in Standardkonfiguration stehen und sich <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> mit der Geschwindigkeit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_{ss^\\prime_x}\\hat{x}<\/span> relativ zu <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> bewegt<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio.png\" alt=\"Koordinatentransformationen\" width=\"1374\" height=\"741\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25502 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio.png\" alt=\"Koordinatentransformationen\" width=\"1374\" height=\"741\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25502 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio.png 1374w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio-300x162.png 300w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio-1024x552.png 1024w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/coordenadas-cambio-768x414.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1374px) 100vw, 1374px\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p><a name=\"eq2\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rlr}\n\n{}t^\\prime &amp;= t  \\\\ x^\\prime &amp;= x - v_{ss^\\prime_x}t \\\\ y^\\prime &amp;= y \\\\ z^\\prime &amp;= z\n\n\\end{array}\n\n<\/span> <strong>[2]<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h3>Die inverse Transformation<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Aufgrund einer Art algebraischer Symmetrie k\u00f6nnen wir die inverse Transformation schreiben:<\/p>\n<p><a name=\"eq3\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nt &amp;= t^\\prime \\\\ x &amp;= x^\\prime + v_{ss^\\prime_x}t \\\\ y &amp;= y^\\prime \\\\ z &amp;= z^\\prime \\end{array}\n\n<\/span> <strong>[3]<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Die absolute Zeit und die Addition der Geschwindigkeiten<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Aus der ersten Gleichung der Galilei-Transformationen (egal ob <a href=\"#eq2\">[2]<\/a> oder <a href=\"#eq3\">[3]<\/a>) ergibt sich, dass die Zeitkoordinate eines Ereignisses nicht vom Bezugssystem abh\u00e4ngt, von dem aus es beobachtet wird, w\u00e4hrend die zweite Gleichung das liefert, was \u00fcblicherweise als \u201egesunder Menschenverstand\u201c in Bezug auf die Addition von Geschwindigkeiten verstanden wird. Bewegt sich ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_{ss^\\prime_x}<\/span> entlang der Achse <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span> von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S,<\/span> dann ergibt sich seine Geschwindigkeit in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> aus<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle v^\\prime_x = \\frac{dx^\\prime}{dt^\\prime} = \\frac{dx^\\prime}{dt} = \\frac{d}{dt}\\left(x - v_{ss^\\prime_x} t \\right) = v_x - v_{ss^\\prime_x}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Aus dieser letzten Darstellung folgt, dass die Beschleunigung eines beliebigen Teilchens in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S<\/span> und in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S^\\prime<\/span> dieselbe ist, das hei\u00dft: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dv^\\prime_x\/dt^\\prime = dv_x\/dt<\/span>.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Galileische Geometrie von Raum und Zeit<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Betrachten wir zwei Ereignisse <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> mit den Koordinaten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(t_A,x_A,y_A,z_A)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(t_B,x_B,y_B,z_B),<\/span> jeweils. Es ist leicht zu erkennen, dass die Gr\u00f6\u00dfen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta t = t_B - t_A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta r^2 = \\Delta x^2 + \\Delta y^2 + \\Delta z^2<\/span> getrennt invariant unter den Galilei-Transformationen sind. Dies f\u00fchrt uns dazu, Raum und Zeit als getrennte Entit\u00e4ten zu betrachten. Andererseits deutet <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta r^2<\/span> darauf hin, dass es sich hierbei um eine geometrische Eigenschaft des Raumes selbst handelt. Wir erkennen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta r^2<\/span> als das Quadrat des Abstands zwischen den Ereignissen im euklidischen Raum. Dies definiert die Geometrie von Raum und Zeit im Kontext der Newtonschen Mechanik.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Galilei-Relativit\u00e4t und die physikalischen Gesetze<\/h2>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Angewandt auf die Newtonsche Dynamik<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass im Kontext der Newtonschen Physik zwei verschiedene beliebige Inertialsysteme stets dieselben Beschleunigungen sehen. Dies, zusammen mit dem zweiten Newtonschen Gesetz, impliziert, dass alle Inertialsysteme stets dieselbe Dynamik beobachten. Das hei\u00dft:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle F_x = m\\frac{dv_x}{dt}= m\\frac{dv^\\prime_x}{dt^\\prime} = F^\\prime_x.<\/span> <\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Dieser letzte Ausdruck sagt uns, dass die <strong>Physik sich bei Galilei-Transformationen nicht \u00e4ndert,<\/strong> was gleichbedeutend damit ist, dass die Physik f\u00fcr alle Inertialbeobachter dieselbe ist.<\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h3>Angewandt auf die Wellenausbreitung<\/h3>\n<p style=\"text-align:justify;\">Auch wenn diese Best\u00e4ndigkeit der Physik bei \u00c4nderungen von Inertialbeobachtern etwas ist, was man erwartet \u2013 erstens, weil wir dies beim Bewegen beobachten, und zweitens, weil es durch die vorhergehenden Berechnungen erhalten wurde \u2013, so trifft dies in Wirklichkeit nicht immer in dieser Weise zu. Der bemerkenswerteste Fall eines Ph\u00e4nomens, das unter Galilei-Transformationen nicht erhalten bleibt, ist der Fall der Wellenausbreitung; im Allgemeinen hat die Gleichung, die die Ausbreitung einer Welle <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi<\/span> im Raum und in der Zeit modelliert, die Form<\/p>\n<p><a name=\"eq4\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\nabla^2 \\psi = \\frac{1}{v_0^2}\\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial t^2}<\/span> <strong>[4]<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0<\/span> die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist.<\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<h4>Welche Wirkung haben die Galilei-Transformationen auf die Wellenausbreitung?<\/h4>\n<p style=\"text-align:justify;\">Hierauf gibt es eine kurze und eine lange Antwort. Die kurze Antwort lautet: \u201eAuch wenn dasselbe Ph\u00e4nomen beobachtet wird, sehen verschiedene Inertialbeobachter eine unterschiedliche \u201aPhysik\u2018.\u201c Die lange Antwort besteht darin, zu betrachten, wie sich die Wellenausbreitungsgleichung ver\u00e4ndert, wenn die Galilei-Transformation angewandt wird; dazu nehmen wir zun\u00e4chst die Gleichung <a href=\"#eq3\">[4]<\/a> und entwickeln sie in Bezug auf jede ihrer Koordinaten, wobei wir erhalten:<\/p>\n<p><a name=\"eq5\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial ^2 \\psi}{\\partial x^2} + \\frac{\\partial ^2 \\psi}{\\partial y^2} + \\frac{\\partial ^2 \\psi}{\\partial z^2} = \\frac{1}{v_0^2} \\frac{\\partial ^2 \\psi}{\\partial t^2}.<\/span> <strong>[5]<\/strong><\/p>\n<p>Mit dieser Gleichung zur Hand m\u00fcssen wir nun die Gleichungen aus <a href=\"#eq3\">[3]<\/a> verwenden, um die Ableitungen im anderen Inertialsystem neu auszudr\u00fccken.<\/p>\n<h5>Transformation der ersten Ableitungen<\/h5>\n<p style=\"text-align:justify;\">Entsprechend den Ausdr\u00fccken aus <a href=\"#eq3\">[3]<\/a> und durch Ableitung jeder Variablen in Bezug auf die Strichvariablen ergibt sich:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial x^\\prime}{\\partial x} = \\frac{\\partial y^\\prime}{\\partial y}= \\frac{\\partial z^\\prime}{\\partial z}= \\frac{\\partial t^\\prime}{\\partial t}= 1<\/span>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial x^\\prime}{\\partial t} = - v_{x_0}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">W\u00e4hrend alle \u00fcbrigen verschwinden:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial t^\\prime}{\\partial x} = \\frac{\\partial t^\\prime}{\\partial y} = \\frac{\\partial t^\\prime}{\\partial z} = \\frac{\\partial x^\\prime}{\\partial y} = \\frac{\\partial x^\\prime}{\\partial z} = \\frac{\\partial y^\\prime}{\\partial x} = \\frac{\\partial y^\\prime}{\\partial z} = \\frac{\\partial y^\\prime}{\\partial t} = \\frac{\\partial z^\\prime}{\\partial x} = \\frac{\\partial z^\\prime}{\\partial y} = \\frac{\\partial z^\\prime}{\\partial t} = 0\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Damit k\u00f6nnen wir nun die Ableitungen von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi<\/span> mithilfe der Kettenregel berechnen:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\frac{\\partial \\psi}{\\partial x} = \\frac{\\partial \\psi}{\\partial x^\\prime} \\underbrace{\\frac{\\partial x^\\prime}{\\partial x}}_{=1} + \\frac{\\partial \\psi}{\\partial y^\\prime} \\underbrace{\\frac{\\partial y^\\prime}{\\partial x}}_{=0} +\n\n\\frac{\\partial \\psi}{\\partial z^\\prime} \\underbrace{\\frac{\\partial z^\\prime}{\\partial x}}_{=0} + \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t^\\prime} \\underbrace{\\frac{\\partial t^\\prime}{\\partial x}}_{=0} =  \\frac{\\partial \\psi}{\\partial x^\\prime}.<\/span>\n<p>Und in analoger Weise gilt dies f\u00fcr die beiden anderen Raumvariablen:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\frac{\\partial \\psi}{\\partial y} =  \\frac{\\partial \\psi}{\\partial y^\\prime}.<\/span>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\frac{\\partial \\psi}{\\partial z} =  \\frac{\\partial \\psi}{\\partial z^\\prime}.<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Die zeitliche Ableitung weist jedoch einige Unterschiede auf:<\/p>\n<p id=\"eq\">\n<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t} &amp;= \\displaystyle\\frac{\\partial \\psi}{\\partial x^\\prime}\\underbrace{\\frac{\\partial x^\\prime}{\\partial t}}_{=-v_{x_0}} + \\frac{\\partial \\psi}{\\partial y^\\prime}\\underbrace{\\frac{\\partial y^\\prime}{\\partial t}}_{=0} + \\frac{\\partial \\psi}{\\partial z^\\prime}\\underbrace{\\frac{\\partial z^\\prime}{\\partial t}}_{=0} + \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t^\\prime}\\underbrace{\\frac{\\partial t^\\prime}{\\partial t}}_{=1}\\\\ &amp;=\\displaystyle -v_{x_0} \\frac{\\partial \\psi}{\\partial x^\\prime} + \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t^\\prime},\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<h5>Transformation der zweiten Ableitungen<\/h5>\n<p style=\"text-align:justify;\">F\u00fcr den r\u00e4umlichen Teil kann man ohne gro\u00dfe Schwierigkeiten fortfahren, die Ergebnisse lauten:<\/p>\n<p><a name=\"eq6\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial x^2} = \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial {x^\\prime}^2}.<\/span> <strong>[6]<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"eq7\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial y^2} = \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial {y^\\prime}^2}<\/span> <strong>[7]<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"eq8\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial z^2} = \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial {z^\\prime}^2}<\/span> <strong>[8]<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Der zeitliche Teil jedoch, wie bereits aus den ersten Ableitungen zu erwarten war, zeigt gro\u00dfe Unterschiede:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle\\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial t^2} &amp;=\\displaystyle \\frac{\\partial}{\\partial t}\\left( -v_{x_0} \\frac{\\partial \\psi}{\\partial x^\\prime} + \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t^\\prime} \\right)\\\\ &amp; \\displaystyle = -v_{x_0} \\frac{\\partial }{\\partial t} \\left(\\frac{\\partial \\psi}{\\partial x^\\prime} \\right) + \\frac{\\partial }{\\partial t} \\left(\\frac{\\partial \\psi}{\\partial t^\\prime} \\right)\\\\ &amp;\\displaystyle = -v_{x_0} \\frac{\\partial }{\\partial x^\\prime} \\left(\\frac{\\partial \\psi}{\\partial t} \\right) + \\frac{\\partial }{\\partial t^\\prime} \\left(\\frac{\\partial \\psi}{\\partial t} \\right)\\\\ &amp;\\displaystyle = -v_{x_0} \\frac{\\partial }{\\partial x^\\prime} \\left(-v_{x_0} \\frac{\\partial \\psi}{\\partial x^\\prime} + \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t^\\prime} \\right) + \\frac{\\partial }{\\partial t^\\prime} \\left(-v_{x_0} \\frac{\\partial \\psi}{\\partial x^\\prime} + \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t^\\prime} \\right) \\end{array}<\/span>\n<p><a name=\"eq9\"><\/a><\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle\\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial t^2}  = v_{x_0}^2 \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial {x^\\prime}^2} - 2v_{x_0}\\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial x^\\prime \\partial t^\\prime} + \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial {t^\\prime}^2}.<\/span> <strong>[9]<\/strong><\/p>\n<h5>Anwendung der Galilei-Transformationen auf die Wellenausbreitung<\/h5>\n<p style=\"text-align:justify;\">Auf diese Weise ist es m\u00f6glich, die Galilei-Transformation auf die Wellenausbreitungsgleichung anzuwenden, indem man die Gleichungen [<a href=\"#eq6\">6<\/a>,<a href=\"#eq7\">7<\/a>,<a href=\"#eq8\">8<\/a>] und [<a href=\"#eq9\">9<\/a>] in [<a href=\"#eq5\">5<\/a>] einsetzt, was zum folgenden Ergebnis f\u00fchrt:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial {x^\\prime}^2} + \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial {y^\\prime}^2} + \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial {z^\\prime}^2} = \\frac{1}{v_0^2} \\left(\\color{red}{ v_{x_0}^2 \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial {x^\\prime}^2} - 2v_{x_0}\\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial x^\\prime \\partial t^\\prime}} + \\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial {t^\\prime}^2} \\right).\n\n<\/span> <strong>[10]<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Hierbei zeigt sich, dass die Form der Wellenausbreitung unter Galilei-Transformationen nicht erhalten bleibt, da die zus\u00e4tzlich in Rot markierten Terme erscheinen. Auch wenn dies vorerst keine gro\u00dfen Konsequenzen hat, werden wir in sp\u00e4teren Vorlesungen sehen, dass dies genau der Punkt ist, der \u2013 sozusagen \u2013 die klassische Physik \u201eaufbricht\u201c und den Weg zur speziellen Relativit\u00e4t ebnet.<\/p>\n<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<h2>Schlussfolgerungen<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">\n        Die Galilei-Transformationen, grundlegend in der klassischen Mechanik, schaffen einen Rahmen, um zu verstehen, wie sich Beobachtungen zwischen verschiedenen Inertialsystemen ver\u00e4ndern. Durch diese Untersuchung haben wir das Konzept der absoluten Zeit und die Geschwindigkeitsaddition als S\u00e4ulen der galileischen Geometrie von Raum und Zeit erkannt. Wir haben jedoch bedeutende Grenzen dieser Transformationen entdeckt, insbesondere bei ihrer Anwendung auf die Wellenausbreitung. Diese Analyse unterstreicht die Notwendigkeit eines komplexeren Ansatzes zur Beschreibung des physikalischen Universums, der uns zur speziellen Relativit\u00e4t und \u00fcber die klassische Intuition hinausf\u00fchrt. Zusammenfassend bieten die Galilei-Transformationen zwar eine solide Grundlage in der klassischen Physik, doch ihre Unzul\u00e4nglichkeit gegen\u00fcber bestimmten Ph\u00e4nomenen hebt die st\u00e4ndige Weiterentwicklung unseres Verst\u00e4ndnisses des Universums hervor.\n    <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Galilei-Transformationen und ihre Grenzen Zusammenfassung: Das Relativit\u00e4tsprinzip besagt, dass die Beobachtungen vom Inertialsystem abh\u00e4ngen, jedoch so, dass die physikalischen Gesetze erhalten bleiben. Einen ersten und intuitiven Zugang zu diesem Prinzip bieten die Galilei-Transformationen, die beschreiben, wie sich Beobachtungen zwischen Inertialsystemen in der klassischen Mechanik \u00e4ndern. 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