{"id":34814,"date":"2022-07-12T13:00:34","date_gmt":"2022-07-12T13:00:34","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34814"},"modified":"2025-09-21T02:36:28","modified_gmt":"2025-09-21T02:36:28","slug":"die-lichtgeschwindigkeit-und-elektromagnetische-wellen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/die-lichtgeschwindigkeit-und-elektromagnetische-wellen\/","title":{"rendered":"Die Lichtgeschwindigkeit und elektromagnetische Wellen"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Die Lichtgeschwindigkeit und elektromagnetische Wellen im Vakuum<\/h1>\n<p class=\"eq\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Vorlesung werden wir untersuchen, wie sich aus dem Verhalten elektromagnetischer Wellen im Vakuum die L\u00f6sung der Maxwellschen Gleichungen des Elektromagnetismus im leeren Raum ergibt. Daraus folgt, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum eine Konstante ist, die von keinem Inertialsystem abh\u00e4ngt.<\/br><\/em><\/p>\n<p><strong>LERNZIELE<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:<\/center><\/p>\n<ol>\n<li><strong>Nachzuweisen<\/strong>, dass zwischen den Maxwellschen Gleichungen im Vakuum und der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen ein Zusammenhang besteht.<\/li>\n<li><strong>Zu begr\u00fcnden<\/strong>, warum die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum konstant ist und wie dies den Galilei-Transformationen widerspricht.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><\/p>\n<p class=\"indx\"><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\"><strong>Die Lichtgeschwindigkeit als universelle Konstante<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#4\"><strong>Schlussfolgerungen<\/strong><\/a>\n<\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/FsHuY-aQGdA\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Der Elektromagnetismus im leeren Raum weist einige Eigenschaften auf, die es wert sind, hervorgehoben zu werden. Es zeigt sich, dass die Maxwellschen Gleichungen, welche die elektrischen und magnetischen Felder beschreiben, im Vakuum die folgende Form annehmen:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rlr}\n\n\\vec{\\nabla} \\cdot \\vec{E}  &amp;= 0 &amp; [1]\\\\ \\vec{\\nabla} \\cdot \\vec{B}  &amp;= 0 &amp; [2]\\\\ \\vec{\\nabla} \\times \\vec{E} &amp;\\displaystyle = -\\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t} &amp; [3]\\\\ \\vec{\\nabla} \\times \\vec{B} &amp;\\displaystyle = \\mu_0\\epsilon_0 \\frac{\\partial \\vec{E}}{\\partial t} &amp; [4] \\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Daraus l\u00e4sst sich best\u00e4tigen, dass jede St\u00f6rung der elektrischen und magnetischen Felder sich als Welle im leeren Raum ausbreitet. Wie wissen wir das? Durch die Analyse dieser Ausdr\u00fccke erh\u00e4lt man eine Wellengleichung f\u00fcr beide Felder.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Aus [4] und [5] ergibt sich, dass das elektrische Feld die folgende Beziehung erf\u00fcllt:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{llr}\n\n\\vec{\\nabla} \\times (\\vec{\\nabla} \\times \\vec{E}) &amp;= \\displaystyle \\vec{\\nabla} \\times \\left( -\\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t} \\right) &amp;\\\\\n\n                                      &amp;=\\displaystyle -\\frac{\\partial}{\\partial t}\\left(\\vec{\\nabla} \\times \\vec{B}\\right) = -\\frac{\\partial}{\\partial t} \\left(\\mu_0\\epsilon_0 \\frac{\\partial \\vec{E}}{\\partial t} \\right) = -\\mu_0\\epsilon_0  \\frac{\\partial^2 \\vec{E}}{\\partial t^2}&amp; [6]\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Dann erf\u00fcllt jedes Vektorfeld die folgende Beziehung:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{\\nabla} \\times \\left(\\vec{\\nabla} \\times \\vec{A} \\right) = \\vec{\\nabla}(\\vec{\\nabla} \\cdot \\vec{A}) - \\nabla^2 \\vec{A},\\;\\;\\;[7]<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Aus [2, 6] und [7] l\u00e4sst sich schreiben:<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n&amp;\\displaystyle \\vec{\\nabla}(\\underbrace{\\vec{\\nabla} \\cdot \\vec{E}}_{=0}) - \\nabla^2 \\vec{E} = \\vec{\\nabla} \\times \\left(\\vec{\\nabla} \\times \\vec{E} \\right) = -\\mu_0\\epsilon_0  \\frac{\\partial^2 \\vec{E}}{\\partial t^2} &amp; \\\\\n\n\\equiv &amp;\\displaystyle \\color{blue}{\\nabla^2 \\vec{E} =  \\mu_0\\epsilon_0  \\frac{\\partial^2 \\vec{E}}{\\partial t^2}}  &amp; [8]\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Das, was hier in Blau hervorgehoben ist, ist genau eine Wellenausbreitungsgleichung f\u00fcr das elektrische Feld.<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">V\u00f6llig analog verh\u00e4lt es sich f\u00fcr das magnetische Feld.<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{ll}\n\n\\vec{\\nabla} \\times (\\vec{\\nabla} \\times \\vec{B}) &amp;= \\displaystyle \\vec{\\nabla} \\times \\left(\\mu_0\\epsilon_0 \\frac{\\partial \\vec{E}}{\\partial t} \\right)\\\\\n\n                                      &amp;=\\displaystyle \\mu_0\\epsilon_0 \\frac{\\partial}{\\partial t}\\left(\\vec{\\nabla} \\times \\vec{E}\\right) = \\mu_0\\epsilon_0 \\frac{\\partial}{\\partial t} \\left(- \\frac{\\partial \\vec{B}}{\\partial t} \\right) = -\\mu_0\\epsilon_0 \\displaystyle  \\frac{\\partial^2 \\vec{B}}{\\partial t^2}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">und dann<\/p>\n<p id=\"eq\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rll}\n\n&amp; \\displaystyle \\vec{\\nabla}(\\underbrace{\\vec{\\nabla} \\cdot \\vec{B}}_{=0}) - \\nabla^2 \\vec{B} = \\vec{\\nabla} \\times \\left(\\vec{\\nabla} \\times \\vec{B} \\right) = -\\mu_0\\epsilon_0  \\frac{\\partial^2 \\vec{B}}{\\partial t^2} &amp;\\\\\n\n\\equiv &amp;\\color{blue}{\\nabla^2 \\vec{B} = \\displaystyle \\mu_0\\epsilon_0  \\frac{\\partial^2 \\vec{B}}{\\partial t^2}}&amp; [9]\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">Daraus folgt, dass die elektromagnetischen Felder im Vakuum viele m\u00f6gliche Modi besitzen, und eine Familie dieser Modi hat die Form einer elektromagnetischen Welle, die sich durch Raum und Zeit ausbreitet.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Lichtgeschwindigkeit ist eine universelle Konstante<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">Mit anderen Worten: St\u00f6rungen in den elektromagnetischen Feldern breiten sich stets mit der Geschwindigkeit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c = 1\/\\sqrt{\\epsilon_0 \\mu_0}\\approx 3\\cdot 10^8[m\/s],<\/span> aus, was der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum entspricht. Experimentell l\u00e4sst sich beobachten, dass diese Geschwindigkeit f\u00fcr alle Inertialsysteme gleich ist, was nicht mit dem \u00fcbereinstimmt, was sich bei Anwendung der Galilei-Transformationen ergeben w\u00fcrde, wie in <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/las-transformaciones-de-galileo-y-sus-limitaciones\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Die Galilei-Transformationen und ihre Grenzen<\/a> gezeigt wird; denn gem\u00e4\u00df diesen ver\u00e4ndert sich sogar die Struktur der Welle, wenn man von einem Inertialsystem in ein anderes \u00fcbergeht. Diese Ergebnisse sind das entscheidende Argument, um die Galilei-Transformationen beiseitezulegen und den Lorentz-Transformationen der speziellen Relativit\u00e4tstheorie den Vorrang zu geben, da eine korrekt formulierte Koordinatentransformation die physikalischen Gesetze f\u00fcr alle Inertialbeobachter bewahren muss.<\/p>\n<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\"><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Schlussfolgerungen<\/h2>\n<p style=\"text-align:justify;\">\n        Diese Untersuchung \u00fcber elektromagnetische Wellen und die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat grundlegende Aspekte der modernen Physik aufgezeigt. Die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum beschreiben nicht nur die Ausbreitung elektromagnetischer Felder als Wellen, sondern heben auch eine universelle Konstante hervor: die Lichtgeschwindigkeit. Diese Entdeckung stellt die klassischen Vorstellungen der Physik, wie die Galilei-Transformationen, in Frage und unterstreicht die Bedeutung der Lorentz-Transformationen in der speziellen Relativit\u00e4tstheorie. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen ist ein grundlegender Pfeiler unseres Verst\u00e4ndnisses des Universums, der \u00fcber die klassische Intuition hinausgeht und den Weg zu einer tieferen Erforschung der physikalischen Gesetze er\u00f6ffnet.\n    <\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die Lichtgeschwindigkeit und elektromagnetische Wellen im Vakuum Zusammenfassung: In dieser Vorlesung werden wir untersuchen, wie sich aus dem Verhalten elektromagnetischer Wellen im Vakuum die L\u00f6sung der Maxwellschen Gleichungen des Elektromagnetismus im leeren Raum ergibt. Daraus folgt, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum eine Konstante ist, die von keinem Inertialsystem abh\u00e4ngt. 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