{"id":34787,"date":"2021-08-31T13:00:04","date_gmt":"2021-08-31T13:00:04","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34787"},"modified":"2025-09-21T00:08:20","modified_gmt":"2025-09-21T00:08:20","slug":"coulombsches-gesetz-und-die-elektrostatische-kraft","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/coulombsches-gesetz-und-die-elektrostatische-kraft\/","title":{"rendered":"Coulombsches Gesetz und die elektrostatische Kraft"},"content":{"rendered":"<style>\n\tp, ul, ol {\n\t\ttext-align: justify;\n\t}\n\th1, h2 {\n\ttext-align:center;\n\t}\n<\/style>\n<h1>Coulombsches Gesetz und die elektrostatische Kraft<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\">\nDas \u201eCoulombsche Gesetz und die elektrostatische Kraft\u201c hat nicht nur unser Verst\u00e4ndnis der elektrischen Kr\u00e4fte erweitert, sondern auch unerwartete Anekdoten hervorgebracht. Benjamin Franklin, der in einem Experiment versuchte, mit Elektrizit\u00e4t einen Truthahn ohnm\u00e4chtig zu machen und zu garen, wurde schlie\u00dflich selbst zum Versuchsobjekt: Eine Entladung lie\u00df ihn benommen zur\u00fcck und sein Haar stellte sich auf, als ob er die Feldlinien des elektrischen Feldes am eigenen K\u00f6rper veranschaulichte. Und nun ist es unsere Aufgabe, die elektrischen Kr\u00e4fte zu studieren.\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Studierende in der Lage sein,<\/p>\n<ol>\n<li><strong>elektrische Ph\u00e4nomene zu modellieren<\/strong>, indem er das Superpositionsprinzip verwendet, um die resultierende Kraft auf eine Probeladung zu berechnen.<\/li>\n<li><strong>das Studium elektrischer Kr\u00e4fte zu vereinfachen<\/strong>, indem es auf den elektrostatischen Fall beschr\u00e4nkt wird.<\/li>\n<li><strong>das Coulombsche Gesetz anzuwenden<\/strong>, um die Kraft zwischen zwei Ladungen in verschiedenen Situationen zu bestimmen.<\/li>\n<li><strong>Systeme zu analysieren<\/strong>, die auf die Quelle der Ladung zentriert sind, mittels einer vereinfachten Formulierung des Coulombschen Gesetzes.<\/li>\n<li><strong>praktische Probleme zu l\u00f6sen<\/strong>, die mit Ladungsverteilungen zusammenh\u00e4ngen.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Das Superpositionsprinzip<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Die elektrostatische Vereinfachung<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Das Coulombsche Gesetz<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Coulombsches Gesetz f\u00fcr Systeme, die auf die Quelle der Ladungen zentriert sind<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">\u00dcbungen<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/RV3Uzorlkr4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>Nun gilt es, diese Ph\u00e4nomene mathematisch zu modellieren, und dazu werden wir das <strong>Coulombsche Gesetz<\/strong> einf\u00fchren. Doch zuvor m\u00fcssen einige Punkte erkl\u00e4rt werden, n\u00e4mlich: das Superpositionsprinzip und die elektrostatische Vereinfachung.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Das Superpositionsprinzip<\/h2>\n<p>Das grundlegende Problem der Elektrodynamik besteht darin, die Kraft zu bestimmen, die eine \u201eWolke\u201c elektrischer Ladungen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_1<\/span><\/span>, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_2<\/span><\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cdots<\/span> auf eine Probeladung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_0<\/span>,<\/span> aus\u00fcbt, wenn die Position jeder einzelnen eine bekannte Funktion der Zeit ist. Im Allgemeinen befinden sich sowohl die Quellladungen als auch die Probeladung in relativer Bewegung.<\/p>\n<p>Die L\u00f6sung dieses Problems wird durch das Superpositionsprinzip erleichtert, das besagt, dass die Wechselwirkung der Probeladung mit einer bestimmten Quelle v\u00f6llig unabh\u00e4ngig von der Wechselwirkung mit den anderen Quellladungen ist. Das bedeutet, dass es stets m\u00f6glich ist, die Kraft <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}_1<\/span><\/span>, die von der Ladung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_1<\/span>,<\/span> herr\u00fchrt, die Kraft <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}_2<\/span><\/span>, die von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_2<\/span><\/span> herr\u00fchrt, und so weiter zu bestimmen, um schlie\u00dflich die Gesamtkraft durch Summation zu erhalten<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}_{tot} = \\displaystyle \\sum_{i}\\vec{F}_i<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Die elektrostatische Vereinfachung<\/h2>\n<p>Wenn es nur darum ginge, Kr\u00e4fte zu addieren, k\u00f6nnte man meinen, es gen\u00fcge, die Gleichung anzugeben, die die Kraft beschreibt, die jede Quellladung auf die Probeladung aus\u00fcbt, und das Problem w\u00e4re gel\u00f6st; jedoch ist es nicht so einfach. Das Problem besteht darin, dass die Kraft nicht nur von der Entfernung und der Gr\u00f6\u00dfe der Ladungen abh\u00e4ngt, sondern auch von der relativen Geschwindigkeit und Beschleunigung jeder Teilchen. Dar\u00fcber hinaus \u201ereist die elektrische Information\u201c \u00fcber die \u00c4nderungen der Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung jedes Teilchens mit Lichtgeschwindigkeit, sodass sie eine gewisse Zeit ben\u00f6tigt, um die Probeladung zu erreichen und ihre Wirkung zu entfalten.<\/p>\n<p>Um unser Studium vorerst zu vereinfachen, werden wir uns daher auf den <strong>elektrostatischen<\/strong> Fall beschr\u00e4nken, das hei\u00dft: Alle Quellladungen bleiben station\u00e4r, nur die Probeladung darf sich bewegen; und in diesem Kontext tritt das <strong>Coulombsche Gesetz<\/strong> auf.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Das Coulombsche Gesetz<\/h2>\n<p>Nehmen wir an, wir haben eine Probeladung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_0<\/span>.<\/span> mit Position <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}<\/span><\/span> und eine Quellladung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span> mit Position <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}^\\prime<\/span>.<\/span> Wie gro\u00df ist die Kraft <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}_{q \\to q_0}(\\vec{r})<\/span><\/span> der Quellladung auf die Probeladung? Die Antwort auf diese Frage liefert das <strong>Coulombsche Gesetz,<\/strong> das durch die folgende Formel ausgedr\u00fcckt wird:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}_{q \\to q_0} (\\vec{r}) =\\displaystyle \\frac{1}{4\\pi \\epsilon_0}  \\frac{q  q_0 }{\\|\\vec{r} - \\vec{r}^\\prime \\|^2} \\frac{\\vec{r} - \\vec{r}^\\prime}{\\|\\vec{r} - \\vec{r}^\\prime\\|}<\/span><\/span><\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-amszqS6iLRk\/YSwCV4TCIZI\/AAAAAAAAFec\/XoTDZm0i-6oPZY4KuGv0xOEbrsYCfJM4wCLcBGAsYHQ\/s0\/fuerzaelectrica.PNG\" width=\"492\" height=\"390\" alt=\"Elektrische Kraft\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-amszqS6iLRk\/YSwCV4TCIZI\/AAAAAAAAFec\/XoTDZm0i-6oPZY4KuGv0xOEbrsYCfJM4wCLcBGAsYHQ\/s0\/fuerzaelectrica.PNG\" width=\"492\" height=\"390\" alt=\"Elektrische Kraft\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p>Das Coulombsche Gesetz fasst nicht nur das Vorzeichen-Gesetz f\u00fcr die elektrostatische Kraft zusammen, sondern legt auch fest, dass die Kraft zwischen elektrischen Ladungen umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands ist, der sie trennt.<\/p>\n<p>Die Konstante <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon_0<\/span><\/span> wird als <strong>elektrische Feldkonstante des Vakuums<\/strong> bezeichnet. Ihr Wert im internationalen System ist<\/p>\n<p>,<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\epsilon_0 = 8,85 \\cdot 10^{-12} \\left[ \\frac{C^2}{N\\cdot m^2}\\right] <\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Coulombsches Gesetz f\u00fcr Systeme, die auf die Quelle der Ladungen zentriert sind<\/h2>\n<p>Das <strong>Coulombsche Gesetz<\/strong> kann auf einfachere Weise ausgedr\u00fcckt werden, wenn man den Beobachter auf die Quelle der Ladungen setzt, das hei\u00dft, indem man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}^\\prime = \\vec{0}<\/span>.<\/span> setzt. Auf diese Weise ergibt sich<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\vec{F}_{q \\to q_0} (\\vec{r}) = \\frac{1}{4\\pi \\epsilon_0}  \\frac{q  q_0 }{\\|\\vec{r}\\|^2}   \\frac{\\vec{r} }{\\|\\vec{r} \\|} = \\frac{1}{4\\pi \\epsilon_0}  \\frac{q   q_0 }{\\|\\vec{r}\\|^2} \\hat{r}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{r}=\\vec{r}\/\\|\\vec{r}\\|<\/span><\/span> der Einheitsvektor ist, der von der Quelle zur Probeladung zeigt.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcbungen<\/h2>\n<ol>\n<li>Zw\u00f6lf Punktladungen gleicher Gr\u00f6\u00dfe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span> werden an den Ecken eines regelm\u00e4\u00dfigen Zw\u00f6lfecks (wie die Zahlen auf einer Uhr) platziert. Wie gro\u00df ist die Nettokraft auf eine Punktladung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span>, die im Zentrum platziert wird?<\/li>\n<li>Eine der zw\u00f6lf Ladungen aus der vorherigen Aufgabe wird entfernt, nehmen wir an, es ist diejenige, die bei zw\u00f6lf Uhr stehen w\u00fcrde (wenn wir es uns wie eine Uhr vorstellen). Welche Kraft wird nun die Punktladung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span> sp\u00fcren?<\/li>\n<li>Erweitern Sie die \u00dcberlegung der beiden vorherigen Aufgaben nun auf eine Verteilung von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> Quellladungen, die auf einem regelm\u00e4\u00dfigen Polygon mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> Seiten angeordnet sind, mit einer Probeladung im Zentrum.<\/li>\n<li>Es gibt drei Punktladungen: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_1=+3[nC]<\/span><\/span> mit Position <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(0;0)[mm]<\/span>,<\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_2=-5[nC]<\/span><\/span> mit Position <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(0,56;0)[mm]<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_3=+7[nC]<\/span><\/span> mit Position <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1;1)[mm]<\/span>.<\/span> Berechnen Sie die Gesamtkraft auf die Ladung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_3<\/span>.<\/span><\/li>\n<li>Auf einer Achse befindet sich eine Ladung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_1 = 3[C]<\/span>,<\/span> und in einer Entfernung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">40[mm]<\/span><\/span> eine weitere Ladung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q_2 = 7[C]<\/span>.<\/span> Wenn zwischen diesen beiden Ladungen eine dritte so platziert wird, dass die Summe der Kr\u00e4fte auf sie null ist \u2013 wie gro\u00df ist dann der Abstand dieser dritten Ladung zu den beiden anderen?<\/li>\n<li>Zwei kleine Kupferkugeln, jede mit einer Masse von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0,040[kg]<\/span><\/span>, werden durch einen Abstand von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2,0[m]<\/span><\/span> getrennt. Unter der Annahme, dass die molare Masse von Kupfer <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">63,5[g\/mol]<\/span><\/span> betr\u00e4gt und seine Ordnungszahl 20 ist, beantworten Sie die folgenden Fragen:\n<ol>\n<li type=\"a\">Wie viele Elektronen hat jede Kugel?<\/li>\n<li type=\"a\">Wie viele Elektronen m\u00fcssen von einer Kugel auf die andere \u00fcbertragen werden, um eine Anziehungskraft zwischen den Kugeln von etwa <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">10^4[N]<\/span><\/span> zu erzeugen?<\/li>\n<li type=\"a\">Welchen Bruchteil der Elektronen der Kugeln stellt dies dar?<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/jxO34PM91Io\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\n<br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/EBOxmKPQe9U\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\n<\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Coulombsches Gesetz und die elektrostatische Kraft Das \u201eCoulombsche Gesetz und die elektrostatische Kraft\u201c hat nicht nur unser Verst\u00e4ndnis der elektrischen Kr\u00e4fte erweitert, sondern auch unerwartete Anekdoten hervorgebracht. Benjamin Franklin, der in einem Experiment versuchte, mit Elektrizit\u00e4t einen Truthahn ohnm\u00e4chtig zu machen und zu garen, wurde schlie\u00dflich selbst zum Versuchsobjekt: Eine Entladung lie\u00df ihn benommen zur\u00fcck [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":30950,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":2,"footnotes":""},"categories":[1258,1252],"tags":[],"class_list":["post-34787","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-elektromagnetismus","category-physik"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.4 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Coulombsches Gesetz und die elektrostatische Kraft - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Das Coulombsche Gesetz beschreibt die elektrostatische Kraft zwischen zwei Ladungen: 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