{"id":34738,"date":"2021-05-26T13:00:17","date_gmt":"2021-05-26T13:00:17","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34738"},"modified":"2025-09-20T06:59:58","modified_gmt":"2025-09-20T06:59:58","slug":"boltzmann-verteilung-im-kanonischen-ensemble","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/boltzmann-verteilung-im-kanonischen-ensemble\/","title":{"rendered":"Boltzmann-Verteilung im kanonischen Ensemble"},"content":{"rendered":"<style>\n\tp, ul, ol {\n\t\ttext-align: justify;\n\t}\n\th1, h2 {\n\ttext-align:center;\n\t}\n<\/style>\n<h1>Boltzmann-Verteilung im kanonischen Ensemble<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\">Die Thermodynamik zeigt uns, wie physikalische Systeme das Gleichgewicht erreichen und wie Energie und Wahrscheinlichkeit ihr Verhalten bestimmen. In dieser Vorlesung werden wir das kanonische Ensemble und die Boltzmann-Verteilung entschl\u00fcsseln \u2013 grundlegende Werkzeuge zum Verst\u00e4ndnis von Ph\u00e4nomenen wie chemischen Reaktionen und dem Gleichgewicht in komplexen Systemen. Sie werden entdecken, wie diese Ideen die Temperatur mit Ordnung und Chaos verbinden und es erm\u00f6glichen, das Verhalten des scheinbar Unvorhersehbaren vorherzusagen.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein,\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Zu identifizieren<\/strong>, welche Arten thermodynamischer Ensembles existieren (mikrokanonisch, kanonisch und gro\u00dfkanonisch).<\/li>\n<li><strong>Die Boltzmann-Verteilung<\/strong> aus thermodynamischen Prinzipien herzuleiten.<\/li>\n<li><strong>Wahrscheinlichkeiten<\/strong>, die mit Mikrozust\u00e4nden verbunden sind, unter Verwendung der Zustandssumme zu berechnen.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Ensembles in der Thermodynamik<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Die Boltzmann-Verteilung<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Anwendungen der Boltzmann-Verteilung<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">\u00dcbungen<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ch1bjhU7k70\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>Eines der n\u00fctzlichsten konzeptuellen Instrumente der Thermodynamik ist das Konzept des \u201eEnsembles\u201c. Unter den verschiedenen existierenden ist eines der am h\u00e4ufigsten verwendeten das kanonische Ensemble, aus dem die Boltzmann-Verteilung abgeleitet wird. Beide Konzepte werden wir im Folgenden betrachten.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Ensembles in der Thermodynamik<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ch1bjhU7k70&amp;t=174s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Bis jetzt haben wir Wahrscheinlichkeiten verwendet<\/strong><\/a>, um thermodynamische Systeme zu beschreiben. Unser Ansatz besteht darin, uns vorzustellen, dass wir das Experiment und die Messungen unendlich oft wiederholen k\u00f6nnen, als eine M\u00f6glichkeit, unsere Unf\u00e4higkeit auszugleichen, ihre mikroskopischen Eigenschaften (beschrieben durch die Mikrozust\u00e4nde) zu kontrollieren. Inspiriert von diesen Ideen f\u00fchrte <a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Josiah_Willard_Gibbs\" rel=\"noopener, nofollow, noreferrer noopener\" target=\"_blank\">Gibbs<\/a> im Jahr 1878 das Konzept der \u201eKollektivit\u00e4t\u201c oder \u201eEnsembles\u201c ein: Es handelt sich um eine Idealisierung, bei der eine gro\u00dfe Anzahl von \u201eSystemkopien\u201c betrachtet wird, von denen jede einen ihrer m\u00f6glichen Zust\u00e4nde repr\u00e4sentiert. In der Thermodynamik gibt es drei Hauptarten von Ensembles.<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Mikrokanonisches Ensemble:<\/strong> Eine Menge von Systemen, die alle die gleiche feste Energie besitzen.<\/li>\n<li><strong>Kanonisches Ensemble:<\/strong> Eine Menge von Systemen, von denen jedes Energie mit einem gro\u00dfen W\u00e4rmereservoir austauschen kann. Wie wir sp\u00e4ter sehen werden, legt dies die Temperatur des Systems fest (und definiert sie).<\/li>\n<li><strong>Gro\u00dfkanonisches Ensemble:<\/strong> Eine Menge von Systemen, bei denen jedes sowohl Materie (Teilchen) als auch Energie mit einem gro\u00dfen Reservoir austauschen kann. Dadurch werden die Temperatur und das chemische Potential des Systems definiert.<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Das Kanonische Ensemble<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ch1bjhU7k70&amp;t=362s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Betrachten wir zwei gekoppelte Systeme<\/strong><\/a>, die in der Lage sind, Energie auszutauschen. In diesem Fall jedoch machen wir eines von ihnen riesig im Vergleich zum anderen und nennen es <strong>Reservoir, Quelle<\/strong> oder <strong>W\u00e4rmebad.<\/strong> Dieses Reservoir ist so gro\u00df, dass wir gro\u00dfe Energiemengen entnehmen k\u00f6nnen, ohne dass sich seine Temperatur \u00e4ndert. Die Anzahl der M\u00f6glichkeiten, in denen sich die Energiequanten in einem Reservoir neu anordnen, ist folglich gigantisch. Das andere System ist im Vergleich klein, und wir nennen es einfach <strong>System.<\/strong><\/p>\n<p>Wir nehmen an, dass es f\u00fcr jede erlaubte Energie des Systems genau einen Mikrozustand gibt und dass das System daher immer einen Wert <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega=1<\/span><\/span> hat. Au\u00dferdem halten wir die Gesamtenergie der gekoppelten Systeme mit einem Wert von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E<\/span> konstant.<\/p>\n<p><em>Wenn wir an diesem Punkt innehalten, sehen wir, dass das System und das Reservoir ein mikrokanonisches Ensemble bilden, in dem die Energie konstant bleibt und alle Mikrozust\u00e4nde gleich wahrscheinlich sind.<\/em><\/p>\n<p>In diesem Szenario, wenn die Energie des Systems <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varepsilon<\/span> ist, wird die Energie des Reservoirs <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E - \\epsilon<\/span><\/span> betragen. Diese Situation, in der ein System in thermischem Kontakt mit einem gro\u00dfen Energiereservoir steht, wird als <strong>Kanonisches Ensemble<\/strong> bezeichnet.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Boltzmann-Verteilung<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ch1bjhU7k70&amp;t=528s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Die Wahrscheinlichkeit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\epsilon)<\/span><\/span>, dass das System<\/strong><\/a> die Energie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon<\/span> hat, ist proportional zur Anzahl der Mikrozust\u00e4nde, die dem Reservoir zug\u00e4nglich sind, multipliziert mit der Anzahl der Mikrozust\u00e4nde, die dem System zug\u00e4nglich sind. Das hei\u00dft:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\epsilon)\\propto \\Omega(E-\\epsilon)\\cdot 1<\/span>.<\/span><\/p>\n<p>Wie wir bereits zuvor gesehen haben, kann die Temperatur in Bezug auf den Logarithmus von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span> ausgedr\u00fcckt werden durch<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{1}{k_B T} = \\frac{d\\ln\\Omega}{dE}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Und da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon \\ll E<\/span>,<\/span> ist es m\u00f6glich, eine Taylorreihenentwicklung von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\ln\\Omega(E-\\epsilon)<\/span><\/span> um <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon = 0<\/span><\/span> durchzuf\u00fchren. Damit erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\ln\\Omega(E-\\epsilon) = \\ln\\Omega(E) - \\frac{d\\ln\\Omega(E)}{dE}\\epsilon + \\cdots<\/span><\/span><\/p>\n<p>Dann ergibt sich aus den letzten beiden Ausdr\u00fccken:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\ln\\Omega(E-\\epsilon) = \\ln\\Omega(E) - \\frac{\\epsilon}{k_B T} + \\cdots<\/span><\/span><\/p>\n<p>Wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span> die Temperatur des Reservoirs ist. An diesem Punkt k\u00f6nnen wir die weiteren Terme der Taylorentwicklung vernachl\u00e4ssigen und feststellen, dass die Beziehung gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\ln \\Omega(E-\\epsilon) \\approx \\ln\\Omega(E) - \\displaystyle \\frac{\\epsilon}{k_B T}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Wenn wir diesen letzten Ausdruck entwickeln, kommen wir zu<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega(E-\\epsilon) \\approx \\Omega(E) e^{-\\displaystyle \\frac{\\epsilon}{k_B T}}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Vergleichen wir dies nun mit der Wahrscheinlichkeit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\epsilon)<\/span><\/span>, so schlie\u00dfen wir daraus, dass<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\epsilon)\\propto e^{-\\epsilon\/(k_B T)}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Da sich das System im thermodynamischen Gleichgewicht mit dem Reservoir befindet, haben sie dieselbe Temperatur. Dennoch bleibt, obwohl die Temperatur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span> konstant ist, die Energie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon<\/span> nicht konstant; im Gegenteil, sie ist an eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gebunden, die wir gerade hergeleitet haben. Dies ist als die <strong>Boltzmann-Verteilung<\/strong> oder <strong>Kanonische Verteilung<\/strong> f\u00fcr das kanonische Ensemble bekannt. Der Term <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">e^{-\\epsilon\/(k_B T) }<\/span><\/span> ist als der <strong>Boltzmann-Faktor<\/strong> bekannt.<\/p>\n<h3>Normalisierung der Boltzmann-Verteilung und die Zustandssumme<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ch1bjhU7k70&amp;t=890s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Mit diesen Entwicklungen haben wir begonnen<\/strong><\/a>, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu formulieren, die beschreibt, wie sich ein kleines System verh\u00e4lt, wenn es mit einem gro\u00dfen Reservoir bei der Temperatur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span> gekoppelt ist. Das System hat eine vern\u00fcnftige Chance, eine Energie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon<\/span> kleiner als <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k_B T<\/span><\/span> zu erreichen, aber das Exponential in der Boltzmann-Verteilung nimmt schnell ab, wenn es darum geht, eine gr\u00f6\u00dfere Energie zu erreichen. Nun m\u00fcssen wir jedoch beachten, dass die Verteilung, so wie wir sie haben, streng genommen noch keine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, da sie erst normalisiert werden muss. Wenn ein System mit einem Reservoir in Kontakt gebracht wird und einen Mikrozustand <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> mit Energie <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_r<\/span><\/span> hat, dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P({Mikrozustand\\;}r)= \\displaystyle \\frac{e^{-E_r\/(k_B T)}}{\\displaystyle \\sum_{i}e^{-E_i\/(k_B T)}}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Die Summe im Nenner erf\u00fcllt die Normalisierungsfunktion, die es erm\u00f6glicht, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P<\/span> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Die Summe im Nenner ist auch als die <strong>Zustandssumme<\/strong> bekannt und wird mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Z<\/span> bezeichnet.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Z = \\displaystyle \\sum_i e^{-E_i\/(k_B T)}<\/span><\/span><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/lDtYzvXiNb4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Anwendungen der Boltzmann-Verteilung<\/h2>\n<p>Um einige Anwendungen des kanonischen Ensembles und der Boltzmann-Verteilung zu veranschaulichen, werden wir sehen, wie sie beim Studium einiger Beispiele auftreten. Bevor wir jedoch beginnen, f\u00fchren wir eine Notation f\u00fcr eine Gr\u00f6\u00dfe ein, die h\u00e4ufig vorkommt und in Zukunft n\u00fctzlich sein kann. Der Faktor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> wird durch die Gleichheit definiert<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta =\\displaystyle  \\frac{1}{k_B T}<\/span>,<\/span><\/p>\n<p>sodass wir daraus schreiben k\u00f6nnen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta = \\displaystyle \\frac{d\\ln\\Omega}{dE}<\/span>,<\/span><\/p>\n<h4>Das Problem eines Systems mit nur zwei m\u00f6glichen Zust\u00e4nden<\/h4>\n<p>Stellen wir uns den einfachsten Fall vor, ein System, das nur zwei Zust\u00e4nde haben kann: einen mit Energie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span> und den anderen mit Energie <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon\\gt 0<\/span>.<\/span> Was ist die mittlere Energie des Systems?<\/p>\n<h4>Das Problem einer isothermen Atmosph\u00e4re<\/h4>\n<p>Eine vereinfachte M\u00f6glichkeit, die Atmosph\u00e4re zu untersuchen, besteht in der Annahme, dass sie isotherm ist. Obwohl diese Annahme falsch ist, dient sie als erste Ann\u00e4herung, um einige Schlussfolgerungen zu ziehen. Zum Beispiel: Unter dieser Annahme ist es m\u00f6glich, die Anzahl der Teilchen, aus denen sie besteht, als Funktion der H\u00f6he abzusch\u00e4tzen. Wie k\u00f6nnten Sie glauben, dass man diese Ableitung machen k\u00f6nnte?<\/p>\n<h4>Explosionsgefahr! Zusammenhang zwischen chemischen Reaktionen und der Temperatur<\/h4>\n<p>Viele chemische Reaktionen haben eine bestimmte Aktivierungsenergie <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{act}<\/span><\/span>, die sich ungef\u00e4hr bei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1\/2 [eV]<\/span><\/span> befindet. Bei einer Temperatur von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T=300[K]<\/span>,<\/span> die ungef\u00e4hr der Raumtemperatur entspricht, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Reaktion auftritt, proportional zu<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">e^{-E_{act}\/(k_B T)}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Was passiert mit der Reaktionswahrscheinlichkeit, wenn die Temperatur um 10[K] steigt?<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Pmthx9bQdO0\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcbungen<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Ein System hat <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> Zust\u00e4nde, die entweder die Energie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span> oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta<\/span> haben k\u00f6nnen. Zeigen Sie, dass die Anzahl der M\u00f6glichkeiten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega(E)<\/span><\/span> f\u00fcr Konfigurationen des Gesamtsystems mit Energie <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E=r\\Delta<\/span><\/span> (wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> eine ganze Zahl ist) gegeben ist durch\n<p  style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega(E) =\\displaystyle \\frac{N!}{r!(N-r)!}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Entfernen Sie nun eine kleine Energiemenge <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s\\Delta<\/span><\/span> aus dem System, wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s\\ll r<\/span><\/span>. Zeigen Sie, dass:<\/p>\n<p  style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega(E-\\epsilon) \\approx \\Omega(E)\\displaystyle \\frac{r^s}{(N-r)^s} <\/span><\/span><\/p>\n<p>und folglich hat das System eine Temperatur, die aus der Beziehung erhalten werden kann<\/p>\n<p  style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{1}{k_B T}  = \\frac{1}{\\Delta}\\ln \\left(\\frac{N-r}{r} \\right) <\/span><\/span><\/p>\n<p>Skizzieren Sie ein Diagramm von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k_B T<\/span><\/span> als Funktion von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=0<\/span><\/span> bis <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=N<\/span><\/span> und erkl\u00e4ren Sie Ihre Ergebnisse.\n<\/li>\n<p><\/br><\/p>\n<li>\n<p>Ein Photon sichtbaren Lichts mit der Energie <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2[eV]<\/span><\/span> wird von einem makroskopischen K\u00f6rper absorbiert, der bei Raumtemperatur bleibt.<\/p>\n<p>a) Um welchen Faktor \u00e4ndert sich <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span> f\u00fcr einen makroskopischen K\u00f6rper? <\/p>\n<p>b) Betrachten Sie ein Photon, das von einer Radioantenne im UKW-Bereich emittiert wird (mit einer typischen Frequenz von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">100[MHz]<\/span><\/span>). Wiederholen Sie in diesem Zusammenhang die Berechnungen des vorherigen Teils, wenn das absorbierte Photon aus einer UKW-Quelle stammt. Verwenden Sie hierf\u00fcr die Beziehung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E=hf<\/span><\/span>, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> die Frequenz der Welle ist und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h=4,135\\;667\\;696 \\cdot 10^{-15}[eV \\cdot s]<\/span><\/span> die Plancksche Konstante ist.<\/p>\n<\/li>\n<p><\/br><\/p>\n<li>\n<p>Finden Sie die mittlere Energie <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lt{E}\\gt<\/span><\/span> f\u00fcr:<\/p>\n<p>a) Ein System mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> Zust\u00e4nden, wobei jeder Zustand die Energien <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0, \\epsilon, 2\\epsilon, 3\\epsilon, \\cdots , n\\epsilon<\/span><\/span> haben kann.<\/p>\n<p>b) Einen harmonischen Oszillator, wobei ein Zustand die Energien <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0, \\epsilon, 2\\epsilon, 3\\epsilon, \\cdots <\/span><\/span> (ohne obere Grenze) haben kann.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p><a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1YU3OV7gGxLo-mINPLSMcSc0U7ki3zaqX\/view?usp=sharing\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Tafel mit allen Berechnungen<\/strong><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Boltzmann-Verteilung im kanonischen Ensemble Die Thermodynamik zeigt uns, wie physikalische Systeme das Gleichgewicht erreichen und wie Energie und Wahrscheinlichkeit ihr Verhalten bestimmen. In dieser Vorlesung werden wir das kanonische Ensemble und die Boltzmann-Verteilung entschl\u00fcsseln \u2013 grundlegende Werkzeuge zum Verst\u00e4ndnis von Ph\u00e4nomenen wie chemischen Reaktionen und dem Gleichgewicht in komplexen Systemen. 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