{"id":34624,"date":"2021-03-10T13:00:49","date_gmt":"2021-03-10T13:00:49","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34624"},"modified":"2025-10-20T07:37:59","modified_gmt":"2025-10-20T07:37:59","slug":"die-gleichung-der-idealen-gase","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/die-gleichung-der-idealen-gase\/","title":{"rendered":"Die Gleichung der Idealen Gase"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\n  text-align: justify;\n}\nh1{\n  text-align:center;\n  text-transform: uppercase;\n}\nh2{\n  text-align:center;\n  text-transform: uppercase;\n  font-size:24pt;\n}\nh3 { \n  text-align: center;\n  text-transform: uppercase;\n  font-size: 24px !important;\n}\n.example{\n  background:#f6f8fa; \n  border-left:4px solid #d00000; \n  padding:12px 14px; \n  margin:14px 0;\n}\n.small{\n  font-size: 0.95em;\n  color:#333;\n}\n<\/style>\n<h1>Empirische Formulierung des idealen Gases<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\">Hast du dich jemals gefragt, warum sich ein Ballon beim Erhitzen ausdehnt oder warum sich der Reifendruck mit der H\u00f6he ver\u00e4ndert? In dieser Lektion werden wir die Gesetze untersuchen, die diese Ph\u00e4nomene regeln, und wie sie zur Gleichung des idealen Gases f\u00fchren, einschlie\u00dflich ihrer \u00dcberlegungen und wichtigen Punkte.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><b>Lernziele<\/b><br \/>\nAm Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein:<\/p>\n<ol>\n<li><b>Zu erkl\u00e4ren<\/b> die empirischen Gesetze der idealen Gase (Boyle\u2013Mariotte, Charles, Gay-Lussac) und ihre Zusammenfassung in der Zustandsgleichung (<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">PV = nRT<\/span><\/span>, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">PV = N k_B T<\/span><\/span>).<\/li>\n<li><b>Anzuwenden<\/b> die Gleichung der idealen Gase und die Beziehung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">PV\/T = cte<\/span><\/span>, um Zustands\u00e4nderungen mit koh\u00e4renten Einheiten zu l\u00f6sen.<\/li>\n<li><b>Zu analysieren<\/b> isotherme, isobare und isochore Prozesse sowie deren Trajektorien in <i>P\u2013V<\/i>-, <i>V\u2013T<\/i>&#8211; und <i>P\u2013T<\/i>-Diagrammen.<\/li>\n<li><b>Zu erkennen<\/b> den G\u00fcltigkeitsbereich des idealen Gases und alternative Modelle (van der Waals, quantenmechanisch, relativistisch) auszuw\u00e4hlen, wenn es angebracht ist.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\">\n<b>INHALTSVERZEICHNIS<\/b><br \/>\n<a href=\"#1\">Grundlegende empirische Gesetze<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Kombination der Gesetze in der Gleichung der idealen Gase<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Ableitungen durch Prozesse<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Kommentare und mikroskopischer Hintergrund<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">G\u00fcltigkeitsbereich und Einschr\u00e4nkungen<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Praktische Hinweise<\/a>\n<\/p>\n<p><center><br \/>\n <iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/7WkrH_FS290?si=xWJQ-VAtbWgzm9bQ\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><br \/>\n<\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Grundlegende empirische Gesetze<\/h2>\n<p>Experimente mit Gasen zeigen eine Abh\u00e4ngigkeit zwischen dem Druck <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P<\/span>, dem Volumen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span> und der Temperatur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span>. Unter kontrollierten Bedingungen werden drei grundlegende empirische Gesetze beobachtet:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Boyle\u2013Mariotte-Gesetz (isotherm):<\/strong> In einem Prozess bei konstanter Temperatur sind das Volumen und der Druck eines Gases umgekehrt proportional; das hei\u00dft:\n<div style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P \\propto \\dfrac{1}{V}\\quad\\Leftrightarrow\\quad PV=\\text{konst.}<\/span><\/div>\n<div class=\"example\">\n  <strong>Beispiel:<\/strong> Ein Gas, das sich bei einem Anfangsdruck von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P_1 = 15\\ \\mathrm{MPa}<\/span><\/span> isothermisch von einem Anfangsvolumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V_1 = 1{,}00\\ \\mathrm{L}<\/span><\/span> auf ein Endvolumen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V_2 = 2{,}00\\ \\mathrm{L}<\/span><\/span> ausdehnt, wird seinen Druck auf die H\u00e4lfte reduzieren. Da das Produkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">PV=\\text{konst.}<\/span><\/span> gilt, folgt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P_1 V_1 = P_2 V_2<\/span><\/span>, was f\u00fchrt zu:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n  P_2 = \\dfrac{P_1 V_1}{V_2}\n\n      = 15\\ \\mathrm{MPa}\\left(\\dfrac{1{,}00\\ \\mathrm{L}}{2{,}00\\ \\mathrm{L}}\\right)\n\n      = 7{,}50\\ \\mathrm{MPa}\n\n  <\/span>\n<p>  <center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/pv-isotermico.jpg\" alt=\"PV-Diagramm f\u00fcr isothermen Prozess\" width=\"480\" height=\"293\" class=\"aligncenter size-full wp-image-34975 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/pv-isotermico.jpg\" alt=\"PV-Diagramm f\u00fcr isothermen Prozess\" width=\"480\" height=\"293\" class=\"aligncenter size-full wp-image-34975 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/pv-isotermico.jpg 480w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/pv-isotermico-300x183.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 480px) 100vw, 480px\" \/><\/noscript><\/center>\n<\/div>\n<\/li>\n<li><strong>Charles-Gesetz (isobar):<\/strong> In einem Prozess bei konstantem Druck sind das Volumen und die Temperatur eines Gases direkt proportional; das hei\u00dft:\n<div style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V \\propto T \\quad\\Leftrightarrow\\quad \\dfrac{V}{T}=\\text{konst.}<\/span><\/div>\n<div class=\"example\">\n  <strong>Beispiel:<\/strong> Ein Gas, das bei einer Anfangstemperatur von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_1 = 300\\ \\mathrm{K}<\/span><\/span> isobar auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_2 = 450\\ \\mathrm{K}<\/span><\/span> erhitzt wird und ein Anfangsvolumen von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V_1 = 2{,}00\\ \\mathrm{L}<\/span><\/span> besitzt, wird sein Volumen um 50&nbsp;% erh\u00f6hen (ein Faktor von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tfrac{3}{2}<\/span><\/span>). Da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tfrac{V}{T}=\\text{konst.}<\/span><\/span> gilt, folgt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{V_1}{T_1}=\\dfrac{V_2}{T_2}<\/span><\/span>, was f\u00fchrt zu:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n  V_2 = V_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\n\n      = 2{,}00\\ \\mathrm{L}\\left(\\dfrac{450\\ \\mathrm{K}}{300\\ \\mathrm{K}}\\right)\n\n      = 3{,}00\\ \\mathrm{L}\n\n  <\/span>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/isobara-proc.jpg\" alt=\"\" width=\"480\" height=\"298\" class=\"aligncenter size-full wp-image-34984 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/isobara-proc.jpg\" alt=\"\" width=\"480\" height=\"298\" class=\"aligncenter size-full wp-image-34984 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/isobara-proc.jpg 480w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/isobara-proc-300x186.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 480px) 100vw, 480px\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<\/div>\n<\/li>\n<li><strong>Gay-Lussac-Gesetz (isochor):<\/strong> In einem Prozess bei konstantem Volumen sind der Druck und die Temperatur eines Gases direkt proportional; das hei\u00dft:\n<div style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P \\propto T \\quad\\Leftrightarrow\\quad \\dfrac{P}{T}=\\text{konst.}<\/span><\/div>\n<div class=\"example\">\n  <strong>Beispiel:<\/strong> Ein Gas, das bei einer Anfangstemperatur von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_1 = 300\\ \\mathrm{K}<\/span><\/span> isochor auf <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T_2 = 450\\ \\mathrm{K}<\/span><\/span> erhitzt wird und einen Anfangsdruck von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P_1 = 1{,}00\\ \\mathrm{MPa}<\/span><\/span> besitzt, wird seinen Druck im gleichen Verh\u00e4ltnis erh\u00f6hen. Da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tfrac{P}{T}=\\text{konst.}<\/span><\/span> gilt, folgt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{P_1}{T_1}=\\dfrac{P_2}{T_2}<\/span><\/span>, was f\u00fchrt zu:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n  P_2 = P_1 \\cdot \\dfrac{T_2}{T_1}\n\n      = 1{,}00\\ \\mathrm{MPa}\\left(\\dfrac{450\\ \\mathrm{K}}{300\\ \\mathrm{K}}\\right)\n\n      = 1{,}50\\ \\mathrm{MPa}\n\n  <\/span>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/icororico-proc.jpg\" alt=\"\" width=\"480\" height=\"291\" class=\"aligncenter size-full wp-image-34987 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/icororico-proc.jpg\" alt=\"\" width=\"480\" height=\"291\" class=\"aligncenter size-full wp-image-34987 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/icororico-proc.jpg 480w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/icororico-proc-300x182.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 480px) 100vw, 480px\" \/><\/noscript><\/center>\n<\/div>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Kombination der Gesetze in der Gleichung der idealen Gase<\/h2>\n<p>Diese drei Gesetze k\u00f6nnen in einer einzigen Proportionalit\u00e4tsbeziehung zusammengefasst werden:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">PV \\propto T<\/span>\n<p>Aus experimentellen und mikroskopischen \u00dcberlegungen l\u00e4sst sich die Proportionalit\u00e4tskonstante als Produkt der Teilchenzahl <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> und der Boltzmann-Konstante <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k_B = 1{,}380\\,649\\times10^{-23}\\ \\mathrm{J\\,K^{-1}}<\/span><\/span> ableiten, wodurch sich die mikroskopische Beziehung ergibt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{PV = N\\,k_B\\,T}<\/span>\n<p>Analog dazu erh\u00e4lt man in molarer Form die Proportionalit\u00e4tskonstante als Produkt der Stoffmenge <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> und der universellen Gaskonstante <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R=8{,}314\\,462\\,6\\ \\mathrm{J\\,mol^{-1}\\,K^{-1}}=0{,}082\\,057\\ \\mathrm{L\\,atm\\,mol^{-1}\\,K^{-1}}<\/span><\/span>, wodurch sich die molare Beziehung ergibt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{PV = n\\,R\\,T}<\/span>\n<p>Unabh\u00e4ngig vom betrachteten Fall besteht eine direkte Proportionalit\u00e4t zwischen dem Produkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">PV<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span>. Das bedeutet, dass, wenn ein ideales Gas zwischen zwei Zust\u00e4nden \u00fcbergeht \u2013 einem mit Anfangswerten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_\\alpha, V_\\alpha, T_\\alpha)<\/span><\/span> und einem mit Endwerten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_\\omega, V_\\omega, T_\\omega)<\/span><\/span> \u2013, diese die folgende Beziehung erf\u00fcllen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{P_\\alpha V_\\alpha}{T_\\alpha} =  \\dfrac{P_\\omega V_\\omega}{T_\\omega}<\/span>\n<p>und daher gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">PV\/T = konst.<\/span><\/span><\/p>\n<p>Diese Beziehung, die als experimentelle Grundlage sowohl f\u00fcr die mikroskopische als auch f\u00fcr die molare Formulierung verwendet werden kann, l\u00e4sst sich direkt aus den experimentellen Gesetzen von Boyle-Mariotte, Charles und Gay-Lussac ableiten. Die Begr\u00fcndung ist wie folgt:<\/p>\n<p>Dies kann auf drei Wegen gezeigt werden:<\/p>\n<ol>\n<li>Eine \u00c4nderung des <b>Volumens<\/b> durch einen isothermen und einen isobaren Prozess<\/li>\n<li>Eine \u00c4nderung des <b>Drucks<\/b> durch einen isothermen und einen isochoren Prozess<\/li>\n<li>Eine \u00c4nderung der <b>Temperatur<\/b> durch einen isobaren und einen isochoren Prozess<\/li>\n<\/ol>\n<p>F\u00fcr die Entwicklung dieser drei F\u00e4lle ben\u00f6tigen wir einen Zwischenzustand mit den Werten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_i,V_i,T_i)<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Ableitungen nach Prozessen<\/h2>\n<h3>Ableitung durch Volumen\u00e4nderung<\/h3>\n<p>Wenn der Anfangszustand <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_\\alpha,V_\\alpha,T_\\alpha)<\/span><\/span> durch einen isothermen Prozess mit dem Zwischenzustand <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_i,V_i,T_i)<\/span><\/span> verbunden ist und anschlie\u00dfend der Zwischenzustand durch einen isobaren Prozess mit dem Endzustand <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_\\omega,V_\\omega,T_\\omega)<\/span><\/span> verbunden wird, gilt Folgendes:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rclcl}\n\n &amp; P_\\alpha V_\\alpha= P_i V_i &amp; &amp; V_i\/T_i = V_\\omega\/T_\\omega   &amp; \\\\\n\n &amp;\\text{isotherm}&amp; &amp;\\text{isobar} &amp; \\\\\n\nP_\\alpha &amp; \\longrightarrow &amp; P_i = \\dfrac{P_\\alpha V_\\alpha}{V_i}  &amp; \\longrightarrow &amp; P_\\omega = P_i \\\\ \\\\\n\nV_\\alpha &amp; \\longrightarrow &amp; V_i = \\dfrac{P_\\alpha V_\\alpha}{P_i} &amp; \\longrightarrow &amp; V_\\omega = \\dfrac{V_i T_\\omega}{T_i} \\\\ \\\\\n\nT_\\alpha &amp; \\longrightarrow &amp; T_i = T_\\alpha &amp; \\longrightarrow &amp; T_\\omega = \\dfrac{V_\\omega T_i}{V_i}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Daraus ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n&amp; V_\\omega = \\left(\\dfrac{T_\\omega}{T_i}\\right) V_i = \\left(\\dfrac{T_\\omega}{T_i}\\right) \\left(\\dfrac{P_\\alpha}{P_i} \\right) V_\\alpha = \\dfrac{T_\\omega P_\\alpha V_\\alpha}{T_\\alpha P_\\omega} \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\dfrac{P_\\alpha V_\\alpha}{T_\\alpha} = \\dfrac{P_\\omega V_\\omega}{T_\\omega}\n\n\\end{array}<\/span>\n<h3>Ableitung durch Druck\u00e4nderung<\/h3>\n<p>Wenn der Anfangszustand <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_\\alpha,V_\\alpha,T_\\alpha)<\/span><\/span> durch einen isothermen Prozess mit dem Zwischenzustand <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_i,V_i,T_i)<\/span><\/span> verbunden ist und anschlie\u00dfend der Zwischenzustand durch einen isochoren Prozess mit dem Endzustand <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_\\omega,V_\\omega,T_\\omega)<\/span><\/span> verbunden wird, gilt Folgendes:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rclcl}\n\n &amp; P_\\alpha V_\\alpha= P_i V_i &amp; &amp; P_i\/T_i = P_\\omega\/T_\\omega   &amp; \\\\\n\n &amp;\\text{isotherm}&amp; &amp;\\text{isochor} &amp; \\\\\n\nP_\\alpha &amp; \\longrightarrow &amp; P_i = \\dfrac{P_\\alpha V_\\alpha}{V_i}  &amp; \\longrightarrow &amp; P_\\omega = \\dfrac{P_i T_\\omega}{T_i} \\\\ \\\\\n\nV_\\alpha &amp; \\longrightarrow &amp; V_i = \\dfrac{P_\\alpha V_\\alpha}{P_i} &amp; \\longrightarrow &amp; V_\\omega = V_i \\\\ \\\\\n\nT_\\alpha &amp; \\longrightarrow &amp; T_i = T_\\alpha &amp; \\longrightarrow &amp; T_\\omega = \\dfrac{V_\\omega T_i}{V_i}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Daraus ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n &amp; P_\\omega = \\left(\\dfrac{T_\\omega}{T_i}\\right) P_i = \\left(\\dfrac{T_\\omega}{T_i}\\right) \\left(\\dfrac{V_\\alpha}{V_i}\\right)P_\\alpha = \\dfrac{T_\\omega V_\\alpha P_\\alpha}{T_\\alpha V_\\omega} \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\dfrac{P_\\alpha V_\\alpha}{T_\\alpha} = \\dfrac{P_\\omega V_\\omega}{T_\\omega}\n\n\\end{array}<\/span>\n<h3>Ableitung durch Temperatur\u00e4nderung<\/h3>\n<p>Wenn der Anfangszustand <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_\\alpha,V_\\alpha,T_\\alpha)<\/span><\/span> durch einen isobaren Prozess mit dem Zwischenzustand <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_i,V_i,T_i)<\/span><\/span> verbunden ist und anschlie\u00dfend der Zwischenzustand durch einen isochoren Prozess mit dem Endzustand <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(P_\\omega,V_\\omega,T_\\omega)<\/span><\/span> verbunden wird, gilt Folgendes:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rclcl}\n\n &amp; V_\\alpha\/ T_\\alpha= V_i \/ T_i &amp; &amp; P_i\/T_i = P_\\omega\/T_\\omega   &amp; \\\\\n\n &amp;\\text{isobar}&amp; &amp;\\text{isochor} &amp; \\\\\n\nP_\\alpha &amp; \\longrightarrow &amp; P_i = P_\\alpha  &amp; \\longrightarrow &amp; P_\\omega = \\dfrac{P_i T_\\omega}{T_i} \\\\ \\\\\n\nV_\\alpha &amp; \\longrightarrow &amp; V_i = \\dfrac{V_\\alpha T_i}{T_\\alpha} &amp; \\longrightarrow &amp; V_\\omega = V_i \\\\ \\\\\n\nT_\\alpha &amp; \\longrightarrow &amp; T_i = \\dfrac{V_i T_\\alpha}{V_\\alpha} &amp; \\longrightarrow &amp; T_\\omega = \\dfrac{P_\\omega T_i}{P_i}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Daraus ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n &amp; T_\\omega = \\left(\\dfrac{P_\\omega}{P_i}\\right) T_i = \\left(\\dfrac{P_\\omega}{P_i}\\right) \\left(\\dfrac{V_i}{V_\\alpha}\\right)T_\\alpha = \\dfrac{P_\\omega V_\\omega T_\\alpha}{P_\\alpha V_\\alpha}  \\\\ \\\\\n\n\\equiv &amp; \\dfrac{P_\\alpha V_\\alpha}{T_\\alpha} = \\dfrac{P_\\omega V_\\omega}{T_\\omega}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Kommentare und mikroskopischer Hintergrund<\/h2>\n<p>Obwohl die obige Formulierung empirisch ist, kann sie aus den ersten Prinzipien der Kinetischen Gastheorie abgeleitet werden. In diesem Modell wird das Gas als eine Ansammlung von Teilchen betrachtet, die sich bewegen und sowohl miteinander als auch mit den W\u00e4nden des Beh\u00e4lters kollidieren. Es wird durch folgende Annahmen idealisiert:<\/p>\n<ol>\n<li>Fehlen von Fernkr\u00e4ften (Anziehung oder Absto\u00dfung) zwischen den Teilchen.<\/li>\n<li>Punktf\u00f6rmige oder vernachl\u00e4ssigbar kleine kugelf\u00f6rmige Teilchen.<\/li>\n<li>Vollst\u00e4ndig elastische St\u00f6\u00dfe zwischen Teilchen und mit den W\u00e4nden.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Diese Idealisierungen vereinfachen die Analyse, und obwohl kein reales Gas sie exakt erf\u00fcllt, beschreiben sie viele Gase in einem breiten Bereich von Bedingungen gut und bilden die Grundlage der <strong>Klassischen Thermodynamik<\/strong> mit Anwendungen, die von W\u00e4rmekraftmaschinen bis zur Atmosph\u00e4renphysik und Astrophysik reichen.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>G\u00fcltigkeitsbereich und Einschr\u00e4nkungen<\/h2>\n<p>Das Gesetz der idealen Gase ist nicht universell. Es weicht ab, wenn die obigen Annahmen nicht mehr vern\u00fcnftig sind oder wenn Effekte au\u00dferhalb der klassischen Physik auftreten.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Hoher Druck und niedrige Temperaturen:<\/strong> Die Wechselwirkungen zwischen Molek\u00fclen sind nicht mehr vernachl\u00e4ssigbar, und die endliche Gr\u00f6\u00dfe der Teilchen wird wichtig. Eine h\u00e4ufig verwendete Korrektur ist die van-der-Waals-Gleichung:\n<div style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(P + a\\left(\\dfrac{n}{V}\\right)^2\\right)\\,(V - nb)=nRT<\/span><\/div>\n<p>    mit den Parametern <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span>, die f\u00fcr jedes Gas charakteristisch sind.\n  <\/li>\n<li><strong>Quantenzustand:<\/strong> Bei sehr niedrigen Temperaturen oder hohen Dichten treten Bose\u2013Einstein- oder Fermi\u2013Dirac-Statistiken auf, die Modelle von <em>Quantengasen<\/em> erfordern.<\/li>\n<li><strong>Relativistischer Bereich:<\/strong> Wenn sich Teilchen mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegen, sind relativistische Korrekturen erforderlich.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Praktische Hinweise<\/h2>\n<ul>\n<li>Verwende in den Formeln immer die Temperatur in <strong>Kelvin<\/strong>: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T(\\mathrm{K}) = T(^{\\circ}\\mathrm{C}) + 273{,}15<\/span><\/span>.<\/li>\n<li>Achte auf die Einheitlichkeit der Einheiten: Wenn du mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{atm}<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{L}<\/span><\/span> arbeitest, verwende <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R=0{,}082\\,057\\ \\mathrm{L\\,atm\\,mol^{-1}\\,K^{-1}}<\/span><\/span>; wenn du <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{Pa}<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathrm{m^3}<\/span><\/span> verwendest, verwende <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R=8{,}314\\,462\\,6\\ \\mathrm{J\\,mol^{-1}\\,K^{-1}}<\/span><\/span>.<\/li>\n<li>Denke daran, dass jedes empirische Gesetz unter der Bedingung einer konstant gehaltenen Variablen gewonnen wurde. Die Kombination von Ergebnissen erfordert ein klares Verst\u00e4ndnis, welcher thermodynamische Prozess in jeder Phase durchgef\u00fchrt wird.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Empirische Formulierung des idealen Gases Hast du dich jemals gefragt, warum sich ein Ballon beim Erhitzen ausdehnt oder warum sich der Reifendruck mit der H\u00f6he ver\u00e4ndert? In dieser Lektion werden wir die Gesetze untersuchen, die diese Ph\u00e4nomene regeln, und wie sie zur Gleichung des idealen Gases f\u00fchren, einschlie\u00dflich ihrer \u00dcberlegungen und wichtigen Punkte. 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