{"id":34465,"date":"2021-09-25T00:00:35","date_gmt":"2021-09-25T00:00:35","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34465"},"modified":"2025-09-08T03:38:24","modified_gmt":"2025-09-08T03:38:24","slug":"projektilstart","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/projektilstart\/","title":{"rendered":"Projektilstart"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Projektilstart<\/h1>\n<p><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Vorlesung werden wir alle kinematischen Aspekte des Starts eines Projektils untersuchen, ein zentrales Thema der Physik, das unsere bisherige Studie \u00fcber die gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte Bewegung erweitert. Wir werden betrachten, wie sich durch das Aufheben der Einschr\u00e4nkung hinsichtlich der Bewegungsrichtung parabolische Flugbahnen ergeben, die f\u00fcr Projektile typisch sind. Wir werden analysieren, wie Anfangsgeschwindigkeiten in beliebiger Richtung, kombiniert mit der Beschleunigung durch die Schwerkraft, diese Bewegungen formen.<br \/>\n.<\/em><\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>LERNZIELE:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Erinnern<\/strong> an die fundamentalen Gleichungen der parabolischen Bewegung und die Definitionen im Zusammenhang mit dem Projektilstart (wie Anfangsgeschwindigkeit, Abwurfwinkel, Erdbeschleunigung).<\/li>\n<li><strong>Grafisch interpretieren<\/strong> der Flugbahn eines Projektils<\/li>\n<li><strong>Erkl\u00e4ren<\/strong>, wie die verschiedenen Phasen der Bewegung (Aufstieg, Scheitelpunkt, Abstieg) mit den kinematischen Gleichungen in Beziehung stehen.<\/li>\n<li><strong>L\u00f6sen<\/strong> von Aufgaben, die die Berechnung der maximalen H\u00f6he, der horizontalen Reichweite und der Gesamtflugzeit eines Projektils unter Verwendung der Gleichungen der parabolischen Bewegung beinhalten.<\/li>\n<li><strong>Zerlegen<\/strong> der Bewegungs\u00adgleichungen eines Projektils, um zu verstehen, wie jede Komponente (Anfangsgeschwindigkeit, Abwurfwinkel, Beschleunigung durch die Schwerkraft) die gesamte Flugbahn beeinflusst.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><\/p>\n<p><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Einleitung<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Entwicklung des Projektilstarts<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Wie bestimmt man die maximale H\u00f6he, die ein Projektil erreicht?<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Wie bestimmt man die Reichweite des Projektilstarts?<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Welcher Abwurfwinkel maximiert die Reichweite des Projektils?<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\"><strong>\u00dcbungsaufgaben<\/strong><\/a>\n<\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/_dXgQ_7u5GE\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Einleitung<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">In fr\u00fcheren Vorlesungen haben wir die <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=P21bsNFF9Fw\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte geradlinige Bewegung<\/a> untersucht und betrachtet, was geschieht, wenn eine konstante Beschleunigung in dieselbe Richtung der Bewegung wirkt. Wenn wir die Einschr\u00e4nkung bez\u00fcglich der Richtung aufheben, erhalten wir eine gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte Bewegung, die jedoch nicht mehr geradlinig ist. In diesem Szenario verl\u00e4uft die Bewegung entlang des Arms einer Parabel, und hier beginnt das Studium des Projektilstarts.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Bei einem Projektilstart wird die Anfangsgeschwindigkeit in eine beliebige Richtung gegeben, w\u00e4hrend die Beschleunigung der typischen Orientierung der Schwerkraft folgt. Wenn der Projektilstart direkt nach oben erfolgt, erh\u00e4lt man einen vertikalen Wurf, der ein Sonderfall der gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigten Bewegung ist.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Entwicklung des Projektilstarts<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=172s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Angenommen, wir haben ein Projektil<\/span><\/strong><\/a>, das vom Boden mit einer Anfangsgeschwindigkeit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0<\/span> und einem Neigungswinkel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta.<\/span> von einer Kanone in die Luft geschossen wird. Die Bewegung dieses Projektils l\u00e4sst sich problemlos modellieren, indem man seine Weggleichungen aus den soeben gegebenen Informationen ableitet. Diese lauten wie folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\vec{a}(t) &amp; = (0,-g) \\\\ \\\\\n\n\\vec{v}(t) &amp; =\\displaystyle \\int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\\\ \\\\\n\n\\vec{r}(t) &amp; =\\displaystyle \\int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \\left(v_{0x}t + x_0, -\\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\\right)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-JQFKmGORl8A\/YVB9tKzayMI\/AAAAAAAAFks\/KPaXIUIcIVQ2yOAa_N9leIPgcZY6iv5zQCLcBGAsYHQ\/s0\/proyectil.PNG\" width=\"694\" height=\"390\" alt=\"Projektilstart\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-JQFKmGORl8A\/YVB9tKzayMI\/AAAAAAAAFks\/KPaXIUIcIVQ2yOAa_N9leIPgcZY6iv5zQCLcBGAsYHQ\/s0\/proyectil.PNG\" width=\"694\" height=\"390\" alt=\"Projektilstart\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dabei ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y})<\/span> die Anfangsgeschwindigkeit, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{r}_0=(x_0,y_0)<\/span> die Anfangsposition und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g=9,81[m\/s^2]<\/span> der Betrag der Erdbeschleunigung. Wenn wir nun den vorherigen Absatz betrachten, stellen wir fest, dass uns nicht direkt die Geschwindigkeit des Projektils angegeben wird, sondern seine Geschwindigkeit und der Abschusswinkel. Aus diesen Informationen und etwas Trigonometrie l\u00e4sst sich die Anfangsgeschwindigkeit bestimmen, da:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nv_{0x} &amp;= v_0 \\cos(\\theta) \\\\\n\nv_{0y} &amp;= v_0 \\sin(\\theta)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dabei ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0 = \\|\\vec{v}_0\\|<\/span> der Betrag der Anfangsgeschwindigkeit. Wenn wir zus\u00e4tzlich die Anfangsposition <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0,y_0)=(0,0)<\/span> annehmen, lauten die Weggleichungen folgenderma\u00dfen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\vec{a}(t) &amp; = (0,-g) \\\\ \\\\\n\n\\vec{v}(t) &amp; =(v_{0}\\cos(\\theta), -gt+v_{0}\\sin(\\theta)\\\\ \\\\\n\n\\vec{r}(t) &amp; \\displaystyle =\\left(v_{0}\\cos(\\theta)t , -\\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\\sin(\\theta)t \\right)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Damit k\u00f6nnen wir nun einige Fragen zum Projektilstart beantworten: Wie weit wird es fliegen?; Welche H\u00f6he wird es erreichen?; Wie lange wird es dauern, bis es wieder f\u00e4llt?; usw.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Wie bestimmt man die maximale H\u00f6he, die ein Projektil erreicht?<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=398s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Um diese Frage zu beantworten<\/span><\/strong><\/a> m\u00fcssen wir uns fragen: Was geschieht, wenn das Projektil seine maximale H\u00f6he erreicht? In diesem Moment verschwindet die vertikale Komponente seiner Geschwindigkeit, und daher gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> -gt+v_{0}\\sin(\\theta) = 0 <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das ist gleichbedeutend mit:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = \\displaystyle \\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g} <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das hei\u00dft, das Projektil erreicht die maximale H\u00f6he nach einer Zeit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=v_0\\sin(\\theta)\/g<\/span> nach dem Start. Dies nennen wir die \u00abZeit der maximalen H\u00f6he\u00bb und schreiben:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{t_{alt.max} = \\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die maximale H\u00f6he, die das Projektil erreichen kann, erh\u00e4lt man dann, indem man <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t=t_{alt.max}<\/span> in die vertikale Komponente der Projektilposition einsetzt, wodurch sich ergibt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\ny_{alt.max} &amp; = \\displaystyle -\\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\\sin(\\theta)t_{alt.max}\\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle-\\frac{1}{2}g \\left(\\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g} \\right)^2 + v_{0}\\sin(\\theta) \\frac{v_{0}\\sin(\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle-\\frac{1}{2} \\frac{v_{0}^2\\sin^2(\\theta)}{g} + \\frac{v_{0}^2\\sin^2(\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle \\frac{v_{0}^2\\sin^2(\\theta)}{2g}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Wie bestimmt man die Reichweite des Projektilstarts?<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=653s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn du die Entfernung wissen willst<\/span><\/strong><\/a>, die das Projektil bis zu dem Moment zur\u00fccklegt, in dem es den Boden ber\u00fchrt, musst du lediglich die Weggleichungen des Projektilstarts befragen. Aber wie macht man das? Ganz einfach: Was geschieht, wenn das Projektil den Boden ber\u00fchrt? In diesem Fall wird die Koordinate der Position, die der H\u00f6he entspricht, null, das hei\u00dft:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle -\\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\\sin(\\theta)t = 0\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hier k\u00f6nnen wir die Zeit bestimmen, zu der das Projektil den Boden ber\u00fchrt, was in zwei F\u00e4llen geschieht: im Moment des Starts und beim Aufprall, da die m\u00f6glichen L\u00f6sungen dieser Gleichung lauten:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nt &amp; = 0\\\\ \\\\\n\nt &amp; = \\displaystyle \\frac{2v_0 \\sin(\\theta)}{g}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das nicht nullwertige Ergebnis nennen wir \u00abFallzeit\u00bb und schreiben:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{t_{caida} = \\displaystyle \\frac{2v_0 \\sin(\\theta)}{g}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn du weiter oben nachsiehst, wirst du feststellen, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t_{caida} = 2t_{alt.max}<\/span>, weil die Zeit, die das Projektil ben\u00f6tigt, um seine maximale H\u00f6he zu erreichen, dieselbe ist wie die Zeit, die es ben\u00f6tigt, um von seinem h\u00f6chsten Punkt zu fallen. Dies deutet auf eine gewisse Symmetrie in der Bewegung des Projektils hin. Tats\u00e4chlich zeigt sich diese Symmetrie bereits darin, dass die H\u00f6he als Funktion der Zeit eine Parabel bildet.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Mit der Fallzeit ist es nun m\u00f6glich, die Entfernung zu berechnen, die das Projektil bis zum Erreichen des Bodens zur\u00fcckgelegt hat, indem man sie einfach in die erste Koordinate der Position einsetzt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nx_{caida} &amp;= v_{0}\\cos(\\theta)t_{caida} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle v_{0}\\cos(\\theta)\\frac{2v_0 \\sin(\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\frac{v_0^2 \\sin(2\\theta)}{g} \\\\ \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h3>Welcher Abwurfwinkel maximiert die Reichweite des Projektils?<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=_dXgQ_7u5GE&amp;t=999s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn du wissen willst, welcher Winkel<\/span><\/strong><\/a> des Abschusses die maximale Reichweite des Projektils ergibt, oder wenn du zeigen m\u00f6chtest, dass das, was du bereits wei\u00dft, tats\u00e4chlich korrekt ist, musst du lediglich aus den hergeleiteten Ausdr\u00fccken denjenigen w\u00e4hlen, der es dir erm\u00f6glicht, die Frage mathematisch zu formulieren. Wir haben die Fallentfernung bereits im vorherigen Abschnitt berechnet, und diese stellt sich als eine Funktion des Abschusswinkels dar:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\\theta) = \\frac{v_0^2 \\sin(2\\theta)}{g}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Sinusfunktion hat zwei m\u00f6gliche Extremwerte: +1 und -1, aber uns interessiert der erste. Damit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sin(2\\theta)=+1<\/span> gilt, muss <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2\\theta = 90^o<\/span> (+<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2k\\pi,<\/span> diesen Teil lassen wir jedoch weg, da wir ihn nicht ben\u00f6tigen) und daher ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta=45^o<\/span> der Abschusswinkel, der die Reichweite maximiert. Dieses Problem l\u00e4sst sich auch l\u00f6sen, wenn man es als ein Optimierungsproblem formuliert (unter Verwendung der Werkzeuge aus <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OscTlX3raaE&#038;list=PL_C8rbeFjqAVaR_sgLJRBvMm5t6E1GxGI\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">dieser Vorlesung \u00fcber Analysis<\/a>), aber ich habe diesen Weg gew\u00e4hlt, da er schneller und ebenso anschaulich ist.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Vorgeschlagene \u00dcbungen<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Ein Projektil wird vom Boden mit einem Elevationswinkel von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta=30^o<\/span> und einer Anfangsgeschwindigkeit von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">v_0=70[km\/h].<\/span> abgeschossen. a) Welche maximale H\u00f6he erreicht das Projektil? b) Welche Entfernung legt das Projektil bis zum Aufprall am Boden zur\u00fcck? c) Wie lange dauert es, bis das Projektil f\u00e4llt?<\/li>\n<li>Eine Kanone am Boden feuert eine Kugel mit einer Geschwindigkeit von 90[km\/h] ab. Mit welchem Elevationswinkel muss die Kanone eingestellt werden, damit die Kugel in einer horizontalen Entfernung von 20[m] auftrifft?<\/li>\n<li>Dieselbe Kanone aus der vorherigen \u00dcbung befindet sich nun in einer H\u00f6he von 5[m]. Mit welchem Elevationswinkel muss sie eingestellt werden, damit die Kugel weiterhin in einer horizontalen Entfernung von 20[m] auftrifft?<\/li>\n<li>Ein Bomber fliegt in einer H\u00f6he von 3 000[m] \u00fcber dem Boden mit einer Geschwindigkeit von 1500[km\/h]. Wenn er ein Projektil im freien Fall abwirft, welche Entfernung legt das Projektil vom Moment des Abwurfs bis zum Aufprall am Boden zur\u00fcck?<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Projektilstart Zusammenfassung: In dieser Vorlesung werden wir alle kinematischen Aspekte des Starts eines Projektils untersuchen, ein zentrales Thema der Physik, das unsere bisherige Studie \u00fcber die gleichm\u00e4\u00dfig beschleunigte Bewegung erweitert. 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