{"id":34378,"date":"2021-10-08T13:00:55","date_gmt":"2021-10-08T13:00:55","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34378"},"modified":"2025-09-07T23:39:34","modified_gmt":"2025-09-07T23:39:34","slug":"stetige-wahrscheinlichkeitsverteilungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/stetige-wahrscheinlichkeitsverteilungen\/","title":{"rendered":"Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Zusammenfassung<\/strong><br \/><em>Hier werden wir das Konzept stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen eingehend untersuchen, wobei die Merkmale und Anwendungen der f\u00fcnf bekanntesten hervorgehoben werden: die Exponentialverteilung, die rechteckige Gleichverteilung, die Normalverteilung (Gauss\u2019sche Verteilung), die Weibull-Verteilung und die Gamma-Verteilung. Es werden die mathematischen Formeln bereitgestellt, die jede dieser Verteilungen definieren, und die Implikationen sowie praktischen Anwendungen, wie etwa die Bewertung der Teilchenemission in radioaktiven Proben oder die Berechnung der Position einer Kugel auf einer Schiene mit Begrenzungen, werden untersucht. Dar\u00fcber hinaus wird erl\u00e4utert, wie diese Verteilungen durch die Anwendung spezifischer Parameter modifiziert und angepasst werden k\u00f6nnen.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>LERNZIELE:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Studierende in der Lage sein:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Zu verstehen<\/strong>, was stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind.<\/li>\n<li><strong>Anzuwenden<\/strong> die bekanntesten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Exponential-, rechteckige Gleichverteilung, Exponential-, Normalverteilung (Gauss), Weibull- und Gamma-Verteilung.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><br \/>\n<strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Was sind stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen?<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Die 5 bekanntesten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Exponentialverteilung<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Rechteckige Gleichverteilung<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Normalverteilung (Gauss\u2019sche Verteilung)<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Weibull-Verteilung<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Gamma-Verteilung<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\"><strong>\u00dcbungen<\/strong><\/a><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/REOTUa7K8uQ\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Als wir die <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/conoce-el-espacio-muestral-de-la-teoria-de-las-probabilidades\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Ergebnisr\u00e4ume<\/a> betrachteten, stellten wir fest, dass diese zweierlei Art sein k\u00f6nnen: diskret oder stetig. Wir haben auch untersucht, was eine <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/distribuciones-discretas-de-probabilidad-y-ejemplos\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung<\/a> ausmacht. Nun ist es an der Zeit, die stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu behandeln.<\/p>\n<p>&nbsp;<br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Was sind stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen?<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=86s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wir sagen, dass eine Zufallsvariable<\/span><\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzt, wenn es eine Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_X : \\mathbb{R} \\longrightarrow \\mathbb{R}^+,<\/span><\/span> gibt, die wir <strong>Dichte von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span><\/strong> nennen, so dass f\u00fcr <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\forall A \\subseteq \\mathbb{R}<\/span><\/span> die Gleichung gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(X\\in A) = \\displaystyle \\int_A f_X(x)dx<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Insbesondere, wenn wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A=]a,b]<\/span><\/span> nehmen, gilt<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(a\\lt X \\leq b) = \\displaystyle \\int_a^b f_X(x)dx<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">und wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=-\\infty<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X(x) = P( X \\leq x) = \\displaystyle \\int_{-\\infty}^x f_X(t)dt<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Au\u00dferdem ergibt sich aus der Eigenschaft (c) der <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/variables-aleatorias-y-distribuciones-de-probabilidades\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/a>, dass<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f_X(t)dt = 1<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wendet man den Fundamentalsatz der Analysis auf diesen letzten Ausdruck an, so ergibt sich, dass f\u00fcr eine stetige Verteilung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X(x)<\/span><\/span> f\u00fcr alle <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> stetig ist und ihre Ableitung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_X(x)<\/span><\/span> f\u00fcr alle Werte <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> ist, bei denen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_X(x)<\/span><\/span> stetig ist. Aus der Stetigkeit von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F_X(x)<\/span><\/span> und aus Eigenschaft (d) (<a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/variables-aleatorias-y-distribuciones-de-probabilidades\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">siehe hier<\/a>) folgt, dass:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x=X)=0<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und daher<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x\\leq X)= P(x\\lt X)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span><\/span> eine beliebige Funktion ist, die die Bedingungen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f\\geq 0<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x)dx = 1<\/span><\/span> erf\u00fcllt, dann sagt man, dass es sich um eine Dichte handelt.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>Die 5 bekanntesten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/h2>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Exponentialverteilung<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=714s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Eine Exponentialverteilungsfunktion<\/span><\/strong><\/a> mit Parameter <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha \\gt 0 <\/span><\/span> ist eine Verteilungsfunktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span><\/span> der Form.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(t) = \\left\\{\\begin{array}{lll}\n\n1 - e^{-t\/\\alpha} &amp; ; &amp; t\\geq 0 \\\\ \\\\\n\n0 &amp; ; &amp; t\\lt 0\n\n\\end{array}\\right.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Folglich ist ihre Dichtefunktion von der Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle f(t) = \\left\\{\\begin{array}{lll}\n\n\\frac{1}{\\alpha}e^{-t\/\\alpha} &amp; ; &amp; t\\geq 0 \\\\ \\\\\n\n0 &amp; ; &amp; t\\lt 0\n\n\\end{array}\\right.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn eine Zufallsvariable exponentialverteilt mit Parameter <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span><\/span> ist, schreiben wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim Ex(\\alpha).<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im Kontext der Poisson-Verteilung, wenn wir eine radioaktive Probe haben, die Teilchen mit einer mittleren Emissionsrate <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span><\/span> aussendet, dann ist der Zeitpunkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span><\/span>, zu dem das erste Teilchen emittiert wird, exponentialverteilt mit Parameter <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1\/c.<\/span><\/span> Mit anderen Worten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T\\sim Ex(1\/c),<\/span><\/span> und folglich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(T\\geq t)= e^{-ct}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Rechteckige Gleichverteilung<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=930s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Eine rechteckige Gleichverteilung<\/span><\/strong><\/a> \u00fcber einem Intervall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span> ist diejenige, die durch die Dichtefunktion definiert ist<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = \\left\\{\\begin{array}{lll}\n\n\\displaystyle\\frac{1}{b-a} &amp; ; &amp; x\\in[a,b] \\\\ \\\\\n\n0 &amp; ; &amp; s.w.a.\n\n\\end{array}\\right.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir eine kleine Kugel auf eine Schiene mit Grenzen an den Endpunkten des Intervalls <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b]<\/span><\/span> fallen lassen und diese elastisch zur\u00fcckprallt, wenn sie auf die R\u00e4nder trifft, dann ist die Zufallsvariable <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span>, die der Endposition der Kugel aufgrund der Reibung entspricht, rechteckig gleichverteilt und wird geschrieben als <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim Un(a,b)<\/span>.<\/span><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Normalverteilung (Gauss\u2019sche Verteilung)<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=1109s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Unter den stetigen Verteilungen<\/span><\/strong><\/a> ist die Normalverteilung eine der in der Praxis beliebtesten.<\/p>\n<h4>Standard-Normalverteilung<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=1150s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die Standard-Normaldichte wird definiert<\/span><\/strong><\/a> durch die Funktion<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\phi_{0,1}(x) = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-x^2\/2}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aufgrund ihrer Definition ist klar, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi\\gt 0.<\/span><\/span> Daher kann man leicht \u00fcberpr\u00fcfen, dass es sich hierbei um eine Wahrscheinlichkeitsdichte handelt, indem man best\u00e4tigt, dass<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\phi_{0,1}(x)dx<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Diese letzte Gleichung l\u00e4sst sich zeigen, indem man den Wert von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I^2<\/span><\/span> berechnet, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I =\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\phi(x)dx=1.<\/span><\/span> In der Tat gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nI^2 &amp; = \\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-x^2\/2} dx \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-x^2\/2}dx \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-x^2\/2} dx \\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}} e^{-y^2\/2} dy \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\frac{1}{{2\\pi}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-\\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy \\\\ \\\\\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Es ergibt sich jedoch<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-\\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy = \\int_{0}^{2\\pi} \\int_{0}^{+\\infty} e^{-r^2\/2} rdr d\\theta = 2\\pi <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Daher gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I^2 = 1,<\/span><\/span> sodass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}\\phi_{0,1}(x)dx = 1. <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ausgehend von der Standard-Normaldichte wird die Standard-Normalverteilung definiert als <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi_{0,1}(x) = \\int_{-\\infty}^x\\phi_{0,1}(t)dt.<\/span><\/span> Wenn eine Zufallsvariable <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> standardnormalverteilt ist, schreibt man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim N(0,1).<\/span><\/span> Die Verteilung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi_{0,1}(x)<\/span><\/span> kann nicht explizit berechnet werden, jedoch existieren Tabellen, die es erm\u00f6glichen, schnell N\u00e4herungswerte zu erhalten.<\/p>\n<h4>Normalverteilung mit Parametern <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma<\/span><\/span><\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=1875s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ausgehend von der Dichte der Standard-Normalverteilung<\/span><\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_{0,1}<\/span><\/span> ist es m\u00f6glich, die Dichte f\u00fcr die Normalverteilung mit den Parametern <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma<\/span><\/span> zu konstruieren, wobei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu\\in\\mathbb{R}<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma\\gt 0 <\/span><\/span> jeweils der Mittelwert und die Standardabweichung sind. Die Dichte der Normalverteilung mit diesen Parametern lautet folgenderma\u00dfen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\phi_{\\mu,\\sigma}(x) = \\frac{1}{\\sigma}\\phi_{0,1}\\left(\\frac{x-\\mu}{\\sigma} \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Somit hat die Normalverteilung mit den Parametern <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sigma,<\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi_{\\mu,\\sigma}(x)<\/span><\/span>, die Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\Phi_{\\mu,\\sigma}(x) = \\int_{-\\infty}^x\\frac{1}{\\sigma}\\phi_{0,1}\\left(\\frac{t-\\mu}{\\sigma} \\right)dt = \\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\sigma}}\\int_{-\\infty}^x e^{-\\frac{(t-\\mu)^2}{2\\sigma^2}}dt<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn die Zufallsvariable <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> normalverteilt mit den Parametern <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mu, \\sigma<\/span><\/span> ist, dann schreibt man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim N(\\mu, \\sigma).<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Weibull-Verteilung<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=2230s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die Weibull-Verteilung<\/span><\/strong><\/a> mit Parametern <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha,\\beta \\gt 0<\/span><\/span> hat eine Verteilungsfunktion der Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(t) = \\left\\{\\begin{array}{llr}\n\n\\left(1 - e^{-t\/\\alpha} \\right)^\\beta &amp;;&amp; t\\geq 0 \\\\ \\\\\n\n0 &amp;;&amp; t\\lt 0\n\n\\end{array}\\right.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn eine Zufallsvariable <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> Weibull-verteilt mit Parametern <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha, \\beta<\/span><\/span> ist, schreibt man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim We(\\alpha,\\beta).<\/span><\/span> Die Weibull-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, wobei gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">We(\\alpha,1) = Ex(\\alpha).<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h3>Gamma-Verteilung<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=REOTUa7K8uQ&amp;t=2311s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die Gamma-Verteilung<\/span><\/strong><\/a> mit Parametern <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta,\\alpha<\/span><\/span> hat eine Dichtefunktion der Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(t) = \\left\\{\\begin{array}{llr}\n\n\\displaystyle \\frac{1}{\\alpha \\Gamma(\\beta)}\\left(\\frac{t}{\\alpha} \\right)^{\\beta-1}e^{-t\/\\alpha} &amp;;&amp; t\\geq 0 \\\\ \\\\\n\n0 &amp;;&amp; t\\lt 0\n\n\\end{array}\\right.<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dabei ist <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma(s) = \\displaystyle \\int_0^{+\\infty}u^{s-1}e^{-u}du <\/span><\/span> das, was als \u201eGamma-Funktion\u201c bekannt ist.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Eine der bemerkenswertesten Eigenschaften der Gamma-Funktion ist, dass sie die Fakult\u00e4ten der nat\u00fcrlichen Zahlen auf die reellen (und sogar komplexen) Zahlen verallgemeinert. Es ist nicht schwierig zu \u00fcberpr\u00fcfen, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma(s+1) = s\\Gamma(s)<\/span><\/span>, indem man partielle Integration anwendet. Au\u00dferdem, da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Gamma(1)=1<\/span><\/span>, ergibt sich<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\forall n\\in\\mathbb{N}\\right)\\left(\\Gamma(n) = (n-1)! \\right)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn eine Zufallsvariable <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X<\/span><\/span> Gamma-verteilt mit Parametern <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta, \\alpha<\/span><\/span> ist, schreibt man <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X\\sim Ga(\\alpha,\\beta).<\/span><\/span> Die Gamma-Verteilung ist eine weitere Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, wobei gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Ga(\\alpha,1) = Ex(\\alpha).<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">In einem Poisson-Prozess mit Rate <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span><\/span> (wie einem radioaktiven Zerfall), wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span><\/span> die Zufallsvariable ist, die den Zeitpunkt des m-ten Ereignisses darstellt; dann gilt f\u00fcr ein gegebenes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t\\geq 0<\/span><\/span> und eine Anzahl <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span><\/span> von Ereignissen, die im Zeitintervall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[0,t]<\/span><\/span> auftreten, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">t\\lt T \\leftrightarrow N\\lt m<\/span><\/span> und, da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N\\sim Po(ct),<\/span><\/span> gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1-F_T(t) = P(T\\gt t) = \\displaystyle \\sum_{k=0}^{m-1}Po(k; ct)=e^{-ct}\\sum_{k=0}^{m-1}\\frac{(ct)^k}{k!}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und daher, wenn wir dies ableiten, erhalten wir die Dichtefunktion<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle f(t) = ce^{-ct}\\frac{(ct)^{m-1}}{(m-1)!}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und somit gilt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T\\sim Ga(1\/c, m).<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/br><\/br><\/p>\n<h2>\u00dcbungen<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Bestimmen Sie die Konstante <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span><\/span>, so dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle f(x) = \\frac{c}{x^2+1}<\/span><\/span> eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, und berechnen Sie die entsprechende Verteilungsfunktion (Cauchy-Verteilung).<\/li>\n<li>Ausgehend von der Dichtefunktion der Verteilung <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Un(a.b),<\/span><\/span> bestimmen Sie die zugeh\u00f6rige Verteilungsfunktion.<\/li>\n<li>Beweisen Sie, dass die Funktion <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi_{\\mu,\\sigma}(x)<\/span><\/span> eine Verteilungsfunktion ist.<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/kdxgrB1h98g\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ZusammenfassungHier werden wir das Konzept stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen eingehend untersuchen, wobei die Merkmale und Anwendungen der f\u00fcnf bekanntesten hervorgehoben werden: die Exponentialverteilung, die rechteckige Gleichverteilung, die Normalverteilung (Gauss\u2019sche Verteilung), die Weibull-Verteilung und die Gamma-Verteilung. 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