{"id":34310,"date":"2024-11-12T13:00:11","date_gmt":"2024-11-12T13:00:11","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34310"},"modified":"2025-09-07T01:52:32","modified_gmt":"2025-09-07T01:52:32","slug":"unendliche-grenzwerte-und-divergenz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/unendliche-grenzwerte-und-divergenz\/","title":{"rendered":"Unendliche Grenzwerte und Divergenz"},"content":{"rendered":"<style>\np {\ntext-align: justify;}\n<\/style>\n<p><center><\/p>\n<h1>Unendliche Grenzwerte und Divergenz<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Vorlesung behandeln wir unendliche Grenzwerte und die verschiedenen Formen der Divergenz bei Grenzwerten, wobei wir grundlegende Konzepte untersuchen, um zu verstehen, wie bestimmte Funktionen nicht gegen einen definierten reellen Wert konvergieren. Wir werden ungleiche einseitige Grenzwerte, unendlich oszillierende Funktionen und Situationen betrachten, in denen Grenzwerte aufgrund von Definitionsbereichsproblemen oder unbegrenztem Wachstum nicht existieren.<br \/>\n<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein,\n<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>zu definieren<\/strong>, was divergente Grenzwerte sind, und zu erkennen, wann ein Grenzwert divergent ist.<\/li>\n<li><strong>zu identifizieren<\/strong>, welche verschiedenen Arten von Divergenz bei Grenzwerten auftreten, wie etwa ungleiche einseitige Grenzwerte und unendliche Grenzwerte.<\/li>\n<li><strong>zu analysieren<\/strong>, in welchen Situationen eine Funktion Definitionsbereichsprobleme hat und wie dies die Existenz des Grenzwertes beeinflusst.<\/li>\n<li><strong>zu bewerten<\/strong>, ob einseitige Grenzwerte ungleich sind, und deren Einfluss auf die Konvergenz des Grenzwertes zu bestimmen.<\/li>\n<li><strong>zu berechnen<\/strong>, unendliche Grenzwerte und zu unterscheiden, ob diese gegen plus oder minus unendlich divergieren.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\">\n<u><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><\/u>:<br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Wann sagen wir, dass ein Grenzwert divergent ist?<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Arten der Divergenz bei Grenzwerten<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Grenzwerte mit Definitionsbereichsproblemen<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Ungleiche einseitige Grenzwerte<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Grenzwert unendlich oszillierender Funktionen<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Unendliche Grenzwerte<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Unendliche Grenzwerte im Unendlichen<\/a>\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/SFBMSd0Q7Io\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>Diesmal werden wir nicht nur die <strong>unendlichen Grenzwerte<\/strong> betrachten, sondern allgemein die <strong>divergenten Grenzwerte<\/strong>. Divergente Grenzwerte zeigen uns, wie eine Funktion scheinbar nicht konvergiert, und dies kann auf viele verschiedene Arten geschehen.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Wann sagen wir, dass ein Grenzwert divergent ist?<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=106s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wir sagen, dass ein Grenzwert divergent ist, wenn er nicht gegen einen reellen Wert konvergiert.<\/strong><\/a> Dies, was so offensichtlich klingt, kann auf verschiedene Weisen auftreten:<\/p>\n<ul>\n<li>Wenn die einseitigen Grenzwerte unterschiedlich oder nicht existent sind, existieren die zweiseitigen Grenzwerte nicht.<\/li>\n<li>Wenn die Funktion nicht wohldefiniert ist, unbegrenzt w\u00e4chst oder unendlich oszilliert, wenn man sich dem Punkt n\u00e4hert, an dem der Grenzwert berechnet wird, dann kann der einseitige Grenzwert nicht existieren.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dies kann, mit seinen Besonderheiten, sowohl f\u00fcr endliche Grenzwerte als auch f\u00fcr Grenzwerte im Unendlichen gelten, und je nach Fall haben wir eine Art von Divergenz.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Arten der Divergenz bei Grenzwerten<\/h2>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Grenzwerte mit Definitionsbereichsproblemen<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=210s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wenn wir versuchen, einen Grenzwert der Form <\/strong><\/a><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{x\\to x_0}f(x)<\/span> oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{x\\to +\\infty}f(x),<\/span> zu berechnen, erwarten wir zumindest, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> f\u00fcr Werte nahe bei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span> oder f\u00fcr ein Intervall der Form <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,+\\infty[, <\/span> jeweils wohldefiniert ist. Wenn dies nicht der Fall ist, k\u00f6nnten keine der beiden Definitionen von Grenzwerten \u00fcberhaupt Sinn ergeben; die Funktion kann nicht \u201egegen\u201c einen Wert streben, wenn sie sich einer Stelle n\u00e4hert, an der sie nicht einmal definiert ist. In solchen F\u00e4llen schreiben wir einfach, dass der Grenzwert nicht existiert: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{x\\to x_0}f(x)=\\cancel{\\exists}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{x\\to +\\infty}f(x)=\\cancel{\\exists},<\/span> je nachdem, was zutrifft. \u00c4hnlich gilt dies f\u00fcr einseitige Grenzwerte, und es bleibt nichts Weiteres zu diesem Typ von Situationen zu sagen.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Ungleiche einseitige Grenzwerte<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=180s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Betrachten wir eine Funktion der Form<\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = x\/|x|<\/span> und berechnen wir den Grenzwert, wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to 0<\/span>. Zun\u00e4chst stellen wir fest:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+} f(x) = 1<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^-} f(x) = -1<\/span>\n<p>In einem solchen Fall stellen wir fest, dass zwar die einseitigen Grenzwerte existieren, diese jedoch unterschiedlich sind. Wenn dies geschieht, sagen wir einfach, dass der (zweiseitige) Grenzwert nicht konvergiert, und daher gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0} f(x) = \\cancel{\\exists}<\/span>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h3>Grenzwert unendlich oszillierender Funktionen<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=415s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Es gibt auch den Fall, dass Funktionen, anstatt sich einem bestimmten Wert zu n\u00e4hern,<\/strong><\/a> beginnen, innerhalb eines bestimmten Bereichs zu oszillieren. Ein Beispiel daf\u00fcr w\u00e4re eine Funktion der Form <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)= \\sin(1\/x)<\/span>. Wenn wir betrachten, was mit dieser Funktion passiert, wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to 0<\/span>, sehen wir, dass sie unendlich oft oszilliert.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-vrdcIAmLV50\/YGoC903Q62I\/AAAAAAAAE1M\/6AM7D-RM9lAy9ZrG105MbfCN8ltu6J09ACLcBGAsYHQ\/s0\/sin1sobrex.PNG\" alt=\"f(x) = sin(1\/x)\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"856\" height=\"442\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-vrdcIAmLV50\/YGoC903Q62I\/AAAAAAAAE1M\/6AM7D-RM9lAy9ZrG105MbfCN8ltu6J09ACLcBGAsYHQ\/s0\/sin1sobrex.PNG\" alt=\"f(x) = sin(1\/x)\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"856\" height=\"442\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>Wenn solche Dinge geschehen, sagen wir, dass der Grenzwert einfach nicht existiert.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Unendliche Grenzwerte<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=658s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Sehen wir uns an, was mit der Funktion<\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = 1\/x.<\/span> geschieht. Zun\u00e4chst stellen wir fest, dass, wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to 0<\/span>, der Wert von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> unbegrenzt w\u00e4chst, aber die Art und Weise h\u00e4ngt davon ab, von welcher Seite der Grenzwert berechnet wird. Intuitiv schreiben wir:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+} \\dfrac{1}{x} = +\\infty<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^-} \\dfrac{1}{x} = -\\infty<\/span>\n<p>Mit dieser Schreibweise sagen wir nicht, dass der Grenzwert in irgendeiner Weise existiert, sondern wir geben die Art und Weise an, in der dieser Grenzwert nicht existiert. Anders als in den vorherigen F\u00e4llen, in denen der Grenzwert nicht existiert, weil er nicht gegen einen bestimmten Wert konvergiert, divergiert er hier, weil seine Gr\u00f6\u00dfe \u00fcber jede reelle Zahl hinausgeht.<\/p>\n<p>Dies, was wir gerade \u00fcberpr\u00fcft haben, l\u00e4sst sich durch die folgenden Definitionen formalisieren:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0^+}f(x) = +\\infty := \\left(\\forall M \\in \\mathbb{R}\\right)\\left( \\exists \\delta \\gt 0 \\right) ( x_0 \\lt x \\lt x_0 + \\delta \\rightarrow M \\lt f(x) )<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0^-}f(x) = +\\infty := \\left(\\forall M \\in \\mathbb{R}\\right)\\left( \\exists \\delta \\gt 0 \\right) ( x_0 - \\delta \\lt x \\lt x_0 \\rightarrow M \\lt f(x) )<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}f(x) = +\\infty := \\left(\\lim_{x\\to x_0^+}f(x) = +\\infty \\right) \\wedge \\left(\\lim_{x\\to x_0^-}f(x) = +\\infty \\right)<\/span>\n<p>Und in analoger Weise:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0^+}f(x) = -\\infty := \\left(\\forall m \\in \\mathbb{R}\\right)\\left( \\exists \\delta \\gt 0 \\right) ( x_0 \\lt x \\lt x_0 + \\delta \\rightarrow f(x) \\lt m )<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0^-}f(x) = -\\infty := \\left(\\forall m \\in \\mathbb{R}\\right)\\left( \\exists \\delta \\gt 0 \\right) ( x_0 - \\delta \\lt x \\lt x_0 \\rightarrow f(x) \\lt m )<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}f(x) = -\\infty := \\left(\\lim_{x\\to x_0^+}f(x) = -\\infty \\right) \\wedge \\left(\\lim_{x\\to x_0^-}f(x) = -\\infty \\right)<\/span>\n<p>Man spricht gelegentlich auch von einem Grenzwert, der gegen das Unendliche (ohne Vorzeichen) geht.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}f(x) = \\infty := \\lim_{x\\to x_0}|f(x)| = +\\infty <\/span>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h3>Unendliche Grenzwerte im Unendlichen<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=1147s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>\u00c4hnlich wie bei den zuvor betrachteten Grenzwerten<\/strong><\/a> ist es m\u00f6glich, unendliche Grenzwerte im Unendlichen zu definieren. Zum Beispiel:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}f(x) = +\\infty := \\left(\\forall M \\in \\mathbb{R}\\right)\\left( \\exists N \\in\\mathbb{R} \\right) ( N\\lt x \\rightarrow M \\lt f(x) )<\/span>\n<p>Und damit haben wir nun alle Arten gesehen, in denen die Grenzwerte von Funktionen divergieren k\u00f6nnen.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Unendliche Grenzwerte und Divergenz Zusammenfassung: In dieser Vorlesung behandeln wir unendliche Grenzwerte und die verschiedenen Formen der Divergenz bei Grenzwerten, wobei wir grundlegende Konzepte untersuchen, um zu verstehen, wie bestimmte Funktionen nicht gegen einen definierten reellen Wert konvergieren. 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