{"id":34273,"date":"2022-03-29T13:00:10","date_gmt":"2022-03-29T13:00:10","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34273"},"modified":"2025-08-27T22:10:01","modified_gmt":"2025-08-27T22:10:01","slug":"algebra-und-projektionen-in-rn-vektorprodukt-in-r3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/algebra-und-projektionen-in-rn-vektorprodukt-in-r3\/","title":{"rendered":"Algebra und Projektionen in Rn, Vektorprodukt in R3"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Algebra und Projektionen in Rn, Vektorprodukt in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{\\mathbb{R}^3}<\/span><\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><\/br>Diese Serie ist die direkte Fortsetzung der Serie \u00fcber den euklidischen Raum von n Dimensionen. Hier werden wir einige Konzepte der linearen Algebra \u00fcberpr\u00fcfen, die helfen, den n-dimensionalen euklidischen Raum besser zu verstehen. Wir werden die Konzepte der Projektionen eines Vektors auf einen anderen \u00fcberpr\u00fcfen, den Satz des Pythagoras demonstrieren und mit einer \u00dcberpr\u00fcfung des Vektorprodukts in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> und seiner Beziehung zu den anderen Produkten des 3-dimensionalen euklidischen Raums abschlie\u00dfen. <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INHALT<\/strong><br \/>\n<a href=\"#Independencia-Lineal-Ortogonalidad-y-Proyecciones\">Lineare Unabh\u00e4ngigkeit, Orthogonalit\u00e4t und Projektionen<\/a><br \/>\n<a href=\"#El-Teorema-de-Pitagoras-y-la-Proyecci\u00f3n-sobre-un-Subespacio\">Der Satz des Pythagoras und die Projektion auf einen Unterraum<\/a><br \/>\n<a href=\"#El-Producto-Escalar-y-Vectorial-en-R3\">Das Skalar- und Vektorprodukt in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/a>\n<\/p>\n<p><a name=\"Independencia-Lineal-Ortogonalidad-y-Proyecciones\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/vtNHkaHD3aA\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>Lineare Unabh\u00e4ngigkeit, Orthogonalit\u00e4t und Projektionen<\/h2>\n<h3>Linearkombination und lineare Unabh\u00e4ngigkeit<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=138s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ein von null verschiedener Vektor<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> kann als eine <strong>Linearkombination<\/strong> in Bezug auf andere von null verschiedene Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> konstruiert werden, wenn es ein Paar reeller Zahlen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> gibt, die nicht beide gleichzeitig null sind, so dass gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z} = \\alpha \\vec{x} + \\beta\\vec{y}<\/span>\n<p>Das hei\u00dft, der Vektor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> kann als eine gewichtete Summe der Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> konstruiert werden.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=609s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Analog dazu sagt man,<\/span><\/strong><\/a> dass die Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> <strong>linear unabh\u00e4ngig<\/strong> sind, wenn <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\vec{x} + \\beta\\vec{y} = \\vec{0} ) \\longleftrightarrow (\\alpha=0 \\wedge \\beta=0 )<\/span>\n<p>Die lineare Unabh\u00e4ngigkeit der Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> besagt, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> nicht als ein (von null verschiedener) skalarer Vielfaches von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> dargestellt werden kann, und umgekehrt.<\/p>\n<p>Das Konzept der linearen Unabh\u00e4ngigkeit, das wir gerade \u00fcberpr\u00fcft haben, kann auf gr\u00f6\u00dfere Mengen von Vektoren erweitert werden. Die Menge der von null verschiedenen Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x}_1, \\cdots, \\vec{x}_n\\}<\/span> hei\u00dft linear unabh\u00e4ngig, wenn<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\displaystyle \\left[\\left(\\sum_{i=1}^n \\alpha_i \\vec{x}_i \\right) = \\vec{0} \\right] \\longleftrightarrow \\left[\\bigwedge_{i=1}^n (\\alpha_i = 0) \\right]<\/span>\n<h3>Der Winkel zwischen zwei Vektoren und die Orthogonalit\u00e4t<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=1289s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn wir uns an die Cauchy-Schwarz-Ungleichung erinnern,<\/span><\/strong><\/a> so besagt diese, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall \\vec{x},\\vec{y}\\in\\mathbb{R}^n)(|\\vec{x}\\cdot\\vec{y}| \\leq \\|\\vec{x}\\| \\|\\vec{y}\\|).<\/span> Unter Ber\u00fccksichtigung dessen ist es leicht festzustellen, dass f\u00fcr jedes Paar von Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x},\\vec{y}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}<\/span> die folgende Beziehung gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle -1 \\leq \\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|}\\leq 1<\/span>\n<p>Nun k\u00f6nnen wir eine Beziehung zwischen dem Skalarprodukt und dem Winkel, den die Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> bilden, erahnen, da diese eine Ebene erzeugen, die isometrisch zu <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^2<\/span> ist. Daher k\u00f6nnen wir uns ohne Beschr\u00e4nkung der Allgemeinheit vorstellen, dass sie Elemente von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^2<\/span> mit Winkeln bez\u00fcglich der <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span>-Achse von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_x<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_y<\/span> sind, sodass die Vektoren in Polardarstellung wie folgt geschrieben werden:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\vec{x} &amp;= \\|\\vec{x}\\|(\\cos(\\theta_x) , \\sin(\\theta_x)) \\\\ \\\\ \\vec{y} &amp;= \\|\\vec{y}\\|(\\cos(\\theta_y) , \\sin(\\theta_y))\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Daher k\u00f6nnen wir (wiederum ohne Beschr\u00e4nkung der Allgemeinheit) annehmen, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_x \\lt \\theta_y<\/span>, um dann das Skalarprodukt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}<\/span> zu berechnen. Wenn wir dies tun, erhalten wir folgendes Ergebnis:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\\vec{x}\\cdot \\vec{y} &amp;=  \\|\\vec{x}\\|  \\|\\vec{y}\\| (\\cos(\\theta_x)\\cos(\\theta_y) + \\sin(\\theta_x)\\sin(\\theta_y)) \\\\ \\\\ &amp;=  \\|\\vec{x}\\|  \\|\\vec{y}\\| \\cos(\\theta_y-\\theta_x)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Nun, indem wir die Differenz zwischen der gr\u00f6\u00dferen und der kleineren Winkelposition nehmen, erhalten wir den zwischen den Vektoren eingeschlossenen Winkel, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})=\\theta_y - \\theta_x.<\/span> Und damit k\u00f6nnen wir nun schreiben:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\cos\\left(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}) \\right) = \\frac{\\vec{x} \\cdot \\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|}\n\n<\/span>\n<p>Hier m\u00fcssen wir betonen, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\in [0, \\pi]<\/span>\n<p>Ausgehend davon k\u00f6nnen wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung mit der Geometrie der Winkel verbinden, und zudem erm\u00f6glicht es uns, eine strenge Vorstellung von Orthogonalit\u00e4t zu gewinnen. Zwei Vektoren hei\u00dfen <strong>orthogonal<\/strong>, wenn sie einen Winkel von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\pi\/2<\/span> Radianten einschlie\u00dfen, im Sinne der im vorigen Absatz erl\u00e4uterten Erkl\u00e4rung. Dies ist gleichbedeutend damit zu sagen, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cos\\left(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\right) = 0<\/span>, was wiederum gleichbedeutend damit ist, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y} = 0<\/span>. Aus diesem Grund sagt man, dass die Behauptung der Orthogonalit\u00e4t der Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> gleichbedeutend damit ist, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0<\/span>.<\/p>\n<h4>Wenn zwei von null verschiedene Vektoren orthogonal sind, dann sind sie linear unabh\u00e4ngig<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=2365s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Dies ist eine etwas intuitive Eigenschaft der Vektoren<\/span><\/strong><\/a> von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>, deren formaler Beweis nicht so direkt ist, und es ist auch eine Eigenschaft, die gelegentlich etwas Verwirrung stiften kann: Die Orthogonalit\u00e4t zweier Vektoren impliziert ihre lineare Unabh\u00e4ngigkeit, aber die lineare Unabh\u00e4ngigkeit zweier Vektoren impliziert nicht notwendigerweise ihre Orthogonalit\u00e4t. Um Letzteres zu sehen, gen\u00fcgt ein einfaches Gegenbeispiel:<\/p>\n<p>Wenn wir die Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}=(1,0)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{B}=(1,1)<\/span> nehmen, die offensichtlich nicht orthogonal sind, da <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}\\cdot\\vec{B}=1<\/span>, sehen wir, dass wenn wir<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\alpha\\vec{A} + \\beta\\vec{B} = \\vec{0}\n\n<\/span>\n<p>berechnen, dann gilt<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\alpha + \\beta &amp;= 0 \\\\ \\beta &amp;= 0\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>und daher: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha = 0  \\wedge \\beta=0.<\/span> Und damit folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\alpha\\vec{A} + \\beta\\vec{B} = \\vec{0} \\longleftrightarrow  \\alpha = 0  \\wedge \\beta=0\n\n<\/span>\n<p>Dies ist gleichbedeutend damit zu sagen, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{B}<\/span> linear unabh\u00e4ngig sind. Damit wird sehr deutlich, dass es nicht zutrifft, dass lineare Unabh\u00e4ngigkeit Orthogonalit\u00e4t impliziert. Orthogonalit\u00e4t impliziert jedoch lineare Unabh\u00e4ngigkeit, und dies werde ich im Folgenden formal beweisen. Daf\u00fcr betrachten wir die folgende Menge von Pr\u00e4missen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\mathcal{H}= \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0, \\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}\\}<\/span>\n<p>Daraus k\u00f6nnen wir die folgende Argumentation ableiten:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\} &amp;{;\\;Annahme}\\\\ \\\\\n\n(2) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0 &amp;{\\;Annahme} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y} = \\vec{0} &amp;{\\;Annahme} \\\\ \\\\\n\n(4) &amp;\\mathcal{H}\\vdash (\\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y})\\cdot\\vec{x} = \\alpha\\|\\vec{x}\\|^2 + \\beta(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) &amp;{;\\; Bilinearit\u00e4t} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp;\\mathcal{H}\\vdash  \\alpha\\|\\vec{x}\\|^2 = 0 &amp; {;\\; Aus(2,3,4)} \\\\ \\\\\n\n(6) &amp;\\mathcal{H}\\vdash  \\alpha  = 0 &amp; {;\\; Aus(1,5)} \\\\ \\\\\n\n(7) &amp;\\mathcal{H}\\vdash (\\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y})\\cdot\\vec{y} = \\alpha(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\beta\\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;Bilinearit\u00e4t} \\\\ \\\\\n\n(8) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\beta\\|\\vec{y}\\|^2 = 0 &amp;{;\\;Aus(2,3,7)} \\\\ \\\\\n\n(9) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\beta = 0 &amp;{;\\;Aus(1,8)} \\\\ \\\\\n\n(10) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0 &amp;{;\\;\\wedge-int(6,9)}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Daraus schlie\u00dfen wir:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0, \\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}\\} \\vdash \\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0  <\/span>\n<p>Schlie\u00dflich erh\u00e4lt man, wenn man den Deduktionssatz auf diesen letzten Ausdruck anwendet:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0\\} \\vdash (\\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}) \\rightarrow (\\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0)<\/span>\n<p>Der Beweis f\u00fcr den umgekehrten Pfeil ist trivial.<\/p>\n<p>Das hei\u00dft: Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> von null verschiedene und orthogonale Vektoren sind, dann sind sie linear unabh\u00e4ngig.<\/p>\n<h3>Die Projektion eines Vektors auf einen anderen<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=3055s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Nehmen wir an, wir haben zwei von null verschiedene Vektoren<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>, die einen Winkel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})<\/span> einschlie\u00dfen, und wir fragen uns: \u201eIn welchem Ausma\u00df liegt der Vektor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> auf dem Vektor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>?\u201c oder \u201eWie gro\u00df ist der Schatten des Vektors <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span>, wenn er auf die Richtung des Vektors <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> projiziert wird?\u201c. Diese Frage k\u00f6nnen wir mithilfe der Trigonometrie l\u00f6sen und damit die Projektion eines Vektors <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> auf einen anderen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x})<\/span>, durch den folgenden Ausdruck definieren:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x}) = \\| \\vec{x}\\| \\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\hat{y}<\/span>\n<p>Wenn wir dies mit dem in den vorherigen Abs\u00e4tzen Gesehenen kombinieren, k\u00f6nnen wir schreiben:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x}) = {\\| \\vec{x}\\|} \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{{\\|\\vec{x}\\|} \\|\\vec{y}\\|}\\right)\\color{red}{\\hat{y}} =  \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|} \\right)\\color{red}{\\frac{\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|}} = \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|^2}\\right)\\vec{y} = \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\vec{y}\\cdot\\vec{y}}\\right)\\vec{y}<\/span>\n<p>da wir uns erinnern:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))  = \\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\| \\|\\vec{y}\\|}<\/span>\n<p>Projektionen sind wichtig, weil sie es uns erm\u00f6glichen, die Vektoren in Bezug auf jede Basis als Summe ihrer Projektionen auszudr\u00fccken:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} = \\displaystyle \\sum_{i=1}^n \\alpha_i \\hat{u}_i<\/span>\n<p>Wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{u}_i\\}_{i=1,\\cdots, n}<\/span> eine Basis linear unabh\u00e4ngiger Vektoren von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> ist und die Koeffizienten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_i = (\\vec{x}\\cdot\\vec{u}_i)\/\\|\\vec{u}_i\\|<\/span> genau die Projektionen auf jedes Element der Basis sind, die die Koordinaten von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> bez\u00fcglich der Basis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{u}_i\\}_{i=1,\\cdots, n}<\/span> von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> darstellen.<\/p>\n<p><a name=\"El-Teorema-de-Pitagoras-y-la-Proyecci\u00f3n-sobre-un-Subespacio\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/CGrr6IDnvjs\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>Der Satz des Pythagoras und die Projektion auf einen Unterraum<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=254s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Der Satz des Pythagoras ist ein bekanntes Resultat,<\/span><\/strong><\/a> das \u00fcber unz\u00e4hlige Beweise verf\u00fcgt. Ein m\u00f6glicher Beweis dieses Satzes ergibt sich genau aus den Themen, die wir f\u00fcr den euklidischen Raum entwickelt haben, mit dem Zusatz, dass er f\u00fcr jede Anzahl von Dimensionen g\u00fcltig ist.<\/p>\n<h3>Beweis des Satzes von Pythagoras<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=533s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> und Hypotenuse <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span> haben, dann sagt uns der Satz des Pythagoras, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a^2+b^2=c^2.<\/span> Unter dieser Annahme k\u00f6nnen wir jede Kathete durch ein Paar orthogonaler Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> darstellen und den Satz des Pythagoras folgenderma\u00dfen schreiben:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash\n\n \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\leftrightarrow (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = \\|\\vec{x}\\|^2 + \\|\\vec{y}\\|^2)<\/span>\n<p>Wobei der Ausdruck <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\bot\\vec{y}<\/span> angibt, dass beide Vektoren orthogonal sind, das hei\u00dft: von null verschieden und so, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0<\/span>. Auf diese Weise wird eine bikonditionale Beziehung zwischen der Orthogonalit\u00e4t und der Summe der Quadrate der Betr\u00e4ge zweier Vektoren hergestellt.<\/p>\n<p>Diese vektorielle Form zur Darstellung des Satzes von Pythagoras kann durch die folgenden zwei Argumentationen bewiesen werden:<\/p>\n<p><strong>Zuerst die Hinrichtung:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;Annahme} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\vec{x}\\cdot\\vec{y}= 0 &amp; {;\\;Aus(1)} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = (\\vec{x} + \\vec{y})\\cdot(\\vec{x} + \\vec{y}) = \\|\\vec{x}\\|^2 + 2(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; \\\\\n\n&amp;;\\; Eigenschaft\\;der\\;euklidischen\\;Norm\\;und\\;des\\;Skalarprodukts &amp; \\\\ \\\\\n\n(4) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;Aus(2,3)} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\rightarrow ( \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2) &amp; {;\\;DS(4)} \\end{array}<\/span>\n<p><strong>Und nun die R\u00fcckrichtung:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;Annahme} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2 +2(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp;  \\\\\n\n&amp;;\\; Eigenschaft\\;der\\;euklidischen\\;Norm\\;und\\;des\\;Skalarprodukts &amp;\\\\ \\\\\n\n(3) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash  \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0 &amp; {;\\;Aus(1,2)} \\\\ \\\\\n\n(4) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash  \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;Aus(3)} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2) \\rightarrow  \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;DS(4)} \\end{array}<\/span>\n<p><strong>Und schlie\u00dflich, wenn man beide Argumentationen zusammenf\u00fchrt, erh\u00e4lt man das, was man zeigen wollte:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash   \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\leftrightarrow (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = \\|\\vec{x}\\|^2 + \\|\\vec{y}\\|^2)<\/span>\n<h3>Die Projektion eines Vektors auf einen Unterraum von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=1545s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Betrachten wir einen Unterraum<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>, der durch eine Basis von Einheitsvektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_1, \\cdots, \\hat{v}_k\\}<\/span> gebildet wird. Wenn wir einen Vektor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}<\/span> nehmen, wird die Projektion des Vektors <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> auf den Raum <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> durch den folgenden Ausdruck definiert:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{H}(\\vec{x}) = \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j<\/span>\n<p>Dass eine Menge orthonormal ist, bedeutet, dass alle ihre Elemente zueinander orthogonal sind und jeder von ihnen Norm gleich eins hat.<\/p>\n<p>Das ist sozusagen der Schatten, den ein Vektor auf jede der Komponenten des Unterraums <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> wirft. <\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEga986LBrInk-B_9gUKPe01TF10dNECXU54KK1bSf3mAPakWE-FqdqyPbb0TVy88OfGxQmJRd-yW4dwAfcC21i2dM0KZqQjPe_Qx0M5OUz4f_P6IipJQ6PcxtkOmcO7-GqRiGZ-3StQpzy8FMIfPYE89Wae6JZIC2Jk9dSTPFTK1L4TsnpkcdpV1Dbr\" width=\"578\" height=\"591\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEga986LBrInk-B_9gUKPe01TF10dNECXU54KK1bSf3mAPakWE-FqdqyPbb0TVy88OfGxQmJRd-yW4dwAfcC21i2dM0KZqQjPe_Qx0M5OUz4f_P6IipJQ6PcxtkOmcO7-GqRiGZ-3StQpzy8FMIfPYE89Wae6JZIC2Jk9dSTPFTK1L4TsnpkcdpV1Dbr\" width=\"578\" height=\"591\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<h3>Abstand zwischen einem Punkt oder Vektor von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> und einem Unterraum von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=1974s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ausgehend von der Projektion eines Vektors<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}<\/span> auf einen Unterraum <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> kann man einen Vektor der Form<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})<\/span>\n<p>konstruieren. Der auf diese Weise gebildete Vektor ist ein Vektor, der einen Punkt des Unterraums <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> mit dem Punkt der Koordinaten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> verbindet und der orthogonal zum Unterraum <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> verl\u00e4uft. Dies ist nicht schwer zu beweisen: Wenn wir einen beliebigen Vektor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H<\/span> nehmen und das Skalarprodukt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z}<\/span> berechnen, gen\u00fcgt es zu sehen, dass das Ergebnis dieser Operation null ist. Machen wir die Rechnung, um zu pr\u00fcfen, ob dies tats\u00e4chlich der Fall ist:<\/p>\n<p>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H<\/span>, dann ist er von der Form<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}=\\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j<\/span>\n<p>wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_j\\}_{j=1}^k<\/span> eine Orthonormalbasis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> ist und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta_j \\in\\mathbb{R}<\/span> die Koeffizienten von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> sind. Unter dieser Annahme ergibt die Berechnung des Skalarprodukts <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z}<\/span>:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} (\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z} &amp;= \\left(\\vec{x} - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\right) \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\ &amp;= \\vec{x} \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\end{array}<\/span>\n<p>Da <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> ein Vektor von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> ist, von dem <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> ein Unterraum ist, ist es m\u00f6glich, eine Menge von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n-k<\/span> Vektoren zu finden, die untereinander orthonormal und gleichzeitig zu allen Vektoren von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> orthonormal sind, sagen wir <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_{k+1}, \\cdots, \\hat{v}_n\\}<\/span>, sodass sie zusammen mit der Basis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> eine Basis f\u00fcr <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> bilden und man schreiben kann:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} = \\displaystyle  \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j + \\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j <\/span>\n<p>Sodass sich die obige Entwicklung folgenderma\u00dfen fortsetzt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z} &amp;= \\displaystyle \\left( \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j + \\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j\\right) \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j -  \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;=  \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j + \\underbrace{\\color{red}{\\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j}}_{(*)} - \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;=  \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j  - \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;= 0  \\end{array}<\/span>\n<p>(*) Nullsumme, weil <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{v_j\\}_{j=1}^n<\/span> eine Orthonormalbasis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> ist.<\/p>\n<p>Daraus k\u00f6nnen wir folgern, dass der Abstand zwischen dem Unterraum <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> und dem Vektor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> gegeben ist durch:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\|<\/span>\n<h4>Beweis<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=2995s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Um dieses Resultat zu beweisen, wird gezeigt,<\/span><\/strong><\/a> dass f\u00fcr jedes <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H<\/span> stets gilt, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\| \\leq \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|<\/span>. Daf\u00fcr verwenden wir den Satz des Pythagoras in folgender Weise:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|^2 &amp;= \\| \\left(\\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x}) \\right) + \\left(Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}\\right)\\|^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\| \\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x}) \\|^2 + \\|Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}\\|^2 \\\\ \\\\ \\end{array}<\/span>\n<p>Diese letzte Gleichung ergibt sich daraus, dass die Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x})<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}<\/span> orthogonal sind. Und daher gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\|^2 \\leq \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|^2<\/span>\n<p>was zu zeigen war.<\/p>\n<p>Mit diesem Ergebnis in der Hand k\u00f6nnen wir sagen, dass der Abstand zwischen einem Punkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n<\/span> und einem Unterraum <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>, der durch die orthonormalen Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_1, \\cdots, \\hat{v}_k\\}<\/span> erzeugt wird, gegeben ist durch:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dist(\\vec{x},H) =\\left\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\right\\|= \\left\\|\\vec{x} - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j\\right\\|<\/span>\n<p><a name=\"El-Producto-Escalar-y-Vectorial-en-R3\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/uei6y2tniOc\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>Das Skalar- und Vektorprodukt in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/h2>\n<p><strong><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=242s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #ff0000;\">Nun werden wir unseren Fokus ein wenig \u00e4ndern<\/span><\/a><\/strong>, um uns auf die Vektoren von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> zu konzentrieren. Hier ist es, zus\u00e4tzlich zu den Operationen, die wir bereits allgemein f\u00fcr <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> betrachtet haben, auch m\u00f6glich, das Vektorprodukt zu definieren, das aus dem Produkt zweier Vektoren einen weiteren Vektor ergibt. Dies ist ein exklusives Produkt von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> (und m\u00f6glicherweise von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^7<\/span>, dessen Fall wir hier nicht analysieren werden). Im Allgemeinen werden die Vektoren der kanonischen Basis von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> durch die Buchstaben <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}, \\hat{y}, \\hat{z}<\/span> oder als <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{\\imath}, \\hat{\\jmath}, \\hat{k}<\/span> dargestellt. Die Pr\u00e4ferenz f\u00fcr das eine oder andere ist pers\u00f6nlich.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\hat{\\imath} = \\hat{x}&amp;=(1,0,0)\\\\ \\hat{\\jmath} =\\hat{y}&amp;=(0,1,0)\\\\ \\hat{k} =\\hat{z}&amp;=(0,0,1)\\\\ \\end{array}<\/span>\n<p>Wenn wir also einen Vektor der Form <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a,b,c)<\/span> haben, kann er in algebraischer Form wie folgt geschrieben werden:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a,b,c) = a\\hat{x} + b\\hat{y} + c\\hat{z}<\/span>\n<h3>Das Vektorprodukt in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=330s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Seien <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}=(y_1,y_2,y_3)<\/span> Vektoren von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3.<\/span><\/span><\/strong><\/a> Das Vektorprodukt von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\times\\vec{y}<\/span>, wird definiert durch:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl} \\vec{x}\\times\\vec{y} &amp;= \\left|\\begin{array}{ccc} \\hat{x} &amp; \\hat{y} &amp; \\hat{z} \\\\ x_1 &amp; x_2 &amp; x_3 \\\\ y_1 &amp; y_2 &amp; y_3 \\end{array}\\right| \\\\ \\\\ &amp;=\\hat{x}x_2y_3 + \\hat{y}x_3y_1 + \\hat{z} x_1y_2 - \\left( \\hat{z} x_2 y_1 + \\hat{y} x_1 y_3 + \\hat{x}x_3y_2\\right) \\\\ \\\\ &amp;=\\hat{x}(x_2y_3 - x_3y_2) + \\hat{y}(x_3y_1 - x_1y_3) + \\hat{z}(x_1y_2 - x_2y_1) \\end{array}<\/span>\n<h3>Die Lagrange-Identit\u00e4t<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=1399s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">F\u00fcr den Fall der Vektoren in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/span><\/strong><\/a> k\u00f6nnen wir drei Arten von \u201eProdukten\u201c erkennen: Das Skalarprodukt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}<\/span>, das Vektorprodukt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\times\\vec{y}<\/span> und das Produkt der Normen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|<\/span>. Diese drei Produkte stehen durch die Lagrange-Identit\u00e4t miteinander in Beziehung:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2  = \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2- (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 <\/span>\n<h4>Beweis der Lagrange-Identit\u00e4t<\/h4>\n<p>Seien <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}=(y_1,y_2,y_3)<\/span> Vektoren von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span>, dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl} \\vec{x}\\times\\vec{y} &amp;=(x_2y_3 - x_3y_2) \\hat{x} + (x_3y_1 - x_1y_3)\\hat{y} + (x_1y_2 - x_2y_1)\\hat{z} \\end{array}<\/span>\n<p>Sodass:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl}\n\n\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2 &amp;=(x_2y_3 - x_3y_2)^2 + (x_3y_1 - x_1y_3)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2 \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} + \\cdots\\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{blue}{x_3^2y_1^2 - 2x_3x_1y_1y_3 + x_1^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} \\end{array}<\/span>\n<p>Andererseits:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl}\n\n\\|\\vec{x}\\|^2 \\|\\vec{y}\\|^2 - (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 &amp;= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2+y_2^2 + y_3^2) - (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3 y_3)^2 \\\\ \\\\ \\\\\n\n&amp;=  {x_1^2y_1^2} + \\color{red}{x_1^2y_2^2} + \\color{blue}{x_1^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{red}{x_2^2y_1^2} +  {x_2^2y_2^2} + \\color{green}{x_2^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{blue}{x_3^2y_1^2} + \\color{green}{x_3^2y_2^2} +  {x_3^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots - \\left[ {x_1^2y_1^2} +  {x_2^2y_2^2} +  {x_3^2y_3^2} + \\right. \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + 2\\left(\\color{red}{x_1x_2y_1y_2} + \\color{blue}{x_1x_3y_1y_3} + \\color{green}{x_2x_3y_2y_3} \\right)\\left.\\right] \\\\ \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp; \\cdots + \\color{blue}{x_1^2y_3^2 - 2x_1x_3y_3y_1 + x_3^2y_1^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp; \\cdots + \\color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Schlie\u00dflich erh\u00e4lt man durch den Vergleich der farbigen Ausdr\u00fccke das, was man zeigen wollte.<\/p>\n<h3>Das Kreuzprodukt und der Winkel zwischen Vektoren<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=1954s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wir haben zuvor gesehen, dass eine enge Beziehung<\/span><\/strong><\/a> zwischen dem von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel und dem Ergebnis des Skalarprodukts besteht. Dies wird durch die Beziehung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y} = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})).<\/span> ausgedr\u00fcckt. Es stellt sich heraus, dass etwas \u00c4hnliches f\u00fcr das Vektorprodukt gilt, was durch die folgende Beziehung gegeben ist:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\| = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\| \\sin(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))<\/span>\n<p>Dieser Ausdruck ist ein direktes Resultat der oben bewiesenen Lagrange-Identit\u00e4t. Der Beweis gestaltet sich ungef\u00e4hr folgenderma\u00dfen:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2 &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - (\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})))^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2\\cos^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 (1 - \\cos^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))) \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 \\sin^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\end{array}<\/span>\n<p>Schlie\u00dflich erhalten wir durch Ziehen der Wurzel:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\| = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\; |\\sin(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))|<\/span>\n<p>Aber erinnern wir uns daran, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\in[0,\\pi]<\/span>, und in diesem Wertebereich ist die Sinusfunktion stets nicht-negativ, sodass wir den Absolutwert weglassen k\u00f6nnen und zu dem gelangen, was gezeigt werden sollte.<\/p>\n<p>Aus diesem Ausdruck k\u00f6nnen wir intuitiv erkennen, dass das Ergebnis der Operation <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|<\/span> uns die von den Vektoren <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> aufgespannte Fl\u00e4che liefert.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Algebra und Projektionen in Rn, Vektorprodukt in Zusammenfassung:Diese Serie ist die direkte Fortsetzung der Serie \u00fcber den euklidischen Raum von n Dimensionen. 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