{"id":34265,"date":"2022-03-29T13:00:42","date_gmt":"2022-03-29T13:00:42","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34265"},"modified":"2025-08-27T21:51:29","modified_gmt":"2025-08-27T21:51:29","slug":"algebre-et-projections-en-rn-produit-vectoriel-dans-r3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/algebre-et-projections-en-rn-produit-vectoriel-dans-r3\/","title":{"rendered":"Alg\u00e8bre et Projections en Rn, Produit Vectoriel dans R3"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>Alg\u00e8bre et Projections en Rn, Produit Vectoriel dans <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{\\mathbb{R}^3}<\/span><\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>R\u00e9sum\u00e9 :<\/strong><\/br>Cette s\u00e9rie est la continuation directe de la s\u00e9rie sur l\u2019Espace Euclidien de n dimensions. Nous examinerons ici certains concepts d\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire qui aident \u00e0 mieux comprendre l\u2019espace euclidien n-dimensionnel, nous r\u00e9viserons les concepts de projections d\u2019un vecteur sur un autre, nous d\u00e9montrerons le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore et nous conclurons par un examen du produit vectoriel dans <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> et de sa relation avec les autres produits de l\u2019espace euclidien tridimensionnel. <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INDEX<\/strong><br \/>\n<a href=\"#Independencia-Lineal-Ortogonalidad-y-Proyecciones\">Ind\u00e9pendance Lin\u00e9aire, Orthogonalit\u00e9 et Projections<\/a><br \/>\n<a href=\"#El-Teorema-de-Pitagoras-y-la-Proyecci\u00f3n-sobre-un-Subespacio\">Le Th\u00e9or\u00e8me de Pythagore et la Projection sur un Sous-espace<\/a><br \/>\n<a href=\"#El-Producto-Escalar-y-Vectorial-en-R3\">Le Produit Scalaire et Vectoriel dans <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/a>\n<\/p>\n<p><a name=\"Independencia-Lineal-Ortogonalidad-y-Proyecciones\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/vtNHkaHD3aA\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>Ind\u00e9pendance Lin\u00e9aire, Orthogonale et Projections<\/h2>\n<h3>Combinaison lin\u00e9aire et ind\u00e9pendance lin\u00e9aire<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=138s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Un vecteur non nul<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> peut \u00eatre construit comme une <strong>combinaison lin\u00e9aire<\/strong> par rapport \u00e0 d\u2019autres vecteurs non nuls <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> s\u2019il existe une paire de nombres r\u00e9els <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span>, pas tous deux nuls simultan\u00e9ment, tels que :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z} = \\alpha \\vec{x} + \\beta\\vec{y}<\/span>\n<p>C\u2019est-\u00e0-dire, le vecteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> peut \u00eatre construit comme une somme pond\u00e9r\u00e9e des vecteurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}.<\/span>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=609s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">De mani\u00e8re analogue, on dit<\/span><\/strong><\/a> que les vecteurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> sont <strong>lin\u00e9airement ind\u00e9pendants<\/strong> si <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\vec{x} + \\beta\\vec{y} = \\vec{0} ) \\longleftrightarrow (\\alpha=0 \\wedge \\beta=0 )<\/span>\n<p>L\u2019ind\u00e9pendance lin\u00e9aire entre les vecteurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> nous indique que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> ne peut pas \u00eatre obtenu comme un multiple scalaire (non nul) de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> ni vice versa.<\/p>\n<p>Le concept d\u2019ind\u00e9pendance lin\u00e9aire que nous venons de revoir peut \u00eatre \u00e9tendu \u00e0 des ensembles plus grands de vecteurs. L\u2019ensemble de vecteurs non nuls <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x}_1, \\cdots, \\vec{x}_n\\}<\/span> est dit lin\u00e9airement ind\u00e9pendant lorsque<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\displaystyle \\left[\\left(\\sum_{i=1}^n \\alpha_i \\vec{x}_i \\right) = \\vec{0} \\right] \\longleftrightarrow \\left[\\bigwedge_{i=1}^n (\\alpha_i = 0) \\right]<\/span>\n<h3>L\u2019angle form\u00e9 par deux vecteurs et l\u2019orthogonalit\u00e9<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=1289s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si nous rappelons l\u2019in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz,<\/span><\/strong><\/a> celle-ci nous dit que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall \\vec{x},\\vec{y}\\in\\mathbb{R}^n)(|\\vec{x}\\cdot\\vec{y}| \\leq \\|\\vec{x}\\| \\|\\vec{y}\\|).<\/span> En tenant compte de cela, il est facile de constater que pour toute paire de vecteurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x},\\vec{y}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}<\/span> la relation suivante est satisfaite :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle -1 \\leq \\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|}\\leq 1<\/span>\n<p>Nous pouvons maintenant pressentir une relation entre le produit scalaire et l\u2019angle que forment les vecteurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>, car ceux-ci g\u00e9n\u00e8rent un plan isom\u00e9trique \u00e0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^2<\/span>. Pour cette raison, sans perte de g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9, nous pouvons les imaginer comme \u00e9tant des \u00e9l\u00e9ments de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^2<\/span> avec des angles par rapport \u00e0 l\u2019axe <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_x<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_y,<\/span> respectivement, de sorte que les vecteurs s\u2019\u00e9crivent en forme polaire comme :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\vec{x} &amp;= \\|\\vec{x}\\|(\\cos(\\theta_x) , \\sin(\\theta_x)) \\\\ \\\\ \\vec{y} &amp;= \\|\\vec{y}\\|(\\cos(\\theta_y) , \\sin(\\theta_y))\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Ainsi, nous pouvons supposer (sans perte de g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9, encore une fois) que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_x \\lt \\theta_y,<\/span> pour ensuite calculer le produit scalaire <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}.<\/span> En proc\u00e9dant ainsi, nous obtiendrons le r\u00e9sultat suivant :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\\vec{x}\\cdot \\vec{y} &amp;=  \\|\\vec{x}\\|  \\|\\vec{y}\\| (\\cos(\\theta_x)\\cos(\\theta_y) + \\sin(\\theta_x)\\sin(\\theta_y)) \\\\ \\\\ &amp;=  \\|\\vec{x}\\|  \\|\\vec{y}\\| \\cos(\\theta_y-\\theta_x)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Maintenant, en prenant la diff\u00e9rence entre la position angulaire la plus grande et la plus petite, nous obtenons l\u2019angle compris entre les vecteurs, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})=\\theta_y - \\theta_x.<\/span> Et avec cela, nous pouvons \u00e9crire :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\cos\\left(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}) \\right) = \\frac{\\vec{x} \\cdot \\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|}\n\n<\/span>\n<p>Ici, nous devons souligner que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\in [0, \\pi]<\/span>\n<p>\u00c0 partir de cela, nous pouvons relier l\u2019in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz avec la g\u00e9om\u00e9trie des angles, et cela nous permet \u00e9galement d\u2019obtenir une notion rigoureuse d\u2019orthogonalit\u00e9. Deux vecteurs sont dits <strong>Orthogonaux<\/strong> lorsqu\u2019ils forment entre eux un angle de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\pi\/2<\/span> radians, dans le sens expliqu\u00e9 au paragraphe pr\u00e9c\u00e9dent. Cela \u00e9quivaut \u00e0 dire que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cos\\left(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\right) = 0,<\/span> ce qui revient \u00e0 dire que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y} = 0.<\/span> Pour cette raison, on dit qu\u2019affirmer l\u2019orthogonalit\u00e9 des vecteurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> est \u00e9quivalent \u00e0 dire que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0.<\/span>\n<h4>Si deux vecteurs non nuls sont orthogonaux, alors ils sont lin\u00e9airement ind\u00e9pendants<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=2365s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">C\u2019est une propri\u00e9t\u00e9 quelque peu intuitive des vecteurs<\/span><\/strong><\/a> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> dont la d\u00e9monstration formelle n\u2019est pas si directe, et c\u2019est aussi une propri\u00e9t\u00e9 qui peut parfois pr\u00eater \u00e0 confusion : l\u2019orthogonalit\u00e9 de deux vecteurs implique leur ind\u00e9pendance lin\u00e9aire, mais l\u2019ind\u00e9pendance lin\u00e9aire de deux vecteurs n\u2019implique pas n\u00e9cessairement leur orthogonalit\u00e9. Pour voir ce dernier point, un simple contre-exemple suffit :<\/p>\n<p>Si nous prenons les vecteurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}=(1,0)<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{B}=(1,1),<\/span> qui ne sont clairement pas orthogonaux puisque <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}\\cdot\\vec{B}=1,<\/span> nous verrons qu\u2019en faisant<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\alpha\\vec{A} + \\beta\\vec{B} = \\vec{0}\n\n<\/span>\n<p>Alors nous avons<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\alpha + \\beta &amp;= 0 \\\\ \\beta &amp;= 0\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>et par cons\u00e9quent : <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha = 0  \\wedge \\beta=0.<\/span> Et avec cela, on conclut que :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\alpha\\vec{A} + \\beta\\vec{B} = \\vec{0} \\longleftrightarrow  \\alpha = 0  \\wedge \\beta=0\n\n<\/span>\n<p>Ce qui est \u00e9quivalent \u00e0 dire que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{B}<\/span> sont lin\u00e9airement ind\u00e9pendants. Cela rend tr\u00e8s explicite qu\u2019il n\u2019est pas vrai que l\u2019ind\u00e9pendance lin\u00e9aire implique l\u2019orthogonalit\u00e9. Cependant, l\u2019orthogonalit\u00e9 implique bien l\u2019ind\u00e9pendance lin\u00e9aire et c\u2019est ce que je d\u00e9montrerai formellement ci-dessous, et pour cela consid\u00e9rons l\u2019ensemble de pr\u00e9misses suivant :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\mathcal{H}= \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0, \\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}\\}<\/span>\n<p>\u00c0 partir de cela, nous pouvons produire le raisonnement suivant :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\} &amp;{;\\;Pr\u00e9misse}\\\\ \\\\\n\n(2) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0 &amp;{\\;Pr\u00e9misse} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y} = \\vec{0} &amp;{\\;Pr\u00e9misse} \\\\ \\\\\n\n(4) &amp;\\mathcal{H}\\vdash (\\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y})\\cdot\\vec{x} = \\alpha\\|\\vec{x}\\|^2 + \\beta(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) &amp;{;\\; Bilin\u00e9arit\u00e9} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp;\\mathcal{H}\\vdash  \\alpha\\|\\vec{x}\\|^2 = 0 &amp; {;\\; De(2,3,4)} \\\\ \\\\\n\n(6) &amp;\\mathcal{H}\\vdash  \\alpha  = 0 &amp; {;\\; De(1,5)} \\\\ \\\\\n\n(7) &amp;\\mathcal{H}\\vdash (\\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y})\\cdot\\vec{y} = \\alpha(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\beta\\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;Bilin\u00e9arit\u00e9} \\\\ \\\\\n\n(8) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\beta\\|\\vec{y}\\|^2 = 0 &amp;{;\\;De(2,3,7)} \\\\ \\\\\n\n(9) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\beta = 0 &amp;{;\\;De(1,8)} \\\\ \\\\\n\n(10) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0 &amp;{;\\;\\wedge-int(6,9)}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Ainsi, nous concluons que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0, \\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}\\} \\vdash \\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0  <\/span>\n<p>Finalement, en appliquant le th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9duction \u00e0 cette derni\u00e8re expression, on obtient :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0\\} \\vdash (\\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}) \\rightarrow (\\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0)<\/span>\n<p>La preuve permettant d\u2019obtenir la fl\u00e8che dans la direction oppos\u00e9e est triviale.<\/p>\n<p>C\u2019est-\u00e0-dire : si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> sont des vecteurs non nuls et orthogonaux, alors ils sont lin\u00e9airement ind\u00e9pendants.<\/p>\n<h3>La projection d\u2019un vecteur sur un autre<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=3055s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Supposons que nous ayons deux vecteurs non nuls<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> qui forment entre eux un angle <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})<\/span> et que nous nous demandons : \u00ab En quelle quantit\u00e9 le vecteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> se trouve-t-il sur le vecteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> ? \u00bb ou \u00ab Quelle est la taille de l\u2019ombre du vecteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> lorsqu\u2019il est projet\u00e9 sur la direction du vecteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> ? \u00bb. Nous pouvons r\u00e9soudre cette question par la trigonom\u00e9trie, et ainsi d\u00e9finir la projection d\u2019un vecteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> sur un autre <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y},<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x}),<\/span> \u00e0 travers l\u2019expression :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x}) = \\| \\vec{x}\\| \\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\hat{y}<\/span>\n<p>Si nous combinons cela avec ce qui a \u00e9t\u00e9 vu dans les paragraphes pr\u00e9c\u00e9dents, nous pouvons \u00e9crire :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x}) = {\\| \\vec{x}\\|} \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{{\\|\\vec{x}\\|} \\|\\vec{y}\\|}\\right)\\color{red}{\\hat{y}} =  \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|} \\right)\\color{red}{\\frac{\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|}} = \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|^2}\\right)\\vec{y} = \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\vec{y}\\cdot\\vec{y}}\\right)\\vec{y}<\/span>\n<p>car, rappelons-le<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))  = \\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\| \\|\\vec{y}\\|}<\/span>\n<p>Les projections sont importantes car elles nous permettent d\u2019exprimer les vecteurs en termes de n\u2019importe quelle base comme la somme de leurs projections :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} = \\displaystyle \\sum_{i=1}^n \\alpha_i \\hat{u}_i<\/span>\n<p>O\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{u}_i\\}_{i=1,\\cdots, n}<\/span> est une base de vecteurs lin\u00e9airement ind\u00e9pendants de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> et les coefficients <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_i = (\\vec{x}\\cdot\\vec{u}_i)\/\\|\\vec{u}_i\\|<\/span> sont pr\u00e9cis\u00e9ment les projections sur chaque \u00e9l\u00e9ment de la base et constituent les coordonn\u00e9es de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> par rapport \u00e0 la base <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{u}_i\\}_{i=1,\\cdots, n}<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n.<\/span>\n<p><a name=\"El-Teorema-de-Pitagoras-y-la-Proyecci\u00f3n-sobre-un-Subespacio\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/CGrr6IDnvjs\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>Le Th\u00e9or\u00e8me de Pythagore et la Projection sur un Sous-espace<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=254s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore est un r\u00e9sultat<\/span><\/strong><\/a> connu de tous et qui poss\u00e8de un grand nombre de d\u00e9monstrations. Une d\u00e9monstration possible de ce th\u00e9or\u00e8me \u00e9merge pr\u00e9cis\u00e9ment des mati\u00e8res que nous avons d\u00e9velopp\u00e9es pour l\u2019espace euclidien, avec l\u2019avantage d\u2019\u00eatre valable pour n\u2019importe quel nombre de dimensions.<\/p>\n<h3>D\u00e9monstration du Th\u00e9or\u00e8me de Pythagore<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=533s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si nous avons un triangle rectangle avec pour c\u00f4t\u00e9s adjacents<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b,<\/span> et pour hypot\u00e9nuse <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c,<\/span> le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore nous dit que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a^2+b^2=c^2.<\/span> Compris ainsi, nous pouvons repr\u00e9senter chaque c\u00f4t\u00e9 adjacent par une paire de vecteurs orthogonaux <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> et \u00e9crire le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash\n\n \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\leftrightarrow (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = \\|\\vec{x}\\|^2 + \\|\\vec{y}\\|^2)<\/span>\n<p>O\u00f9 l\u2019expression <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\bot\\vec{y}<\/span> indique que les deux vecteurs sont orthogonaux, c\u2019est-\u00e0-dire : non nuls et tels que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0.<\/span> De cette mani\u00e8re, on \u00e9tablit une relation de biconditionalit\u00e9 entre l\u2019orthogonalit\u00e9 et la somme des magnitudes au carr\u00e9 de deux vecteurs.<\/p>\n<p>Cette forme vectorielle de repr\u00e9senter le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore peut \u00eatre d\u00e9montr\u00e9e \u00e0 travers les deux raisonnements suivants :<\/p>\n<p><strong>D\u2019abord dans un sens :<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;Pr\u00e9misse} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\vec{x}\\cdot\\vec{y}= 0 &amp; {;\\;De(1)} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = (\\vec{x} + \\vec{y})\\cdot(\\vec{x} + \\vec{y}) = \\|\\vec{x}\\|^2 + 2(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; \\\\\n\n&amp;;\\; Propri\u00e9t\u00e9\\;de\\;la\\;norme\\;euclidienne\\;et\\;du\\;produit\\;scalaire &amp; \\\\ \\\\\n\n(4) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;De(2,3)} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\rightarrow ( \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2) &amp; {;\\;TD(4)} \\end{array}<\/span>\n<p><strong>Et maintenant dans l\u2019autre sens :<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;Pr\u00e9misse} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2 +2(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp;  \\\\\n\n&amp;;\\; Propri\u00e9t\u00e9\\;de\\;la\\;norme\\;euclidienne\\;et\\;du\\;produit\\;scalaire &amp;\\\\ \\\\\n\n(3) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash  \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0 &amp; {;\\;De(1,2)} \\\\ \\\\\n\n(4) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash  \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;De(3)} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2) \\rightarrow  \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;TD(4)} \\end{array}<\/span>\n<p><strong>Et enfin, en r\u00e9unissant les deux raisonnements, on obtient ce que l\u2019on voulait d\u00e9montrer :<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash   \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\leftrightarrow (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = \\|\\vec{x}\\|^2 + \\|\\vec{y}\\|^2)<\/span>\n<h3>La Projection d\u2019un vecteur sur un Sous-espace de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=1545s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Consid\u00e9rons un sous-espace<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> form\u00e9 par une base de vecteurs unitaires <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_1, \\cdots, \\hat{v}_k\\}.<\/span> Si nous prenons un vecteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\},<\/span> la projection du vecteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> sur l\u2019espace <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> est d\u00e9finie par l\u2019expression :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{H}(\\vec{x}) = \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j<\/span>\n<p>Qu\u2019un ensemble soit orthonormal signifie que tous ses \u00e9l\u00e9ments sont orthogonaux entre eux et que chacun a une norme \u00e9gale \u00e0 l\u2019unit\u00e9.<\/p>\n<p>C\u2019est, pour ainsi dire, l\u2019ombre qu\u2019un vecteur projette sur chacune des composantes du sous-espace <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> <\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEga986LBrInk-B_9gUKPe01TF10dNECXU54KK1bSf3mAPakWE-FqdqyPbb0TVy88OfGxQmJRd-yW4dwAfcC21i2dM0KZqQjPe_Qx0M5OUz4f_P6IipJQ6PcxtkOmcO7-GqRiGZ-3StQpzy8FMIfPYE89Wae6JZIC2Jk9dSTPFTK1L4TsnpkcdpV1Dbr\" width=\"578\" height=\"591\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEga986LBrInk-B_9gUKPe01TF10dNECXU54KK1bSf3mAPakWE-FqdqyPbb0TVy88OfGxQmJRd-yW4dwAfcC21i2dM0KZqQjPe_Qx0M5OUz4f_P6IipJQ6PcxtkOmcO7-GqRiGZ-3StQpzy8FMIfPYE89Wae6JZIC2Jk9dSTPFTK1L4TsnpkcdpV1Dbr\" width=\"578\" height=\"591\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<h3>Distance entre un Point ou un Vecteur de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> et un Sous-espace de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=1974s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">\u00c0 partir de la projection d\u2019un vecteur<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}<\/span> sur un sous-espace <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span>, on peut construire un vecteur de la forme<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})<\/span>\n<p>Le vecteur form\u00e9 de cette mani\u00e8re sera un vecteur qui relie un point du sous-espace <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> au point de coordonn\u00e9es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x},<\/span> et qui sort orthogonalement du sous-espace <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H.<\/span> Cela n\u2019est pas difficile \u00e0 prouver : si l\u2019on prend un vecteur quelconque <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H<\/span> et que l\u2019on calcule le produit scalaire <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z},<\/span> il suffit de voir que le r\u00e9sultat de cette op\u00e9ration est nul. Faisons le calcul pour v\u00e9rifier que c\u2019est bien le cas :<\/p>\n<p>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H,<\/span> alors il sera de la forme<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}=\\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j<\/span>\n<p>O\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_j\\}_{j=1}^k<\/span> est une base orthonormale de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta_j \\in\\mathbb{R}<\/span> sont les coefficients de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> dans <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H.<\/span> En tenant compte de cela, le calcul du produit scalaire <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z},<\/span> donnera :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} (\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z} &amp;= \\left(\\vec{x} - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\right) \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\ &amp;= \\vec{x} \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\end{array}<\/span>\n<p>Mais comme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> est un vecteur de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> dont <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> est un sous-espace, il est possible de trouver un ensemble de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n-k<\/span> vecteurs orthonormaux entre eux et en m\u00eame temps orthogonaux \u00e0 tous les vecteurs de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H,<\/span> disons <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_{k+1}, \\cdots, \\hat{v}_n\\},<\/span> de telle sorte qu\u2019avec la base de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> ils forment une base de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> et que l\u2019on puisse \u00e9crire<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} = \\displaystyle  \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j + \\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j <\/span>\n<p>De sorte que le d\u00e9veloppement ci-dessus se poursuit de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z} &amp;= \\displaystyle \\left( \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j + \\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j\\right) \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j -  \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;=  \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j + \\underbrace{\\color{red}{\\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j}}_{(*)} - \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;=  \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j  - \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;= 0  \\end{array}<\/span>\n<p>(*) Somme nulle car <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{v_j\\}_{j=1}^n<\/span> est une base orthonormale de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n.<\/span>\n<p>\u00c0 partir de cela, nous pouvons d\u00e9montrer que la distance entre le sous-espace <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> et le vecteur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> est donn\u00e9e par :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\|<\/span>\n<h4>D\u00e9monstration<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=2995s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Pour d\u00e9montrer ce r\u00e9sultat, on montrera<\/span><\/strong><\/a> que pour tout <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H<\/span> il sera toujours v\u00e9rifi\u00e9 que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\| \\leq \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|,<\/span> pour cela nous utiliserons le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|^2 &amp;= \\| \\left(\\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x}) \\right) + \\left(Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}\\right)\\|^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\| \\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x}) \\|^2 + \\|Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}\\|^2 \\\\ \\\\ \\end{array}<\/span>\n<p>Cette derni\u00e8re \u00e9galit\u00e9 s\u2019obtient parce que les vecteurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x})<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}<\/span> sont orthogonaux. Et par cons\u00e9quent :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\|^2 \\leq \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|^2<\/span>\n<p>ce qui est ce que l\u2019on voulait d\u00e9montrer.<\/p>\n<p>Avec ce r\u00e9sultat en main, nous pouvons dire que la distance entre un point <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n<\/span> et un sous-espace <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> engendr\u00e9 par les vecteurs orthonormaux <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_1, \\cdots, \\hat{v}_k\\}<\/span> est donn\u00e9e par :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dist(\\vec{x},H) =\\left\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\right\\|= \\left\\|\\vec{x} - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j\\right\\|<\/span>\n<p><a name=\"El-Producto-Escalar-y-Vectorial-en-R3\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/uei6y2tniOc\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>Le Produit Scalaire et Vectoriel dans <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/h2>\n<p><strong><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=242s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #ff0000;\">Nous allons maintenant changer un peu notre approche<\/span><\/a><\/strong> pour nous concentrer sur les vecteurs de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3.<\/span> Ici, en plus des op\u00e9rations que nous avons d\u00e9j\u00e0 examin\u00e9es en g\u00e9n\u00e9ral pour <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n,<\/span> il est \u00e9galement possible de d\u00e9finir le produit vectoriel qui, \u00e0 partir du produit de deux vecteurs, donne un autre vecteur. C\u2019est un produit exclusif de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> (et possiblement de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^7<\/span>, cas que nous n\u2019analyserons pas ici). G\u00e9n\u00e9ralement, les vecteurs de la base canonique de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> sont repr\u00e9sent\u00e9s par les lettres <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}, \\hat{y}, \\hat{z}<\/span> ou comme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{\\imath}, \\hat{\\jmath}, \\hat{k}<\/span>. La pr\u00e9f\u00e9rence de l\u2019un ou de l\u2019autre est personnelle.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\hat{\\imath} = \\hat{x}&amp;=(1,0,0)\\\\ \\hat{\\jmath} =\\hat{y}&amp;=(0,1,0)\\\\ \\hat{k} =\\hat{z}&amp;=(0,0,1)\\\\ \\end{array}<\/span>\n<p>Ainsi, si nous avons un vecteur de la forme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a,b,c),<\/span> il peut \u00eatre \u00e9crit sous forme alg\u00e9brique de la mani\u00e8re suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a,b,c) = a\\hat{x} + b\\hat{y} + c\\hat{z}<\/span>\n<h3>Le produit vectoriel dans <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=330s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Soient <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}=(y_1,y_2,y_3)<\/span> des vecteurs de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3.<\/span><\/span><\/strong><\/a> On d\u00e9finit le produit vectoriel de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> avec <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y},<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\times\\vec{y}<\/span> par :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl} \\vec{x}\\times\\vec{y} &amp;= \\left|\\begin{array}{ccc} \\hat{x} &amp; \\hat{y} &amp; \\hat{z} \\\\ x_1 &amp; x_2 &amp; x_3 \\\\ y_1 &amp; y_2 &amp; y_3 \\end{array}\\right| \\\\ \\\\ &amp;=\\hat{x}x_2y_3 + \\hat{y}x_3y_1 + \\hat{z} x_1y_2 - \\left( \\hat{z} x_2 y_1 + \\hat{y} x_1 y_3 + \\hat{x}x_3y_2\\right) \\\\ \\\\ &amp;=\\hat{x}(x_2y_3 - x_3y_2) + \\hat{y}(x_3y_1 - x_1y_3) + \\hat{z}(x_1y_2 - x_2y_1) \\end{array}<\/span>\n<h3>L\u2019Identit\u00e9 de Lagrange<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=1399s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Pour le cas des vecteurs de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/span><\/strong><\/a> nous pouvons reconna\u00eetre trois types de \u00ab produits \u00bb : le scalaire <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y},<\/span> le vectoriel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\times\\vec{y},<\/span> et celui des normes <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|.<\/span> Ces trois produits sont li\u00e9s entre eux par l\u2019identit\u00e9 de Lagrange<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2  = \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2- (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 <\/span>\n<h4>D\u00e9monstration de l\u2019identit\u00e9 de Lagrange<\/h4>\n<p>Soient <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}=(y_1,y_2,y_3)<\/span> des vecteurs de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3,<\/span> alors on a :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl} \\vec{x}\\times\\vec{y} &amp;=(x_2y_3 - x_3y_2) \\hat{x} + (x_3y_1 - x_1y_3)\\hat{y} + (x_1y_2 - x_2y_1)\\hat{z} \\end{array}<\/span>\n<p>De sorte que :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl}\n\n\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2 &amp;=(x_2y_3 - x_3y_2)^2 + (x_3y_1 - x_1y_3)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2 \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} + \\cdots\\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{blue}{x_3^2y_1^2 - 2x_3x_1y_1y_3 + x_1^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} \\end{array}<\/span>\n<p>D\u2019un autre c\u00f4t\u00e9 :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl}\n\n\\|\\vec{x}\\|^2 \\|\\vec{y}\\|^2 - (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 &amp;= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2+y_2^2 + y_3^2) - (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3 y_3)^2 \\\\ \\\\ \\\\\n\n&amp;=  {x_1^2y_1^2} + \\color{red}{x_1^2y_2^2} + \\color{blue}{x_1^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{red}{x_2^2y_1^2} +  {x_2^2y_2^2} + \\color{green}{x_2^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{blue}{x_3^2y_1^2} + \\color{green}{x_3^2y_2^2} +  {x_3^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots - \\left[ {x_1^2y_1^2} +  {x_2^2y_2^2} +  {x_3^2y_3^2} + \\right. \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + 2\\left(\\color{red}{x_1x_2y_1y_2} + \\color{blue}{x_1x_3y_1y_3} + \\color{green}{x_2x_3y_2y_3} \\right)\\left.\\right] \\\\ \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp; \\cdots + \\color{blue}{x_1^2y_3^2 - 2x_1x_3y_3y_1 + x_3^2y_1^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp; \\cdots + \\color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Finalement, en comparant les expressions en couleur, on obtient ce que l\u2019on voulait d\u00e9montrer.<\/p>\n<h3>Le Produit Vectoriel et l\u2019angle entre vecteurs<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=1954s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Nous avons vu pr\u00e9c\u00e9demment qu\u2019il existe une relation \u00e9troite<\/span><\/strong><\/a> entre l\u2019angle form\u00e9 par deux vecteurs et le r\u00e9sultat du produit scalaire, cela est donn\u00e9 par la relation <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y} = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})).<\/span> Il s\u2019av\u00e8re qu\u2019une chose similaire se produit avec le produit vectoriel et est donn\u00e9e par la relation suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\| = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\| \\sin(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))<\/span>\n<p>Cette expression est un r\u00e9sultat direct de l\u2019identit\u00e9 de Lagrange d\u00e9montr\u00e9e plus haut, la d\u00e9monstration est \u00e0 peu pr\u00e8s la suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2 &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - (\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})))^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2\\cos^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 (1 - \\cos^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))) \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 \\sin^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\end{array}<\/span>\n<p>Finalement, en prenant les racines, nous arrivons \u00e0 :<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\| = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\; |\\sin(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))|<\/span>\n<p>Mais rappelons que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\in[0,\\pi],<\/span> et dans cet intervalle la fonction sinus est toujours non n\u00e9gative, de sorte que nous pouvons enlever la valeur absolue et obtenir ce que l\u2019on voulait d\u00e9montrer.<\/p>\n<p>\u00c0 partir de cette expression, nous pouvons d\u00e9duire que le r\u00e9sultat de l\u2019op\u00e9ration <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|<\/span> nous donne l\u2019aire g\u00e9n\u00e9r\u00e9e par les vecteurs <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}.<\/span>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Alg\u00e8bre et Projections en Rn, Produit Vectoriel dans R\u00e9sum\u00e9 :Cette s\u00e9rie est la continuation directe de la s\u00e9rie sur l\u2019Espace Euclidien de n dimensions. Nous examinerons ici certains concepts d\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire qui aident \u00e0 mieux comprendre l\u2019espace euclidien n-dimensionnel, nous r\u00e9viserons les concepts de projections d\u2019un vecteur sur un autre, nous d\u00e9montrerons le th\u00e9or\u00e8me de [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":34241,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":1,"footnotes":""},"categories":[1128,569],"tags":[],"class_list":["post-34265","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-calcul-multivariable","category-mathematiques"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v26.7 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Alg\u00e8bre et Projections en Rn, Produit Vectoriel dans R3 - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Explorez les projections et vecteurs 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Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. 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