{"id":34197,"date":"2022-03-29T13:00:30","date_gmt":"2022-03-29T13:00:30","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34197"},"modified":"2025-08-27T20:46:23","modified_gmt":"2025-08-27T20:46:23","slug":"algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/","title":{"rendered":"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{\\mathbb{R}^3}<\/span><\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Resumen:<\/strong><\/br>Esta serie es la continuaci\u00f3n directa de la serie sobre el Espacio Euclidiano de n dimensiones. Aqu\u00ed revisaremos algunos conceptos de \u00e1lgebra lineal que ayudan a comprender mejor al espacio euclidiano n-dimensional, revisaremos los conceptos de proyecciones de un vector sobre otro, demostraremos el teorema de Pit\u00e1goras y se concluir\u00e1 con una revisi\u00f3n al producto vectorial en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> y su relaci\u00f3n con los otros productos del espacio Euclidiano 3-dimensional. <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INDICE<\/strong><br \/>\n<a href=\"#Independencia-Lineal-Ortogonalidad-y-Proyecciones\">Independencia Lineal, Ortogonalidad y Proyecciones<\/a><br \/>\n<a href=\"#El-Teorema-de-Pitagoras-y-la-Proyecci\u00f3n-sobre-un-Subespacio\">El Teorema de Pit\u00e1goras y la Proyecci\u00f3n sobre un Subespacio<\/a><br \/>\n<a href=\"#El-Producto-Escalar-y-Vectorial-en-R3\">El Producto Escalar y Vectorial en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/a>\n<\/p>\n<p><a name=\"Independencia-Lineal-Ortogonalidad-y-Proyecciones\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/vtNHkaHD3aA\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>Independencia Lineal, Ortogonal y Proyecciones<\/h2>\n<h3>Combinaci\u00f3n lineal e independencia lineal<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=138s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Un vector no nulo<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> puede construirse como una <strong>combinaci\u00f3n lineal<\/strong> respecto de otros vectores no nulos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> si existe un par de n\u00fameros reales <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span>, no ambos nulos simultaneamente, tales que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z} = \\alpha \\vec{x} + \\beta\\vec{y}<\/span>\n<p>Es decir, el vector <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> se puede construir como una suma ponderada de los vectores <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}.<\/span>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=609s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">De forma an\u00e1loga, se dice<\/span><\/strong><\/a> que los vectores <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> son <strong>linealmente independientes<\/strong> si <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\alpha \\vec{x} + \\beta\\vec{y} = \\vec{0} ) \\longleftrightarrow (\\alpha=0 \\wedge \\beta=0 )<\/span>\n<p>La independencia lineal entre los vectores <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> nos dice que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> no se puede obtener como un m\u00faltiplo escalar (no nulo) de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> ni viceversa.<\/p>\n<p>El concepto de independencia lineal que acabamos de revisar se puede extender para conjuntos m\u00e1s grandes de vectores. El conjunto de vectores no nulos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x}_1, \\cdots, \\vec{x}_n\\}<\/span> se dice que es linealmente independiente cuando<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\displaystyle \\left[\\left(\\sum_{i=1}^n \\alpha_i \\vec{x}_i \\right) = \\vec{0} \\right] \\longleftrightarrow \\left[\\bigwedge_{i=1}^n (\\alpha_i = 0) \\right]<\/span>\n<h3>El \u00e1ngulo formado por dos vectores y la ortogonalidad<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=1289s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si recordamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz,<\/span><\/strong><\/a> esta nos dice que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall \\vec{x},\\vec{y}\\in\\mathbb{R}^n)(|\\vec{x}\\cdot\\vec{y}| \\leq \\|\\vec{x}\\| \\|\\vec{y}\\|).<\/span> Teniendo esto en cuenta es f\u00e1cil constatar que para cualquier par de vectores <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x},\\vec{y}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}<\/span> se cumple la relaci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle -1 \\leq \\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|}\\leq 1<\/span>\n<p>Ahora podemos intuir una relaci\u00f3n  entre el producto punto y el \u00e1ngulo que forman los vectores <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>, porque estos generan un plano isom\u00e9trico a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^2<\/span>. Por esto, sin perdida de generalidad, podemos imaginarlos como siendo elementos de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^2<\/span> con \u00e1ngulos respecto al eje <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_x<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_y,<\/span> respectivamente, de modo que los vectores quedan escritos en forma polar como:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\vec{x} &amp;= \\|\\vec{x}\\|(\\cos(\\theta_x) , \\sin(\\theta_x)) \\\\ \\\\ \\vec{y} &amp;= \\|\\vec{y}\\|(\\cos(\\theta_y) , \\sin(\\theta_y))\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>As\u00ed podemos suponer (sin perdida de generalidad, otra vez) que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta_x \\lt \\theta_y,<\/span> para luego calcular el producto punto  <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}.<\/span> Haciendo esto tendremos el siguiente resultado:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\\vec{x}\\cdot \\vec{y} &amp;=  \\|\\vec{x}\\|  \\|\\vec{y}\\| (\\cos(\\theta_x)\\cos(\\theta_y) + \\sin(\\theta_x)\\sin(\\theta_y)) \\\\ \\\\ &amp;=  \\|\\vec{x}\\|  \\|\\vec{y}\\| \\cos(\\theta_y-\\theta_x)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Ahora, tomando la diferencia entre la posici\u00f3n angular mayor y la menor obtenemos el \u00e1ngulo comprendido entre los vectores, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})=\\theta_y - \\theta_x.<\/span> Y con esto ahora podemos escribir:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\cos\\left(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}) \\right) = \\frac{\\vec{x} \\cdot \\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|}\n\n<\/span>\n<p>Aqu\u00ed debemos recalcar que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\in [0, \\pi]<\/span>\n<p>A partir de esto podemos conectar la desigualdad de Cauchy-Schwarz con la geometr\u00eda de los \u00e1ngulos, y adem\u00e1s nos permite obtener una noci\u00f3n rigurosa de ortogonalidad. Dos vectores se dicen <strong>Ortogonales<\/strong> cuando sostienen entre si un \u00e1ngulo de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\pi\/2<\/span> radianes, en el sentido que se explic\u00f3 en el p\u00e1rrafo anterior. Esto es equivalente a decir que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cos\\left(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\right) = 0,<\/span> que a su vez es equivalente a decir que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y} = 0.<\/span> Por este motivo se dice que afirmar la ortogonalidad de los vectores <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> es equivalente a decir que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0.<\/span>\n<h4>Si dos vectores no nulos son ortogonales, entonces son linealmente independientes<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=2365s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Esta es una propiedad algo intuitiva de los vectores<\/span><\/strong><\/a> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> cuya demostraci\u00f3n formal no es tan directa, y tambi\u00e9n es una propiedad que en ocasiones puede generar algo de confusi\u00f3n: La ortogonalidad de dos vectores implica la independencia lineal entre ellos, pero la independencia lineal entre dos vectores no necesariamente implica su ortogonalidad. Para ver esto \u00faltimo basta con un simple contraejemplo:<\/p>\n<p>Si tomamos los vectores <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}=(1,0)<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{B}=(1,1),<\/span> que claramente no son ortogonales porque <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}\\cdot\\vec{B}=1,<\/span> veremos que si hacemos<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\alpha\\vec{A} + \\beta\\vec{B} = \\vec{0}\n\n<\/span>\n<p>Entonces se tiene que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\alpha + \\beta &amp;= 0 \\\\ \\beta &amp;= 0\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>y por lo tanto: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha = 0  \\wedge \\beta=0.<\/span> Y con esto se concluye que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\alpha\\vec{A} + \\beta\\vec{B} = \\vec{0} \\longleftrightarrow  \\alpha = 0  \\wedge \\beta=0\n\n<\/span>\n<p>Que es equivalente a decir que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{A}<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{B}<\/span> son linealmente independientes. Con esto queda claro de forma muy explicita que no es cierto que la independencia lineal implique ortogonalidad. Sin embargo, la ortogonalidad si implica la independencia lineal y es lo que demostrar\u00e9 formalmente a continuaci\u00f3n, y para esto consideremos el siguiente conjunto de premisas:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\mathcal{H}= \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0, \\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}\\}<\/span>\n<p>A partir de esto podemos producir el siguiente razonamiento:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\} &amp;{;\\;Presuncion}\\\\ \\\\\n\n(2) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0 &amp;{\\;Presuncion} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y} = \\vec{0} &amp;{\\;Presuncion} \\\\ \\\\\n\n(4) &amp;\\mathcal{H}\\vdash (\\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y})\\cdot\\vec{x} = \\alpha\\|\\vec{x}\\|^2 + \\beta(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) &amp;{;\\; Bilinealidad} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp;\\mathcal{H}\\vdash  \\alpha\\|\\vec{x}\\|^2 = 0 &amp; {;\\; De(2,3,4)} \\\\ \\\\\n\n(6) &amp;\\mathcal{H}\\vdash  \\alpha  = 0 &amp; {;\\; De(1,5)} \\\\ \\\\\n\n(7) &amp;\\mathcal{H}\\vdash (\\alpha\\vec{x} + \\beta\\vec{y})\\cdot\\vec{y} = \\alpha(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\beta\\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;Bilinealidad} \\\\ \\\\\n\n(8) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\beta\\|\\vec{y}\\|^2 = 0 &amp;{;\\;De(2,3,7)} \\\\ \\\\\n\n(9) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\beta = 0 &amp;{;\\;De(1,8)} \\\\ \\\\\n\n(10) &amp;\\mathcal{H}\\vdash \\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0 &amp;{;\\;\\wedge-int(6,9)}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Con esto concluimos que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0, \\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}\\} \\vdash \\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0  <\/span>\n<p>Finalmente, aplicando el teorema de deducci\u00f3n sobre esta \u00faltima expresi\u00f3n se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0\\} \\vdash (\\alpha\\vec{x}+\\beta\\vec{y} = \\vec{0}) \\rightarrow (\\alpha= 0 \\wedge \\beta = 0)<\/span>\n<p>La prueba con la que se obtiene la flecha en la direcci\u00f3n contraria es trivial.<\/p>\n<p>Es decir: si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> son vectores no nulos y ortogonales, entonces son linealmente independientes.<\/p>\n<h3>La proyecci\u00f3n de un vector sobre otro<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=vtNHkaHD3aA&#038;t=3055s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Supongamos que tenemos dos vectores no nulos<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> que sostienen entre si un \u00e1ngulo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})<\/span> y nos preguntamos \u00ab\u00bfEn qu\u00e9 cantidad el vector <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> se encuentra sobre el vector <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>?\u00bb o \u00ab\u00bfDe qu\u00e9 tama\u00f1o es a sombra del vector <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> cuando se proyecta sobre la direcci\u00f3n del vector <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span>?\u00bb. Esta pregunta la podemos resolver a trav\u00e9s de la trigonometr\u00eda, y con esto definir la proyecci\u00f3n de un vector <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> sobre otro <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y},<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x}),<\/span> a trav\u00e9s de la expresi\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x}) = \\| \\vec{x}\\| \\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\hat{y}<\/span>\n<p>Si combinamos esto con lo visto en p\u00e1rrafos anteriores podemos escribir:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle Proy_{\\vec{y}}(\\vec{x}) = {\\| \\vec{x}\\|} \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{{\\|\\vec{x}\\|} \\|\\vec{y}\\|}\\right)\\color{red}{\\hat{y}} =  \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|} \\right)\\color{red}{\\frac{\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|}} = \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{y}\\|^2}\\right)\\vec{y} = \\left(\\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\vec{y}\\cdot\\vec{y}}\\right)\\vec{y}<\/span>\n<p>ya que, recordemos<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))  = \\frac{\\vec{x}\\cdot\\vec{y}}{\\|\\vec{x}\\| \\|\\vec{y}\\|}<\/span>\n<p>Las proyecciones son importantes porque nos permiten expresar los vectores en t\u00e9rminos de cualquier base como la suma de sus proyecciones:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} = \\displaystyle \\sum_{i=1}^n \\alpha_i \\hat{u}_i<\/span>\n<p>Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{u}_i\\}_{i=1,\\cdots, n}<\/span> es una base de vectores linealmente independientes de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> y los coeficientes <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha_i = (\\vec{x}\\cdot\\vec{u}_i)\/\\|\\vec{u}_i\\|<\/span> son justo las proyecciones sobre cada elemento de la base y que constituyen las coordenadas <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> respecto a la base <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{u}_i\\}_{i=1,\\cdots, n}<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n.<\/span>\n<p><a name=\"El-Teorema-de-Pitagoras-y-la-Proyecci\u00f3n-sobre-un-Subespacio\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/CGrr6IDnvjs\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>El Teorema de Pitagoras y la Proyecci\u00f3n sobre un Subespacio<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=254s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">El teorema de Pit\u00e1gora en un resultado<\/span><\/strong><\/a> por todos conocidos y que cuenta con un sinn\u00famero de demostraciones. Una demostraci\u00f3n posible de este teorema emerge justo de las materias que hemos desarrollado para el espacio euclidiano con el extra de ser v\u00e1lido para cualquier n\u00famero de dimensiones.<\/p>\n<h3>Demostrando el Teorema de Pit\u00e1goras<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=533s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Si tenemos un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo de cat\u00e9tos<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b,<\/span> e hipotenusa <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c,<\/span> el teorema de pit\u00e1goras nos dice que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a^2+b^2=c^2.<\/span>Entendido esto podemos representar cada cateto a trav\u00e9s de un par de vectores ortogonales <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}<\/span> y escribir el teorema de Pit\u00e1goras de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash\n\n \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\leftrightarrow (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = \\|\\vec{x}\\|^2 + \\|\\vec{y}\\|^2)<\/span>\n<p>Donde la expresi\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\bot\\vec{y}<\/span> indica que ambos vectores son ortogonales, es decir: no nulos y tales que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0.<\/span> De este modo, se establece una relaci\u00f3n de bicondicionalidad entre la ortogonalidad y la suma de las magnitudes al cuadrado de dos vectores.<\/p>\n<p>Esta forma vectorial de representar el teorema de Pit\u00e1goras se puede demostrar a trav\u00e9s de los siguientes dos razonamientos:<\/p>\n<p><strong>Primero de ida:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;Presunci\u00f3n} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\vec{x}\\cdot\\vec{y}= 0 &amp; {;\\;De(1)} \\\\ \\\\\n\n(3) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = (\\vec{x} + \\vec{y})\\cdot(\\vec{x} + \\vec{y}) = \\|\\vec{x}\\|^2 + 2(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; \\\\\n\n&amp;;\\; Propiedad\\;de\\;la\\;norma\\;euclidiana\\;y\\;el\\;producto\\;escalar &amp; \\\\ \\\\\n\n(4) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\vec{x}\\bot\\vec{y}\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;De(2,3)} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\rightarrow ( \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2) &amp; {;\\;TD(4)} \\end{array}<\/span>\n<p><strong>Y ahora de regreso:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rll}\n\n(1) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp; {;\\;Presuncion} \\\\ \\\\\n\n(2) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2 +2(\\vec{x}\\cdot\\vec{y}) + \\|\\vec{y}\\|^2 &amp;  \\\\\n\n&amp;;\\; Propiedad\\;de\\;la\\;norma\\;euclidiana\\;y\\;el\\;producto\\;escalar &amp;\\\\ \\\\\n\n(3) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash  \\vec{x}\\cdot\\vec{y}=0 &amp; {;\\;De(1,2)} \\\\ \\\\\n\n(4) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}, \\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2\\} \\vdash  \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;De(3)} \\\\ \\\\\n\n(5) &amp; \\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 =  \\|\\vec{x}\\|^2  + \\|\\vec{y}\\|^2) \\rightarrow  \\vec{x}\\bot\\vec{y} &amp; {;\\;TD(4)} \\end{array}<\/span>\n<p><strong>Y finalmente, juntando ambos razonamientos se tiene lo que se quer\u00eda demostrar:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\vec{x},\\vec{y}\\in \\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}\\} \\vdash   \\vec{x}\\bot\\vec{y} \\leftrightarrow (\\|\\vec{x} + \\vec{y}\\|^2 = \\|\\vec{x}\\|^2 + \\|\\vec{y}\\|^2)<\/span>\n<h3>La Proyecci\u00f3n de un vector sobre un Subespacio de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=1545s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Consideremos un subespacio<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> formado por una base de vectores unitarios <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_1, \\cdots, \\hat{v}_k\\}.<\/span> Si tomamos un vector <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\},<\/span> se define la proyecci\u00f3n del vector <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> sobre el espacio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> a trav\u00e9s de la expresi\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{H}(\\vec{x}) = \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j<\/span>\n<p>Que un conjunto sea ortonormal quiere decir que todos sus elementos son ortogonales entre si y cada uno tiene norma igual a la unidad.<\/p>\n<p>Esto es, por decirlo as\u00ed, la sombra que proyecta un vector sobre cada una de las componentes del subespacio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> <\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEga986LBrInk-B_9gUKPe01TF10dNECXU54KK1bSf3mAPakWE-FqdqyPbb0TVy88OfGxQmJRd-yW4dwAfcC21i2dM0KZqQjPe_Qx0M5OUz4f_P6IipJQ6PcxtkOmcO7-GqRiGZ-3StQpzy8FMIfPYE89Wae6JZIC2Jk9dSTPFTK1L4TsnpkcdpV1Dbr\" width=\"578\" height=\"591\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogger.googleusercontent.com\/img\/a\/AVvXsEga986LBrInk-B_9gUKPe01TF10dNECXU54KK1bSf3mAPakWE-FqdqyPbb0TVy88OfGxQmJRd-yW4dwAfcC21i2dM0KZqQjPe_Qx0M5OUz4f_P6IipJQ6PcxtkOmcO7-GqRiGZ-3StQpzy8FMIfPYE89Wae6JZIC2Jk9dSTPFTK1L4TsnpkcdpV1Dbr\" width=\"578\" height=\"591\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<h3>Distancia entre un Punto o Vector de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> y un Subespacio de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=1974s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">A partir de la proyecci\u00f3n de un vector<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n\\setminus\\{\\vec{0}\\}<\/span> sobre un subespacio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> se puede construir un vector de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})<\/span>\n<p>El vector formado de esta manera ser\u00e1 un vector que une un punto del subespacio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> con el punto de coordenadas <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x},<\/span> que sale ortogonalmente al subespacio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H.<\/span>  Esto no es dif\u00edcil de probar, si tomamos un vector cualquiera de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H<\/span> y calculamos el producto punto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z},<\/span> basta con ver que el resultado de esta operaci\u00f3n es cero. Hagamos las cuentas para ver si de verdad esto es as\u00ed:<\/p>\n<p>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H,<\/span> entonces se tendr\u00e1 que es de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}=\\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j<\/span>\n<p>Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_j\\}_{j=1}^k<\/span> es una base ortonormal de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta_j \\in\\mathbb{R}<\/span> son los coeficientes de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}<\/span> en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H.<\/span> Teniendo esto en cuenta, el c\u00e1lculo del producto punto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z},<\/span> dar\u00e1:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} (\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z} &amp;= \\left(\\vec{x} - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\right) \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\ &amp;= \\vec{x} \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot \\displaystyle \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\end{array}<\/span>\n<p>Pero como <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> es un vector de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> del cual <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> es subespacio, es posible encontrar un conjunto de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n-k<\/span> vectores ortonormales entre si y a la vez ortonormales a todos los vectores de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H,<\/span> digamos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_{k+1}, \\cdots, \\hat{v}_n\\},<\/span> de modo tal que junto a la base de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> formen una base para <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> y se pueda escribir<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} = \\displaystyle  \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j + \\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j <\/span>\n<p>De modo que el desarrollo de m\u00e1s arriba sigue de la forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n(\\vec{x}-Proy_{H}(\\vec{x}))\\cdot \\vec{z} &amp;= \\displaystyle \\left( \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j + \\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j\\right) \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j -  \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;=  \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j + \\underbrace{\\color{red}{\\sum_{j=k+1}^n \\alpha_j \\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j}}_{(*)} - \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;=  \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x}\\cdot\\hat{v}_j )\\hat{v}_j \\cdot \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j  - \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j \\cdot  \\sum_{j=1}^k \\beta_j\\hat{v}_j \\\\ \\\\\n\n&amp;= 0  \\end{array}<\/span>\n<p>(*) Suma cero porque <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{v_j\\}_{j=1}^n<\/span> es una base ortonormal de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n.<\/span>\n<p>A partir de esto podemos demostrar que la distancia entre el subespacio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> y el vector <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> est\u00e1 dado por:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\|<\/span>\n<h4>Demostraci\u00f3n<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=CGrr6IDnvjs&#038;t=2995s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Para demostrar este resultado se mostrar\u00e1<\/span><\/strong><\/a> que para todo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{z}\\in H<\/span> siempre se cumplir\u00e1 que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\| \\leq \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|,<\/span> para esto utilizaremos el teorema de Pitagoras de la siguiente manera:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|^2 &amp;= \\| \\left(\\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x}) \\right) + \\left(Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}\\right)\\|^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\| \\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x}) \\|^2 + \\|Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}\\|^2 \\\\ \\\\ \\end{array}<\/span>\n<p>Esta \u00faltima igualdad se obtiene porque los vectores <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x} -Proy_{H}(\\vec{x})<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Proy_{H}(\\vec{x}) - \\vec{z}<\/span> son ortogonales. Y por lo tanto:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\|^2 \\leq \\|\\vec{x} - \\vec{z}\\|^2<\/span>\n<p>que es lo que se quer\u00eda demostrar.<\/p>\n<p>Ya con este resultado en nuestras manos, podemos decir que la distancia entre un punto de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\in\\mathbb{R}^n<\/span> y un subespacio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">H<\/span> de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span> generado por los vectores ortonormales <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{\\hat{v}_1, \\cdots, \\hat{v}_k\\}<\/span> est\u00e1 dada por:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">dist(\\vec{x},H) =\\left\\|\\vec{x} - Proy_{H}(\\vec{x})\\right\\|= \\left\\|\\vec{x} - \\displaystyle \\sum_{j=1}^k (\\vec{x} \\cdot \\hat{v}_j)\\hat{v}_j\\right\\|<\/span>\n<p><a name=\"El-Producto-Escalar-y-Vectorial-en-R3\"><\/a><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/uei6y2tniOc\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h2>El Producto Escalar y Vectorial en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/h2>\n<p><strong><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=242s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><span style=\"color: #ff0000;\">Ahora cambiaremos un poco nuestro enfoque<\/span><\/strong><\/a> para centrarnos en los vectores de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3.<\/span> Aqu\u00ed, adem\u00e1s de las operaciones que ya hemos revisado en general para <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n,<\/span> es posible adem\u00e1s el producto vectorial que a partir del producto de dos vectores da como resultado otro vector. Este es un producto exclusivo de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> (y posiblemente de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^7<\/span>, cuyo caso no analizaremos aqui). Generalmente se representan los vectores de la base can\u00f3nica de  <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span> a trav\u00e9s de las letras <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{x}, \\hat{y}, \\hat{z}<\/span> o como <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{\\imath}, \\hat{\\jmath}, \\hat{k}<\/span>. La preferencia de uno u otro es personal.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\hat{\\imath} = \\hat{x}&amp;=(1,0,0)\\\\ \\hat{\\jmath} =\\hat{y}&amp;=(0,1,0)\\\\ \\hat{k} =\\hat{z}&amp;=(0,0,1)\\\\ \\end{array}<\/span>\n<p>As\u00ed, si tenemos un vector de la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a,b,c),<\/span> puede ser escrito en forma algebraica de la siguiente forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a,b,c) = a\\hat{x} + b\\hat{y} + c\\hat{z}<\/span>\n<h3>El producto vectorial en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=330s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Sean <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}=(y_1,y_2,y_3)<\/span> vectores de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3.<\/span><\/span><\/strong><\/a> Se define el producto vectorial de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y},<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\times\\vec{y}<\/span> a trav\u00e9s de:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl} \\vec{x}\\times\\vec{y} &amp;= \\left|\\begin{array}{ccc} \\hat{x} &amp; \\hat{y} &amp; \\hat{z} \\\\ x_1 &amp; x_2 &amp; x_3 \\\\ y_1 &amp; y_2 &amp; y_3 \\end{array}\\right| \\\\ \\\\ &amp;=\\hat{x}x_2y_3 + \\hat{y}x_3y_1 + \\hat{z} x_1y_2 - \\left( \\hat{z} x_2 y_1 + \\hat{y} x_1 y_3 + \\hat{x}x_3y_2\\right) \\\\ \\\\ &amp;=\\hat{x}(x_2y_3 - x_3y_2) + \\hat{y}(x_3y_1 - x_1y_3) + \\hat{z}(x_1y_2 - x_2y_1) \\end{array}<\/span>\n<h3>La Identidad de Lagrange<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=1399s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Para el caso de los vectores de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3<\/span><\/span><\/strong><\/a> podemos reconocer tres tipos de \u00abproductos\u00bb: El escalar <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y},<\/span> el vectorial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\times\\vec{y},<\/span> y el de las normas <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|.<\/span> Estos tres productos est\u00e1n relacionados entre s\u00ed a trav\u00e9s de la identidad de Lagrange<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2  = \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2- (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 <\/span>\n<h4>Demostraci\u00f3n de la identidad de Lagrange<\/h4>\n<p>Sean <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}=(y_1,y_2,y_3)<\/span> vectores de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^3,<\/span> entonces se tiene que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl} \\vec{x}\\times\\vec{y} &amp;=(x_2y_3 - x_3y_2) \\hat{x} + (x_3y_1 - x_1y_3)\\hat{y} + (x_1y_2 - x_2y_1)\\hat{z} \\end{array}<\/span>\n<p>De modo que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl}\n\n\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2 &amp;=(x_2y_3 - x_3y_2)^2 + (x_3y_1 - x_1y_3)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2 \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} + \\cdots\\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{blue}{x_3^2y_1^2 - 2x_3x_1y_1y_3 + x_1^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} \\end{array}<\/span>\n<p>Por otro lado:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\begin{array}{rl}\n\n\\|\\vec{x}\\|^2 \\|\\vec{y}\\|^2 - (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 &amp;= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2+y_2^2 + y_3^2) - (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3 y_3)^2 \\\\ \\\\ \\\\\n\n&amp;=  {x_1^2y_1^2} + \\color{red}{x_1^2y_2^2} + \\color{blue}{x_1^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{red}{x_2^2y_1^2} +  {x_2^2y_2^2} + \\color{green}{x_2^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + \\color{blue}{x_3^2y_1^2} + \\color{green}{x_3^2y_2^2} +  {x_3^2y_3^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots - \\left[ {x_1^2y_1^2} +  {x_2^2y_2^2} +  {x_3^2y_3^2} + \\right. \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp;\\cdots + 2\\left(\\color{red}{x_1x_2y_1y_2} + \\color{blue}{x_1x_3y_1y_3} + \\color{green}{x_2x_3y_2y_3} \\right)\\left.\\right] \\\\ \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp; \\cdots + \\color{blue}{x_1^2y_3^2 - 2x_1x_3y_3y_1 + x_3^2y_1^2} + \\cdots \\\\ \\\\\n\n&amp; \\cdots + \\color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Finalmente, comparando las expresiones en colores se tiene lo que se quer\u00eda demostrar.<\/p>\n<h3>El Producto Cruz y el \u00e1ngulo entre vectores<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uei6y2tniOc&#038;t=1954s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Anteriormente vimos que existe una estrecha relaci\u00f3n<\/span><\/strong><\/a> entre el \u00e1ngulo sostenido por dos vectores y el resultado del producto escalar, esto viene dado por la relaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}\\cdot\\vec{y} = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})).<\/span> Resulta que una cosa similar ocurre con el producto vectorial y viene dado por la siguiente relaci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\| = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\| \\sin(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))<\/span>\n<p>Esta expresi\u00f3n es un resultado directo de la identidad de Lagrange que se demostr\u00f3 m\u00e1s arriba, la demostraci\u00f3n nos queda mas o menos as\u00ed:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} \\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|^2 &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - (\\vec{x}\\cdot\\vec{y})^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - (\\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\cos(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})))^2 \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 - \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2\\cos^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 (1 - \\cos^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))) \\\\ \\\\ &amp;= \\|\\vec{x}\\|^2\\|\\vec{y}\\|^2 \\sin^2(\\angle(\\vec{x},\\vec{y})) \\end{array}<\/span>\n<p>Finalmente, tomando raices llegamos a:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\| = \\|\\vec{x}\\|\\|\\vec{y}\\|\\; |\\sin(\\angle(\\vec{x},\\vec{y}))|<\/span>\n<p>Pero recordemos que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\angle(\\vec{x},\\vec{y})\\in[0,\\pi],<\/span> y en ese rango de valores la funci\u00f3n seno siempre no-negativa de modo que podemos retirar el valor absoluto y llegamos a lo que se quer\u00eda demostrar.<\/p>\n<p>A partir de esta expresi\u00f3n podemos intuir que el resultado de la operaci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\|\\vec{x}\\times\\vec{y}\\|<\/span> nos da como resultado el \u00e1rea generada por los vectores <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{x}<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{y}.<\/span>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en Resumen:Esta serie es la continuaci\u00f3n directa de la serie sobre el Espacio Euclidiano de n dimensiones. Aqu\u00ed revisaremos algunos conceptos de \u00e1lgebra lineal que ayudan a comprender mejor al espacio euclidiano n-dimensional, revisaremos los conceptos de proyecciones de un vector sobre otro, demostraremos el teorema de Pit\u00e1goras [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":34241,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":49,"footnotes":""},"categories":[1114,563],"tags":[],"class_list":["post-34197","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-calculo-multivariable","category-matematica"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.4 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3 - toposuranos.com\/material<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Explora proyecciones y vectores de Rn: independencia lineal, ortogonalidad, teorema de Pit\u00e1goras y producto vectorial en espacios euclidianos.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Explora proyecciones y vectores de Rn: independencia lineal, ortogonalidad, teorema de Pit\u00e1goras y producto vectorial en espacios euclidianos.\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"toposuranos.com\/material\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2022-03-29T13:00:30+00:00\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2025-08-27T20:46:23+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"1536\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"747\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/jpeg\" \/>\n<meta name=\"author\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:title\" content=\"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3\" \/>\n<meta name=\"twitter:description\" content=\"Explora proyecciones y vectores de Rn: independencia lineal, ortogonalidad, teorema de Pit\u00e1goras y producto vectorial en espacios euclidianos.\" \/>\n<meta name=\"twitter:image\" content=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:creator\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@topuranos\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Escrito por\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"giorgio.reveco\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:label2\" content=\"Tiempo de lectura\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data2\" content=\"13 minutos\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/\"},\"author\":{\"name\":\"giorgio.reveco\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\"},\"headline\":\"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3\",\"datePublished\":\"2022-03-29T13:00:30+00:00\",\"dateModified\":\"2025-08-27T20:46:23+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/\"},\"wordCount\":4319,\"commentCount\":0,\"publisher\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/03\\\/vectoresyproyeccionesrn.jpg\",\"articleSection\":[\"C\u00e1lculo Multivariable\",\"Matem\u00e1tica\"],\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"CommentAction\",\"name\":\"Comment\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/#respond\"]}]},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/\",\"name\":\"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3 - toposuranos.com\\\/material\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/03\\\/vectoresyproyeccionesrn.jpg\",\"datePublished\":\"2022-03-29T13:00:30+00:00\",\"dateModified\":\"2025-08-27T20:46:23+00:00\",\"description\":\"Explora proyecciones y vectores de Rn: independencia lineal, ortogonalidad, teorema de Pit\u00e1goras y producto vectorial en espacios euclidianos.\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"es\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/03\\\/vectoresyproyeccionesrn.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/03\\\/vectoresyproyeccionesrn.jpg\",\"width\":1536,\"height\":747},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Portada\",\"item\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/es\\\/cursos-de-matematica-y-fisica\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/\",\"name\":\"toposuranos.com\\\/material\",\"description\":\"\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"es\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#organization\",\"name\":\"toposuranos.com\\\/material\",\"url\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/logo.png\",\"contentUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/logo.png\",\"width\":2400,\"height\":2059,\"caption\":\"toposuranos.com\\\/material\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/logo\\\/image\\\/\"},\"sameAs\":[\"https:\\\/\\\/www.facebook.com\\\/groups\\\/toposuranos\",\"https:\\\/\\\/x.com\\\/topuranos\",\"https:\\\/\\\/www.youtube.com\\\/channel\\\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g\",\"https:\\\/\\\/www.linkedin.com\\\/company\\\/69429190\"]},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/#\\\/schema\\\/person\\\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1\",\"name\":\"giorgio.reveco\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"es\",\"@id\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"url\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"contentUrl\":\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2023\\\/10\\\/1694478625378-96x96.jpeg\",\"caption\":\"giorgio.reveco\"},\"description\":\"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\"],\"url\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/author\\\/giorgio-reveco\\\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3 - toposuranos.com\/material","description":"Explora proyecciones y vectores de Rn: independencia lineal, ortogonalidad, teorema de Pit\u00e1goras y producto vectorial en espacios euclidianos.","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3","og_description":"Explora proyecciones y vectores de Rn: independencia lineal, ortogonalidad, teorema de Pit\u00e1goras y producto vectorial en espacios euclidianos.","og_url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2022-03-29T13:00:30+00:00","article_modified_time":"2025-08-27T20:46:23+00:00","og_image":[{"width":1536,"height":747,"url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg","type":"image\/jpeg"}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3","twitter_description":"Explora proyecciones y vectores de Rn: independencia lineal, ortogonalidad, teorema de Pit\u00e1goras y producto vectorial en espacios euclidianos.","twitter_image":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"13 minutos"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3","datePublished":"2022-03-29T13:00:30+00:00","dateModified":"2025-08-27T20:46:23+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/"},"wordCount":4319,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg","articleSection":["C\u00e1lculo Multivariable","Matem\u00e1tica"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/","url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/","name":"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3 - toposuranos.com\/material","isPartOf":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg","datePublished":"2022-03-29T13:00:30+00:00","dateModified":"2025-08-27T20:46:23+00:00","description":"Explora proyecciones y vectores de Rn: independencia lineal, ortogonalidad, teorema de Pit\u00e1goras y producto vectorial en espacios euclidianos.","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/#breadcrumb"},"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/#primaryimage","url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg","contentUrl":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2022\/03\/vectoresyproyeccionesrn.jpg","width":1536,"height":747},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/algebra-y-proyecciones-en-rn-producto-vectorial-en-r3-2\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Portada","item":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/cursos-de-matematica-y-fisica\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"\u00c1lgebra y Proyecciones en Rn, Producto Vectorial en R3"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#website","url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/","name":"toposuranos.com\/material","description":"","publisher":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"es"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization","name":"toposuranos.com\/material","url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/logo.png","width":2400,"height":2059,"caption":"toposuranos.com\/material"},"image":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","https:\/\/x.com\/topuranos","https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UC16yDm12cPcrwsE0fAM7X1g","https:\/\/www.linkedin.com\/company\/69429190"]},{"@type":"Person","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1","name":"giorgio.reveco","image":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"es","@id":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","contentUrl":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/1694478625378-96x96.jpeg","caption":"giorgio.reveco"},"description":"Soy Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.","sameAs":["http:\/\/toposuranos.com\/material"],"url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/author\/giorgio-reveco\/"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/34197","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=34197"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/34197\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media\/34241"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=34197"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=34197"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=34197"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}