{"id":34142,"date":"2021-04-21T13:00:32","date_gmt":"2021-04-21T13:00:32","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34142"},"modified":"2025-08-16T10:20:58","modified_gmt":"2025-08-16T10:20:58","slug":"satz-von-bayes-und-die-zusammengesetzte-wahrscheinlichkeit","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/satz-von-bayes-und-die-zusammengesetzte-wahrscheinlichkeit\/","title":{"rendered":"Satz von Bayes und die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Der Satz von Bayes und die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Zusammenfassung<\/strong><br \/><em>In dieser Vorlesung wurden zwei grundlegende Konzepte der Wahrscheinlichkeit behandelt: die bedingte Wahrscheinlichkeit und die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit. Es wurde der Unterschied zwischen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B)<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B|A)<\/span><\/span> hervorgehoben. Der Satz der zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> als Summe der bedingten Wahrscheinlichkeiten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B_i)<\/span><\/span> multipliziert mit den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_i<\/span><\/span> ausgedr\u00fcckt werden kann. Anschlie\u00dfend wurde der Satz von Bayes vorgestellt, der es erm\u00f6glicht, die bedingte Wahrscheinlichkeit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B_k|A)<\/span><\/span> unter Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B_k)<\/span><\/span>, der Wahrscheinlichkeit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B_k)<\/span><\/span> und der Summe der bedingten Wahrscheinlichkeiten <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B_i)<\/span><\/span>, multipliziert mit den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_i<\/span><\/span>, zu berechnen. Diese Konzepte sind grundlegend, um die bedingte Wahrscheinlichkeit in verschiedenen Kontexten zu verstehen und anzuwenden, und der Satz von Bayes stellt ein m\u00e4chtiges Werkzeug dar, um Wahrscheinlichkeiten anhand neuer Informationen zu aktualisieren.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>LERNZIELE:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Das Konzept<\/strong> der bedingten Wahrscheinlichkeit zu verstehen und zwischen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B)<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B|A)<\/span><\/span> zu unterscheiden.<\/li>\n<li><strong>Die Wahrscheinlichkeit<\/strong> eines Ereignisses unter Verwendung zusammengesetzter Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.<\/li>\n<li><strong>Den Satz von Bayes<\/strong> herzuleiten.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u><\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Der Satz von Bayes<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/BDUTXmxlsM0\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">In der <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/probabilidad-condicional-e-independencia-entre-eventos\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">vorherigen Vorlesung<\/a> haben wir das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit \u00fcberpr\u00fcft und auch klargestellt, dass man niemals eine bedingte Wahrscheinlichkeit der Form <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B)<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B|A).<\/span><\/span> verwechseln darf. Obwohl im allt\u00e4glichen Sprachgebrauch die Bedingtheit verwirrend sein kann, handelt es sich mathematisch um zwei sehr unterschiedliche Dinge, die jedoch miteinander verbunden sind. Diese Beziehung wird durch den Satz von Bayes beschrieben, der auf dem Begriff der zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit basiert.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit und die bedingte Wahrscheinlichkeit<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"color: #800000;\">SATZ:<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=BDUTXmxlsM0&amp;t=210s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> ein Ereignis ist<\/span><\/strong><\/a> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_1, B_2, \\cdots, B_n<\/span><\/span> eine Menge von disjunkten Ereignissen bilden, sodass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigcup_{i=1}^n B_i = \\Omega,<\/span><\/span> dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; background-color: #A0FFA0;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{P(A) = \\displaystyle \\sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=BDUTXmxlsM0&amp;t=428s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Diese Art, die Wahrscheinlichkeit<\/span> <\/strong><\/a>von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> zu schreiben, nennen wir <strong>zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A.<\/span><\/span><\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"color: #800000;\">BEWEIS:<\/span><\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> ist ein Ereignis<\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigcup_{i=1}^n B_i = \\Omega<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_1, \\cdots, B_n<\/span><\/span> sind alle paarweise disjunkt<\/td>\n<td>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(4)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A\\cap B_i)\\cap(A\\cap B_j) = \\varnothing,<\/span><\/span> mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i\\neq j<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i,j\\in \\{1,2,3,\\cdots n\\}<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Aus (1,2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(5)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigcup_{i=1}^n \\left(A \\cap B_i \\right) = A<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Aus (1,2,3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(6)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(A) = P\\left( \\bigcup_{i=1}^n \\left(A \\cap B_i \\right) \\right) = \\sum_{i=1}^n P\\left( A \\cap B_i \\right)<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Aus (4,5)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(7)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> P(A|B_i) = \\dfrac{P(A\\cap B_i)}{P(B_i)}<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> P(A\\cap B_i) = P(A|B_i) P(B_i)<\/span><\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(8)<\/span><\/span><\/td>\n<td><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\displaystyle P(A) = \\sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)}<\/span><\/span><\/td>\n<td>; Aus (6,7)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Der Satz von Bayes<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=BDUTXmxlsM0&amp;t=801s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Im gleichen Kontext wie der vorherige Satz<\/span><\/strong><\/a>, gilt der folgende Satz:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"color: #800000;\">SATZ:<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> P(B_k|A) = \\dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\\displaystyle\\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} = \\dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"color: #800000;\">BEWEIS:<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=BDUTXmxlsM0&amp;t=855s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span><\/span> ein beliebiges Ereignis ist<\/span><\/strong><\/a> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B_1, B_2, \\cdots, B_n<\/span><\/span> eine Kollektion disjunkter Ereignisse ist, sodass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigcup_{i=1}^n B_i = \\Omega,<\/span><\/span> dann haben wir nach dem vorherigen Satz der zusammengesetzten Wahrscheinlichkeit:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A) = \\displaystyle \\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun, unter Verwendung der Tatsache, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(X\\cap Y) = P(X|Y)P(Y),<\/span><\/span> gilt, wenn wir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Y=A<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">X=B_k<\/span><\/span> einsetzen, erhalten wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center; background-color: #b0b0ff;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A) = \\dfrac{P(B_k \\cap A)}{P(B_k|A)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Andererseits haben wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B_k) = \\dfrac{P(A\\cap B_k)}{P(B_k)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Woraus folgt<\/p>\n<p style=\"text-align: center; background-color: #b0ffb0;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B_k \\cap A) = P(A|B_k)P(B_k)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir nun das <span style=\"background-color: #b0ffb0;\">Gr\u00fcne<\/span> in das <span style=\"background-color: #b0b0ff;\">Blaue<\/span> einsetzen, erhalten wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A) = \\dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(B_k|A)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Was gleichbedeutend damit ist zu sagen<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{P(B_k|A) = \\dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}= \\dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)} }<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies ist das, was zu zeigen war.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Der Satz von Bayes und die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit ZusammenfassungIn dieser Vorlesung wurden zwei grundlegende Konzepte der Wahrscheinlichkeit behandelt: die bedingte Wahrscheinlichkeit und die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit. 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Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. 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