{"id":34126,"date":"2021-04-19T13:00:24","date_gmt":"2021-04-19T13:00:24","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34126"},"modified":"2025-08-16T09:00:11","modified_gmt":"2025-08-16T09:00:11","slug":"bedingte-wahrscheinlichkeit-und-unabhaengigkeit-zwischen-ereignissen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/bedingte-wahrscheinlichkeit-und-unabhaengigkeit-zwischen-ereignissen\/","title":{"rendered":"Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabh\u00e4ngigkeit zwischen Ereignissen"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabh\u00e4ngigkeit zwischen Ereignissen<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Zusammenfassung<\/strong><br \/><em>In dieser Sitzung werden wir das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit und die Wechselwirkung zwischen Ereignissen untersuchen. Wir werden die F\u00e4higkeiten erwerben, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und die Abh\u00e4ngigkeit oder Unabh\u00e4ngigkeit zwischen Ereignissen zu bestimmen. Wir wenden praktische Beispiele an, wie die Untersuchung der Kariespr\u00e4valenz bei S\u00fc\u00dfwarenkonsumenten, um diese Konzepte zu veranschaulichen. Am Ende wirst du ein klares Verst\u00e4ndnis davon haben, wie man die bedingte Wahrscheinlichkeit anwendet und abh\u00e4ngige sowie unabh\u00e4ngige Ereignisse analysiert.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>LERNZIELE:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Sitzung wirst du in der Lage sein:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und ihrer Beziehung zum Schnitt von Ereignissen und zu den einzelnen Wahrscheinlichkeiten.<\/li>\n<li><strong>Identifizieren<\/strong> positiver und negativer Zusammenh\u00e4nge zwischen Ereignissen durch den Vergleich bedingter Wahrscheinlichkeiten.<\/li>\n<li><strong>Nachweisen<\/strong> der Unabh\u00e4ngigkeit zwischen verschiedenen Ereignissen.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u><\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">DIE BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">FORMALE DEFINITION DER BEDINGTEN WAHRSCHEINLICHKEIT<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">BEZIEHUNG ZWISCHEN EREIGNISSEN<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">UNABH\u00c4NGIGKEIT ZWISCHEN EREIGNISSEN UND KOMPLEMENTEN VON EREIGNISSEN<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/rWzeKPNM-Ds\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Die bedingte Wahrscheinlichkeit<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=rWzeKPNM-Ds&amp;t=132s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wie gro\u00df ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A<\/span><\/strong><\/a> eintritt, wenn B bereits eingetreten ist? Die Berechnung dieser Art von Wahrscheinlichkeiten beinhaltet das Konzept der <strong>bedingten Wahrscheinlichkeit. <\/strong> Im Folgenden werden wir die bedingte Wahrscheinlichkeit, ihre Definition und wie sich daraus Abh\u00e4ngigkeits- und Unabh\u00e4ngigkeitsbeziehungen zwischen Ereignissen ableiten lassen, untersuchen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nehmen wir an, wir wollen die Kariespr\u00e4valenz unter regelm\u00e4\u00dfigen S\u00fc\u00dfwarenkonsumenten messen. Wenn wir einen Stichprobenraum bestehend aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> Personen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_N,<\/span> betrachten, sehen wir, dass er in 4 Teilmengen unterteilt werden kann:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A:=\\left\\{  {Personen\\;mit\\;Karies}\\right\\}<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A^c:=\\left\\{{Personen\\;OHNE\\;Karies}\\right\\}<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B:=\\left\\{  {Personen\\;die\\;regelm\u00e4\u00dfig\\;S\u00fc\u00dfigkeiten\\;essen}\\right\\}<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B^c:=\\left\\{{Personen\\;die\\;NICHT\\;regelm\u00e4\u00dfig\\;S\u00fc\u00dfigkeiten\\;essen}\\right\\}<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Daraus ist klar, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\cup A^c = \\Omega_N<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B\\cup B^c = \\Omega_N,<\/span> aber <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\cap B<\/span> ist nicht notwendigerweise leer. Das allgemeine Szenario wird durch die folgende Abbildung dargestellt:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-YZLH9zUJd2g\/YHzyLbaupDI\/AAAAAAAAE6c\/lpdThvvjvvsMYQqqIXelpU-Kcsd-uFWEwCLcBGAsYHQ\/s0\/probabilidad%2Bcondicional%2B1.PNG\" alt=\"Bedingte Wahrscheinlichkeit\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"339\" height=\"273\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-YZLH9zUJd2g\/YHzyLbaupDI\/AAAAAAAAE6c\/lpdThvvjvvsMYQqqIXelpU-Kcsd-uFWEwCLcBGAsYHQ\/s0\/probabilidad%2Bcondicional%2B1.PNG\" alt=\"Bedingte Wahrscheinlichkeit\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"339\" height=\"273\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=rWzeKPNM-Ds&amp;t=270s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn wir uns also an die Definition von Wahrscheinlichkeit erinnern<\/span><\/strong><\/a> als das Limit der relativen H\u00e4ufigkeiten, k\u00f6nnen wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Karies hat, gegeben dass best\u00e4tigt wurde, dass sie S\u00fc\u00dfigkeiten konsumiert, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B)<\/span> lautet:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B) =\\displaystyle \\frac{\\#(A\\cap B)}{\\#B}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Andererseits gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cap B) = \\displaystyle \\frac{\\#(A\\cap B)}{\\#\\Omega_N}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">\u21b3 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#(A\\cap B) = \\#\\Omega_N P(A\\cap B)<\/span>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B) =\\displaystyle \\frac{\\#B}{\\#\\Omega_N} <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">\u21b3 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\#B = \\#\\Omega_N P(B)<\/span>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir also diese letzten beiden Ausdr\u00fccke in <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B)<\/span> einsetzen, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B) = \\displaystyle \\frac{\\#\\Omega_N P(A\\cap B)}{\\#\\Omega_N P(B)} = \\frac{P(A\\cap B)}{P(B)} <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Damit ergibt sich die folgende Definition<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"color: #800000;\"><br \/>\n<a name=\"2\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Formale Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit<\/h2>\n<p><strong>DEFINITION:<\/strong><\/span> Die Wahrscheinlichkeit von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span>, gegeben dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> eingetreten ist, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B),<\/span> wird durch die folgende Beziehung definiert<\/p>\n<p style=\"text-align: center; background-color: #b0ffb0;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B) = \\displaystyle \\frac{P(A\\cap B)}{P(B)}<\/span>\u25a0<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=rWzeKPNM-Ds&amp;t=418s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Im allt\u00e4glichen Denken neigt man dazu<\/span><\/strong><\/a>, eine gewisse Verwechslung zwischen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B)<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B|A)<\/span> zu haben. Um diese Unterscheidung zu verdeutlichen, betrachten wir ein Beispiel auf der Grundlage eines Extremfalls: W\u00e4hrend alle Fu\u00dfballspieler zwei Beine haben, ist nur ein winziger Teil der Menschen mit zwei Beinen Fu\u00dfballspieler.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Beziehung zwischen Ereignissen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=rWzeKPNM-Ds&amp;t=534s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn wir das Beispiel der Pr\u00e4valenz<\/span><\/strong><\/a> von Karies bei Menschen, die regelm\u00e4\u00dfig S\u00fc\u00dfigkeiten konsumieren, fortsetzen. Wenn der Konsum von S\u00fc\u00dfigkeiten dazu f\u00fchrt, dass Menschen anf\u00e4lliger f\u00fcr Karies werden, dann sollte gelten:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B) \\gt P(A).<\/span>Hier verst\u00e4rkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und deshalb sagen wir, dass es eine <strong>positive Assoziation<\/strong> zwischen den Ereignissen gibt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn dagegen der Konsum von S\u00fc\u00dfigkeiten Karies verhindert, dann sollte gelten:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B) \\lt P(A).<\/span>In diesem Fall hemmt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und deshalb sagen wir, dass es eine <strong>negative Assoziation<\/strong> zwischen den Ereignissen gibt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und wenn es keine Beziehung zwischen diesen beiden Ereignissen g\u00e4be, weder positiv noch negativ, dann sollte gelten:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B) = P(A).<\/span>Hieraus ergibt sich die Schlussfolgerung, die in den meisten Wahrscheinlichkeitstexten als Definition dargestellt wird:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A|B) = P(A)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{P(A\\cap B)}{P(B)} = P(A)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cap B)= P(A) P(B)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Diese \u00dcberlegung zeigt uns die Beziehung zwischen der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Unabh\u00e4ngigkeit von Ereignissen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"color: #800000;\"><strong>DEFINITION:<\/strong><\/span> Gegeben zwei Ereignisse <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span>, so nennt man sie <strong>unabh\u00e4ngig<\/strong>, wenn sie die folgende Beziehung erf\u00fcllen<\/p>\n<p style=\"text-align: center; background-color: #b0ffb0;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{black}{P(A\\cap B)= P(A) P(B)}<\/span>\u25a0<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>Unabh\u00e4ngigkeit zwischen Ereignissen und Komplementen von Ereignissen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=rWzeKPNM-Ds&amp;t=662s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die Unabh\u00e4ngigkeit zwischen zwei Ereignissen<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> ist gleichwertig zur Unabh\u00e4ngigkeit von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B^c,<\/span> von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A^c<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B,<\/span> und von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A^c<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B^c.<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span style=\"color: #000080;\"><strong>BEWEIS<\/strong><\/span><\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{P(A\\cap B) = P(A)P(B)\\}\\vdash P(A\\cap B) = P(A)P(B)<\/span><\/td>\n<td>; Annahme<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{P(A\\cap B) = P(A)P(B)\\}\\vdash P(A\\cap B^c) = P(A\\setminus B)<\/span><\/td>\n<td>; weil <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A\\cap B^c := A\\setminus B <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{P(A\\cap B) = P(A)P(B)\\}\\vdash P(A\\setminus B)= P(A) - P(A\\cap B)<\/span><\/td>\n<td>; <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/probabilidades-y-estadistica-ejercicios-de-teoria\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Siehe Entwicklung der \u00dcbung 2<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(4)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{P(A\\cap B) = P(A)P(B)\\}\\vdash P(A\\cap B^c)= P(A) - P(A\\cap B)<\/span><\/td>\n<td>; Aus (2) und (3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(5)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{P(A\\cap B) = P(A)P(B)\\}\\vdash P(A\\cap B^c)= P(A) - P(A)P(B)<\/span><\/td>\n<td>; Aus (1) und (4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{P(A\\cap B) = P(A)P(B)\\}\\vdash P(A\\cap B^c)= P(A)(1 -P(B))<\/span><\/td>\n<td>; Faktorisieren nach <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{red}{\\{P(A\\cap B) = P(A)P(B)\\}\\vdash P(A\\cap B^c)= P(A)P(B^c)}<\/span><\/td>\n<td>; <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/probabilidades-y-estadistica-ejercicios-de-teoria\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Siehe Entwicklung der \u00dcbung 1<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dieser letzte Ausdruck wird gelesen als: \u00abAus der Tatsache, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> unabh\u00e4ngig sind, folgt, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B^c<\/span> ebenfalls unabh\u00e4ngig sind.\u00bb<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Beweis in umgekehrter Richtung wird auf \u00e4hnliche Weise gef\u00fchrt.<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{P(A\\cap B^c) = P(A)P(B^c)\\}\\vdash P(A\\cap B^c) = P(A)P(B^c)<\/span><\/td>\n<td>; Annahme<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{P(A\\cap B^c) = P(A)P(B^c)\\}\\vdash P(A\\cap B^c) = P(A)(1 - P(B))<\/span><\/td>\n<td>; <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/probabilidades-y-estadistica-ejercicios-de-teoria\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Siehe Entwicklung der \u00dcbung 1<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{P(A\\cap B^c) = P(A)P(B^c)\\}\\vdash P(A\\cap B^c) = P(A) - P(A)P(B)<\/span><\/td>\n<td>; Durch Ausmultiplizieren der Klammern auf der rechten Seite.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{P(A\\cap B^c) = P(A)P(B^c)\\}\\vdash P(A\\cap B^c) = P(A\\setminus B)<\/span><\/td>\n<td>; Weil <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\setminus B := A\\cap B^c<\/span>.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{P(A\\cap B^c) = P(A)P(B^c)\\}\\vdash P(A\\setminus B) = P(A) - P(A\\cap B) <\/span><\/td>\n<td>; <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/probabilidades-y-estadistica-ejercicios-de-teoria\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Siehe Entwicklung der \u00dcbung 2<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(4)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{P(A\\cap B^c) = P(A)P(B^c)\\}\\vdash P(A) - P(A)P(B) = P(A) - P(A\\cap B) <\/span><\/td>\n<td>; Aus (1), (2) und (3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{red}{\\{P(A\\cap B^c) = P(A)P(B^c)\\}\\vdash P(A)P(B) = P(A\\cap B)} <\/span><\/td>\n<td>; Durch Eliminieren gleichartiger Terme<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und dieser Ausdruck wird gelesen als: \u00abAus der Tatsache, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B^c<\/span> unabh\u00e4ngig sind, folgt, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> ebenfalls unabh\u00e4ngig sind.\u00bb<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Schlie\u00dflich ergibt sich aus diesen beiden \u00dcberlegungen die nachgewiesene \u00c4quivalenz zwischen der Unabh\u00e4ngigkeit von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> und der von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B^c.<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die \u00fcbrigen nachgewiesenen \u00c4quivalenzen k\u00f6nnen in \u00e4hnlicher Weise abgeleitet werden. Diese bleiben als eine Herausforderung p<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabh\u00e4ngigkeit zwischen Ereignissen ZusammenfassungIn dieser Sitzung werden wir das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit und die Wechselwirkung zwischen Ereignissen untersuchen. Wir werden die F\u00e4higkeiten erwerben, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und die Abh\u00e4ngigkeit oder Unabh\u00e4ngigkeit zwischen Ereignissen zu bestimmen. 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