{"id":34098,"date":"2021-03-29T13:00:10","date_gmt":"2021-03-29T13:00:10","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34098"},"modified":"2025-08-16T06:53:16","modified_gmt":"2025-08-16T06:53:16","slug":"nuetzliche-theoreme-fuer-die-wahrscheinlichkeitsrechnung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/nuetzliche-theoreme-fuer-die-wahrscheinlichkeitsrechnung\/","title":{"rendered":"N\u00fctzliche Theoreme f\u00fcr die Wahrscheinlichkeitsrechnung"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>N\u00fctzliche Theoreme f\u00fcr die Wahrscheinlichkeitsrechnung<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Zusammenfassung<\/strong><br \/><em>In dieser Vorlesung werden gel\u00f6ste Aufgaben vorgestellt, in denen einige n\u00fctzliche Theoreme f\u00fcr die Wahrscheinlichkeitsrechnung demonstriert werden, einschlie\u00dflich Beweisen und Herleitungen. Die Aufgaben behandeln Themen wie die komplement\u00e4re Wahrscheinlichkeit, die Inklusion von Mengen und die Konvergenz von Ereignissen. Das Bearbeiten dieser Aufgaben verschafft dir eine solide Grundlage, um das Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie zu vertiefen.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>LERNZIELE:<\/strong><br \/>\nNach Abschluss dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Eigenschaften<\/strong> grundlegender Wahrscheinlichkeiten zu demonstrieren<\/li>\n<\/ol>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/SSkPFP5FpKM\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im Folgenden sehen wir einen \u00dcbungsleitfaden (mit L\u00f6sungen), dessen Ziel es ist, einige n\u00fctzliche Theoreme f\u00fcr die Wahrscheinlichkeitstheorie zu demonstrieren. Versuche, sie selbst zu l\u00f6sen, und vergleiche dann deine Ergebnisse &gt;:D<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li><strong><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SSkPFP5FpKM&amp;t=111s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Zeigen Sie, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A^c) = 1 -P(A)<\/span> und<\/span><\/a> leiten Sie daraus eine Folgerung ab, die es erm\u00f6glicht zu argumentieren, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\emptyset) = 0<\/span><\/strong><br \/>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id6a14a2afa875f\"  tabindex=\"0\" title=\"L\u00d6SUNG ANZEIGEN\"    >L\u00d6SUNG ANZEIGEN<\/span><div id=\"target-id6a14a2afa875f\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p style=\"text-align: justify;\">Aus der Definition des <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/el-espacio-de-probabilidades-medida-de-probabilidad\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Wahrscheinlichkeitsma\u00dfes<\/a> ergibt sich, dass, wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> beliebige messbare Ereignisse sind, dann gilt:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>[a]<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\leq P(A) \\leq 1<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>[b]<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\cap B = \\emptyset \\rightarrow P(A\\cup B) = P(A) + P(B)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\Omega) = 1<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun, da <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\cap A^c = \\emptyset<\/span>, ergibt sich aus Teil [b], dass:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>[d]<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\cap A^c = \\emptyset \\rightarrow P(A\\cup A^c) = P(A) + P(A^c)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Da <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\cap A^c = \\emptyset<\/span> immer gilt und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\cup A^c = \\Omega<\/span>, folgt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1=P(\\Omega) = P(A\\cup A^c) = P(A) + P(A^c)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und daher:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A^c) = 1-P(A)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Was zu zeigen war.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um zu zeigen, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\emptyset)=0<\/span>, gen\u00fcgt es, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A=\\Omega<\/span> in die soeben bewiesene Beziehung einzusetzen, und man erh\u00e4lt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\emptyset) = P(\\Omega^c) =1 - P(\\Omega) = 1-1 = 0<\/span>\n<\/div><\/li>\n<li><strong><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SSkPFP5FpKM&amp;t=534s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">a) Zeigen Sie, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\subseteq B \\rightarrow P(B\\setminus A) = P(B) - P(A)<\/span><\/span><\/a>, Gilt die Gleichheit allgemein?<\/strong><strong>b) Zeigen Sie, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\subseteq B \\rightarrow P(B)\\leq P(A)<\/span><\/strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id6a14a2afa8a40\"  tabindex=\"0\" title=\"L\u00d6SUNG ANZEIGEN a)\"    >L\u00d6SUNG ANZEIGEN a)<\/span><div id=\"target-id6a14a2afa8a40\" class=\"collapseomatic_content \">\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\subseteq B<\/span>; Pr\u00e4misse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv A\\cap B = A<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B\\setminus A = B\\cap A^c<\/span>; Definition der Mengenlehre<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B= (B\\cap A) \\cup (B\\cap A^c)<\/span>; Eigenschaft der Mengen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(B\\cap A)\\cap (B\\cap A^c)=\\emptyset<\/span>; Eigenschaft der Mengen<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B)= P[(B\\cap A) \\cup (B\\cap A^c)]<\/span>; Aus (3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B)= P (B\\cap A) + P(B\\cap A^c)<\/span>; Aus (4) + Def. Wahrscheinlichkeitsma\u00df<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B)= P (B\\cap A) + P(B\\setminus A)<\/span>; Aus (2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> P(B\\setminus A) =P(B) - P (B\\cap A) <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{P(B\\setminus A) =P(B) - P (A) }<\/span>; Aus (1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Daher <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{\\{A\\subseteq B\\}\\vdash P(B\\setminus A) = P(B) - P(A)}.<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Beachten wir, dass diese Gleichheit im Allgemeinen nicht gilt, da sie davon abh\u00e4ngt, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\subseteq B<\/span> erf\u00fcllt ist, um erhalten zu werden. Aus diesen \u00dcberlegungen ergibt sich, dass, falls dies nicht erf\u00fcllt ist, man erh\u00e4lt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B\\setminus A) = P(B) - P(A\\cap B).<\/span>\n<\/div>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id6a14a2afa8c5c\"  tabindex=\"0\" title=\"L\u00d6SUNG ANZEIGEN b)\"    >L\u00d6SUNG ANZEIGEN b)<\/span><div id=\"target-id6a14a2afa8c5c\" class=\"collapseomatic_content \">\n<p style=\"text-align: justify;\">Aus den \u00dcberlegungen in a) ergibt sich:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\{A\\subseteq B\\}\\vdash P(B\\setminus A) = P(B) - P(A)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv \\{A\\subseteq B\\}\\vdash P(A) + P(B\\setminus A) = P(B)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Schlie\u00dflich gilt, da <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P<\/span> ein Wahrscheinlichkeitsma\u00df ist, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\forall X (P(X)\\geq 0)<\/span>, sodass daher:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{\\{A\\subseteq B\\}\\vdash P(A) \\leq P(B)}.<\/span>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/li>\n<li><strong><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SSkPFP5FpKM&amp;t=892s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">a) Zeigen Sie, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\\cup B).<\/span><\/span><\/a> Begleiten Sie den Beweis mit einem Diagramm.<\/strong><strong>b) Verwenden Sie das vorherige Ergebnis, um zu zeigen, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cup B) \\leq P(A) + P(B)<\/span><\/strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id6a14a2afa8d6f\"  tabindex=\"0\" title=\"L\u00d6SUNG ANZEIGEN TEIL a)\"    >L\u00d6SUNG ANZEIGEN TEIL a)<\/span><div id=\"target-id6a14a2afa8d6f\" class=\"collapseomatic_content \">\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\cup B = (A\\triangle B) \\cup (A\\cap B)<\/span>; Mengeneigenschaft<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A\\triangle B := (A\\setminus B) \\cup (B\\setminus A)<\/span>; Definition der symmetrischen Differenz<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A\\triangle B)\\cap ( A \\cap B) = \\emptyset<\/span>; Mengeneigenschaft<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(4)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A\\setminus B)\\cap (B\\setminus A) = \\emptyset<\/span>; Mengeneigenschaft<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(5)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cup B) = P[(A\\triangle B) \\cup (A\\cap B)]<\/span>; Aus (1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cup B) = P(A\\triangle B) + P(A\\cap B)]<\/span>; Aus (3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cup B) = P(A\\setminus B) + P(B\\setminus A) + P(A\\cap B)]<\/span>; Aus (2,4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(6)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(B\\setminus A) = P(B) - P(A\\cap B)<\/span>; Anwendung des Ergebnisses aus Aufgabe 2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(7)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\setminus B) = P(A) - P(A\\cap B)<\/span>; Dasselbe wie (6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(8)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(A\\cup B) = P(A) - P(A\\cap B) + P(B) - P(A\\cap B) + P(A\\cap B)<\/span>; aus (5,6,7)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{P(A\\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\\cap B)}. <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id6a14a2afa8ef0\"  tabindex=\"0\" title=\"L\u00d6SUNG ANZEIGEN TEIL b)\"    >L\u00d6SUNG ANZEIGEN TEIL b)<\/span><div id=\"target-id6a14a2afa8ef0\" class=\"collapseomatic_content \">\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdash P(A\\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\\cap B)<\/span>; Ergebnis aus Teil a)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv\\; \\vdash P(A\\cup B) + P(A\\cap B) = P(A) + P(B) <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\equiv\\; \\vdash {P(A\\cup B) \\leq P(A) + P(B)} <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/li>\n<li><strong><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SSkPFP5FpKM&amp;t=1625s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\{E_n\\}<\/span> eine unendliche Familie von Ereignissen ist<\/span> <\/a>so dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_1\\supseteq E_2 \\supseteq E_2 \\supseteq \\cdots \\supseteq E_n \\supseteq E_{n+1}\\supseteq \\cdots.<\/span> Zeigen Sie, dass gilt:<\/strong>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P\\left( \\bigcap_{n=1}^\\infty E_n \\right) = \\lim_{n\\to \\infty}P(E_n)<\/span>\n<span class=\"collapseomatic \" id=\"id6a14a2afa8fe8\"  tabindex=\"0\" title=\"L\u00d6SUNG ANZEIGEN\"    >L\u00d6SUNG ANZEIGEN<\/span><div id=\"target-id6a14a2afa8fe8\" class=\"collapseomatic_content \">\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_n \\supseteq E_{n+1}<\/span>; Hypothese<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_n^c \\subseteq E_{n+1}^c<\/span>; Durch Komplementbildung aus (1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle(E_n^c \\subseteq E_{n+1}^c) \\rightarrow P\\left( \\bigcup_{n=1}^\\infty E_n^c \\right)= \\lim_{n\\to\\infty}P(E_n^c)<\/span>; Eigenschaft der Stetigkeit<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(4)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\bigcup_{n=1}^\\infty E_n^c = \\left( \\bigcap_{n=1}^\\infty E_n \\right)^c<\/span>; DeMorgan&#8217;sche Gesetze<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(5)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P\\left(E_n^c\\right) = 1 - P(E_n)<\/span>; Bewiesen in Aufgabe 1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(6)<\/span><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P\\left(\\left[ \\bigcap_{n=1}^\\infty E_n\\right]^c \\right) = \\lim_{n\\to\\infty}[1-P(E_n)] = 1 - \\lim_{n\\to\\infty}P(E_n)<\/span>; aus (2,4,5) angewendet auf (3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle 1 - P\\left( \\bigcap_{n=1}^\\infty E_n \\right) = 1 - \\lim_{n\\to\\infty}P(E_n) <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{\\displaystyle P\\left( \\bigcap_{n=1}^\\infty E_n \\right) = \\lim_{n\\to\\infty}P(E_n)} <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\therefore\\{E_n \\supseteq E_{n+1}\\}\\vdash P\\left( \\bigcap_{n=1}^\\infty E_n \\right) = \\lim_{n\\to\\infty}P(E_n).<\/span>\n<p>&nbsp;<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn du diese Aufgaben l\u00f6st, wirst du ein erstes Fundament schaffen, das dir als Grundlage f\u00fcr das weitere Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie dient.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>N\u00fctzliche Theoreme f\u00fcr die Wahrscheinlichkeitsrechnung ZusammenfassungIn dieser Vorlesung werden gel\u00f6ste Aufgaben vorgestellt, in denen einige n\u00fctzliche Theoreme f\u00fcr die Wahrscheinlichkeitsrechnung demonstriert werden, einschlie\u00dflich Beweisen und Herleitungen. Die Aufgaben behandeln Themen wie die komplement\u00e4re Wahrscheinlichkeit, die Inklusion von Mengen und die Konvergenz von Ereignissen. 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