{"id":34058,"date":"2021-03-24T00:00:11","date_gmt":"2021-03-24T00:00:11","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=34058"},"modified":"2025-08-15T08:47:26","modified_gmt":"2025-08-15T08:47:26","slug":"das-wahrscheinlichkeitsmass-und-seine-schluesseleigenschaften","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-wahrscheinlichkeitsmass-und-seine-schluesseleigenschaften\/","title":{"rendered":"Das Wahrscheinlichkeitsma\u00df und seine Schl\u00fcsseleigenschaften"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Schl\u00fcsseleigenschaften des Wahrscheinlichkeitsma\u00dfes<\/h1>\n<p><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Zusammenfassung<\/strong><br \/><em>In dieser Vorlesung werden die grundlegenden Definitionen der Wahrscheinlichkeitstheorie vorgestellt, einschlie\u00dflich des Wahrscheinlichkeitsma\u00dfes und der Sigma-Algebra. Dar\u00fcber hinaus wird der Begriff der Wahrscheinlichkeit als Grenzwert relativer H\u00e4ufigkeiten anhand des Beispiels eines W\u00fcrfels mit 6 Seiten untersucht. Mithilfe der Funktion der relativen H\u00e4ufigkeit wird gezeigt, wie man ein Wahrscheinlichkeitsma\u00df \u00fcber den Grenzwert erh\u00e4lt, was als \u201eWahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen H\u00e4ufigkeiten\u201c bekannt ist. Es werden die Schl\u00fcsseleigenschaften des Wahrscheinlichkeitsma\u00dfes pr\u00e4sentiert und gezeigt, wie die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen durch g\u00fcnstige F\u00e4lle \u00fcber Gesamtf\u00e4lle berechnet werden kann. Dieses Wissen ist grundlegend, um die Wahrscheinlichkeitstheorie zu verstehen und sie in verschiedenen Kontexten f\u00fcr Entscheidungsfindungen anzuwenden.<\/em><\/p>\n<p><\/center><br \/>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>LERNZIELE:<\/strong><br \/>\nNach Abschluss dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Kennen<\/strong> der Definition des Wahrscheinlichkeitsma\u00dfes und seiner grundlegenden Eigenschaften.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong> des Begriffs der Wahrscheinlichkeit als Grenzwert relativer H\u00e4ufigkeiten.<\/li>\n<li><strong>Berechnen<\/strong> der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen durch die \u201eWahrscheinlichkeit als g\u00fcnstige F\u00e4lle \u00fcber Gesamtf\u00e4lle\u201c.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">GRUNDLEGende DEFINITIONEN<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">WAHRSCHEINLICHKEIT ALS GRENZWERT RELATIVER H\u00c4UFIGKEITEN<\/a><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/hJJpgf1jRvM\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Grundlegende Definitionen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=117s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Der Teil, der die Essenz eines Wahrscheinlichkeitsraums verdichtet<\/span><\/strong><\/a>, ist genau die Idee des Wahrscheinlichkeitsma\u00dfes. Dies ist die Funktion, die letztlich die M\u00f6glichkeit quantifiziert, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=157s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ein Wahrscheinlichkeitsma\u00df<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P<\/span> ist eine Funktion, die, gegeben eine <strong><a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/que-es-una-sigma-algebra-definicion-y-ejemplos\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Sigma-Algebra<\/a><\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Sigma=(\\Omega,\\mathcal{A})<\/span>, jedem Ereignis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E\\in\\mathcal{A}<\/span> eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Dieses Wahrscheinlichkeitsma\u00df erf\u00fcllt die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(E\\in \\mathcal{A}) \\rightarrow (0 \\leq P(E) \\leq 1)<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\Omega) = 1<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left[E_1,_2 \\in \\mathcal{A}\\right] \\rightarrow \\left[ (E_1 \\cap E_2 = \\emptyset) \\rightarrow \\left(P\\left(E_1 \\cup E_2 \\right) = P(E_1) + P(E_2) \\right) \\right]<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left[E_1 \\subseteq E_2 \\subseteq \\cdots \\subseteq E_n \\in \\mathcal{A}\\right] \\rightarrow \\left[P \\left(\\bigcup_{n=1}^\\infty E_n \\right) = \\lim_{n\\to\\infty}P(E_n)\\right]<\/span> <span style=\"color: #800000;\">(Stetigkeit)<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas.jpg\" alt=\"Wahrscheinlichkeitsma\u00df, Grenzwert der relativen H\u00e4ufigkeiten\" width=\"1280\" height=\"720\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25465 lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas.jpg\" alt=\"Wahrscheinlichkeitsma\u00df, Grenzwert der relativen H\u00e4ufigkeiten\" width=\"1280\" height=\"720\" class=\"aligncenter size-full wp-image-25465 lazyload\" srcset=\"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas.jpg 1280w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas-300x169.jpg 300w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas-1024x576.jpg 1024w, https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/12\/apuestas-768x432.jpg 768w\" sizes=\"(max-width: 1280px) 100vw, 1280px\" \/><\/noscript><\/center><br \/>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Wahrscheinlichkeit als Grenzwert relativer H\u00e4ufigkeiten<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=510s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Dieser Begriff der Wahrscheinlichkeit l\u00e4sst sich verstehen<\/span><\/strong><\/a> durch die intuitive Idee der Wahrscheinlichkeit als \u201eGrenzwert der relativen H\u00e4ufigkeiten\u201c. Nehmen wir zum Beispiel das Experiment, bei dem <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span>-mal ein W\u00fcrfel mit 6 Seiten geworfen wird. Der <strong><a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/conoce-el-espacio-muestral-de-la-teoria-de-las-probabilidades\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Ergebnisraum<\/a><\/strong> jedes Wurfs ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{1d6} = \\{1,2,3,4,5,6\\}<\/span>. Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> ein beliebiges Ereignis aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{1d6}<\/span> ist, dann k\u00f6nnen wir die H\u00e4ufigkeit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_N(A)<\/span> messen, mit der das Ereignis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> bei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> W\u00fcrfen auftritt. Wenn wir dies tun, werden wir feststellen, dass:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\leq f_N(A) \\leq f_N(\\Omega_{1d6}) = N<\/span>,<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">und wenn wir ein zweites beliebiges Ereignis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> aus <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega_{1d6}<\/span> betrachten, dann gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(A\\cap B = \\emptyset ) \\rightarrow (f_N(A\\cup B) = f_N(A)+f_N(B) )<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Daraus k\u00f6nnen wir eine neue \u201eFunktion\u201c <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span> definieren, die wir <strong>relative H\u00e4ufigkeit<\/strong> nennen, durch den Ausdruck<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N(A) = \\displaystyle \\frac{f_N(A)}{N}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Wir werden feststellen, dass die Funktion <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span> die ersten drei Eigenschaften erf\u00fcllt, nur die vierte (Stetigkeit) kann auf diese Weise nicht gewonnen werden, wird jedoch aus eher \u201etechnischen\u201c Gr\u00fcnden eingef\u00fchrt, da einige Ergebnisse ohne diese Eigenschaft nicht erzielt werden k\u00f6nnen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Trotzdem ist <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span> noch kein Wahrscheinlichkeitsma\u00df, weil es noch keine Funktion ist. Dies liegt daran, dass, unabh\u00e4ngig vom Wert von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span>, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g_N<\/span> nicht notwendigerweise einen eindeutigen Wert liefert, wie es eine Funktion tun w\u00fcrde. Um dies zu beheben, f\u00fcgen wir einen Grenzwertschritt hinzu, um schlie\u00dflich ein Wahrscheinlichkeitsma\u00df zu erhalten, und zwar:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(A) = \\lim_{N\\to\\infty} g_N(A)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Dies ist das, was als Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen H\u00e4ufigkeiten bekannt ist.<\/p>\n<h3>Beispiel: der Wurf eines W\u00fcrfels<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=hJJpgf1jRvM&amp;t=932s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Setzt man die Analyse des Wurfs eines W\u00fcrfels mit 6 Seiten fort,<\/span> <\/strong><\/a>wird man haben, dass:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\left(\\forall x\\in\\{1,2,3,4,5,6\\}\\right) \\left( g_N(\\{x\\}) = \\frac{f_N(\\{x\\})}{N}\\right)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">und wenn das Experiment eine gro\u00dfe Anzahl von Malen wiederholt wird, kann man feststellen, dass<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\forall x\\in\\{1,2,3,4,5,6\\} \\right) \\left( \\lim_{N \\to \\infty} g_N(\\{x\\}) = \\displaystyle \\frac{1}{6} \\right)<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{N \\to \\infty} g_N(\\Omega_{1d6}) = 1<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Wenn wir also <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\{x\\}) = \\lim_{N\\to\\infty} g_N(\\{x\\})<\/span> definieren, dann wird gelten:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(x=\\{1,3,5\\}) = P(\\{1\\}\\cup\\{3\\}\\cup\\{5\\}) = P(\\{1\\})+P(\\{3\\})+P(\\{5\\}) = \\frac{1}{6}+\\frac{1}{6}+\\frac{1}{6}= \\frac{1}{2} <\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Aus diesem Beispiel l\u00e4sst sich auch leicht ableiten, dass f\u00fcr ein Ereignis <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E<\/span> eines Ergebnisraums <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span> gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P(E) = \\frac{\\# E}{\\# \\Omega}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Dies ist das, was als \u201eWahrscheinlichkeit als g\u00fcnstige F\u00e4lle \u00fcber Gesamtf\u00e4lle\u201c bekannt ist und grundlegend f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis einer Vielzahl von \u00dcberlegungen \u00fcber den Wahrscheinlichkeitsraum und das Wahrscheinlichkeitsma\u00df ist.<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/OAzCnbW3pSw?si=pNyBUqlZEuhRJO4i\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Schl\u00fcsseleigenschaften des Wahrscheinlichkeitsma\u00dfes ZusammenfassungIn dieser Vorlesung werden die grundlegenden Definitionen der Wahrscheinlichkeitstheorie vorgestellt, einschlie\u00dflich des Wahrscheinlichkeitsma\u00dfes und der Sigma-Algebra. 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Licenciado en F\u00edsica, Magister en Ingenier\u00eda Industrial y Docente Universitario. Me dedico a desmitificar la f\u00edsica y las matem\u00e1ticas. Mi objetivo es hacer que estos campos sean f\u00e1cilmente comprensibles para todos, proporcionando las herramientas para explorar no solo el mundo que nos rodea, sino tambi\u00e9n las profundidades de nuestra propia existencia y el orden natural que nos conecta con el cosmos.\",\"sameAs\":[\"http:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\"],\"url\":\"https:\\\/\\\/toposuranos.com\\\/material\\\/author\\\/giorgio-reveco\\\/\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Das Wahrscheinlichkeitsma\u00df und seine Schl\u00fcsseleigenschaften - toposuranos.com\/material","description":"Lerne das Wahrscheinlichkeitsma\u00df und die Analyse der Wahrscheinlichkeit als Grenzwert relativer H\u00e4ufigkeiten anhand praktischer Beispiele kennen","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-wahrscheinlichkeitsmass-und-seine-schluesseleigenschaften\/","og_locale":"es_ES","og_type":"article","og_title":"Das Wahrscheinlichkeitsma\u00df und seine Schl\u00fcsseleigenschaften","og_description":"Lerne das Wahrscheinlichkeitsma\u00df und die Analyse der Wahrscheinlichkeit als Grenzwert relativer H\u00e4ufigkeiten anhand praktischer Beispiele kennen","og_url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-wahrscheinlichkeitsmass-und-seine-schluesseleigenschaften\/","og_site_name":"toposuranos.com\/material","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/groups\/toposuranos","article_published_time":"2021-03-24T00:00:11+00:00","article_modified_time":"2025-08-15T08:47:26+00:00","og_image":[{"url":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/MEDIDADEPROBABILIDAD-1-1024x576.jpg","type":"","width":"","height":""}],"author":"giorgio.reveco","twitter_card":"summary_large_image","twitter_title":"Das Wahrscheinlichkeitsma\u00df und seine Schl\u00fcsseleigenschaften","twitter_description":"Lerne das Wahrscheinlichkeitsma\u00df und die Analyse der Wahrscheinlichkeit als Grenzwert relativer H\u00e4ufigkeiten anhand praktischer Beispiele kennen","twitter_image":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/MEDIDADEPROBABILIDAD-1.jpg","twitter_creator":"@topuranos","twitter_site":"@topuranos","twitter_misc":{"Escrito por":"giorgio.reveco","Tiempo de lectura":"1 minuto"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"Article","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-wahrscheinlichkeitsmass-und-seine-schluesseleigenschaften\/#article","isPartOf":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-wahrscheinlichkeitsmass-und-seine-schluesseleigenschaften\/"},"author":{"name":"giorgio.reveco","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#\/schema\/person\/e15164361c3f9a2a02cf6c234cf7fdc1"},"headline":"Das Wahrscheinlichkeitsma\u00df und seine Schl\u00fcsseleigenschaften","datePublished":"2021-03-24T00:00:11+00:00","dateModified":"2025-08-15T08:47:26+00:00","mainEntityOfPage":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-wahrscheinlichkeitsmass-und-seine-schluesseleigenschaften\/"},"wordCount":832,"commentCount":0,"publisher":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/#organization"},"image":{"@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-wahrscheinlichkeitsmass-und-seine-schluesseleigenschaften\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/wp-content\/uploads\/2023\/03\/MEDIDADEPROBABILIDAD-1.jpg","articleSection":["Mathematik","Wahrscheinlichkeiten und Statistik"],"inLanguage":"es","potentialAction":[{"@type":"CommentAction","name":"Comment","target":["https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-wahrscheinlichkeitsmass-und-seine-schluesseleigenschaften\/#respond"]}]},{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-wahrscheinlichkeitsmass-und-seine-schluesseleigenschaften\/","url":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/das-wahrscheinlichkeitsmass-und-seine-schluesseleigenschaften\/","name":"Das Wahrscheinlichkeitsma\u00df und seine Schl\u00fcsseleigenschaften - 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