{"id":33967,"date":"2024-08-11T13:00:08","date_gmt":"2024-08-11T13:00:08","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33967"},"modified":"2025-08-01T05:54:56","modified_gmt":"2025-08-01T05:54:56","slug":"grenzwert-von-funktionen-einer-reellen-variablen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/grenzwert-von-funktionen-einer-reellen-variablen\/","title":{"rendered":"Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen<\/h1>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Lektion wird die formale Definition des Grenzwerts von Funktionen einer reellen Variablen eingehend behandelt. Auf dieser Grundlage werden die wichtigsten Eigenschaften bewiesen, die zur Algebra der Grenzwerte f\u00fchren.<\/br><\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><em><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Die Definition<\/strong> des Grenzwerts von Funktionen einer reellen Variablen zu erinnern.<\/li>\n<li><strong>Die Eigenschaften<\/strong>, die zur Algebra der Grenzwerte f\u00fchren, mittels <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon-\\delta<\/span><\/span>-Beweisen herzuleiten.<\/li>\n<li><strong>Grenzwerte<\/strong> von Funktionen einer reellen Variablen mithilfe der Grenzwertalgebra und ihrer Eigenschaften zu berechnen.<\/li>\n<\/ul>\n<p><\/em><\/p>\n<p><center><br \/>\n<strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Einleitung<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Die intuitive Vorstellung des Grenzwerts einer Funktion aus graphischer Sicht<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\"><strong>Die formale Definition des Grenzwerts<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#4\"><strong>Eigenschaften von Grenzwerten<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Wenn der Grenzwert existiert, dann ist er eindeutig<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Algebra der Grenzwerte<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Berechnung einfacher Grenzwerte<\/a><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/FEPfoAfPsFY\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Einleitung<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=240s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Was ist der Unterschied zwischen dem Studium der Algebra und der Geometrie im Vergleich zum Studium der Analysis?<\/strong><\/a> Die Antwort auf diese Frage liefert uns das Konzept des Grenzwerts. In diesem Artikel wird daher der Grenzwert und seine Definition behandelt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das Wort \u201eGrenzwert\u201c assoziieren wir normalerweise mit einer Art Grenze, wie dem Rand eines Intervalls mit den Endpunkten a, b (unabh\u00e4ngig von deren Natur)<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,b[\\;\\; ;\\;\\; ]a,b]\\;\\; ; \\;\\; ]a,b[\\;\\; ; [a,b] <\/span><\/span>,<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">oder auch mit der Gegenwart, die man als Grenze zwischen Vergangenheit und Zukunft betrachten kann. In \u00e4hnlicher Weise bringt die Idee des Grenzwerts ein mathematisches Verst\u00e4ndnis dieser intuitiven Vorstellung zum Ausdruck, sich asymptotisch einem bestimmten Punkt zu n\u00e4hern.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Die intuitive Vorstellung des Grenzwerts einer Funktion aus graphischer Sicht<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=314s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Um die Idee des Grenzwerts zu visualisieren, ist es sinnvoll, mit der grafischen Darstellung<\/strong><\/a> einer Funktion zu beginnen und zu fragen, was mit <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> geschieht, wenn sich <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> beliebig nahe an <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> ann\u00e4hert.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-rMjBnCIK8Ts\/YGDfXYswS4I\/AAAAAAAAEwA\/1GY0wy3JkXk99kveDTp1SltJOTAITgN3wCLcBGAsYHQ\/s0\/limite.PNG\" alt=\"Grenzwert einer Funktion\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"692\" height=\"565\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-rMjBnCIK8Ts\/YGDfXYswS4I\/AAAAAAAAEwA\/1GY0wy3JkXk99kveDTp1SltJOTAITgN3wCLcBGAsYHQ\/s0\/limite.PNG\" alt=\"Grenzwert einer Funktion\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"692\" height=\"565\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> nahe bei <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> liegt, dann existiert ein offenes Intervall mit Radius <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span><\/span> und Mittelpunkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span>, sodass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> darin enthalten ist. Dies l\u00e4sst sich auf drei verschiedene Arten darstellen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x-x_0|\\lt \\delta<\/span><\/span>,<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|x\\in]x_0 - \\delta , x_0 + \\delta[ <\/span><\/span>,<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">oder auch <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in\\mathcal{B}(x_0,\\delta)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><em>In unserem Kontext sind dies drei gleichwertige Ausdrucksweisen, wobei die letzte, die gelesen wird als \u201ex ist enthalten in der offenen Kugel mit Zentrum <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> und Radius <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span><\/span>\u201c, eher f\u00fcr einen <strong>Topologiekurs<\/strong> geeignet w\u00e4re, in dem das Thema der \u201eN\u00e4he\u201c wesentlich vertiefter behandelt wird.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn dies der Fall ist, dann sehen wir, dass ein weiteres offenes Intervall mit Mittelpunkt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">l<\/span><\/span> und Radius <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon<\/span><\/span> existiert, sodass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> darin enthalten ist, das hei\u00dft: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|f(x) - l|\\lt \\epsilon<\/span><\/span>.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-26xU-o1y-Eg\/YGDfXYgOp2I\/AAAAAAAAEwE\/FGMGEQdvRzg_OvnUqKolJ9v51xUVF4O7QCLcBGAsYHQ\/s0\/limite2.PNG\" alt=\"Grenzwert einer Funktion\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"625\" height=\"549\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-26xU-o1y-Eg\/YGDfXYgOp2I\/AAAAAAAAEwE\/FGMGEQdvRzg_OvnUqKolJ9v51xUVF4O7QCLcBGAsYHQ\/s0\/limite2.PNG\" alt=\"Grenzwert einer Funktion\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"625\" height=\"549\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hieraus ergibt sich die Grundidee des mathematischen Grenzwertbegriffs, n\u00e4mlich dass der Grenzwert existiert, wenn: Falls <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt|x-x_0|\\lt \\delta<\/span><\/span>, dann <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|f(x)-l|\\lt \\epsilon<\/span><\/span>; und dieser Wert <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">l<\/span><\/span> wird dann als der Grenzwert der Funktion bezeichnet, wenn sich <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span><\/span> beliebig nahe an <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> ann\u00e4hert.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Die formale Definition des Grenzwerts<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=689s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Ausgehend von der zuvor dargestellten intuitiven und graphischen Auffassung l\u00e4sst sich die formale Definition des Grenzwerts erarbeiten.<\/strong><\/a> Wir sagen, dass der Grenzwert existiert, wenn \u2013 unabh\u00e4ngig davon, wie <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon<\/span><\/span> (also der Abstand zwischen <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">l<\/span><\/span>) gew\u00e4hlt wird \u2013 immer ein <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta<\/span><\/span> existiert, sodass gilt: Wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0 \\lt|x-x_0|\\lt \\delta<\/span><\/span>, dann folgt <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|f(x) - l|\\lt \\epsilon.<\/span><\/span> Diese Idee, die anfangs schwer zu erfassen ist und vielen Studierenden der Analysis weltweit Tr\u00e4nen bereitet, l\u00e4sst sich durch den folgenden Ausdruck zusammenfassen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}f(x)=l := \\left(\\forall \\epsilon \\gt 0\\right)\\left(\\exists \\delta\\gt 0\\right) \\left(0 \\lt|x-x_0|\\lt\\delta \\rightarrow |f(x) - l|\\lt \\epsilon\\right)<\/span><\/span>,<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Eigenschaften von Grenzwerten<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das Wichtige an einer formalen Definition des Grenzwerts ist, dass wir nun auf dieser Grundlage sowohl die intuitiven als auch die weniger offensichtlichen Eigenschaften beweisen k\u00f6nnen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Bevor wir fortfahren, ist es \u2013 obwohl nicht zwingend erforderlich \u2013 sehr empfehlenswert, einige Konzepte der <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/category\/matematica\/logica-matematica\/logica-proposicional\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>mathematischen Logik<\/strong><\/a> zu wiederholen, um die folgenden Beweise leichter nachvollziehen zu k\u00f6nnen.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h3>Wenn der Grenzwert existiert, dann ist er eindeutig<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=904s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Zum Beweis dieser Eigenschaft verwenden wir die Methode des Widerspruchsbeweises.<\/strong><\/a> Wir beginnen mit der Definition der folgenden Menge von Pr\u00e4missen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\mathcal{H}= \\{\\lim_{x\\to x_0}f(x) = L, \\lim_{x\\to x_0}f(x) = L^\\prime, L\\neq L^\\prime\\}<\/span><\/span>.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ausgehend davon k\u00f6nnen wir den folgenden formalen Beweis aufbauen:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0}f(x) = L <\/span><\/span>; <strong>Annahme<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\epsilon \\gt 0\\right)\\left(\\exists \\delta\\gt 0\\right) \\left(0 \\lt|x-x_0|\\lt\\delta \\rightarrow |f(x) - L|\\lt \\epsilon\\right) <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0}f(x) = L^\\prime <\/span><\/span>; Annahme<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\epsilon \\gt 0\\right)\\left(\\exists \\delta\\gt 0\\right) \\left(0 \\lt|x-x_0|\\lt\\delta \\rightarrow |f(x) - L^\\prime |\\lt \\epsilon\\right) <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash L \\neq L^\\prime <\/span><\/span>; Annahme<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(4)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\epsilon \\gt 0\\right)\\left(\\exists \\delta\\gt 0\\right) \\left(0 \\lt|x-x_0|\\lt\\delta \\rightarrow\\right.<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #ffff80; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left. \\left[ \\left( |f(x) - L |\\lt \\epsilon \\right) \\wedge \\left( |f(x) - L^\\prime |\\lt \\epsilon\\right) \\right] \\right. <\/span><\/span><\/span><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">)<\/span><\/span>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\wedge<\/span><\/span>&#8211;<strong>Einf\u00fchrung<\/strong>(1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(5)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\cup\\{L\\lt L^\\prime\\}\\vdash \\left(\\forall \\epsilon \\gt 0\\right)\\left(\\exists \\delta\\gt 0\\right) \\left(0 \\lt|x-x_0|\\lt\\delta \\rightarrow\\right.<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #ffff80; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left. \\left[ \\left( |f(x) - L |\\lt \\epsilon \\right) \\wedge \\left( |f(x) - L^\\prime |\\lt \\epsilon\\right) \\right] \\right. <\/span><\/span><\/span><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">)<\/span><\/span>; <strong>Monotonie<\/strong>(4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(6)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\cup\\{L\\lt L^\\prime\\}\\vdash \\epsilon = \\frac{L - L^\\prime}{2}\\gt 0 <\/span><\/span>; Da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">L \\lt L^\\prime <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(7)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\cup\\{L\\lt L^\\prime\\}\\vdash \\left(\\exists \\delta\\gt 0\\right) \\left(0 \\lt|x-x_0|\\lt\\delta \\rightarrow\\right.<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #ffff80; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left. \\left[ \\left( |f(x) - L |\\lt \\frac{L - L^\\prime}{2} \\right) \\wedge \\left( |f(x) - L^\\prime |\\lt \\frac{L - L^\\prime}{2}\\right) \\right] \\right. <\/span><\/span><\/span><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">)<\/span><\/span>; Verwendung von (5,6)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\cup\\{L\\lt L^\\prime\\}\\vdash (\\exists \\delta\\gt 0) (0 \\lt|x-x_0|\\lt\\delta \\rightarrow [<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffa0; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">( 2 |f(x) - L |\\lt L - L^\\prime )<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\wedge<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0a0ff; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">( 2|f(x) - L^\\prime |\\lt L - L^\\prime)<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ])<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\cup\\{L\\lt L^\\prime\\}\\vdash (\\exists \\delta\\gt 0) (0 \\lt|x-x_0|\\lt\\delta \\rightarrow [<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffa0; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">( -L + L^\\prime \\lt 2 (f(x) - L )\\lt L - L^\\prime )<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\wedge<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0a0ff; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">( -L + L^\\prime \\lt 2(f(x) - L^\\prime )\\lt L - L^\\prime)<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ])<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\cup\\{L\\lt L^\\prime\\}\\vdash (\\exists \\delta\\gt 0) (0 \\lt|x-x_0|\\lt\\delta \\rightarrow [<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffa0; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">( -L + L^\\prime \\lt 2f(x) - 2L \\lt L - L^\\prime )<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\wedge<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0a0ff; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">( -L + L^\\prime \\lt 2f(x) - 2L^\\prime \\lt L - L^\\prime)<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ])<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\cup\\{L\\lt L^\\prime\\}\\vdash (\\exists \\delta\\gt 0) (0 \\lt|x-x_0|\\lt\\delta \\rightarrow [<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffa0; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">( L + L^\\prime \\lt 2f(x) \\lt 3L - L^\\prime )<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\wedge<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0a0ff; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">( -L + 3L^\\prime \\lt 2f(x) \\lt L + L^\\prime)<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ])<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\cup\\{L\\lt L^\\prime\\}\\vdash (\\exists \\delta\\gt 0) (0 \\lt|x-x_0|\\lt\\delta \\rightarrow [<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0a0ff; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">( -L + 3L^\\prime \\lt 2f(x) \\lt L + L^\\prime)<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\wedge<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffa0; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">( L + L^\\prime \\lt 2f(x) \\lt 3L - L^\\prime )<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> ])<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(8)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\cup\\{L\\lt L^\\prime\\}\\vdash \\bot <\/span><\/span>; Aus (1,2,6,7)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(9)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\cup\\{L\\gt L^\\prime\\}\\vdash \\bot <\/span><\/span>; Gleiche Vorgehensweise wie in (8)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(10)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash [(L\\lt L^\\prime) \\vee (L\\gt L^\\prime)] \\rightarrow \\bot <\/span><\/span>; <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vee<\/span><\/span>-Einf\u00fchrung (8,9)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(11)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash [L\\ \\neq L^\\prime] \\rightarrow \\bot <\/span><\/span>; Def(10)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(12)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\bot <\/span><\/span>; <strong>MP<\/strong>(3,11)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left\\{\\lim_{x\\to x_0}f(x) = L, \\lim_{x\\to x_0}f(x) = L^\\prime, L\\neq L^\\prime\\right\\} \\vdash \\bot <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\" text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(13)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left\\{\\lim_{x\\to x_0}f(x) = L, \\lim_{x\\to x_0}f(x) = L^\\prime \\right\\} \\vdash \\neg(L\\neq L^\\prime) <\/span><\/span>; <strong>Widerspruch<\/strong>(12)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\" text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left\\{\\lim_{x\\to x_0}f(x) = L, \\lim_{x\\to x_0}f(x) = L^\\prime \\right\\} \\vdash L = L^\\prime.<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aus diesem Beweis folgt, dass, wenn zwei Grenzwerte existieren, sie gleich sein m\u00fcssen und somit der Grenzwert eindeutig ist.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Algebra der Grenzwerte<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=2011s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Mit dem bisher Gelernten haben wir das Wesentliche der mathematischen Grenzwertidee betrachtet.<\/strong><\/a> Aber das allein reicht bei weitem nicht aus, um Grenzwerte praktisch zu berechnen \u2013 nur ein Wahnsinniger, der nach Leiden d\u00fcrstet, w\u00fcrde versuchen, Grenzwerte allein \u00fcber die Definition zu berechnen. Um dieses Problem zu l\u00f6sen, besch\u00e4ftigen wir uns nun mit Techniken, die uns helfen werden, einige Grenzwerte zu berechnen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Seien <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0, \\alpha, \\beta, L, M \\in \\mathbb{R},<\/span><\/span> und seien f und g reelle Funktionen, sodass gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} f(x) = L<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} g(x) = M<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dann gelten die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<h4>Grenzwert der Summe und der Differenz von Funktionen<\/h4>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\left(\\alpha f(x) \\pm \\beta g(x) \\right) = \\alpha L \\pm \\beta M<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000080;\"><strong>Beweis:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=2053s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Betrachten wir die Menge der Pr\u00e4missen<\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\mathcal{H}=\\left\\{\\lim_{x\\to x_0} f(x) = L, \\lim_{x\\to x_0} g(x) = M \\right\\}<\/span><\/span>, so k\u00f6nnen wir daraus folgendes ableiten:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0}f(x) = L <\/span><\/span>; Annahme<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\epsilon \\gt 0 \\right)\\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right) \\left(0 \\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |f(x) - L|\\lt \\epsilon \\right) <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\epsilon \\gt 0 \\right)\\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right) \\left(0 \\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |\\alpha||f(x) - L|\\lt |\\alpha|\\epsilon \\right) <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\epsilon \\gt 0 \\right)\\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right) \\left( 0 \\lt|x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |\\alpha f(x) - \\alpha L|\\lt |\\alpha|\\epsilon \\right) <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\overline{\\epsilon}:= |\\alpha|\\epsilon <\/span><\/span>; Def.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\overline{\\epsilon} \\gt 0 \\right)\\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right) \\left(0 \\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |\\alpha f(x) - \\alpha L|\\lt \\overline{\\epsilon} \\right) <\/span><\/span>; Aus (1,2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span style=\"background-color: #ffff80; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0}\\alpha f(x) = \\alpha L <\/span><\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(4)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0}g(x) = M <\/span><\/span>; Annahme<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(5)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span style=\"background-color: #ffff80; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0}\\beta g(x) = \\beta M <\/span><\/span><\/span>; Analog zu (3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\overline{\\overline{\\epsilon}} \\gt 0 \\right)\\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right) \\left( 0 \\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |\\beta g(x) - \\beta M|\\lt \\overline{\\overline{\\epsilon}} \\right) <\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(6)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\overline{\\epsilon},\\overline{\\overline{\\epsilon}} \\gt 0 \\right)\\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right) \\left(0 \\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow \\left[|\\alpha f(x) - \\alpha L|+ |\\beta g(x) - \\beta M|\\lt \\overline{\\epsilon}+ \\overline{\\overline{\\epsilon}} \\right] \\right) <\/span><\/span>; aus (3,5)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(7)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash |\\alpha f(x) - \\alpha L + \\beta g(x) - \\beta M| \\leq |\\alpha f(x) - \\alpha L|+ |\\beta g(x) - \\beta M| <\/span><\/span>; Dreiecksungleichung: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x,y\\in\\mathbb{R})(|x+y|\\leq |x|+|y|)<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(8)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\overline{\\epsilon},\\overline{\\overline{\\epsilon}} \\gt 0 \\right)\\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right) \\left(0 \\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |\\alpha f(x) - \\alpha L + \\beta g(x) - \\beta M| \\lt \\overline{\\epsilon}+ \\overline{\\overline{\\epsilon}} \\right) <\/span><\/span>; aus (6,7)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(9)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon^* := \\overline{\\epsilon} + \\overline{\\overline{\\epsilon}}<\/span><\/span>; Definition<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(10)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\epsilon^* \\gt 0 \\right)\\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right) \\left(0 \\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |\\alpha f(x) + \\beta g(x) - \\alpha L - \\beta M| \\lt \\epsilon^* \\right) <\/span><\/span>; aus (8,9)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span style=\"background-color: #ffff80; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0} (\\alpha f(x) + \\beta g(x)) = \\alpha L + \\beta M <\/span><\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(11)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma:= - \\beta<\/span><\/span>; Definition<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(12)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0} (\\alpha f(x) + \\gamma g(x)) = \\alpha L + \\gamma M <\/span><\/span>; Analog zu (10)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(13)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span style=\"background-color: #ffff80; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0} (\\alpha f(x) - \\beta g(x)) = \\alpha L - \\beta M <\/span><\/span><\/span>; aus (11,12)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(14)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0} (\\alpha f(x) \\pm \\beta g(x)) = \\alpha L \\pm \\beta M <\/span><\/span>; aus (10,13)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h4>Grenzwert des Produkts von Funktionen<\/h4>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\left( f(x) g(x) \\right) = L M<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=2611s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Dieser Beweis ist etwas schwieriger als der vorherige,<\/strong><\/a> aber nichts, was wir nicht mit ein paar drakonischen Tricks l\u00f6sen k\u00f6nnten. Unter Verwendung desselben Pr\u00e4missensatzes <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{H}<\/span><\/span> wie im vorherigen Beweis k\u00f6nnen wir das folgende Argument aufbauen:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\overline{\\epsilon} := \\frac{|\\epsilon|}{2(|M|+1)} \\leq \\frac{|\\epsilon|}{2} <\/span><\/span>; Definition<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(2)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0} f(x) = L <\/span><\/span>; Annahme<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\overline{\\epsilon} \\gt 0 \\right)\\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right)\\left(0 \\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |f(x) - L| \\lt \\overline{\\epsilon} = \\frac{|\\epsilon|}{2(|M|+1)}\\right) <\/span><\/span>; aus (1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(3)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\overline{\\overline{\\epsilon}} := \\frac{|\\epsilon|}{2(|L|+1)} \\leq \\frac{|\\epsilon|}{2}<\/span><\/span>; Definition<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(4)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0} g(x) = M <\/span><\/span>; Annahme<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left(\\forall \\overline{\\overline{\\epsilon}} \\gt 0 \\right)\\left(\\exists \\delta \\gt 0 \\right)\\left(0 \\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |g(x) - M| \\lt \\overline{\\overline{\\epsilon}} = \\frac{|\\epsilon|}{2(|L|+1)}\\right) <\/span><\/span>; aus (3)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(5)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash |f(x)| - |L| \\lt<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffff; color:#000000;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|f(x) - L| \\lt \\overline{\\epsilon} \\lt 1 <\/span><\/span><\/span>; Dreiecksungleichung + Spezialfall f\u00fcr <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\overline{\\epsilon}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(6)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash |f(x)|\\lt 1 + |L| <\/span><\/span>; aus (5)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(7)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash |g(x)| - |M| \\lt |g(x) - M| \\lt \\overline{\\overline{\\epsilon}} \\lt 1 <\/span><\/span>; Dreiecksungleichung + Spezialfall f\u00fcr <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\overline{\\overline{\\epsilon}}<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(8)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash |g(x)| \\lt 1 + |M| <\/span><\/span>; Aus (7)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(9)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash |f(x)g(x) - LM|=|<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffa0; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)g(x) - Mf(x)<\/span><\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0a0ff; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">+ Mf(x) - LM<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|<\/span><\/span>; Null addieren<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash |f(x)g(x) - LM|=|<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffa0; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)(g(x) - M)<\/span><\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0a0ff; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">+ M (f(x) - L)<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|<\/span><\/span>; Faktorisieren<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(10)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash |f(x)g(x) - LM|\\leq |<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffa0; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)(g(x) - M)<\/span><\/span><\/span><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">| + |<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0a0ff; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M (f(x) - L)<\/span><\/span><\/span> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|<\/span><\/span>; Dreiecksungleichung (9)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash |f(x)g(x) - LM|\\leq <\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffa0; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|f(x)||g(x) - M|<\/span><\/span><\/span><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> + <\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0a0ff; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|M| |f(x) - L|<\/span><\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(11)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash |f(x)g(x) - LM|\\lt <\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffa0; color:#000000\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(1 + |L|)|g(x) - M|<\/span><\/span><\/span><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">+<\/span><\/span> <span style=\"background-color: #a0ffff;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|M|\\overline{\\epsilon}<\/span><\/span><\/span>; Aus (5,6,10)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(12)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left[ |g(x) - M|\\lt \\overline{\\overline{\\epsilon}} \\right] \\rightarrow \\left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\\overline{\\epsilon} \\lt (1+|L|)\\overline{\\overline{\\epsilon}} + |M|\\overline{\\epsilon}\\right]<\/span><\/span>; Aus (11)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(13)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left[ |g(x) - M|\\lt \\overline{\\overline{\\epsilon}} \\right] \\rightarrow \\left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\\overline{\\epsilon} \\lt (1+|L|)\\frac{|\\epsilon|}{2(|L|+1)} + |M|\\frac{|\\epsilon|}{2(|M|+1)}\\right]<\/span><\/span>; Aus (1,3,12)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left[ |g(x) - M|\\lt \\overline{\\overline{\\epsilon}} \\right] \\rightarrow \\left[ (1+|L|)|g(x) - M| + |M|\\overline{\\epsilon} \\lt \\frac{|\\epsilon|}{2} + \\frac{|\\epsilon||M|}{2(|M|+1)} \\lt \\frac{|\\epsilon|}{2}+ \\frac{|\\epsilon|}{2} = |\\epsilon| \\right]<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(14)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\left[ |g(x) - M|\\lt \\overline{\\overline{\\epsilon}} \\right] \\rightarrow \\left[ |f(x)g(x) - LM|\\lt |\\epsilon| \\right]<\/span><\/span>; Aus (11,13)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(15)<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash (\\forall \\epsilon \\gt 0 ) (\\exists \\delta \\gt 0 ) \\left(0 \\lt |x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |f(x)g(x) - LM|\\lt |\\epsilon| \\leq \\epsilon \\right) <\/span><\/span>; Aus (1,2,4,14)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}\\vdash \\lim_{x\\to x_0}f(x)g(x) = LM.<\/span><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h4>Grenzwert der konstanten Funktion<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=3450s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Der Grenzwert der konstanten Funktion<\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)=c<\/span><\/span> ist die Konstante <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span><\/span>. Das hei\u00dft:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}c = c<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000080;\"><strong>Beweis<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Beweis hierf\u00fcr ist tats\u00e4chlich einfach, denn es handelt sich um eine Tautologie. Man wei\u00df bereits:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}c = c := (\\forall\\epsilon\\gt 0) (\\exists \\delta \\gt 0)(0\\lt|x-x_0|\\lt \\delta \\rightarrow |c-c|\\lt \\epsilon)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aber es gilt, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0=|c-c|\\lt \\epsilon<\/span><\/span> eine Tautologie f\u00fcr jedes positive Epsilon ist, sodass auch die Implikation eine Tautologie ist und folglich der Ausdruck <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}c = c <\/span><\/span> ebenfalls eine Tautologie darstellt.<\/p>\n<h4>Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=3563s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Nun sind wir in der Lage, die Regel f\u00fcr den Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen zu beweisen.<\/strong><\/a> Diese lautet:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}\\frac{f(x)}{g(x)}= \\frac{L}{M}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dabei setzen wir wie bei den vorherigen Eigenschaften voraus, dass folgendes Pr\u00e4missenset gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\mathcal{H}=\\{\\lim_{x\\to x_0}f(x) = L, \\lim_{x\\to x_0}g(x) = M\\}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000080;\"><strong>Beweis<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Gl\u00fccklicherweise m\u00fcssen wir jetzt keine so ausf\u00fchrlichen Beweise mehr f\u00fchren wie bisher, da wir nun die zuvor bewiesenen Resultate direkt anwenden k\u00f6nnen. Doch zuvor zeigen wir zun\u00e4chst, dass<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}\\frac{1}{g(x)} = \\frac{1}{M}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um dies zu beweisen, gen\u00fcgt es, die Regel f\u00fcr den Grenzwert eines Produkts und den Grenzwert einer konstanten Funktion zu kombinieren \u2013 wir m\u00fcssen lediglich darauf achten, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x)<\/span><\/span> nicht null ist:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle 1 = \\lim_{x\\to x_0}\\left( 1 \\right) \\lim_{x\\to x_0}\\left( g(x) \\cdot \\frac{1}{g(x)} \\right) = \\lim_{x\\to x_0}g(x) \\cdot \\lim_{x\\to x_0} \\frac{1}{g(x)} = M \\cdot \\lim_{x\\to x_0} \\frac{1}{g(x)}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">Daraus folgt: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\frac{1}{g(x)} = \\frac{1}{M}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Schlie\u00dflich ergibt sich nach der Regel f\u00fcr den Grenzwert eines Produkts:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x\\to x_0} f(x) \\frac{1}{g(x)}= L \\cdot\\frac{1}{M} = \\frac{L}{M}<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies gilt, solange <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M<\/span><\/span> ungleich null ist.<\/p>\n<h4>Grenzwert einer nat\u00fcrlichen Potenz<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=3725s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Diese Eigenschaft besagt,<\/strong><\/a> dass, wenn <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x_0 \\to x_0}f(x) = L<\/span><\/span>, dann gilt auch: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\forall n \\in \\mathbb{N}\\right) \\left( \\lim_{x\\to x_0} \\left( [f(x)]^n \\right) = L^n \\right)<\/span><\/span>. Dies l\u00e4sst sich durch vollst\u00e4ndige Induktion beweisen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000080;\"><strong>Beweis:<\/strong><\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><strong>Fall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n=1<\/span><\/span>:<\/strong> (Induktionsanfang)\n<p style=\"text-align: justify;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} [f(x)]^1 = \\lim_{x\\to x_0} f(x) = L.<\/span><\/span> Damit ist der Induktionsanfang abgeschlossen \u2705<\/p>\n<\/li>\n<li><strong>Fall <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n=k<\/span><\/span>:<\/strong> (Induktionsschritt)\n<p style=\"text-align: justify;\">Angenommen, es gilt: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} [f(x)]^k = L^k <\/span><\/span> (Induktionsvoraussetzung). Wir zeigen nun, dass daraus folgt: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L^{k+1} <\/span><\/span>.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Es gilt: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} [f(x)]^{k+1} = \\lim_{x\\to x_0} \\{f(x) [f(x)]^k\\} = \\lim_{x\\to x_0}f(x) \\lim_{x\\to x_0} [f(x)]^{k} =L \\lim_{x\\to x_0} [f(x)]^{k}<\/span><\/span>. Dies folgt aus der zuvor bewiesenen Regel f\u00fcr den Grenzwert eines Produkts.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nach der Induktionsvoraussetzung gilt dann: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} [f(x)]^{k+1} = L \\lim_{x\\to x_0} [f(x)]^{k} =L\\cdot L^k = L^{k+1}.<\/span><\/span> Damit ist der Induktionsschritt abgeschlossen \u2705<\/p>\n<\/li>\n<li>Somit gilt: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\forall n \\in \\mathbb{N}\\right) \\left( \\lim_{x\\to x_0} \\left( [f(x)]^n \\right) = L^n \\right). <\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h4>Grenzwert einer n-ten Wurzel<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=3912s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Analog zur Potenz gilt, dass<\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\forall n \\in \\mathbb{N}\\right) \\left( \\lim_{x\\to x_0} \\sqrt[n]{f(x)} = \\sqrt[n]{L} \\right) <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000080;\"><strong>Beweis:<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Unter Anwendung der zuvor bewiesenen Potenzregel ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle L= \\lim_{x\\to x_0} f(x)=\\lim_{x\\to x_0} \\left[\\sqrt[n]{f(x)}\\right]^n = \\left[ \\lim_{x\\to x_0} \\sqrt[n]{f(x)}\\right]^n <\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">Daraus folgt: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\sqrt[n]{f(x)} =\\sqrt[n]{L}.<\/span><\/span><\/p>\n<h4>Grenzwert von Potenzen mit rationalem Exponenten<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=4007s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Mit der vereinten Kraft der letzten beiden Beweise<\/strong><\/a> k\u00f6nnen wir unseren letzten Beweis abschlie\u00dfen. Er lautet: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\forall p,q\\neq 0 \\in \\mathbb{Z}\\right) \\left( \\lim_{x\\to x_0} \\left[f(x)\\right]^{\\frac{p}{q}} = L^{\\frac{p}{q}} \\right). <\/span><\/span> Dieser folgt aus der Produktregel, da <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle [f(x)]^{\\frac{p}{q}} =[\\sqrt[q]{f(x)}]^p <\/span><\/span> und <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle L^{\\frac{p}{q}} =[\\sqrt[q]{L}]^p. <\/span><\/span><\/p>\n<h4>Grenzwert <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}x = x_0<\/span><\/span><\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=4073s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Mit diesem Beweis schlie\u00dfen wir diese Reihe von Beweisen ab,<\/strong><\/a> und gemeinsam mit den vorherigen sind wir nun in der Lage, viele Grenzwerte fast intuitiv zu berechnen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Es ist leicht zu zeigen, dass <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}x = x_0<\/span><\/span>, denn damit dies gilt, muss erf\u00fcllt sein:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall \\epsilon \\gt 0) (\\exists \\delta \\gt 0)(0\\lt |x-x_0|\\lt \\delta\\rightarrow |x-x_0|\\lt \\epsilon)<\/span><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Gem\u00e4\u00df der Definition des Grenzwerts muss es f\u00fcr jedes Epsilon mindestens ein Delta geben, sodass die restlichen Bedingungen erf\u00fcllt sind. Es gen\u00fcgt also, ein solches Delta anzugeben, um zu verifizieren, dass der Grenzwert tats\u00e4chlich der angegebene ist. Und das ist offensichtlich, denn jede Wahl von <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\delta\\leq\\epsilon<\/span><\/span> erf\u00fcllt diese Bedingung. Somit gilt: <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}x = x_0.<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h2>Berechnung einfacher Grenzwerte<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=FEPfoAfPsFY&amp;t=4155s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Dank all dieser soeben behandelten Theoreme<\/strong><\/a> l\u00e4sst sich eine gro\u00dfe Vielfalt an Grenzwerten auf ziemlich intuitive Weise berechnen, fast so, als ob man einfach die Funktion auswerten w\u00fcrde. Hier siehst du einige Beispiele:<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li>\n<span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{}\\\\ \\begin{array}{rl}\n\n \\displaystyle \\lim_{x\\to 2}(x^2 + 4x) &amp; = \\displaystyle \\lim_{x\\to 2}(x^2) + \\lim_{x\\to 2}(4x) \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\left(\\lim_{x\\to 2} x \\right)^2 + 4\\lim_{x\\to 2} x \\\\ \\\\\n\n&amp; = (2)^2 + 8 = 12\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{} \\\\ \\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\lim_{x\\to 1}\\left.\\frac{(3x-1)^2}{(x+1)^3} \\right. &amp; = \\displaystyle \\frac{(3(1)-1)^2}{((1)+1)^3} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\n\n\\end{array}\n\n<\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{} \\\\ \\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\lim_{x\\to 2} \\frac{x-2}{x^2 - 4} &amp;= \\displaystyle \\lim_{x\\to 2} \\frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\lim_{x\\to 2} \\frac{1}{x+2} = \\dfrac{1}{4}\n\n\\end{array}\n\n <\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{} \\\\ \\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\lim_{h\\to 0} \\frac{(x+h)^3-x^3}{h} &amp;= \\displaystyle \\lim_{h\\to 0} \\frac{x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 -x^3}{h} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle\\lim_{h\\to 0} \\frac{3x^2 h + 3xh^2}{h} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\displaystyle \\lim_{h\\to 0} 3x^2 + 3xh = 3x^2\n\n\\end{array}\n\n <\/span><\/span><\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{} \\\\ \\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\lim_{x\\to 1} \\frac{x-1}{\\sqrt{x^2 + 3} - 2 } &amp;=\\displaystyle \\lim_{x\\to 1} \\frac{x-1}{\\sqrt{x^2 + 3} - 2 } \\frac{\\sqrt{x^2 + 3} + 2}{\\sqrt{x^2 + 3} + 2} \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle \\lim_{x\\to 1} \\frac{(x-1)(\\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x^2 + 3) - 4 } \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle \\lim_{x\\to 1} \\frac{(x-1)(\\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{x^2 -1 } \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle \\lim_{x\\to 1} \\frac{(x-1)(\\sqrt{x^2 + 3} + 2)}{(x-1)(x+1) } \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle \\lim_{x\\to 1} \\frac{\\sqrt{x^2 + 3} + 2}{ x+1 } \\\\ \\\\\n\n&amp; =\\displaystyle \\frac{2+2}{2} =2\n\n\\end{array}<\/span><\/span><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen Zusammenfassung: In dieser Lektion wird die formale Definition des Grenzwerts von Funktionen einer reellen Variablen eingehend behandelt. Auf dieser Grundlage werden die wichtigsten Eigenschaften bewiesen, die zur Algebra der Grenzwerte f\u00fchren. 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