{"id":33750,"date":"2021-05-05T13:00:15","date_gmt":"2021-05-05T13:00:15","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33750"},"modified":"2025-07-30T22:43:32","modified_gmt":"2025-07-30T22:43:32","slug":"kegelschnitte-charakterisierung-und-grafische-darstellung-von-parabeln-ellipsen-und-hyperbeln","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/kegelschnitte-charakterisierung-und-grafische-darstellung-von-parabeln-ellipsen-und-hyperbeln\/","title":{"rendered":"Kegelschnitte: Charakterisierung und grafische Darstellung von Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Kegelschnitte: Charakterisierung und Darstellung von Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln<\/h1>\n<p><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Unterrichtseinheit behandeln wir die Kegelschnitte (Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln), beginnend mit ihren kanonischen und allgemeinen Gleichungen. Es wird erkl\u00e4rt, wie jede Kurve identifiziert und charakterisiert wird, mit einem besonderen Fokus auf Schl\u00fcsselelemente wie Scheitelpunkt, Brennpunkt und Symmetrieachse bei Parabeln sowie auf die Unterscheidung zwischen Ellipsen und Hyperbeln anhand der Vorzeichen ihrer Koeffizienten.<br \/>\n<\/em><br \/>\n<strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Student in der Lage sein,<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Die<\/strong> kanonischen Gleichungen der Kegelschnitte (Parabeln, Ellipsen, Hyperbeln) <strong>zu erkennen<\/strong><\/li>\n<li><strong>Jede<\/strong> der Eigenschaften der Kegelschnitte <strong>zu berechnen<\/strong>: Halbachsenl\u00e4ngen, Brennweite, Leitlinie usw.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>INHALTSVERZEICHNIS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Kegelschnitte<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">\u00dcberblick \u00fcber Parabeln<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">\u00dcberblick \u00fcber Ellipsen und Hyperbeln<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Charakterisierung der Ellipse<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Charakterisierung der Hyperbel<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Gel\u00f6ste Aufgaben<\/a>\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/d21_9EHUv_M\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Kegelschnitte<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=d21_9EHUv_M&amp;t=126s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Als Kegelschnitte bezeichnet man alle<\/strong><\/a> Kurven, die durch das Schneiden einer Kegeloberfl\u00e4che mit einer Ebene entstehen. Zur Familie der Kegelschnitte geh\u00f6ren Kreise und Ellipsen sowie Hyperbeln \u2013 alles Kurven, die wir bereits kennengelernt haben.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-5eckvpNxzlg\/YJJimcxkMYI\/AAAAAAAAFEA\/dfGTvXblcD4dZXSjpWvonYFN8O0EMNqtwCLcBGAsYHQ\/s0\/curvas-conicas-secciones-cono.png\" alt=\"Kegelschnitte\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"531\" height=\"272\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-5eckvpNxzlg\/YJJimcxkMYI\/AAAAAAAAFEA\/dfGTvXblcD4dZXSjpWvonYFN8O0EMNqtwCLcBGAsYHQ\/s0\/curvas-conicas-secciones-cono.png\" alt=\"Kegelschnitte\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"531\" height=\"272\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun machen wir eine Wiederholung der Techniken zur Erkennung und Charakterisierung jeder dieser Kurven. Wir konzentrieren uns insbesondere auf die kanonischen Formen, da diese am h\u00e4ufigsten vorkommen und explizit am wenigsten Informationen preisgeben. Die allgemeinen Gleichungen hingegen offenbaren von sich aus fast die gesamte geometrische Charakterisierung.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcberblick \u00fcber Parabeln<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=d21_9EHUv_M&amp;t=160s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Jede Parabel wird dargestellt<\/strong><\/a> durch eine Gleichung der Form<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=ax^2 + bx + c,<\/span> wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">In diesem Zusammenhang erhalten wir:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Koordinaten des Scheitelpunkts: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle (x_0, y_0)=\\left( -\\dfrac{b}{2a}, c - \\dfrac{b^2}{4a} \\right)<\/span><\/li>\n<li>Brennweite: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle f=\\dfrac{1}{4a}<\/span><\/li>\n<li>Koordinaten des Brennpunkts: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle Fokus=\\left( -\\dfrac{b}{2a}, c - \\dfrac{b^2}{4a} + f \\right) =\\left( -\\dfrac{b}{2a}, c + \\dfrac{1- b^2}{4a} \\right)<\/span><\/li>\n<li>Gleichung der Leitlinie: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle y= c - \\dfrac{b^2}{4a} - f = c - \\dfrac{1+b^2}{4a}<\/span><\/li>\n<li>Gleichung der Symmetrieachse: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle x= -\\dfrac{b}{2a} <\/span><\/li>\n<li>Schnittpunkte mit der x-Achse (falls vorhanden): <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle x_{1,2}= \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a} <\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Damit verf\u00fcgen wir \u00fcber alle notwendigen Informationen, um eine beliebige Parabel zu zeichnen.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcberblick \u00fcber Ellipsen und Hyperbeln<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=d21_9EHUv_M&amp;t=449s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Ellipsen und Hyperbeln haben, wie wir gesehen haben,<\/strong><\/a> eine kanonische Gleichung der Form:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dabei sind <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> von null verschiedene Konstanten, und gem\u00e4\u00df dem, was wir gelernt haben, gilt:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> haben dasselbe Vorzeichen, dann handelt es sich um eine Ellipse.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> haben entgegengesetzte Vorzeichen, dann handelt es sich um eine Hyperbel.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um beide F\u00e4lle klar zu trennen, schreiben wir:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha x^2+ \\beta x + \\gamma y^2 + \\delta y + \\epsilon = 0<\/span> ist eine Ellipse.<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha x^2+ \\beta x - \\gamma y^2 + \\delta y + \\epsilon = 0<\/span> ist eine Hyperbel.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dabei sind <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha, \\beta, \\gamma, \\delta<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon<\/span> beliebige reelle Zahlen, wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span> stets positiv sind. Diese Schreibweise erm\u00f6glicht es, beide F\u00e4lle klar zu unterscheiden. Daraus lassen sich die folgenden Folgerungen ableiten:<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Charakterisierung der Ellipse<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=d21_9EHUv_M&amp;t=552s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Ausgehend von der kanonischen Gleichung<\/strong><\/a> ergibt sich folgende Herleitung:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"50\">(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha x^2+ \\beta x + \\gamma y^2 + \\delta y + \\epsilon = 0<\/span><\/td>\n<td>; kanonische Gleichung der Ellipsen.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\left( x^2+ \\dfrac{\\beta}{\\alpha }x\\right) + \\gamma \\left(y^2 + \\dfrac{\\delta}{\\gamma }y\\right) =- \\epsilon<\/span><\/td>\n<td>; Ausklammern und Umgruppieren der Terme<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2 + \\gamma \\left(y + \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2 =\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon<\/span><\/td>\n<td>; quadratische Erg\u00e4nzung und Umgruppierung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\dfrac{\\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2}{\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} + \\gamma \\dfrac{\\left(y + \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2}{\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} = 1<\/span><\/td>\n<td>; Division durch <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2}{\\dfrac{1}{\\alpha }\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} + \\dfrac{\\left(y + \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2}{\\dfrac{1}{ \\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} = 1<\/span><\/td>\n<td>; Umordnung von <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left( \\dfrac{ x - \\left(-\\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)}{\\sqrt{\\dfrac{1}{\\alpha}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}}\\right)^2 + \\left( \\dfrac{y - \\left(-\\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)}{\\sqrt{\\dfrac{1}{\\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}}\\right)^2 = 1<\/span><\/td>\n<td>; Umformung mit Wurzeln<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im Verlauf dieser Herleitung ist insbesondere Schritt (3) heikel, da der Koeffizient <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon<\/span> negativ sein k\u00f6nnte \u2013 in diesem Fall existiert die Ellipse nicht.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Erinnern wir uns daran, dass die allgemeine Gleichung der Ellipsen folgende Form hat:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left( \\dfrac{x-h}{a} \\right)^2 + \\left(\\dfrac{y-k}{b} \\right)^2 = 1<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Mit diesem letzten Ergebnis haben wir nun eine direkte Beziehung zwischen den Parametern der allgemeinen Formel, die es uns erlaubt, alle Informationen aus dem kanonischen Ausdruck zu erschlie\u00dfen:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Koordinaten des Zentrums: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle (h,k) = \\left( -\\dfrac{\\beta}{2\\alpha}, -\\dfrac{\\delta}{2\\gamma}\\right)<\/span><\/li>\n<li>L\u00e4nge der horizontalen Halbachse: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle a = \\sqrt{\\dfrac{1}{\\alpha}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}<\/span><\/li>\n<li>L\u00e4nge der vertikalen Halbachse: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle b = \\sqrt{\\dfrac{1}{\\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } + \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Damit ist es nun m\u00f6glich, eine Ellipse direkt aus ihrer kanonischen Form zu erkennen und zu zeichnen. Ihre Darstellung sieht wie folgt aus:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-aVD7YQ7DfL0\/YJKBv9QXeTI\/AAAAAAAAFEQ\/urCuFtrn-YYBQ_fVSGXsmhMqExFumag-ACLcBGAsYHQ\/s0\/elipse.PNG\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"414\" height=\"291\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-aVD7YQ7DfL0\/YJKBv9QXeTI\/AAAAAAAAFEQ\/urCuFtrn-YYBQ_fVSGXsmhMqExFumag-ACLcBGAsYHQ\/s0\/elipse.PNG\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"414\" height=\"291\" \/><\/noscript><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Charakterisierung der Hyperbel<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=d21_9EHUv_M&amp;t=911s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>In ganz analoger Weise kann man<\/strong><\/a> aus der kanonischen Gleichung die vollst\u00e4ndige Charakterisierung der Hyperbeln ableiten. Tats\u00e4chlich ist die Analyse so \u00e4hnlich, dass ich die Analyse der Ellipsen kopiere und nur einige Teile anpasse.<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"50\">(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha x^2+ \\beta x - \\gamma y^2 + \\delta y + \\epsilon = 0<\/span><\/td>\n<td>; kanonische Gleichung der Hyperbeln.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\left( x^2+ \\dfrac{\\beta}{\\alpha }x\\right) - \\gamma \\left(y^2 - \\dfrac{\\delta}{\\gamma }y\\right) =- \\epsilon<\/span><\/td>\n<td>; Ausklammern und Umgruppieren der Terme<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2 - \\gamma \\left(y - \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2 =\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon<\/span><\/td>\n<td>; quadratische Erg\u00e4nzung und Umgruppierung<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\alpha \\dfrac{\\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2}{\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} - \\gamma \\dfrac{\\left(y - \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2}{\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} = 1<\/span><\/td>\n<td>; Division durch <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\left( x + \\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)^2}{\\dfrac{1}{\\alpha}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} - \\dfrac{\\left(y - \\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)^2}{\\dfrac{1}{\\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)} = 1<\/span><\/td>\n<td>; Umordnung der Terme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\gamma<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(6)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left( \\dfrac{ x - \\left(-\\dfrac{\\beta}{2 \\alpha }\\right)}{\\sqrt{\\dfrac{1}{\\alpha}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}}\\right)^2 - \\left( \\dfrac{y - \\left(\\dfrac{\\delta}{2 \\gamma } \\right)}{\\sqrt{\\dfrac{1}{\\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}}\\right)^2 = 1<\/span><\/td>\n<td>; Umformung mit Wurzeln<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Daraus ergibt sich nun ein direkter Zusammenhang zwischen der kanonischen Gleichung und der Gleichung der Hyperbeln, die es uns erm\u00f6glicht, deren Graphen schnell zu erstellen.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\dfrac{x-h}{a} \\right)^2 - \\left(\\dfrac{y-k}{b} \\right)^2 =1 <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im Unterschied zu den Ellipsen ist es hier jedoch korrekter, von einer \u201egenerierenden Box\u201c zu sprechen, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Koordinaten des Zentrums: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle (h,k) = \\left( -\\dfrac{\\beta}{2\\alpha}, \\dfrac{\\delta}{2\\gamma}\\right)<\/span><\/li>\n<li>L\u00e4nge der horizontalen Halbachse: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle a = \\sqrt{\\dfrac{1}{\\alpha}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}<\/span><\/li>\n<li>L\u00e4nge der vertikalen Halbachse: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle b = \\sqrt{\\dfrac{1}{\\gamma}\\left(\\dfrac{\\beta^2}{4\\alpha } - \\dfrac{\\delta^2}{4\\gamma } - \\epsilon\\right)}<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-bd0n_BuEFiE\/YJKJ1fPDhMI\/AAAAAAAAFEY\/-QjR2QbycSkKJihjHnwmdIDESYgNDyuBgCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola.PNG\" alt=\"Hyperbel\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"428\" height=\"305\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-bd0n_BuEFiE\/YJKJ1fPDhMI\/AAAAAAAAFEY\/-QjR2QbycSkKJihjHnwmdIDESYgNDyuBgCLcBGAsYHQ\/s0\/hiperbola.PNG\" alt=\"Hyperbel\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"428\" height=\"305\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Mit den Ergebnissen dieser Analysen k\u00f6nnen wir nun jedes Mitglied der Familie der Kegelschnitte ohne besondere Schwierigkeiten grafisch darstellen.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Gel\u00f6ste Aufgaben<\/h2>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/PKjQrcC0HG4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Kegelschnitte: Charakterisierung und Darstellung von Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln Zusammenfassung: In dieser Unterrichtseinheit behandeln wir die Kegelschnitte (Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln), beginnend mit ihren kanonischen und allgemeinen Gleichungen. 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