{"id":33675,"date":"2021-03-30T13:00:12","date_gmt":"2021-03-30T13:00:12","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33675"},"modified":"2025-07-30T18:49:03","modified_gmt":"2025-07-30T18:49:03","slug":"faktorisierung-des-quadratischen-und-des-2n-quadratischen-polynoms","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/faktorisierung-des-quadratischen-und-des-2n-quadratischen-polynoms\/","title":{"rendered":"Faktorisierung des quadratischen und des (2n)-quadratischen Polynoms"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Faktorisierung des quadratischen und des (2n)-quadratischen Polynoms<\/h1>\n<p><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Lektion untersuchen wir detailliert den Prozess der Faktorisierung von quadratischen Polynomen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^2 + bx + c<\/span> und (2n)-quadratischen Polynomen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^{2n} + bx^n + c<\/span>, wobei wir sie in einfache Faktoren zerlegen. Die Verfahren werden mathematisch entwickelt und durch praktische Beispiele veranschaulicht.<\/em><\/p>\n<p><strong>Lernziele<\/strong><\/p>\n<ol style=\"text-align: left;\">\n<li><strong>Lernen,<\/strong> wie man quadratische Polynome der Form <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^2 + bx + c<\/span> faktorisiert.<\/li>\n<li><strong>Herleiten<\/strong> und Anwenden der quadratischen Formel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x = \\displaystyle \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<\/span>, um die Nullstellen zu finden.<\/li>\n<li><strong>Anwenden<\/strong> von Faktorisierungstechniken auf (2n)-quadratische Polynome der Form <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^{2n} + bx^n + c<\/span>.<\/li>\n<li><strong>Erkennen<\/strong> der notwendigen Bedingungen zur Faktorisierung quadratischer Polynome.<\/li>\n<li><strong>Verwenden<\/strong> der Methode der quadratischen Erg\u00e4nzung im Faktorisierungsprozess.<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>INHALTSVERZEICHNIS:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Einleitung<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Quadratisches Polynom und (2n)-quadratisches Polynom<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Faktorisierung des quadratischen Polynoms<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Erweiterung zur Faktorisierung des bikvadratischen Polynoms<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Beispielaufgaben<\/a>\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p><center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ddTfUR7QBfY\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Einleitung<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das Erlernen der Faktorisierung quadratischer Polynome ist der erste Schritt, um viele andere Faktorisierungstechniken zu studieren. Deshalb werden wir diese Methode gr\u00fcndlich untersuchen und ihre Anwendung so weit wie m\u00f6glich erweitern. Am Ende wirst du nicht nur gelernt haben, ein quadratisches Polynom (zweiten Grades) zu faktorisieren, sondern du wirst dieselben Techniken auch verwenden, um jedes (2n)-quadratische Polynom zu faktorisieren.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Quadratisches Polynom und (2n)-quadratisches Polynom<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ddTfUR7QBfY&amp;t=96s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Ein quadratisches Polynom ist ein Polynom zweiten Grades.<\/strong><\/a> Daraus folgt, dass ein quadratisches Polynom jede Funktion der Form ist:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^{2}+bx +c <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{R}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span>. Unser Studium konzentriert sich jedoch nicht nur auf die Faktorisierung von Polynomen in dieser Form, sondern wir zielen auf eine verallgemeinerte Form ab, deren Spezialfall das quadratische Polynom ist. Wir sprechen vom (2n)-quadratischen Polynom. Diese Verallgemeinerung umfasst alle Polynome, die sich in der Form schreiben lassen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^{2n}+bx^n +c <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">wobei neben der Annahme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{R}<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\neq 0<\/span> auch ein beliebiges <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\in\\mathbb{N}<\/span> gew\u00e4hlt wird. Beispiele f\u00fcr diese Art von Polynom w\u00e4ren:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 3x^2 -x + 1<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">und so weiter im Allgemeinen.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Faktorisierung des quadratischen Polynoms<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ddTfUR7QBfY&amp;t=193s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Wie wir bereits gesehen haben, hat ein Polynom zweiten Grades die allgemeine Form<\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^{2}+bx +c \\;\\; , \\;\\; a\\neq 0 <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Faktorisierung ist der Prozess, bei dem ein komplexes Polynom in das Produkt zweier einfacherer Polynome zerlegt wird. Wenn eine Faktorisierung m\u00f6glich ist, dann existieren Konstanten <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha,\\beta,\\gamma,\\delta \\in\\mathbb{R}<\/span>, mit <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha, \\gamma \\neq 0<\/span>, so dass gilt:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = ax^2 + bx + c <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">= (\\alpha x + \\beta)(\\gamma x + \\delta) <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">= \\alpha \\gamma \\left(x +\\displaystyle \\frac{\\beta}{\\alpha}\\right)\\left(x + \\frac{\\delta}{\\gamma}\\right) <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Da es sich um eine Gleichheit zwischen der linken und der rechten Seite handelt, gilt: Wenn eine Seite Null ist, muss zwangsl\u00e4ufig auch die andere Seite Null sein. Die rechte Seite wird Null, wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=-\\beta\/\\alpha<\/span> oder <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x=-\\delta\/\\gamma<\/span>. Sehen wir nun, f\u00fcr welche Werte sich die linke Seite dieser Gleichung annulliert. Wir erhalten:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ax^2 + bx + c<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = 0<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ax^2 + bx <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = -c<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^2 + \\displaystyle \\frac{b}{a}x <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = - \\displaystyle \\frac{c}{a}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right; background-color: #ffc0c0;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^2 + \\displaystyle \\frac{b}{a}x + \\frac{b^2}{4a^2}<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left; background-color: #ffc0c0;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> =\\displaystyle \\frac{b^2}{4a^2} -\\frac{c}{a} = \\frac{ab^2 - 4a^2 c}{4a^3} = \\frac{b^2 - 4ac }{4a^2}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(x + \\displaystyle \\frac{b}{2a}\\right)^2<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = \\displaystyle \\frac{b^2 - 4ac }{4a^2} <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x + \\displaystyle \\frac{b}{2a} <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = \\pm \\sqrt{\\displaystyle \\frac{b^2 - 4ac }{4a^2}} = \\frac{\\pm\\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: right; background-color: #a0ffa0;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x <\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: left; background-color: #a0ffa0;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> = \\displaystyle \\frac{-b \\pm\\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} <\/span> \u2705<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aus diesem Argument folgt, dass die griechischen Buchstaben in der Faktorisierung (ohne Allgemeing\u00fcltigkeit einzub\u00fc\u00dfen) die folgenden Bedingungen erf\u00fcllen m\u00fcssen:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha\\gamma = a<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\beta}{\\alpha} = - \\left(\\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \\right)<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\delta}{\\gamma} = - \\left(\\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} \\right)<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Damit haben wir eine Technik, die es uns erm\u00f6glicht, jedes Polynom zweiten Grades zu faktorisieren. Falls dies nicht m\u00f6glich ist, wird dies durch die Zahl unter der Wurzel angezeigt: Ist diese negativ, so ist eine Faktorisierung (mit reellen Zahlen) nicht m\u00f6glich. All dies l\u00e4sst sich vereinfachen, indem wir folgende Notationskonvention einf\u00fchren:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1 =\\displaystyle \\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} <\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_2 =\\displaystyle \\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a} <\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies l\u00e4sst sich zusammenfassen in der altbew\u00e4hrten Formel:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{x_{1,2} = \\displaystyle \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}<\/span> \u2705<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Somit ergibt sich die Faktorisierung schlie\u00dflich in der Form:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{P(x) = ax^2 +bx + c = a(x-x_1)(x - x_2)}<\/span>\u2705<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Erweiterung zur Faktorisierung des bikvadratischen Polynoms<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ddTfUR7QBfY&amp;t=997s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Diese Technik kann auch zur Faktorisierung des bikvadratischen Polynoms<\/strong><\/a> wie folgt verwendet werden:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a(x^2)^2 + bx^2 + c =a (x^2 - x_1^2)(x^2-x_2^2) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x^2_{1,2} = \\displaystyle \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}<\/span>. Auf diese Weise kann man schreiben:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = ax^4 + bx^2 + c = a\\left(x^2 - \\displaystyle \\dfrac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\\right) \\left(x^2- \\dfrac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}\\right) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">An dieser Stelle ist Vorsicht geboten, denn das Folgende unterliegt gewissen Einschr\u00e4nkungen. Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_1^2<\/span> keine positive Zahl ist, dann kannst du die Differenz zweier Quadrate verwenden, um <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x^2 - x_1^2) = (x - x_1)(x + x_1)<\/span> zu schreiben; andernfalls triffst du auf komplexe Zahlen und kannst daher nicht mehr im Bereich der reellen Zahlen faktorisieren. Wenn die Wurzeln alle wohldefiniert sind, dann kann man schreiben:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\nQ(x) &amp;= ax^4 + bx^2 + c \\\\ \\\\\n\n     &amp; = a \\left(x -\\displaystyle \\sqrt{\\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\\right) \\left(x + \\displaystyle \\sqrt{\\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\\right) \\\\ \\\\\n\n&amp; \\left(x- \\displaystyle \\sqrt{\\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\\right) \\left(x+ \\sqrt{\\displaystyle \\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}}\\right)\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Andernfalls bricht man den Prozess im vorherigen Schritt ab.<\/p>\n<h3>Verallgemeinerung auf die Faktorisierung des (2n)-quadratischen Polynoms<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ddTfUR7QBfY&amp;t=1521s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Damit ist klar, worauf die Methode hinausl\u00e4uft: Um das (2n)-quadratische Polynom zu faktorisieren<\/strong><\/a>, muss man nur die Darstellung entsprechend anpassen und die vorherigen Methoden dort anwenden, wo die Wurzeln wohldefiniert sind. So ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R(x) = a(x^n)^{2}+b (x^n) +c = a(x^n-x_1^n)(x^n-x_2^n) <\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x^n_{1,2} =\\displaystyle \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}<\/span>. Anschlie\u00dfend trennt man durch Summe und Differenz, wo immer keine komplexen Zahlen auftreten.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Beispielaufgaben:<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Jetzt bist du an der Reihe, diese Techniken mit einigen Aufgaben auszuprobieren. Die folgenden Polynome wurden v\u00f6llig zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlt und eignen sich hervorragend, um die m\u00f6glichen Schwierigkeiten beim Faktorisieren solcher Ausdr\u00fccke zu erkennen.<\/p>\n<h3>Erste Runde<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Diese Polynome wurden zu Beginn dieses Abschnitts als Beispiele verwendet:<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 3x^2 -x + 1<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = 7x^4 +5x^2 + 3<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R(x) = -4x^6 +12x^3 + 2<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(x) = 21x^8 -75 x^4 -9<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<h3>Zweite Runde<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und hier sind noch ein paar etwas schwierigere Aufgaben:<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x) = 78x^2 -21x - 13<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x) = 27x^4 +5x^2 - 14<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">R(x) = 9x^6 +12x^3 - 16<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(x) = -9x^8 -2 x^4 + 10<\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T(x) = 5x^{12} -2 x^6 - 15<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<h3>L\u00f6sungen zu den Aufgaben<\/h3>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ilNTFyF7Hmo\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Faktorisierung des quadratischen und des (2n)-quadratischen Polynoms Zusammenfassung: In dieser Lektion untersuchen wir detailliert den Prozess der Faktorisierung von quadratischen Polynomen und (2n)-quadratischen Polynomen , wobei wir sie in einfache Faktoren zerlegen. 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