{"id":33638,"date":"2021-03-20T00:00:19","date_gmt":"2021-03-20T00:00:19","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33638"},"modified":"2025-07-29T07:22:25","modified_gmt":"2025-07-29T07:22:25","slug":"operationen-mit-natuerlichen-zahlen-und-ordnungsrelationen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/operationen-mit-natuerlichen-zahlen-und-ordnungsrelationen\/","title":{"rendered":"Operationen mit nat\u00fcrlichen Zahlen und Ordnungsrelationen"},"content":{"rendered":"<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\"><center><\/p>\n<h1>Operationen mit nat\u00fcrlichen Zahlen und Ordnungsrelationen<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn diesem Kurs werden wir uns eingehend mit den nat\u00fcrlichen Zahlen und ihren Grundoperationen befassen, beginnend mit dem Ursprung und den Eigenschaften von Addition, Multiplikation und Potenzierung im Zusammenhang mit den Peano-Axiomen. Wir werden wichtige Eigenschaften wie Kommutativit\u00e4t, Assoziativit\u00e4t, Distributivit\u00e4t sowie Regeln der Vereinfachung und der inversen Operation untersuchen. Wir werden die mathematische Induktion verwenden, um S\u00e4tze und Eigenschaften zu beweisen. Au\u00dferdem werden wir die Ordnungsrelation zwischen den nat\u00fcrlichen Zahlen analysieren, einschlie\u00dflich des Trichotomiesatzes sowie der Transitivit\u00e4ts- und Monotonieeigenschaften, mit praktischen \u00dcbungen, um diese Konzepte anzuwenden. Schlie\u00dflich werden wir die inversen Operationen (Subtraktion und Division) behandeln und die Potenzierung nat\u00fcrlicher Zahlen und deren Eigenschaften untersuchen.\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele:<\/strong><br \/>\nAm Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Lernende in der Lage sein:\n<\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">\n<ol>\n<li><strong>den Ursprung und die Eigenschaften der Grundoperationen mit nat\u00fcrlichen Zahlen zu verstehen.<\/strong><\/li>\n<li><strong>die Eigenschaften der Operationen mit nat\u00fcrlichen Zahlen anzuwenden, wie Kommutativit\u00e4t, Assoziativit\u00e4t, Distributivit\u00e4t und die Regeln f\u00fcr die Vereinfachung und die inverse Operation.<\/strong><\/li>\n<li><strong>die mathematische Induktion zur Demonstration einfacher Eigenschaften und S\u00e4tze anzuwenden.<\/strong><\/li>\n<li><strong>die Ordnungseigenschaften der nat\u00fcrlichen Zahlen zu analysieren, wie das Gesetz der Trichotomie und die Eigenschaften der Transitivit\u00e4t und der Monotonie.<\/strong><\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Der Ursprung der Grundoperationen der nat\u00fcrlichen Zahlen<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Die durch die Operationen der nat\u00fcrlichen Zahlen induzierte Ordnung<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Inverse Operationen: Subtraktion und Division nat\u00fcrlicher Zahlen<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Potenzen nat\u00fcrlicher Zahlen<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Vorgeschlagene und gel\u00f6ste Aufgaben<\/a>\n<\/p>\n<p><center><br \/>\n<iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/jKD71TjMC4s\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Obwohl die Operationen mit nat\u00fcrlichen Zahlen bekannt sind, ist es notwendig, dieses Wissen in etwas \u201emathematischeren\u201c Formen zusammenzufassen. Aus diesem Grund werden wir einen \u00dcberblick \u00fcber die Addition, Multiplikation und Potenzierung nat\u00fcrlicher Zahlen und deren Eigenschaften geben.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Der Ursprung der Grundoperationen der nat\u00fcrlichen Zahlen<\/h2>\n<h3>Additionsoperation<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=49s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Den Keim der Additionsoperation haben wir in der Stunde \u00fcber<\/strong><\/span><\/a>  <a href=\"http:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/los-numeros-naturales-y-los-axiomas-de-peano\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Die nat\u00fcrlichen Zahlen und die Peano-Axiome,<\/strong><\/a> behandelt, denn der Nachfolger einer nat\u00fcrlichen Zahl kann auch so dargestellt werden:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(n) = n+1<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie wir sagten, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \\cdots <\/span><\/bdi> und so weiter, k\u00f6nnen wir die Addition als aufeinanderfolgende Anwendung der Nachfolgeroperation interpretieren.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n+1 =S(n),<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n+2 =S(S(n)),<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n+3 =S(S(S(n))),<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vdots<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und im Allgemeinen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n+m = \\underbrace{S(S(\\cdots S(}_{m\\;veces} n)\\cdots)) <\/span><\/bdi><\/p>\n<h4>Eigenschaften der Addition<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{N},<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=131s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">dann k\u00f6nnen wir daraus die uns allen bekannten Eigenschaften der Addition gewinnen:<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td><strong>Kommutativit\u00e4t<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b=b+a<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td><strong>Assoziativit\u00e4t<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td><strong>Vereinfachung<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a+b=a+c \\leftrightarrow b=c <\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">All diese Eigenschaften k\u00f6nnen durch Induktion bewiesen werden, aber wir werden diese Arbeit \u00fcberspringen. Dennoch ermutige ich dich, dies als \u00dcbung der Induktionstechnik zu versuchen.<\/p>\n<h3>Multiplikationsoperation<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=230s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ebenso wird das Produkt nat\u00fcrlicher<\/span><\/strong><\/a>Zahlen als wiederholte Anwendung der Addition definiert. Daher haben wir<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\cdot m = \\underbrace{n+ n+ \\cdots + n}_{m\\;veces}<\/span><\/bdi><\/p>\n<h4>Eigenschaften des Produkts<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=251s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Und analog dazu<\/span><\/strong><\/a> k\u00f6nnen seine Eigenschaften abgeleitet werden<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td><strong>Kommutativit\u00e4t<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ab=ba<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td><strong>Assoziativit\u00e4t<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">abc=(ab)c=a(bc)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td><strong>Vereinfachung<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">ab=ac \\leftrightarrow b=c <\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und au\u00dferdem erh\u00e4lt die \u201e1\u201c der nat\u00fcrlichen Zahlen aus der Definition des Produkts die Eigenschaft, die sie zu einer <strong>Einheit<\/strong> macht:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td><strong>Einheit<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1a=a=a1<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h3>Kombination von Summe und Produkt<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn die Operationen Addition und Multiplikation kombiniert werden, erh\u00e4lt man das Distributivgesetz der Addition bez\u00fcglich der Multiplikation<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td><strong>Distributivit\u00e4t<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a(b+c)=ab+ac<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Die durch die Operationen der nat\u00fcrlichen Zahlen induzierte Ordnung<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aus den zuvor betrachteten Additions- und Multiplikationsoperationen wird auf den nat\u00fcrlichen Zahlen eine Ordnungsrelation induziert durch die folgenden Definitionen:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> ist kleiner als <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\lt b := (\\exists k \\in \\mathbb{N}) (a + k = b)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> ist gr\u00f6\u00dfer als <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span><\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b := (\\exists k \\in \\mathbb{N}) (a = b + k)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h3>Eigenschaften der Ordnung auf den nat\u00fcrlichen Zahlen<\/h3>\n<h4>Trichotomiegesetz<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=513s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Daraus folgt, dass nur eine und nur eine der folgenden drei Situationen eintreten kann:<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\lt b<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a = b<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b<\/span><\/bdi><\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn zum Beispiel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> nicht kleiner als <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> ist, dann muss eines von zwei Dingen zutreffen: entweder <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=b<\/span><\/bdi> oder <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b<\/span><\/bdi>, das hei\u00dft gr\u00f6\u00dfer oder gleich, und das schreibt man <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\geq b.<\/span><\/bdi>. Analog schreibt man <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\leq b.<\/span><\/bdi>, wenn es kleiner oder gleich ist.<\/p>\n<h4>Transitivit\u00e4tseigenschaft<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=625s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>beliebige nat\u00fcrliche Zahlen sind, gilt:<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[(a\\lt b) \\wedge (b\\lt c)] \\rightarrow (a\\lt c)<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Und analog:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[(a\\gt b) \\wedge (b\\gt c)] \\rightarrow (a\\gt c)<\/span><\/bdi><\/p>\n<h4>Monotonieeigenschaft<\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\">Es gibt eine Monotonieeigenschaft sowohl f\u00fcr die Addition als auch f\u00fcr die Multiplikation, diese lautet:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><strong>Monotonie der Addition<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a\\lt b) \\leftrightarrow (a+c \\lt b+c) <\/span><\/bdi><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a\\gt b) \\leftrightarrow (a+c \\gt b+c)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"><strong>Monotonie der Multiplikation<\/strong><br \/>\n<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a\\lt b) \\leftrightarrow (a c \\lt b c) <\/span><\/bdi><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a\\gt b) \\leftrightarrow (a c \\gt b c)<\/span><\/bdi><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Inverse Operationen: Subtraktion und Division nat\u00fcrlicher Zahlen<\/h2>\n<h3>Subtraktion nat\u00fcrlicher Zahlen<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{N}<\/span><\/bdi>, <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=782s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">sagen wir, dass die Differenz zwischen<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> (in dieser Reihenfolge), geschrieben <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a-b<\/span><\/bdi>, durch die Beziehung definiert wird<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a-b=c \\leftrightarrow a= b+c<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie man sieht, ist diese Beziehung nur dann wahr, wenn <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b<\/span><\/bdi>, denn es gibt kein <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\in \\mathbb{N}<\/span><\/bdi>, mit dem diese Beziehung erf\u00fcllt werden kann, falls <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\leq b.<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Durch die Definition der Subtraktion haben wir die bekannte Regel, dass das, was auf einer Seite der Gleichung addiert wird, auf die andere Seite subtrahiert werden kann, und umgekehrt.<\/p>\n<h3>Division nat\u00fcrlicher Zahlen<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,c\\in\\mathbb{N}<\/span><\/bdi>, <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=917s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>sagen wir, dass die Division zwischen<\/strong><\/span><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> (in dieser Reihenfolge), geschrieben <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\/b<\/span><\/bdi>, durch die Beziehung definiert wird<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\/b=c \\leftrightarrow a= bc<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Aus der Definition der Division haben wir die Regel, dass das, was auf einer Seite der Gleichung multipliziert wird, auf die andere Seite dividierend \u00fcbergehen kann, und umgekehrt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">So wie f\u00fcr das Bestehen der Subtraktion <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a - b<\/span><\/bdi> erf\u00fcllt sein muss, dass <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b<\/span><\/bdi>, ist f\u00fcr das Bestehen der Division <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\/b<\/span><\/bdi> erforderlich, dass <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> durch <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> \u201eteilbar\u201c ist. Dies stellen wir dar, indem wir schreiben<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> ist teilbar durch <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\; :=a|b \\; := \\; (\\exists k \\in \\mathbb{N})(a = kb)<\/span><\/bdi><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Potenzen nat\u00fcrlicher Zahlen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1020s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Mit den nat\u00fcrlichen Zahlen lassen sich Potenzen definieren.<\/strong> <\/span><\/a>Eine nat\u00fcrliche Zahl <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b,<\/span> die wir Basis nennen, zu einer anderen nat\u00fcrlichen Zahl <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n,<\/span> die wir Exponent nennen, zu erheben, bedeutet, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span>-mal zu multiplizieren. Somit<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^n = \\underbrace{bb\\cdots b}_{n\\;veces}<\/span><\/bdi><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Sind <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a,b,n,m\\in\\mathbb{N},<\/span><\/bdi> so k\u00f6nnen die folgenden Eigenschaften durch (doppelte) Induktion gezeigt werden:<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle b^nb^m=b^{n+m}<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{b^n}{b^m} = b^{n-m},<\/span><\/bdi> sofern <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n\\lt m<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle (ab)^n=a^nb^n<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left(\\frac{a}{b}\\right)^n = \\frac{a^n}{b^n}<\/span><\/bdi><\/li>\n<li><bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle (b^n)^m=b^{nm}<\/span><\/bdi><\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Vorgeschlagene und gel\u00f6ste Aufgaben<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Alle hier gezeigten Eigenschaften k\u00f6nnen mithilfe der mathematischen Induktion (einfach oder doppelt) bewiesen werden, aber ich habe sie nicht ausgef\u00fchrt, weil der resultierende Beweis f\u00fcr diese intuitiven Ergebnisse unn\u00f6tig lang ist. Wer diesem Unterricht folgt, kann jedoch versuchen, solche Beweise als \u00dcbung durchzuf\u00fchren. <strong>[Nur vorgeschlagen]<\/strong><\/li>\n<li>Ist es dasselbe <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^{n^m}<\/span><\/bdi> (definiert als <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^{(n^m)}<\/span><\/bdi>) wie <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(b^n)^m<\/span><\/bdi>? <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1298s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[L\u00f6sung]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li>Verwenden Sie die gesehenen Eigenschaften, um die folgenden Gleichungen zu \u00fcberpr\u00fcfen:<br \/>\n a) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd<\/span><\/bdi><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1556s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"> <span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00f6sung]<\/strong><\/span><\/a><\/br><br \/>\n b) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd,<\/span><\/bdi>; sofern <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\gt d<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1660s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00f6sung]<\/strong><\/span><\/a> <\/br><br \/>\n c)<bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd,<\/span><\/bdi>; sofern <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\gt b<\/span><\/bdi> und <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\gt d<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1730s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00f6sung]<\/strong><\/span><\/a>&nbsp;<\/li>\n<li>Zeigen Sie, dass <\/br><br \/>\n a) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1903s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00f6sung]<\/strong><\/span><\/a> <\/br><br \/>\n b) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2<\/span><\/bdi>; sofern <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\gt d<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1953s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00f6sung]<\/strong><\/span><\/a> <\/br><br \/>\n c) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a+b)(a-b) = a^2-b^2<\/span>; sofern <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\gt d<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=1978s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00f6sung]<\/strong><\/span><\/a> <\/br><br \/>\n d) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=2008s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00f6sung]<\/strong><\/span><\/a><\/br><br \/>\n e) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3<\/span><\/bdi>; sofern <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">c\\gt d<\/span><\/bdi><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=2124s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"> <strong>[L\u00f6sung]<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/li>\n<li>Beweisen Sie durch vollst\u00e4ndige Induktion die folgenden Eigenschaften:<\/br><br \/>\n a) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1+2+3+4+\\cdots+n = \\displaystyle \\frac{n(n+1)}{2}<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=2328s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00f6sung]<\/strong><\/span><\/a> <\/br><br \/>\n b) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1^2+2^2+3^2+4^2+\\cdots+n^2 = \\displaystyle \\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=2505s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00f6sung]<\/strong><\/span><\/a><\/br><br \/>\n c) <bdi><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1^3+2^3+3^3+4^3+\\cdots+n^3 = \\displaystyle \\frac{n^2(n+1)^2}{4}<\/span><\/bdi> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=jKD71TjMC4s&amp;t=2972s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>[L\u00f6sung]<\/strong><\/span><\/a>\n<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Operationen mit nat\u00fcrlichen Zahlen und Ordnungsrelationen Zusammenfassung: In diesem Kurs werden wir uns eingehend mit den nat\u00fcrlichen Zahlen und ihren Grundoperationen befassen, beginnend mit dem Ursprung und den Eigenschaften von Addition, Multiplikation und Potenzierung im Zusammenhang mit den Peano-Axiomen. 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