Eine erste Ann\u00e4herung an die Zahlenmengen – ToposUranos.com<\/title> <\/head> <body> <\/p>\n<div style=\"background-color:#F3F3F3; padding:20px;\">\n<center><\/p>\n<h1>Eine erste Ann\u00e4herung an die Zahlenmengen: Von den nat\u00fcrlichen zu den komplexen Zahlen<\/h1>\n<\/center><\/p>\nZusammenfassung:<\/strong><\/br>In dieser Stunde werden wir untersuchen, wie die nat\u00fcrlichen Zahlen als Grundlage f\u00fcr die Konstruktion anderer Zahlenmengen genutzt werden k\u00f6nnen, um bestimmte operationelle Begrenzungen zu \u00fcberwinden. Wir beginnen mit den ganzen Zahlen, die es uns erm\u00f6glichen, Subtraktionen umfassend durchzuf\u00fchren. Anschlie\u00dfend schreiten wir zu den rationalen Zahlen fort, die uns das Instrument der Division vollst\u00e4ndig bieten. Danach wenden wir uns den reellen Zahlen zu, um mit n-ten Wurzeln arbeiten zu k\u00f6nnen, und wir werden erw\u00e4hnen, wie die komplexen Zahlen eingef\u00fchrt werden, um spezifische Situationen mit n-ten Wurzeln zu behandeln. Durch diese Entwicklungen wird verst\u00e4ndlich, wie jede neue Zahlenmenge entsteht, um Probleme zu l\u00f6sen, die der vorherigen innewohnen.<\/em><\/p>\nLernziele<\/u>:<\/strong> Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Studierende in der Lage sein:<\/p>\n<ol>\n<li>Identifizieren<\/strong> die grundlegenden Eigenschaften der nat\u00fcrlichen, ganzen und rationalen Zahlen.<\/li>\n<li>Interpretieren<\/strong> die grundlegenden Eigenschaften und Operationen, die beim \u00dcbergang von einer Zahlenmenge zur n\u00e4chsten \u00fcbernommen oder ge\u00e4ndert werden.<\/li>\n<li>Vergleichen<\/strong> die Eigenschaften der verschiedenen Zahlenmengen und wie sie miteinander verbunden sind.<\/li>\n<\/ol>\nInhaltsverzeichnis<\/u><\/strong> \n<a href=\"#1\">Einleitung<\/a> \n<a href=\"#2\">Eigenschaften der nat\u00fcrlichen Zahlen<\/a> \n<a href=\"#3\">\u00dcbergang von den nat\u00fcrlichen zu den ganzen Zahlen<\/a> \n<a href=\"#4\">Der Sprung zu den rationalen Zahlen<\/a> \n<a href=\"#5\">Reelle und irrationale Zahlen<\/a> \n<a href=\"#6\">Die Komplexen: Der algebraische Abschluss der reellen Zahlen<\/a>\n<\/p>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/PfK-pIlyCj4\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center>\n<\/div>\n<a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Einleitung<\/h2>\n<div class=\"content\">\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=96s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Die reellen Zahlen zusammen mit anderen Zahlenmengen, die wir in diesem Unterricht untersuchen werden,<\/strong><\/span><\/a> werden durch die Erweiterung der nat\u00fcrlichen Zahlen eingef\u00fchrt. Es ist der Fall, dass man mit beliebigen zwei nat\u00fcrlichen Zahlen nicht immer Subtraktionen oder Divisionen durchf\u00fchren kann, und diese Erweiterungen sollen dieses Problem beheben.<\/p>\nW\u00e4hrend dieses Kurses werden wir die <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/operaciones-con-numeros-naturales\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Operationen und Eigenschaften der nat\u00fcrlichen Zahlen<\/strong><\/a> \u00fcberpr\u00fcfen und auf dieser Grundlage zur Konstruktion aller \u00fcbrigen Zahlenmengen voranschreiten, bis wir die reellen Zahlen erreichen und dar\u00fcber hinaus.<\/p>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Eigenschaften der nat\u00fcrlichen Zahlen<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=214s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Wenn wir die Operationen mit nat\u00fcrlichen Zahlen betrachten,<\/span><\/strong><\/a> beziehen wir uns haupts\u00e4chlich auf die Addition und die Multiplikation sowie auf ihre jeweiligen inversen Operationen. Im Folgenden werden diese Eigenschaften zusammengefasst:<\/p>\nGegeben a,b,c\\in\\mathbb{N},<\/span> gilt:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>1. <\/td>\n<td>a + b = b + a<\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left;\">\n<td>2. <\/td>\n<td>a \\pm (b \\pm c) = (a\\pm b)\\pm c <\/span> (en el caso de la resta, es v\u00e1lida siempre que est\u00e9 bien definida)<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left;\">\n<td>3. <\/td>\n<td>a\\cdot b = b \\cdot a <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left;\">\n<td>4. <\/td>\n<td>a\\cdot(b\\cdot c)= (a\\cdot b)\\cdot c <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left;\">\n<td>5.\\;\\;\\;\\;<\/span><\/td>\n<td>a\\cdot b = a \\leftrightarrow b=1 <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left;\">\n<td>6.<\/td>\n<td>\\displaystyle \\frac{a}{b}\\in\\mathbb{N} \\leftrightarrow (\\exists k\\in\\mathbb{N})(a=b\\cdot k) <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left;\">\n<td>7.<\/td>\n<td>a\\cdot(b+c)=a\\cdot b + a \\cdot c <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00dcbergang von den nat\u00fcrlichen zu den ganzen Zahlen<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=418s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Der erste zu beachtende Aspekt ist, dass im Falle der Summen:<\/span><\/strong><\/a> (\\forall a,b\\in\\mathbb{N})(a+b\\in\\mathbb{N})<\/span>, w\u00e4hrend f\u00fcr die Subtraktionen: (\\forall a,b\\in\\mathbb{N})(a+b\\in\\mathbb{N} \\leftrightarrow a\\gt b)<\/span>. Es entsteht ein Problem, wenn die Subtraktion zwischen zwei nat\u00fcrlichen Zahlen a<\/span> und b<\/span> keinen Sinn ergibt, wenn a\\leq b<\/span>; um diese Situation zu beheben, werden die nat\u00fcrlichen Zahlen zur Menge der ganzen Zahlen erweitert, in der Subtraktionen dieser Art einen wohldefinierten Wert annehmen. Wir bezeichnen diese neue Menge der ganzen Zahlen<\/strong> mit dem Buchstaben \\mathbb{Z}<\/span>; sie besteht aus allen nat\u00fcrlichen Zahlen, ihren additiven Inversen und der Null.<\/p>\n\\mathbb{Z} = \\{\\cdots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\\cdots \\}<\/span>\nDie ganzen Zahlen erben alle Eigenschaften und Operationen der nat\u00fcrlichen Zahlen, mit einer Erweiterung der zweiten Eigenschaft, und es werden die Begriffe des inversen und des neutralen Elements eingef\u00fchrt.<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: left;\">\n<td>2*.<\/td>\n<td>a \\pm (b \\pm c) = (a\\pm b) \\pm c <\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left;\">\n<td>8.<\/td>\n<td>(\\forall a\\in\\mathbb{Z})(\\exists ! b\\in\\mathbb{Z})(a+b=0 \\leftrightarrow b=-a)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: left;\">\n<td>9.<\/td>\n<td>(\\forall a\\in\\mathbb{Z})(\\exists ! b\\in\\mathbb{Z})(a+b=a \\leftrightarrow b=0)<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nDas Element b=-a<\/span> nennen wir das additive Inverse<\/strong> von a<\/span>.<\/p>\n<a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Der Sprung zu den rationalen Zahlen<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=755s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">An dieser Stelle ist die einzige Operation, die noch nicht korrekt definiert ist, die Division.<\/span><\/strong><\/a> Um dies zu l\u00f6sen, werden wir die Menge der ganzen Zahlen zur Menge der rationalen Zahlen erweitern, die durch die folgende Menge gegeben ist:<\/p>\n\\mathbb{Q}=\\left\\{a= \\displaystyle\\frac{n}{m}\\;|\\;n,m\\in\\mathbb{Z}\\wedge m\\neq 0 \\right\\}<\/span>\nDamit erh\u00e4lt man eine neue Eigenschaft<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>10.<\/td>\n<td>(\\forall a \\in \\mathbb{Q}\\setminus\\{0\\})(\\exists ! b \\in \\mathbb{Q})<\/span> \\left[(a\\cdot b = 1) \\leftrightarrow \\left( b = \\displaystyle \\frac{1}{a} = a^{-1} \\right)\\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td colspan=\"2\">Jede von null verschiedene rationale Zahl besitzt ein multiplikatives Inverses. Das multiplikative Inverses von a<\/span> ist a^{-1}<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nMit diesen Zahlen, Operationen und Eigenschaften werden neue Operationen samt ihren Eigenschaften definiert. Darin wird die n-te Potenz einer rationalen Zahl q<\/span> wie folgt definiert<\/p>\nq^n = \\underbrace{q\\cdot q \\cdot \\cdots \\cdot q}_{n\\;veces};<\/span> mit n\\in\\mathbb{N}<\/span>\nq^{-n}= \\displaystyle \\frac{1}{q^n}<\/span>\nBeachten wir, dass wir daraus, und solange q\\neq 0<\/span>, sagen k\u00f6nnen, dass<\/p>\nq^0 = 1<\/span>\nAu\u00dferdem werden, wann immer Divisionen durch Null auftreten, f\u00fcr zwei beliebige rationale Zahlen a,b<\/span> und zwei ganze Zahlen n,m<\/span> die folgenden Eigenschaften erf\u00fcllt:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>11.<\/td>\n<td>a^n \\cdot a^m = a^{n+m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>12.<\/td>\n<td>(a^n)^m = a^{n\\cdot m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>13.<\/td>\n<td>(a\\cdot b)^n = a^{n} \\cdot a^{m} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>14.<\/td>\n<td>\\left(\\displaystyle \\frac{a}{a}\\right)^n = \\frac{a^n}{a^n} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>15.<\/td>\n<td>\\displaystyle \\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} = \\frac{1}{a^{m-n}} <\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Reelle und irrationale Zahlen<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1031s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">So wie die Subtraktion (die Umkehrung der Addition) und die Division<\/span><\/strong><\/a> (die Umkehrung des Produkts) es erforderlich machten, die nat\u00fcrlichen Zahlen jeweils auf die ganzen und die rationalen zu erweitern, um wohldefinierte Operationen zu formen, geschieht \u00c4hnliches bei den Potenzen. Die inverse Operation zur n<\/span>-ten Potenz ist die n<\/span>-te Wurzel.<\/p>\n<h3>Definition der Wurzel<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1071s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Sei n<\/span> eine ganze Zahl gr\u00f6\u00dfer als 1<\/span><\/strong><\/a> und p,q<\/span> seien beliebige rationale Zahlen; die n<\/span>-te Wurzel von q<\/span> wird wie folgt definiert:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>16.<\/td>\n<td>q=0 \\rightarrow \\sqrt[n]{q} = 0<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>17.<\/td>\n<td>q \\gt 0 \\rightarrow \\left[ \\sqrt[n]{q} = p \\leftrightarrow p^n = q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>18.<\/td>\n<td> \\left[ q \\lt 0 \\wedge n {\\;es\\;impar} \\right]\\rightarrow \\left[ \\sqrt[n]{q} = p \\leftrightarrow p^n = q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nZusammengefasst ist die n<\/span>-te Wurzel von q<\/span> eine Zahl p<\/span>, so dass sie, wenn sie zur n<\/span>-ten Potenz erhoben wird, die Zahl q<\/span> zur\u00fcckgibt. In diesen F\u00e4llen, wenn n=2<\/span>, schreiben wir zur Vereinfachung \\sqrt{q}<\/span> anstelle von \\sqrt[2]{q}<\/span>.<\/p>\n<h3>Das Auftreten der irrationalen Zahlen<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1216s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">An diesem Punkt fragen wir uns<\/span><\/strong><\/a> ob die n-te Wurzel f\u00fcr alle Elemente von \\mathbb{Q}<\/span> wohldefiniert ist? Die Wahrheit ist, dass, obwohl es nicht so offensichtlich ist (im Vergleich zu dem, was wir bei Subtraktion und Division gesehen haben), es rationale Zahlen gibt, die keine rationale n-te Wurzel besitzen. Um dies zu sehen, gen\u00fcgt es, das folgende Beispiel zu betrachten:<\/p>\n\\sqrt{2}<\/span> ist keine rationale Zahl.<\/strong><\/em><\/p>\nBEWEIS<\/strong><\/p>\nWir werden dies durch einen Widerspruchsbeweis zeigen.<\/p>\nAngenommen, \\sqrt{2}<\/span> sei eine rationale Zahl, das hei\u00dft, es existieren p,q\\in\\mathbb{Z}<\/span> mit q\\neq 0,<\/span> so dass \\sqrt{2}=p\/q,<\/span> und der Bruch ist vollst\u00e4ndig gek\u00fcrzt. Dann k\u00f6nnen wir sagen, dass<\/p>\n2 = \\left(\\sqrt{2} \\right)^2 =\\displaystyle \\frac{p^2}{q^2} = <\/span> \\left(\\displaystyle \\frac{p}{q}\\right)^2<\/span>\n<\/span><\/p>\nDas steht aber im Widerspruch zu der Tatsache, dass p\/q<\/span> in irreduzibler Form geschrieben war (nun stellt sich heraus, dass (p\/q)^2<\/span> gek\u00fcrzt werden kann und sein Ergebnis 2 ist). Da die Annahme, dass \\sqrt{2}<\/span> rational ist, einen Widerspruch erzeugt, kann diese Zahl keine rationale Zahl sein und wir sagen folglich, dass sie irrational ist.<\/p>\n<h3>Die Erweiterung zu den reellen Zahlen<\/h3>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1514s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Diese Ergebnisse machen deutlich, dass,<\/span> <\/strong><\/a>um die n-te Wurzel korrekt zu definieren, es notwendig ist, die rationalen Zahlen zu einer neuen Menge zu erweitern, n\u00e4mlich der Menge der reellen Zahlen, die wir mit \\mathbb{R}<\/span> bezeichnen und die sowohl die rationalen als auch die irrationalen Zahlen enth\u00e4lt<\/p>\n\\mathbb{R}= \\mathbb{Q}\\cup \\mathbb{Q}^*<\/span>\n<a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Die Komplexen: Der algebraische Abschluss der reellen Zahlen<\/h2>\n<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=PfK-pIlyCj4&t=1532s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">An diesem Punkt m\u00fcssen wir zwei Dinge beachten:<\/span><\/strong><\/a> (1) wenn n<\/span> gerade ist, wird die n-te Wurzel mehrwertig, und (2) wenn wir au\u00dferdem versuchen, \\sqrt[n]{q}<\/span> mit q\\lt 0,<\/span> zu berechnen, werden wir sehen, dass eine solche Zahl keine reelle Zahl sein kann.<\/p>\nDas erste wird gel\u00f6st, indem man die Hauptwurzel<\/strong> definiert und eine kleine \u00c4nderung am Punkt (17) vornimmt, der \u00fcber die Definition der Wurzel spricht, und zwar wie folgt:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr style=\"text-align: justify;\">\n<td>17*.<\/td>\n<td>q\\gt 0 \\rightarrow \\left[ 0\\lt p=\\sqrt[n]{q} \\leftrightarrow p^n=q \\right]<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\nDas zweite wird erreicht, indem die Menge der reellen Zahlen zur Menge der komplexen Zahlen \\mathbb{C},<\/span> erweitert wird; aber dieser Aufbau bleibt f\u00fcr sp\u00e4ter.<\/p>\n<\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Eine erste Ann\u00e4herung an die Zahlenmengen – ToposUranos.com Eine erste Ann\u00e4herung an die Zahlenmengen: Von den nat\u00fcrlichen zu den komplexen Zahlen Zusammenfassung:In dieser Stunde werden wir untersuchen, wie die nat\u00fcrlichen Zahlen als Grundlage f\u00fcr die Konstruktion anderer Zahlenmengen genutzt werden k\u00f6nnen, um bestimmte operationelle Begrenzungen zu \u00fcberwinden. 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