{"id":33519,"date":"2021-03-09T13:00:26","date_gmt":"2021-03-09T13:00:26","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33519"},"modified":"2025-07-26T07:59:54","modified_gmt":"2025-07-26T07:59:54","slug":"thermodynamisches-limit-druck-und-variablen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/thermodynamisches-limit-druck-und-variablen\/","title":{"rendered":"Thermodynamisches Limit, Druck und Variablen"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Thermodynamisches Limit, Druck und extensive und intensive Variablen<\/h1>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nDiese Unterrichtseinheit f\u00fchrt das Konzept des thermodynamischen Limits ein, um zu erkl\u00e4ren, wie einige physikalische Systeme statistisch behandelt werden. Es wird eine Analogie von Teilchen verwendet, die gegen eine Wand prallen, wobei der Druck als die Gesamt\u00adkraft pro Fl\u00e4cheneinheit definiert wird. Betrachtet man eine unendliche Fl\u00e4che, so berechnet man den Druck in einem Beh\u00e4lter aus dem Impuls, den die Molek\u00fcle auf dessen W\u00e4nde aus\u00fcben.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Lernziele:<\/strong><br \/> Nach Abschluss dieser Unterrichtseinheit wird der Student in der Lage sein:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Erl\u00e4utern<\/strong>, wie das thermodynamische Limit bei der Definition des Drucks in Bezug auf Gesamt\u00adkraft und Fl\u00e4che angewendet wird<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong>, wie das thermodynamische Limit in der statistischen Physik und in der kinetischen Gastheorie angewendet wird.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong>, den Unterschied zwischen intensiven und extensiven Variablen.<\/li>\n<li><strong>Verstehen<\/strong>, die grundlegenden Ideen hinter den verschiedenen Ans\u00e4tzen, mit denen die Thermodynamik untersucht wird.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\">\n<strong><u>INHALTSVERZEICHNIS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">EINF\u00dcHRUNG DES DRUCKS IM THERMODYNAMISCHEN LIMIT<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">DAS THERMODYNAMISCHE LIMIT<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">EXTENSIVE UND INTENSIVE VARIABLEN<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">ANS\u00c4TZE DER THERMODYNAMIK<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/aFNvauKaF4o\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Einf\u00fchrung des Drucks im thermodynamischen Limit<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aFNvauKaF4o&amp;t=95s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Das Konzept des thermodynamischen Limits<\/strong><\/a> erlaubt zu verstehen, warum bestimmte physikalische Systeme statistisch behandelt werden k\u00f6nnen. Dies liegt an der <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/mol-y-masa-molar\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>gro\u00dfen Anzahl von Teilchen, aus denen sie bestehen.<\/strong><\/a> Eine einfache M\u00f6glichkeit, dies zu demonstrieren, ist durch eine Analogie. Stell dir vor, du hast eine Teilchenkanone, die Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit gegen eine Wand schie\u00dft; da die Teilchen Masse haben, \u00fcbertragen sie beim Aufprall gegen die Wand etwas von ihrem Impuls und \u00fcben somit einen gewissen Sto\u00df aus.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">So kann man, wenn man die Geschwindigkeit und die Masse kennt, die Kraft berechnen, die jedes Teilchen aus\u00fcbt. Stell dir nun vor, es ist keine Kanone, sondern ein gleichm\u00e4\u00dfig konzentrierter Regen unz\u00e4hliger Teilchen, der eine Region des Bodens trifft, die so gro\u00df sein kann, wie wir wollen. Was ergibt sich daraus?<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify;\">\n<li>Die mittlere Kraft nimmt zu, je gr\u00f6\u00dfer die betrachtete Fl\u00e4che ist. Das ist sinnvoll, weil mit gr\u00f6\u00dferer Fl\u00e4che mehr Teilchen getroffen werden.<\/li>\n<li>Auch wenn die Kraft, die jedes Teilchen aus\u00fcbt, schwankt, wird dies \u201egegl\u00e4ttet\u201c und tendiert zu einem Durchschnittswert. Tats\u00e4chlich k\u00f6nnen die Schwankungen gro\u00df sein, aber wenn wir die Fl\u00e4che vergr\u00f6\u00dfern, wird die Gesamtkraft so enorm sein, dass eine solche Schwankung unbedeutend wird.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aFNvauKaF4o&amp;t=280s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Da die insgesamt ausge\u00fcbte Kraft proportional zur Fl\u00e4che ist, macht es Sinn, folgende Definition aufzustellen:<\/strong><\/a><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><strong>Definition<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p style=\"text-align:justify;\">Der <strong><a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/tag\/presion\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Druck<\/a><\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P<\/span>, der durch eine Gesamtkraft <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\vec{F}<\/span> auf eine Fl\u00e4che <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{A}<\/span> ausge\u00fcbt wird, wird definiert als der Grenzwert<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{\\displaystyle P = \\lim_{A\\to\\infty} \\frac{\\vec{F}\\cdot \\hat{n}}{A}}<\/span>\n<p style=\"text-align:justify;\">wobei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\hat{n}<\/span> der Normalenvektor zur Oberfl\u00e4che ist.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" class=\"lazyload\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-8uSlbm03nEI\/YEfJFN4Gs-I\/AAAAAAAAEsY\/8szyQpVpGF0fy7u-7AU1BesRgwdvlRhMwCLcBGAsYHQ\/s438\/presion.PNG\" alt=\"Druck und das thermodynamische Limit\" width=\"300\" height=\"300\" \/><noscript><img decoding=\"async\" class=\"lazyload\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-8uSlbm03nEI\/YEfJFN4Gs-I\/AAAAAAAAEsY\/8szyQpVpGF0fy7u-7AU1BesRgwdvlRhMwCLcBGAsYHQ\/s438\/presion.PNG\" alt=\"Druck und das thermodynamische Limit\" width=\"300\" height=\"300\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:justify;\">Dies wird h\u00e4ufig verk\u00fcrzt geschrieben als<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle P = \\frac{F}{A}<\/span>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der in unserer Analogie eingef\u00fchrte Druck \u00e4ndert sich nicht, wenn die Fl\u00e4che vergr\u00f6\u00dfert wird; im Gegenteil, die Schwankungen des Drucks tendieren zum Verschwinden. Tats\u00e4chlich k\u00f6nnen die Schwankungen vernachl\u00e4ssigt werden, wenn wir den Grenzfall betrachten, in dem die Fl\u00e4che gegen unendlich geht.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Das thermodynamische Limit<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aFNvauKaF4o&amp;t=532s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Wenn wir die Molek\u00fcle in Bewegung in einem Beh\u00e4lter betrachten,<\/strong><\/a> \u00fcben sie jedes Mal, wenn sie gegen die Grenze sto\u00dfen, einen gewissen Impuls darauf aus. Der kollektive Effekt all dieser Impulse ist das, was wir als Druck interpretieren: eine Kraft pro Fl\u00e4cheneinheit, die \u00fcber die gesamte Oberfl\u00e4che verteilt ist. Wenn der Beh\u00e4lter sehr klein w\u00e4re, m\u00fcssten wir uns vielleicht um die Schwankungen der Kraft k\u00fcmmern; doch in den meisten F\u00e4llen ist die Anzahl der Teilchen so gro\u00df, dass die Schwankungen vernachl\u00e4ssigt werden k\u00f6nnen. Der Druck eines Gases unter diesen Bedingungen wird als vollkommen gleichm\u00e4\u00dfig angesehen. Diese Beschreibung, die wir gerade gegeben haben, ist das, was man als \u201esich im <strong>thermodynamischen Limit<\/strong> befinden\u201c versteht.<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Extensive und intensive Variablen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aFNvauKaF4o&amp;t=619s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Angenommen, ein Beh\u00e4lter mit Volumen<\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span> enth\u00e4lt ein Gas bei Temperatur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span>, Druck <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P<\/span> und seine gesamte kinetische Energie sei <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U<\/span>. Stellen wir uns nun vor, wir bringen eine Barriere in den Beh\u00e4lter, die das Gas in zwei gleiche H\u00e4lften trennt. Dann wird das Volumen jeder H\u00e4lfte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V^*<\/span> sein<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle V^* = \\frac{V}{2}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die gesamte kinetische Energie jeder H\u00e4lfte <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U^*<\/span> wird ebenfalls die H\u00e4lfte sein<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle U^* = \\frac{U}{2}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Gr\u00f6\u00dfen wie Temperatur und Druck werden jedoch in beiden H\u00e4lften gleich sein<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P^* = P<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T^* = T<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hieraus ergibt sich eine Unterscheidung zwischen den in der Thermodynamik beteiligten Gr\u00f6\u00dfen. Wir sprechen von <strong>extensiven Variablen<\/strong>, wenn die von ihnen repr\u00e4sentierten Gr\u00f6\u00dfen mit der Gr\u00f6\u00dfe des Systems skalieren, wie das Volumen oder die Energie, und wir verstehen <strong>intensive Variablen<\/strong> als Gr\u00f6\u00dfen, die nicht mit der Gr\u00f6\u00dfe des Systems skalieren, wie der Druck und die Temperatur.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Ans\u00e4tze der Thermodynamik<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=aFNvauKaF4o&amp;t=786s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Historisch hat sich die Thermodynamik in verschiedenen Phasen entwickelt, die uns mehrere Ans\u00e4tze hinterlassen haben.<\/strong><\/a><\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Die <strong>klassische Thermodynamik<\/strong> befasst sich mit makroskopischen Eigenschaften wie Druck, Temperatur und Volumen, ohne sich um die mikroskopischen Aspekte der Materie zu k\u00fcmmern. Sie behandelt Systeme, die gro\u00df genug sind, um die Schwankungen vor dem thermodynamischen Limit zu ignorieren, und ignoriert die atomare Struktur der Materie.<\/li>\n<li>Die <strong>kinetische Gastheorie<\/strong> versucht, die <strong>Eigenschaften von Gasen<\/strong> zu bestimmen, indem sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ber\u00fccksichtigt, die mit der Bewegung ihrer Molek\u00fcle verbunden sind. Ihr Anfang war umstritten, weil es, als sie geschaffen wurde, noch Zweifel an der Existenz von Atomen und Molek\u00fclen gab, die erst Ende des 19. Jahrhunderts nachgewiesen wurde.<\/li>\n<li>Die Entdeckung der Atome f\u00fchrte zur Entwicklung der <strong>Statistischen Mechanik.<\/strong> Anstatt mit der Beschreibung der makroskopischen Eigenschaften zu beginnen, wie es in der Thermodynamik geschieht, beginnt ihr Ansatz mit dem Versuch, die Zust\u00e4nde einzelner mikroskopischer Systeme zu beschreiben und dann mithilfe statistischer Methoden die makroskopischen Eigenschaften des Systems abzuleiten. Dieser Ansatz wird durch die Entwicklung der <strong>Quantenmechanik<\/strong> beg\u00fcnstigt, weil er die Beschreibung von Quantensystemen erm\u00f6glicht. So ergibt sich das in der Thermodynamik Beschriebene als ein Grenzprozess der statistischen Mechanik im thermodynamischen Limit.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Thermodynamisches Limit, Druck und extensive und intensive Variablen Zusammenfassung: Diese Unterrichtseinheit f\u00fchrt das Konzept des thermodynamischen Limits ein, um zu erkl\u00e4ren, wie einige physikalische Systeme statistisch behandelt werden. Es wird eine Analogie von Teilchen verwendet, die gegen eine Wand prallen, wobei der Druck als die Gesamt\u00adkraft pro Fl\u00e4cheneinheit definiert wird. 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