{"id":33495,"date":"2021-08-16T13:00:04","date_gmt":"2021-08-16T13:00:04","guid":{"rendered":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=33495"},"modified":"2025-07-26T07:15:33","modified_gmt":"2025-07-26T07:15:33","slug":"reflexion-an-ebenen-und-sphaerischen-spiegeln","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/de\/reflexion-an-ebenen-und-sphaerischen-spiegeln\/","title":{"rendered":"Reflexion an ebenen und sph\u00e4rischen Spiegeln"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Reflexion an ebenen und sph\u00e4rischen Spiegeln<\/h1>\n<p><em><strong>Zusammenfassung:<\/strong><br \/>\nIn dieser Unterrichtseinheit werden wir die grundlegenden Prinzipien der geometrischen Optik untersuchen, wobei wir uns auf die Reflexion an ebenen und sph\u00e4rischen Spiegeln konzentrieren. Dabei werden Schl\u00fcsselbegriffe wie Lichtstrahl, Punktobjekt und Punktbild definiert. Au\u00dferdem behandelt sie die Vorzeichenregel f\u00fcr Spiegel und die Descartes&#8217;sche Beziehung zur Berechnung der Bildposition. Es werden zudem die Eigenschaften konkaver und konvexer Spiegel untersucht und wie sie die Entstehung realer und virtueller Bilder beeinflussen. Abschlie\u00dfend wird der Vergr\u00f6\u00dferungsfaktor eingef\u00fchrt, um die Ver\u00e4nderung von Gr\u00f6\u00dfe und Orientierung des Bildes gegen\u00fcber dem urspr\u00fcnglichen Objekt zu beschreiben.<\/em>\n<\/p>\n<p><strong>Lernziele<\/strong><br \/>\nAm Ende des Kurses wird der Studierende in der Lage sein<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Die geometrische Optik zu verstehen<\/strong> als eine Vereinfachung der elektromagnetischen Optik, die das Verst\u00e4ndnis der Bildentstehung durch Geometrie und Analysis erleichtert.<\/li>\n<li><strong>Die Gesetze der Reflexion und Brechung zu verstehen<\/strong> sowie deren Anwendung bei der Bildentstehung mit Spiegeln und Linsen.<\/li>\n<li><strong>Wichtige Konzepte zu verstehen und zu unterscheiden<\/strong> wie Lichtstrahl, projizierter Strahl, Punktobjekt und Punktbild.<\/li>\n<li><strong>Die Vorzeichenregel f\u00fcr Spiegel anzuwenden<\/strong> um die Position von Objekten und Bildern zu bestimmen.<\/li>\n<li><strong>Die Bildentstehung an ebenen Spiegeln zu analysieren<\/strong> und dabei die Symmetrie und den virtuellen Charakter der Bilder hervorzuheben.<\/li>\n<\/ol>\n<p><u><strong>Inhaltsverzeichnis<\/strong><\/u><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Grundideen der geometrischen Optik<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Definitionen<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Vorzeichenregel f\u00fcr Spiegel<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\"><strong>Ebene Spiegel und Spiegelreflexion<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Punktobjekt vor einem ebenen Spiegel<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Ausgedehntes Objekt vor einem ebenen Spiegel<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\"><strong>Reflexion an sph\u00e4rischen Spiegeln<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#8\">Beziehung zwischen Objektposition und Bildposition bei einem sph\u00e4rischen Spiegel<\/a><br \/>\n<a href=\"#9\">Grenzfall, wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s\\to +\\infty<\/span><\/a><br \/>\n<a href=\"#10\">Reflexion ausgedehnter Objekte an sph\u00e4rischen Spiegeln<\/a><br \/>\n<a href=\"#11\">Konkave und konvexe Spiegel<\/a><br \/>\n<a href=\"#12\">Der Vergr\u00f6\u00dferungsfaktor und seine Interpretation<\/a>\n<\/p>\n<p><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Ze0lpO0gDys\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Grundideen der geometrischen Optik<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Ze0lpO0gDys&amp;t=179s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Die geometrische Optik ist eine Vereinfachung<\/strong><\/span><\/a> der elektromagnetischen Optik, die es erm\u00f6glicht, die Bildentstehung und ihre Eigenschaften leicht zu verstehen. Durch Geometrie und Analysis lassen sich die Brechungs- und Reflexionsgesetze ableiten, die das Verst\u00e4ndnis der Bildentstehung mit Spiegeln und Linsen erlauben. In diesem ersten Abschnitt werden wir die grundlegenden Konzepte der <strong>geometrischen Optik<\/strong> und die <strong>Reflexion an ebenen und sph\u00e4rischen Spiegeln<\/strong> untersuchen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Ze0lpO0gDys&amp;t=315s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Um diese Ideen anzugehen<\/span><\/strong><\/a> und Schlussfolgerungen zu ziehen, werden wir zun\u00e4chst einige Schl\u00fcsselbegriffe definieren:<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h3>Definitionen<\/h3>\n<table style=\"color: #000000;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td><strong>Lichtstrahl<\/strong><\/td>\n<td>Dies ist die gedachte Linie, die den Ausbreitungsverlauf des Lichts repr\u00e4sentiert. Wenn die Quelle ein <strong>Punktobjekt<\/strong> ist, geht von ihr Licht in Form sph\u00e4rischer (elektromagnetischer) Wellen aus; Lichtstrahlen haben folglich die Richtung des Energieflusses oder, wenn man will, die Richtung des Poynting-Vektors.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 200px;\" ><strong>Projizierter Strahl<\/strong><\/td>\n<td>Imagin\u00e4re Linie, die die Fortsetzung eines <strong>Lichtstrahls<\/strong> darstellt.<\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Punktobjekt oder Punktquelle<\/strong><\/td>\n<td>Punkt im Raum, von dem <strong>Lichtstrahlen<\/strong> ausgehen, entweder eigenst\u00e4ndig oder reflektiert. Das Objekt kann punktf\u00f6rmig oder ausgedehnt sein; wenn es punktf\u00f6rmig ist, hat es keine Gestalt, sondern nur eine Position; wenn es ausgedehnt ist, besitzt es ein endliches, nicht nulles Volumen und eine umgebende Oberfl\u00e4che.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Punktbild<\/strong><\/td>\n<td>Ort im Raum, an dem sich <strong>Lichtstrahlen<\/strong> oder <strong>projizierte Strahlen<\/strong> schneiden.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Reflexion<\/strong><\/td>\n<td>Vorgang, bei dem <strong>Lichtstrahlen<\/strong> ihre Richtung \u00e4ndern, wenn sie auf eine <strong>reflektierende Oberfl\u00e4che<\/strong> treffen.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><strong>Brechung<\/strong><\/td>\n<td>Vorgang, bei dem <strong>Lichtstrahlen<\/strong> beim \u00dcbergang von einem Medium in ein anderes Richtung und Geschwindigkeit \u00e4ndern.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Vorzeichenregel f\u00fcr Spiegel<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Ze0lpO0gDys&amp;t=596s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Ein n\u00fctzliches Konzept zur Systematisierung<\/span><\/strong><\/a> der geometrischen Optik ist die Vorzeichenregel, die im Folgenden eingef\u00fchrt wird:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Objektposition:<\/strong> Befindet sich das Objekt auf der Seite, von der das Licht auf die reflektierende Oberfl\u00e4che f\u00e4llt, so ist der der Position <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s<\/span> zugeordnete Wert positiv, andernfalls negativ.<\/li>\n<li><strong>Bildposition:<\/strong> Befindet sich das Bild auf der Seite, von der das Licht die reflektierende Oberfl\u00e4che verl\u00e4sst, ist die der Position <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s^\\prime<\/span> zugeordnete Gr\u00f6\u00dfe positiv, andernfalls negativ.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Bei einem ebenen Spiegel gilt stets die Gleichung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s=-s^\\prime.<\/span>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Ebene Spiegel und Spiegelreflexion<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Ze0lpO0gDys&amp;t=795s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die einfachste Art einer reflektierenden Oberfl\u00e4che<\/span><\/strong><\/a> ist der ebene Spiegel. Bei diesen wird beobachtet, dass jeder Strahl, der mit einem Winkel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta<\/span> zur Normalen des Spiegels einf\u00e4llt, mit einem Winkel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\theta^\\prime =\\theta.<\/span> reflektiert wird. Deshalb erscheint einem Beobachter, der den reflektierten Strahl sieht, das reflektierte Objekt so, als befinde es sich hinter dem Spiegel.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h3>Punktobjekt vor einem ebenen Spiegel<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das Bild, das an einem ebenen Spiegel entsteht, ist symmetrisch und virtuell. Symmetrisch bedeutet, dass der Abstand zwischen Objekt und Spiegel derselbe ist wie zwischen Bild und Spiegel, und virtuell bedeutet, dass das Bild \u00abhinter dem Spiegel\u00bb liegt.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-mMoRSOOSEvk\/YRXkH9OiYDI\/AAAAAAAAFZg\/_dJmGpPbn30eWs4eZGlpOAjlTg1ZAd9FACLcBGAsYHQ\/s0\/espejo-plano.PNG\" width=\"618\" height=\"264\" alt=\"Objekt und Spiegelbild in einem ebenen Spiegel\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-mMoRSOOSEvk\/YRXkH9OiYDI\/AAAAAAAAFZg\/_dJmGpPbn30eWs4eZGlpOAjlTg1ZAd9FACLcBGAsYHQ\/s0\/espejo-plano.PNG\" width=\"618\" height=\"264\" alt=\"Objekt und Spiegelbild in einem ebenen Spiegel\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Ausgedehntes Objekt vor einem ebenen Spiegel<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Ze0lpO0gDys&amp;t=948s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn ein Beobachter das ausgedehnte Objekt und den Spiegel ignorieren w\u00fcrde<\/span><\/strong><\/a>, w\u00fcrde er die reflektierten Strahlen so deuten, als k\u00e4men sie vom Bild, als w\u00e4re das Bild ein reales Objekt.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-H1UGdQb5sgY\/YRbmbS-_H1I\/AAAAAAAAFZo\/x1cCRQAdXIYV6uMlWyAhQHbLa8_S13mkQCLcBGAsYHQ\/s0\/objeto-extendido-espejo%2Bplano.PNG\" width=\"618\" height=\"264\" alt=\"ausgedehntes Objekt und reflektiertes Bild vor einem ebenen Spiegel\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-H1UGdQb5sgY\/YRbmbS-_H1I\/AAAAAAAAFZo\/x1cCRQAdXIYV6uMlWyAhQHbLa8_S13mkQCLcBGAsYHQ\/s0\/objeto-extendido-espejo%2Bplano.PNG\" width=\"618\" height=\"264\" alt=\"ausgedehntes Objekt und reflektiertes Bild vor einem ebenen Spiegel\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><br \/>\n<a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h2>Reflexion an sph\u00e4rischen Spiegeln<\/h2>\n<p><a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<h3>Beziehung zwischen der Position des Objekts und des Bildes bei einem sph\u00e4rischen Spiegel<\/h3>\n<p><center><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Ze0lpO0gDys&amp;t=1092s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Betrachten wir einen sph\u00e4rischen Spiegel<\/span><\/strong><\/a> mit einem Kr\u00fcmmungsradius <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r.<\/span> Wenn wir ein Objekt in einer Entfernung <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s<\/span> vom Scheitelpunkt platzieren, erscheint ein Bild im Punkt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s^\\prime,<\/span> wie in der Abbildung gezeigt:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-XVOtDyTIR_Q\/YRcog7ZzhuI\/AAAAAAAAFaI\/l20l-kAWQjUqthdJjouuFR6xuWYtKKjqgCLcBGAsYHQ\/s0\/objeto-espejo-esferico.PNG\" width=\"618\" height=\"264\" alt=\"Punktobjekt, das vor einem sph\u00e4rischen Spiegel reflektiert wird\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-XVOtDyTIR_Q\/YRcog7ZzhuI\/AAAAAAAAFaI\/l20l-kAWQjUqthdJjouuFR6xuWYtKKjqgCLcBGAsYHQ\/s0\/objeto-espejo-esferico.PNG\" width=\"618\" height=\"264\" alt=\"Punktobjekt, das vor einem sph\u00e4rischen Spiegel reflektiert wird\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\pi[rad],<\/span> betr\u00e4gt, gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{lr}\n\n\\phi + \\theta + \\pi - \\beta =\\pi\\; &amp;\\Longrightarrow {\\beta = \\phi + \\theta}\\\\ \\\\\n\n\\alpha + \\theta + \\pi - \\phi =\\pi\\; &amp;\\Longrightarrow {\\theta = \\phi - \\alpha}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Daraus folgt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta = 2\\phi - \\alpha <\/span> und daher<\/p>\n<p style=\"text-align: center; background-color: #88ff88;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\color{blue}{\\alpha + \\beta = 2\\phi}.<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Mit diesen Informationen l\u00e4sst sich eine Beziehung zwischen den Positionen <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s^\\prime<\/span> des Objekts und des Bildes herleiten. Dazu beobachtet man, dass:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\tan(\\alpha) &amp;\\displaystyle = \\frac{h}{s - \\delta} \\\\ \\\\\n\n\\tan(\\beta) &amp;\\displaystyle = \\frac{h}{s^\\prime - \\delta} \\\\ \\\\\n\n\\tan(\\phi) &amp;\\displaystyle = \\frac{h}{s - \\delta}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn nun das Objekt weit genug vom Spiegel entfernt ist oder der Kr\u00fcmmungsradius gro\u00df genug ist, kann man annehmen, dass die Winkel <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha, \\beta<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span> nahe bei Null liegen; unter dieser Annahme gelten die folgenden N\u00e4herungen:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\delta &amp; \\approx 0 \\\\ \\\\\n\n\\alpha &amp;\\displaystyle \\approx \\tan(\\alpha) \\approx \\frac{h}{s} \\\\ \\\\\n\n\\beta &amp;\\displaystyle \\approx \\tan(\\beta) \\approx \\frac{h}{s^\\prime} \\\\ \\\\\n\n\\phi &amp;\\displaystyle \\approx \\tan(\\phi) \\approx \\frac{h}{r}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Unter Verwendung dieser N\u00e4herungen in der hervorgehobenen Gleichung erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle \\frac{h}{s}+\\frac{h}{s^\\prime}\\approx\\frac{2h}{r}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Schlie\u00dflich, nachdem man die <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h<\/span> k\u00fcrzt und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle f = \\frac{r}{2}<\/span> setzt, ergibt sich<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><strong><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\displaystyle\\color{blue}{\\frac{1}{s}+\\frac{1}{s^\\prime}\\approx\\frac{1}{f}}\n\n<\/span><\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dies ist die sogenannte \u00abDescartes-Beziehung\u00bb f\u00fcr sph\u00e4rische Spiegel mit kleiner \u00d6ffnung, wobei der Wert <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> dem Brennpunkt der Linse entspricht.<\/p>\n<p><a name=\"9\"><\/a><\/p>\n<h4>Grenzfall, wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s\\to+\\infty<\/span><\/h4>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Ze0lpO0gDys&amp;t=1748s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wenn wir den Wert von<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s^\\prime<\/span> berechnen und den Grenzwert f\u00fcr <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s\\to+\\infty,<\/span> ermitteln, erhalten wir:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle s^\\prime = \\frac{1}{\\frac{1}{f}-\\frac{1}{s}} =\\frac{sf}{s-f}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{s\\to +\\infty}s^\\prime = \\lim_{s\\to +\\infty}\\frac{sf}{s-f}=f<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Mit anderen Worten, wenn die Quelle sehr weit entfernt ist, verl\u00e4uft der von ihr ausgehende und den Spiegel treffende Strahl nahezu horizontal und wird beim Spiegeln durch den Brennpunkt gehen, wie in der Abbildung gezeigt:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-DuLxeEzpreA\/YRiDferq6uI\/AAAAAAAAFag\/nJs3uKnA5cAqQ4xhFxGJVB715kRJ4NHFgCLcBGAsYHQ\/s0\/espejo-esferico-casolimite.PNG\" width=\"618\" height=\"264\" alt=\"Strahl, der aus dem Unendlichen kommt und an einem sph\u00e4rischen Spiegel reflektiert wird\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-DuLxeEzpreA\/YRiDferq6uI\/AAAAAAAAFag\/nJs3uKnA5cAqQ4xhFxGJVB715kRJ4NHFgCLcBGAsYHQ\/s0\/espejo-esferico-casolimite.PNG\" width=\"618\" height=\"264\" alt=\"Strahl, der aus dem Unendlichen kommt und an einem sph\u00e4rischen Spiegel reflektiert wird\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><br \/>\n<a name=\"10\"><\/a><\/p>\n<h3>Reflexion ausgedehnter Objekte an sph\u00e4rischen Spiegeln<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Ze0lpO0gDys&amp;t=1878s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die bisher besprochenen Ergebnisse<\/span><\/strong><\/a> erm\u00f6glichen es uns, geometrisch den Ort zu finden, an dem das Bild eines Objekts entsteht, wenn das von ihm emittierte oder reflektierte Licht an einem sph\u00e4rischen Spiegel reflektiert wird. Dazu reicht es aus zu beachten, dass alle horizontalen Strahlen durch den Brennpunkt reflektiert werden, dass alle Strahlen, die durch den Brennpunkt gehen, horizontal reflektiert werden und dass sich der Spiegel lokal (an dem Punkt, an dem der Strahl den sph\u00e4rischen Spiegel trifft) wie ein ebener Spiegel verh\u00e4lt, so dass der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel ist.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-dBrwLgxx-Hw\/YRif1YsG-JI\/AAAAAAAAFaw\/UURe6b9HaXoAlb-cKOM33EwZ0aFxAigMwCLcBGAsYHQ\/s0\/objeto-extendido-espejo-esferico.PNG\" width=\"720\" height=\"594\" alt=\"Bildentstehung ausgedehnter Objekte auf sph\u00e4rischen Spiegeln\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-dBrwLgxx-Hw\/YRif1YsG-JI\/AAAAAAAAFaw\/UURe6b9HaXoAlb-cKOM33EwZ0aFxAigMwCLcBGAsYHQ\/s0\/objeto-extendido-espejo-esferico.PNG\" width=\"720\" height=\"594\" alt=\"Bildentstehung ausgedehnter Objekte auf sph\u00e4rischen Spiegeln\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Jeder Punkt des ausgedehnten Objekts sendet Lichtstrahlen aus, die, nachdem sie vom Spiegel reflektiert wurden, sich im entsprechenden Punkt des Bildes schneiden.<\/p>\n<p><a name=\"11\"><\/a><\/p>\n<h3>Konkave und konvexe Spiegel<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Ze0lpO0gDys&amp;t=2227s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Die sph\u00e4rischen Spiegel, die wir bisher betrachtet haben<\/span><\/strong><\/a>, sind alles Beispiele f\u00fcr konkave Spiegel. Bei diesen liegt die Kr\u00fcmmung auf der Seite, von der die Lichtstrahlen kommen. Wenn die Kr\u00fcmmung zur gegen\u00fcberliegenden Seite orientiert ist, spricht man von einem konvexen Spiegel. Analysiert man geometrisch die Bildentstehung an dieser Art von Spiegeln, bemerkt man zun\u00e4chst, dass die reflektierten Strahlen nicht in einem Punkt zusammenlaufen, sondern sich zerstreuen; um den Ort zu finden, an dem das Bild entsteht, m\u00fcssen daher die reflektierten Strahlen zur\u00fcckverl\u00e4ngert werden, um so ein virtuelles Bild zu erhalten.<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-cfrp8zRyqOk\/YRinI5L1BkI\/AAAAAAAAFa4\/Uj1etPhThK8_Zr1N3vU7Sw2ua0U3svpgwCLcBGAsYHQ\/s0\/reflejo%2Ben%2Bespejo%2Bconvexo.PNG\" width=\"869\" height=\"503\" alt=\"Virtuelles Bild in einem konvexen Spiegel\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-cfrp8zRyqOk\/YRinI5L1BkI\/AAAAAAAAFa4\/Uj1etPhThK8_Zr1N3vU7Sw2ua0U3svpgwCLcBGAsYHQ\/s0\/reflejo%2Ben%2Bespejo%2Bconvexo.PNG\" width=\"869\" height=\"503\" alt=\"Virtuelles Bild in einem konvexen Spiegel\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">An dieser Stelle m\u00fcssen die folgenden Begriffe ber\u00fccksichtigt werden:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li><strong>Reales Bild:<\/strong> Ein Bild ist real, wenn es durch die reflektierten Strahlen gebildet wird und sich daher vor dem Spiegel befindet.<\/li>\n<li><strong>Virtuelles Bild:<\/strong> Ein Bild ist virtuell, wenn es durch die verl\u00e4ngerten Strahlen gebildet wird und daher \u201ehinter dem Spiegel\u201c liegt.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a name=\"12\"><\/a><\/p>\n<h3>Der Vergr\u00f6\u00dferungsfaktor und seine Interpretation<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Ze0lpO0gDys&amp;t=2393s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Wie wir in den vorherigen Abbildungen sehen konnten<\/span><\/strong><\/a>, kann sich bei der Reflexion an sph\u00e4rischen, konkaven oder konvexen Spiegeln das Bild in Gr\u00f6\u00dfe oder Orientierung im Vergleich zum urspr\u00fcnglichen Objekt ver\u00e4ndern. Daraus stellt sich die Frage: Gibt es eine M\u00f6glichkeit, diese Vergr\u00f6\u00dferung oder Verkleinerung sowie die Orientierungs\u00e4nderung des Bildes zu modellieren? Die Antwort lautet ja, und sie l\u00e4sst sich aus den \u00c4hnlichkeitsbeziehungen von Dreiecken in den zuvor betrachteten Abbildungen ableiten. Im Folgenden wird die Analyse f\u00fcr einen konkaven Spiegel dargestellt; bei konvexen Spiegeln ist die Argumentation analog. Um jeden Schritt korrekt nachzuvollziehen, sollte man sich an die <strong>Vorzeichenregel f\u00fcr Spiegel<\/strong> erinnern, die wir zu Beginn behandelt haben.<\/p>\n<p><center><br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-cRVOSOADzXI\/YRix4uOudBI\/AAAAAAAAFbA\/vgqeiZEXhGATgnNu3f2zSvL-H8Rp8VVRACLcBGAsYHQ\/s0\/determinaci%25C3%25B3n%2Bdel%2Bcoeficiente%2Bde%2Bmagnificacion.PNG\" width=\"716\" height=\"488\" alt=\"\u00c4hnlichkeit von Dreiecken zwischen einfallenden und reflektierten Strahlen\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-cRVOSOADzXI\/YRix4uOudBI\/AAAAAAAAFbA\/vgqeiZEXhGATgnNu3f2zSvL-H8Rp8VVRACLcBGAsYHQ\/s0\/determinaci%25C3%25B3n%2Bdel%2Bcoeficiente%2Bde%2Bmagnificacion.PNG\" width=\"716\" height=\"488\" alt=\"\u00c4hnlichkeit von Dreiecken zwischen einfallenden und reflektierten Strahlen\" class=\"alignnone size-full lazyload\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Da die blauen und gr\u00fcnen Dreiecke \u00e4hnlich sind, ergibt sich, dass der Vergr\u00f6\u00dferungsfaktor <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=y^\\prime\/y<\/span>, der angibt, um wie viel das reflektierte Bild relativ zur Gr\u00f6\u00dfe des urspr\u00fcnglichen Objekts w\u00e4chst, durch die folgende Beziehung berechnet werden kann:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{y}{s} = \\frac{-y^\\prime}{s^\\prime}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hier erh\u00e4lt <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^\\prime<\/span> ein Minuszeichen, weil das Bild nach unten orientiert ist (es ist invertiert), und nach der Vorzeichenregel f\u00fcr Spiegel sind <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s<\/span> und <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s^\\prime<\/span> beide positiv. Folglich gilt:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{m=\\frac{y^\\prime}{y} = - \\frac{s^\\prime}{s}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das hei\u00dft, wenn die Positionen von Objekt und Bild bekannt sind, kann der Vergr\u00f6\u00dferungsfaktor des Spiegels berechnet werden.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Diese Formel kann mit der Descartes&#8217;schen Beziehung kombiniert werden, um den Vergr\u00f6\u00dferungsfaktor aus dem Brennpunkt und der Position des Objekts zu berechnen. Man muss sich nur daran erinnern, dass<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle s^\\prime=\\frac{sf}{s-f}.<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">und damit ergibt sich:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\color{blue}{m= - \\frac{1}{s}\\frac{sf}{s-f} = \\frac{f}{f-s}}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Daraus ergibt sich, dass:<\/p>\n<ul style=\"text-align: justify;\">\n<li>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|m|\\lt 1<\/span>, schrumpft das Bild; wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|m|\\gt 1<\/span>, w\u00e4chst es; und wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|m|=1,<\/span>, bleibt seine Gr\u00f6\u00dfe erhalten.<\/li>\n<li>Wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m\\gt 0<\/span>, beh\u00e4lt das Bild die Orientierung des urspr\u00fcnglichen Objekts; und wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m\\lt 0<\/span>, wird das Bild gegen\u00fcber dem urspr\u00fcnglichen Objekt invertiert.<\/li>\n<li>Das Bild reduziert sich auf einen Punkt, wenn <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">m=0.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Reflexion an ebenen und sph\u00e4rischen Spiegeln Zusammenfassung: In dieser Unterrichtseinheit werden wir die grundlegenden Prinzipien der geometrischen Optik untersuchen, wobei wir uns auf die Reflexion an ebenen und sph\u00e4rischen Spiegeln konzentrieren. Dabei werden Schl\u00fcsselbegriffe wie Lichtstrahl, Punktobjekt und Punktbild definiert. Au\u00dferdem behandelt sie die Vorzeichenregel f\u00fcr Spiegel und die Descartes&#8217;sche Beziehung zur Berechnung der Bildposition. 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