{"id":32826,"date":"2022-04-28T13:00:53","date_gmt":"2022-04-28T13:00:53","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=32826"},"modified":"2025-04-03T22:35:51","modified_gmt":"2025-04-03T22:35:51","slug":"que-es-una-ecuacion-diferencial-ordinaria-edo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/que-es-una-ecuacion-diferencial-ordinaria-edo\/","title":{"rendered":"\u00bfQu\u00e9 es una Ecuaci\u00f3n Diferencial Ordinaria (EDO)?"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol{\ntext-align: justify;\n}\nh1{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\n}\nh2{\ntext-align:center;\ntext-transform: uppercase;\nfont-size:24pt;\n}\nh3 { \n    text-align: center;\n    text-transform: uppercase;\n    font-size: 24px !important;\n}\n<\/style>\n<h1>\u00bfQu\u00e9 es una Ecuaciones Diferencial Ordinaria (EDO)?<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><em><strong>Resumen:<\/strong><\/br>En esta clase, se exploran las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de orden k, comenzando con su definici\u00f3n y su representaci\u00f3n de manera normal y general. A trav\u00e9s de conceptos como la matriz Jacobiana y el Teorema de la Funci\u00f3n Impl\u00edcita, se elaboran las bases para comprender las soluciones de estas ecuaciones y las propiedades asociadas, como el dominio de definici\u00f3n y las soluciones expl\u00edcitas e impl\u00edcitas.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><strong>OBJETIVOS DE APRENDIZAJE<\/strong><\/p>\n<p>Al finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Recordar<\/strong> la definici\u00f3n y caracter\u00edsticas b\u00e1sicas de una Ecuaci\u00f3n Diferencial Ordinaria (EDO).<\/li>\n<li><strong>Explicar<\/strong> la relaci\u00f3n entre una EDO y sus posibles soluciones.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><strong>INDICE<\/strong><br \/>\n<a href=\"#LaEcuacionDiferencialOrdinariaDeOrdenK\"><strong>La Ecuaci\u00f3n Diferencial Ordinaria (EDO) de Orden k<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#TeoremaDeLaFuncionImplicita\">Teorema de la Funci\u00f3n Impl\u00edcita<\/a><br \/>\n<a href=\"#LaSolucionDeUnaEcuacionDiferencialOrdinaria\"><strong>La Soluci\u00f3n de una Ecuaci\u00f3n Diferencial Ordinaria<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#CuidadoConElDominioDeDefinicionDeLasSoluciones\">Cuidado con el dominio de definici\u00f3n de las soluciones<\/a><br \/>\n<a href=\"#SolucionExtendidaYSolucionMaximal\">Soluci\u00f3n extendida y soluci\u00f3n maximal<\/a><br \/>\n<a href=\"#SolucionExplicitaYSolucionImplicita\">Soluci\u00f3n explicita y soluci\u00f3n impl\u00edcita<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/zE29azRIKng\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>Con lo visto hasta ahora, tenemos una idea bastante clara de qu\u00e9 es una ecuaci\u00f3n diferencial y de las m\u00faltiples aplicaciones que pueden tener. Nos detendremos ahora para estudiar algunas definiciones y propiedades con el objetivo de establecer una base com\u00fan s\u00f3lida para continuar este estudio.<\/p>\n<p><a name=\"LaEcuacionDiferencialOrdinariaDeOrdenK\"><\/a><\/p>\n<h3>La EDO de Orden k<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=163s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Una Ecuaci\u00f3n Diferencial Ordinaria (EDO)<\/span><\/strong><\/a> es una ecuaci\u00f3n en la cual se involucran una variable independiente <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span>, una funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span><\/span>, y algunas de sus derivadas ordinarias. Las derivadas ordinarias de primer orden de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y(x)<\/span><\/span> se denotan usando s\u00edmbolos como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\frac{dy(x)}{dx}<\/span><\/span> o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y&#039;(x)<\/span><\/span>, las de segundo orden como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\frac{d^2y(x)}{dx^2}<\/span><\/span> o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y&#039;&#039;(x)<\/span><\/span>, y en general, de orden <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span>, como <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\frac{d^ny(x)}{dx^n}<\/span><\/span> o <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(n)}(x)<\/span><\/span>. El supremo de los valores <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> tales que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(k)}(x)<\/span><\/span> aparece en la ecuaci\u00f3n es lo que llamamos <strong>Orden de la Ecuaci\u00f3n<\/strong>. De este modo, la <strong>Forma General de una EDO de orden <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span><\/strong> es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F\\left(x,y(x),y&#039;(x), \\cdots, y^{(k)}(x)\\right)=0.<\/span>\n<p>Se dice que una EDO de orden <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> est\u00e1 en <strong>forma normal<\/strong> si se expresa despejando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(k)}(x)<\/span><\/span> de la ecuaci\u00f3n anterior, es decir:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(k)}(x) = f\\left(x,y(x),y&#039;(x), \\cdots, y^{(k-1)}(x)\\right).<\/span>\n<p>En general, la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y<\/span> es una funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R} \\longrightarrow \\mathbb{R}^n,<\/span><\/span> de modo que esta y todas sus derivadas evaluadas en alg\u00fan punto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in\\mathbb{R}<\/span><\/span> son vectores de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R}^n<\/span><\/span>. Con esto en consideraci\u00f3n, se constata que, dado que la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span> que describe a la EDO de orden <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> tiene <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1+(k+1)<\/span><\/span> variables, se tiene que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{Dom}(F)\\subset \\mathbb{R}^{1+n(k+1)}<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{Rec}(F)\\subset \\mathbb{R}<\/span><\/span>; y de forma an\u00e1loga, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{Dom}(f) = \\mathbb{R}^{1+nk}<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\text{Rec}(f)\\subset \\mathbb{R}^n<\/span><\/span>.<\/p>\n<p>El salto de la expresi\u00f3n General de una EDO de orden <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k<\/span> a su Forma Normal es posible gracias al <strong>Teorema de la Funci\u00f3n Impl\u00edcita.<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"TeoremaDeLaFuncionImplicita\"><\/a><\/p>\n<h4>Teorema de la Funci\u00f3n Impl\u00edcita<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=887s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Sea <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F<\/span> una funci\u00f3n de clase <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathcal{C}^1<\/span><\/span> sobre un conjunto abierto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">U \\subset \\mathbb{R}^n<\/span><\/span><\/span><\/strong><\/a> con valores reales. Y sea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a_1,\\cdots, a_n) \\in U<\/span><\/span> tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(a_1,\\cdots, a_n) = 0<\/span><\/span> y<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial F(a_1,\\cdots, a_n)}{\\partial x_n} \\neq 0<\/span>\n<p>Entonces existe una vecindad <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span> de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a_1, \\cdots, a_{n-1}) \\in \\mathbb{R}^{n-1}<\/span><\/span> y una funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi:V \\longrightarrow \\mathbb{R}<\/span><\/span> tal que:<\/p>\n<ol>\n<li type=\"i\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V \\times \\varphi(V) \\subset U<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"i\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x_1,\\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \\leftrightarrow x_n = \\varphi(x_1,\\cdots, x_{n-1})<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"i\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi<\/span> es diferenciable y\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\dfrac{\\partial \\varphi (a_1,\\cdots, a_{n-1})}{\\partial x_i} = - \\dfrac{ \\dfrac{\\partial F (a_1,\\cdots, a_n)}{\\partial x_i} }{ \\dfrac{\\partial F (a_1,\\cdots, a_n)}{\\partial x_n} }<\/span>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h4>Demostraci\u00f3n del Teorema de la Funci\u00f3n Impl\u00edcita<\/h4>\n<h5>Desarrollo a partir de la matriz Jacobiana<\/h5>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=1101s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Sea <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi(x_1,\\cdots,x_{n-1}, x_n) = (x_1,\\cdots,x_{n-1}, F(x_1,\\cdots, x_n)).<\/span><\/span><\/span><\/strong><\/a> Si calculamos su matriz Jacobiana, que se muestra a continuaci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\left( \\dfrac{\\partial \\psi(x_1,\\cdots, x_n)}{\\partial(x_1,\\cdots, x_n)} \\right) = \\left( \\begin{array}{cccc}\n\n1 &amp; 0 &amp;  \\cdots &amp; 0 \\\\\n\n0 &amp; 1 &amp;  \\cdots &amp; \\vdots \\\\\n\n\\vdots &amp;\\vdots &amp; \\ddots  &amp; \\vdots  \\\\\n\n\\displaystyle \\dfrac{\\partial F(x_1, \\cdots, x_n)}{\\partial x_1} &amp; \\dfrac{\\partial F(x_1, \\cdots, x_n)}{\\partial x_2} &amp; \\cdots  &amp; \\dfrac{\\partial F(x_1, \\cdots, x_n)}{\\partial x_n}\n\n\\end{array}\\right), <\/span>\n<p>veremos que su determinante es distinto de cero en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a_1,\\cdots, a_n)<\/span><\/span>, precisamente porque, como se estableci\u00f3 al principio, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\partial F(a_1,\\cdots, a_n)\/\\partial x_n \\neq 0.<\/span><\/span> A partir de esto, podemos decir que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi<\/span> tiene una inversa sobre un conjunto abierto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">W<\/span> que contiene a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a_1,\\cdots, a_n).<\/span><\/span><\/p>\n<h5>Desarrollo de la Soluci\u00f3n<\/h5>\n<p>Ahora, consideremos un conjunto<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\tilde{V}=\\psi(W)\\ni \\psi(a_1,\\cdots,a_{n}) = (a_1,\\cdots,a_{n-1},F(a_1,\\cdots,a_{n}))=(a_1,\\cdots,a_{n-1},0).<\/span>\n<p>A partir de esto, podemos definir otro conjunto<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V=\\{(x_1,\\cdots,x_{n-1}) \\;|\\; (x_1,\\cdots,x_{n-1},0)\\in \\tilde{V}\\}\\ni (a_1,\\cdots,a_{n-1})<\/span>\n<p>El conjunto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span> es, en consecuencia, un abierto que contiene a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(a_1,\\cdots,a_{n-1})\\in\\mathbb{R}^{n-1}.<\/span><\/span><\/p>\n<p>Adem\u00e1s, como <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi<\/span> tiene inversa (en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">W<\/span>), existe un \u00fanico <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(y_1,\\cdots,y_n)\\in W<\/span><\/span> tal que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi(y_1,\\cdots,y_n) = (x_1,\\cdots,x_{n-1},0).<\/span><\/span> Esto significa que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl} y_1 &amp;= x_1 \\\\ \\\\ \\vdots &amp; \\vdots \\\\ \\\\ y_{n-1} &amp;= x_{n-1} \\\\ \\\\ F(x_1,\\cdots,x_{n-1},y_n) &amp;= 0 \\end{array}<\/span>\n<p>As\u00ed, podemos definir <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi(x_1,\\cdots,x_{n-1}) = y_n<\/span><\/span>, de modo que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi^{-1}(x_1,\\cdots,x_{n-1},0) = (x_1,\\cdots,x_{n-1},\\varphi(x_1,\\cdots,x_{n-1}))<\/span>\n<p>y<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x_1,\\cdots,x_{n-1},\\varphi(x_1,\\cdots,x_{n-1})) = 0<\/span>\n<p>A partir de esto, tenemos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi(V)\\ni a_n,<\/span><\/span> y en consecuencia <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V\\times\\varphi(V) \\subset U,<\/span><\/span> y adem\u00e1s:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x_1,\\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \\leftrightarrow x_n = \\varphi(x_1,\\cdots,x_{n-1})<\/span>\n<h5>Diferenciabilidad<\/h5>\n<p>Y finalmente, la diferenciabilidad de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi<\/span> conduce a la diferenciabilidad de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi^{-1}<\/span><\/span>, que a su vez conduce a la diferenciabilidad de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi<\/span> sobre <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">V<\/span>. Teniendo esto en cuenta, podemos definir una funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> a trav\u00e9s de la relaci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x_1, \\cdots,x_{n-1}) = F(x_1,\\cdots,x_{n-1},\\varphi(x_1,\\cdots,x_{n-1})) = 0<\/span>\n<p>Y luego, usando la regla de la cadena, se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{\\partial g}{\\partial x_i} = \\frac{\\partial F}{\\partial x_i} + \\frac{\\partial F}{\\partial x_n}\\frac{\\partial \\varphi }{\\partial x_i} = 0,<\/span>\n<p>donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">i=1,\\cdots, n-1.<\/span><\/span> Es a partir de esta \u00faltima ecuaci\u00f3n que se obtiene:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{\\partial \\varphi(a_1,\\cdots,a_{n-1})}{\\partial x_i} = - \\dfrac{\\dfrac{\\partial F(a_1,\\cdots,a_{n})}{\\partial x_i}}{\\dfrac{\\partial F(a_1,\\cdots,a_{n})}{\\partial x_n}}<\/span>\n<p>Y con esto se concluye todo lo que se quer\u00eda demostrar \u25a0<\/p>\n<p><a name=\"LaSolucionDeUnaEcuacionDiferencialOrdinaria\"><\/a><\/p>\n<h3>La soluci\u00f3n de una ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=2249s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Consideremos una EDO expresada en forma normal<\/span><\/strong><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(n)} = f(x,y(x),y^\\prime(x),\\cdots,y^{(n-1)(x)})<\/span>\n<p>Entonces, una funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varphi : I_\\phi \\longmapsto \\mathbb{R}^n,<\/span><\/span> donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_\\phi<\/span><\/span> es un intervalo de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\mathbb{R},<\/span><\/span> se dice que es <strong>una soluci\u00f3n de la EDO<\/strong> si:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\forall x \\in I_\\phi \\right) \\left(\\varphi^{(n)}(x) = f(x,\\varphi(x),\\varphi^\\prime(x),\\cdots,\\varphi^{(n-1)(x)}\\right)<\/span>\n<p><a name=\"CuidadoConElDominioDeDefinicionDeLasSoluciones\"><\/a><\/p>\n<h4>Cuidado con el dominio de definici\u00f3n de las soluciones<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=2387s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">En este punto, es necesario hacer \u00e9nfasis<\/span><\/strong><\/a> sobre la importancia de declarar expl\u00edcitamente el dominio de la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n diferencial. Por ejemplo, el dominio de la funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span><\/span> de la que hablamos en el p\u00e1rrafo anterior es el intervalo <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_\\phi.<\/span><\/span> Esto es importante porque un error com\u00fan al trabajar en ecuaciones diferenciales proviene de considerar iguales dos soluciones <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_1<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_2<\/span><\/span> solo porque <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\forall x \\in I_{\\phi_1}\\cap I_{\\phi_2}\\right)\\left(\\phi_1(x) = \\phi_2(x)\\right),<\/span><\/span> a pesar de que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{\\phi_1}\\neq I_{\\phi_2}.<\/span><\/span> Para explicar este punto, examinemos la ecuaci\u00f3n diferencial:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^\\prime = -y^2.<\/span>\n<p>Una posible soluci\u00f3n para esta EDO es la funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1 : ]0,+\\infty[ \\longrightarrow \\mathbb{R}^+\\setminus\\{0\\}<\/span><\/span> definida a trav\u00e9s de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1(x)=1\/x,<\/span><\/span> porque <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1^{\\prime} = -1\/x^2 = -\\psi_1^2<\/span><\/span> para cualquier <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in]0,+\\infty[.<\/span><\/span> Pero haciendo un poco de juego algebraico, podemos pasar de esta a otra soluci\u00f3n completamente diferente si no prestamos atenci\u00f3n a los detalles. Por ejemplo, es claro que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{1}{x} = \\frac{1}{1 - (1-x)},<\/span>\n<p>y el lado derecho de esta igualdad es el resultado de la serie geom\u00e9trica:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\displaystyle \\sum_{n=0}^{+\\infty} (1-x)^n = \\frac{1}{1 - (1-x)}<\/span>\n<p>De modo que un ojo poco entrenado en estas artes arcanas se aventurar\u00eda a pensar que las funciones <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1<\/span><\/span><br \/>\n y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_2 = \\sum_{n=0}^{+\\infty} (1-x)^n <\/span><\/span> nos ofrecen la misma soluci\u00f3n para la ecuaci\u00f3n diferencial que se plante\u00f3 al principio, porque de hecho coinciden en sus resultados; sin embargo, habr\u00e1 pasado por alto que esta serie geom\u00e9trica solo es v\u00e1lida cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">|1-x| \\lt 1<\/span><\/span>, es decir, cuando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in]0,2[)<\/span><\/span>. Pero hay m\u00e1s, dado que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">]0,2[\\subset]0,+\\infty[<\/span><\/span>, tambi\u00e9n se tiene que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1<\/span><\/span> extiende a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_2<\/span><\/span> porque all\u00ed donde <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_2<\/span><\/span> es v\u00e1lida, <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi_1<\/span><\/span> lo es y tambi\u00e9n m\u00e1s all\u00e1.<\/p>\n<p><a name=\"SolucionExtendidaYSolucionMaximal\"><\/a><\/p>\n<h4>Soluci\u00f3n extendida y soluci\u00f3n maximal<\/h4>\n<p>Consideremos dos funciones <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_1<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_2<\/span><\/span> definidas sobre los intervalos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{\\phi_1}<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{\\phi_2},<\/span><\/span> respectivamente, que son soluciones de una ecuaci\u00f3n diferencial. Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I_{\\phi_1}\\subset I_{\\phi_2},<\/span><\/span> entonces se dice que la soluci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_2<\/span><\/span> extiende a la soluci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_1,<\/span><\/span> o que la soluci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_2<\/span><\/span> es m\u00e1s general que la soluci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi_1.<\/span><\/span> Una soluci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span> se denomina \u00abmaximal\u00bb si no existe otra soluci\u00f3n que la extienda de forma no trivial.<\/p>\n<p><a name=\"SolucionExplicitaYSolucionImplicita\"><\/a><\/p>\n<h4>Soluci\u00f3n expl\u00edcita y soluci\u00f3n impl\u00edcita<\/h4>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=zE29azRIKng&#038;t=2649s\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Una funci\u00f3n<\/span><\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi<\/span> se considera soluci\u00f3n de la EDO de orden <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> (escrita en forma normal)<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y^{(n)}(x)=f(x,y(x),y^\\prime(x),\\cdots,y^{(n-1)}(x)),<\/span>\n<p> dentro de un intervalo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span> si<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall x\\in I)\\left(\\phi^{n}(x) = f(x,\\phi(x),\\phi^\\prime(x),\\cdots,\\phi^{(n-1)}(x))\\right)<\/span>\n<p>Lo que ya hab\u00edamos revisado varios p\u00e1rrafos atr\u00e1s es lo que se conoce como <strong>Soluci\u00f3n Expl\u00edcita de la Ecuaci\u00f3n Diferencial en el intervalo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I.<\/span><\/strong> Tal como sugiere el nombre, existe una forma impl\u00edcita de definir tambi\u00e9n las soluciones. Se dice que una relaci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Phi(x,y)=0<\/span><\/span> es <strong>Soluci\u00f3n Impl\u00edcita de la Ecuaci\u00f3n Diferencial en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span><\/strong> si define dos o m\u00e1s soluciones impl\u00edcitas en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I.<\/span>\n<h3>Conclusi\u00f3n<\/h3>\n<p>En esta clase hemos descompuesto la noci\u00f3n de ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria con una mirada rigurosa pero accesible, estableciendo los fundamentos formales que nos permiten no solo reconocer una EDO, sino tambi\u00e9n entender la l\u00f3gica detr\u00e1s de sus soluciones. Gracias al Teorema de la Funci\u00f3n Impl\u00edcita, fue posible justificar con claridad la transici\u00f3n entre su forma general y su forma normal, lo que se traduce en una capacidad t\u00e9cnica crucial para abordar problemas concretos.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, distinguimos con precisi\u00f3n las diferentes maneras en que una soluci\u00f3n puede ser comprendida: como soluci\u00f3n expl\u00edcita o impl\u00edcita, extendida o maximal, y remarcamos la importancia \u2014frecuentemente subestimada\u2014 de declarar adecuadamente su dominio. Estas distinciones no son solo formales: son operativas. Ignorarlas puede llevarnos, como vimos, a errores conceptuales severos al interpretar los resultados obtenidos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u00bfQu\u00e9 es una Ecuaciones Diferencial Ordinaria (EDO)? Resumen:En esta clase, se exploran las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de orden k, comenzando con su definici\u00f3n y su representaci\u00f3n de manera normal y general. 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