{"id":32621,"date":"2023-04-04T13:00:15","date_gmt":"2023-04-04T13:00:15","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=32621"},"modified":"2025-03-28T17:47:36","modified_gmt":"2025-03-28T17:47:36","slug":"integrales-indefinidas-y-tecnicas-basicas-de-integracion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/integrales-indefinidas-y-tecnicas-basicas-de-integracion\/","title":{"rendered":"Integrales Indefinidas y T\u00e9cnicas B\u00e1sicas de Integraci\u00f3n"},"content":{"rendered":"<style>\np, ul, ol {\n    text-align: justify;\n}\nh1, h2, h3 {\ntext-align:center;\n}\n<\/style>\n<p><center><\/p>\n<h1>Integrales Indefinidas y T\u00e9cnicas B\u00e1sicas de Integraci\u00f3n<\/h1>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">En esta clase se introducen las t\u00e9cnicas b\u00e1sicas para calcular las integrales indefinidas m\u00e1s elementales, as\u00ed como las propiedades del operador de integraci\u00f3n. Esto abarca las integrales polin\u00f3micas, explonenciales, hiperb\u00f3licas y trigonom\u00e9tricas b\u00e1sicas.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>Objetivos de Aprendizaje<\/u>:<\/strong><br \/>Al finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> el proceso de integraci\u00f3n indefinida como el proceo inverso a la derivaci\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>Calcular<\/strong> la integral de polinomios y expresiones que involucren funciones exponenciales, hiperb\u00f3licas y trigonom\u00e9tricas.<\/li>\n<li><strong>Utilizar<\/strong> las propiedades de las integrales para hacer manipulaciones algebr\u00e1icas que faciliten su c\u00e1lculo.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>INDICE DE CONTENIDOS<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">LA RELEVANCIA DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">ANTIDERIVADAS, INTEGRALES INDEFINIDAS Y PRIMITIVAS DE FUNCIONES<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">T\u00c9CNICAS B\u00c1SICAS DE INTEGRACI\u00d3N<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/4wSTxA7zY9k\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<\/br><\/br><\/p>\n<h2>La relevancia de las integrales indefinidas<\/h2>\n<p>Las integrales indefinidas son una herramienta fundamental en el c\u00e1lculo y tienen una amplia gama de aplicaciones en las ciencias f\u00edsicas y matem\u00e1ticas. Permiten calcular la funci\u00f3n primitiva de una funci\u00f3n dada, lo que a su vez se utiliza para calcular \u00e1reas bajo curvas, vol\u00famenes de s\u00f3lidos, c\u00e1lculo de probabilidades y muchas otras aplicaciones en f\u00edsica, ingenier\u00eda, estad\u00edstica y econom\u00eda. Adem\u00e1s, las integrales indefinidas son esenciales para la resoluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales, lo que las hace indispensables en muchos campos de la ciencia y la tecnolog\u00eda.<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/56fMLiVPwDI\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n<a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Antiderivadas, integrales indefinidas y primitivas de funciones<\/h2>\n<p>Si una funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x)<\/span><\/span> tiene como derivada a <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> en alg\u00fan intervalo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span> dado, se dice que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x)<\/span><\/span> es una primitiva de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> en ese intervalo.<\/p>\n<p>Es importante tener en cuenta que si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x)<\/span><\/span> es una primitiva de <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span>, entonces tambi\u00e9n lo es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">F(x) + C,<\/span><\/span> donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> es cualquier constante real. Esto se representa escribiendo:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int f(x) dx = F(x) + C<\/span>\n<p>La constante <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C<\/span> es lo que se conoce como <strong>constante de integraci\u00f3n<\/strong>, y su presencia indica que la primitiva de una funci\u00f3n no es una \u00fanica funci\u00f3n, sino una familia de funciones: el conjunto de todas las funciones cuya derivada es <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> en el intervalo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span>.<\/p>\n<p>Las palabras antiderivada, primitiva e integral indefinida son tres formas de expresar la misma idea, de modo que las utilizamos indistintamente. En s\u00edntesis, la integral indefinida es el proceso inverso al c\u00e1lculo de las derivadas y es a partir de \u00e9sta idea que se obtienen sus propiedades m\u00e1s fundamentales.<\/p>\n<h3>Propiedades b\u00e1sicas de las integrales indefinidas<\/h3>\n<p>Para lograr calcular las integrales indefinidas, necesitamos conocer primero algunas propiedades b\u00e1sicas, estas se heredan directamente de las propiedades de las derivadas.<\/p>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int  \\dfrac{df(x)}{dx} dx = f(x) + C<\/span><\/span><\/br>Porque la integral indefinida es el proceso inverso a la derivaci\u00f3n.<\/li>\n<p><\/br><\/p>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\lambda f(x) dx = \\lambda \\int f(x) dx<\/span><\/span><\/br>Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lambda<\/span> es una constante real cualquiera. Esto ocurre porque<\/br>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} \\displaystyle \\int \\lambda \\dfrac{d\\phi(x)}{dx}dx &amp;=  \\displaystyle \\int \\dfrac{d}{dx}\\lambda \\phi(x) dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\lambda \\phi(x) + C_1 \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\lambda(\\phi(x) + C_2) \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\lambda \\displaystyle  \\int \\frac{d\\phi(x)}{dx}dx \\end{array}<\/span>\n<p>Y luego, usando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = \\dfrac{d\\phi(x)}{dx}<\/span> se tiene<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\lambda f(x) dx = \\lambda \\int f(x)dx<\/span>\n<\/li>\n<p><\/br><\/p>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int f(x) + g(x) dx = \\int f(x) dx + \\int g(x) dx <\/span><\/span>\n<p>Esto se puede demostrar de una forma similar a la anterior. Consideremos dos funciones <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\phi(x)<\/span> y  <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\psi(x)<\/span> tales que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = \\dfrac{d\\phi(x)}{dx}<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x) = \\dfrac{d\\psi(x)}{dx}<\/span>\n<p>Entonces se tiene que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n{} \\displaystyle \\int f(x) + g(x) dx\n\n&amp;= \\displaystyle \\int \\dfrac{d\\phi(x)}{dx} +  \\dfrac{d\\psi(x)}{dx} dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\int \\dfrac{d}{dx} (\\phi(x)  + \\psi(x)) dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\phi(x) + \\psi(x) + C \\\\ \\\\\n\n&amp;= (\\phi(x) + C_1) + (\\psi(x) + C_2) \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\int \\dfrac{d\\phi(x)}{dx} dx + \\int \\dfrac{d\\psi(x)}{dx}dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\int f(x) dx + \\int g(x) dx\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>T\u00e9cnicas b\u00e1sicas de integraci\u00f3n<\/h2>\n<p>Existen t\u00e9cnicas b\u00e1sicas de integraci\u00f3n que nos permiten calcular algunas integrales indefinidas a partir de los resultados obtenidos por derivaci\u00f3n. A trav\u00e9s de estas t\u00e9cnicas, podemos obtener los siguientes resultados \u00fatiles para la integraci\u00f3n:<\/p>\n<h3>Integrales de funciones polinomiales<\/h3>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int 1 dx = x + C<\/span><\/span>\n<p dir=\"ltr\">Porque  <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx} (x + C)= 1 <\/span>\n<\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int x^q dx = \\dfrac{x^{q+1}}{q+1}  + C,<\/span> siempre que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q\\neq -1<\/span><\/span>\n<p>Porque <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx} \\left(\\dfrac{x^{q+1}}{q+1}  + C\\right) = x^q.<\/span><\/span><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>Con estos resultados m\u00e1s las propiedades b\u00e1sicas podemos calcular sin ninguna dificultad la integral de cualquier polinomio.<\/p>\n<div style=\"background-color:#F3FFF3; padding:20px;\">\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\left( 3x+2 \\right) dx =  \\dfrac{3}{2}x^2 + 2x + C<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\left( 5x^2 + 2x + 3 \\right) dx= \\dfrac{5}{3}x^3 + x + 3x  + C<\/span><\/span><\/li>\n<li type=\"a\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\left( 4x^{12} - 7x^{-1\/3} + 1 \\right) dx  <\/span><\/span> <\/li>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} &amp;= \\dfrac{4}{13}x^{13} - \\dfrac{7}{2\/3}x^{2\/3} + x + C \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\dfrac{4}{13}x^{13} - \\dfrac{21}{2}x^{2\/3} + x + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/ol>\n<\/div>\n<h3>Integrales de exponencial y logaritmo<\/h3>\n<p>A partir de los resultados conocidos de las derivadas de las funciones exponenciales y logar\u00edtmicas se obtienen los siguientes resultados b\u00e1sicos:<\/p>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int e^{x}dx = e^{x} + C<\/span><\/span>\n<p>Porque <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx}\\left(e^x + C\\right) = e^x<\/span><\/span><\/p>\n<\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\int \\dfrac{1}{x} dx = ln|x| + C<\/span><\/span>\n<p>Porque <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx}\\left(ln|x| + C \\right) = \\dfrac{1}{|x|} sig(x) = \\dfrac{1}{x}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">sig(x)<\/span> es la funci\u00f3n signo definida de la siguiente forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">sig(x) = \\left\\{\\begin{array}{} +1 &amp;,&amp;0\\lt x \\\\ -1 &amp;,&amp; x\\lt 0 \\end{array}\\right.<\/span>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>El resultado de la integral de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1\/x<\/span> nos permite ampliar nuestra capacidad para integrar funciones, ya que podemos comenzar a integrar funciones que consisten en un cociente entre polinomios.<\/p>\n<div style=\"background-color:#F3FFF3; padding:20px;\">\n<p><strong>Ejemplo:<\/strong><\/p>\n<ol>\n<li type=\"a\"><\/br>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\int \\dfrac{x^2 + 3x + 2}{5x^2}dx &amp;= \\displaystyle \\int \\dfrac{1}{5} + \\dfrac{3}{5}\\cdot \\dfrac{1}{x} + \\dfrac{2}{5}\\cdot\\dfrac{1}{x^2}dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=\\dfrac{x}{5}+\\dfrac{3}{5}ln(x) - \\dfrac{2}{5}\\dfrac{1}{x} + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<\/li>\n<p><\/br><\/p>\n<li type=\"a\"><\/br>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\int \\dfrac{x^2 - 3 x + 2}{(x-2)^2}dx &amp;= \\displaystyle \\int \\dfrac{(x-2)^2 + (x-2)}{(x-2)^2} dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\int 1 + \\dfrac{1}{x-2} dx \\\\ \\\\\n\n&amp;= x + \\displaystyle \\int \\dfrac{1}{x-2}dx = x + ln|x-2| + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Porque<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx}\\left( ln|x-2| + C\\right) = \\dfrac{1}{|x-2|}sig(x-2) = \\dfrac{1}{x-2}<\/span>\n<\/ol>\n<\/div>\n<h3>Integrales de funciones hiperb\u00f3licas b\u00e1sicas<\/h3>\n<p>Las funciones hiperb\u00f3licas b\u00e1sicas son<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} sinh(x) &amp;=&amp; \\dfrac{e^x - e^{-x}}{2} \\\\ \\\\\n\ncosh(x) &amp;=&amp; \\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Dado que ya hemos visto c\u00f3mo funciona la integral de la funci\u00f3n exponencial, no tendremos ning\u00fan problema para las integrales del seno y el coseno hiperb\u00f3lico.<\/p>\n<p>Para el seno hiperb\u00f3lico el c\u00e1lculo es pr\u00e1cticamente directo:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}{rcl}\n\n{} \\displaystyle \\int sinh(x) dx\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\int \\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\dfrac{1}{2} \\left( \\displaystyle \\int e^x dx - \\int e^{-x}  dx \\right) \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\dfrac{1}{2} \\left(e^x + e^{-x} \\right) + C = cosh(x) + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Y para el coseno hiperb\u00f3lico, las cuentas son pr\u00e1cticamente an\u00e1logas:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} \\displaystyle \\int cosh(x) dx\n\n&amp;=&amp; \\displaystyle \\int \\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}dx \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\dfrac{1}{2} \\left( \\displaystyle \\int e^x dx + \\int e^{-x}  dx \\right) \\\\ \\\\\n\n&amp;=&amp; \\dfrac{1}{2} \\left(e^x - e^{-x} \\right) + C = sinh(x) + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Adem\u00e1s de estas, existen muchas otras funciones hiperb\u00f3licas que se pueden integrar:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} tanh(x) &amp;=&amp; \\dfrac{sinh(x)}{cosh(x)} \\\\\n\nsech(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{cosh(x)} \\\\\n\n{}csch(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{sinh(x)} \\\\\n\nctgh(x) &amp;=&amp; \\dfrac{1}{tanh(x)}\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Sin embargo, para su integraci\u00f3n se requiere de otras t\u00e9cnicas que veremos en clases posteriores.<\/p>\n<h3>Integrales de funciones trigonom\u00e9tricas b\u00e1sicas<\/h3>\n<p>Las funciones trigonom\u00e9tricas b\u00e1sicas son <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">sin(x)<\/span>y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">cos(x)<\/span>. El c\u00e1lculo de sus integrales son pr\u00e1cticamente directo desde lo que ya sabemos de sus derivadas.<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{} \\displaystyle \\int sin(x) dx = -cos(x) + C \\\\ \\\\\n\n{} \\displaystyle \\int cos(x) dx = sen(x) + C\n\n\\end{array}<\/span>\n<p>Esto ocurre porque<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\" dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\begin{array}\n\n{}  \\dfrac{d}{dx}\\left( sin(x) + C \\right) &amp;=&amp; cos(x) \\\\ \\\\\n\n{}  \\dfrac{d}{dx}\\left( cos(x) + C \\right) &amp;=&amp; -sin(x) \\\\ \\\\\n\n\\end{array}<\/span>\n<h2>Conclusi\u00f3n<\/h2>\n<p>En esta clase hemos explorado las integrales indefinidas desde sus fundamentos te\u00f3ricos hasta sus aplicaciones pr\u00e1cticas m\u00e1s elementales. Hemos aprendido a reconocerlas como el proceso inverso a la derivaci\u00f3n, a identificar sus propiedades b\u00e1sicas y a aplicar t\u00e9cnicas directas para integrar funciones polin\u00f3micas, exponenciales, logar\u00edtmicas, hiperb\u00f3licas y trigonom\u00e9tricas simples. Estos conocimientos constituyen la base esencial para abordar problemas m\u00e1s complejos de integraci\u00f3n en el futuro, y ser\u00e1n fundamentales para el estudio de aplicaciones avanzadas en f\u00edsica, ingenier\u00eda y otras ciencias. Con este conocimiento base ser\u00e1 posible introducir t\u00e9cnicas m\u00e1s sofisticadas en clases posteriores.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Integrales Indefinidas y T\u00e9cnicas B\u00e1sicas de Integraci\u00f3n En esta clase se introducen las t\u00e9cnicas b\u00e1sicas para calcular las integrales indefinidas m\u00e1s elementales, as\u00ed como las propiedades del operador de integraci\u00f3n. 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