{"id":30810,"date":"2021-04-26T13:00:42","date_gmt":"2021-04-26T13:00:42","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=30810"},"modified":"2025-01-02T00:03:34","modified_gmt":"2025-01-02T00:03:34","slug":"distribution-de-boltzmann-dans-lensemble-canonique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/fr\/distribution-de-boltzmann-dans-lensemble-canonique\/","title":{"rendered":"Distribution de Boltzmann dans l&#8217;ensemble canonique"},"content":{"rendered":"<style>\n\tp, ul, ol {\n\t\ttext-align: justify;\n\t}\n\th1, h2 {\n\t\ttext-align: center;\n\t}\n<\/style>\n<h1>Distribution de Boltzmann dans l&#8217;ensemble canonique<\/h1>\n<p style=\"text-align: center;\">La thermodynamique nous r\u00e9v\u00e8le comment les syst\u00e8mes physiques atteignent l&#8217;\u00e9quilibre et comment l&#8217;\u00e9nergie et la probabilit\u00e9 d\u00e9terminent leur comportement. Dans ce cours, nous explorerons l&#8217;ensemble canonique et la distribution de Boltzmann, des outils fondamentaux pour comprendre des ph\u00e9nom\u00e8nes tels que les r\u00e9actions chimiques et l&#8217;\u00e9quilibre dans des syst\u00e8mes complexes. Vous d\u00e9couvrirez comment ces id\u00e9es relient la temp\u00e9rature \u00e0 l&#8217;ordre et au chaos, permettant ainsi de pr\u00e9dire le comportement de ce qui semble impr\u00e9visible.<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><strong>Objectifs d&#8217;apprentissage :<\/strong><br \/>\n\u00c0 la fin de ce cours, l&#8217;\u00e9tudiant sera capable de :\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Identifier<\/strong> les types d&#8217;ensembles thermodynamiques (microcanonique, canonique et grand canonique).<\/li>\n<li><strong>D\u00e9duire<\/strong> la distribution de Boltzmann \u00e0 partir des principes thermodynamiques.<\/li>\n<li><strong>Calculer<\/strong> les probabilit\u00e9s associ\u00e9es aux micro-\u00e9tats en utilisant la fonction de partition.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: center;\"><strong><u>TABLE DES MATI\u00c8RES<\/u> :<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\">Ensembles en thermodynamique<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">La distribution de Boltzmann<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Applications de la distribution de Boltzmann<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Exercices<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ch1bjhU7k70\" title=\"Lecteur vid\u00e9o YouTube\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>L&#8217;un des outils conceptuels les plus utiles de la thermodynamique est le concept d&#8217;\u00ab ensemble \u00bb. Parmi les diff\u00e9rents types existants, l&#8217;ensemble canonique est l&#8217;un des plus utilis\u00e9s, et \u00e0 partir de celui-ci est d\u00e9riv\u00e9e la distribution de Boltzmann. Nous examinerons ces deux concepts dans les sections suivantes.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Ensembles en thermodynamique<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ch1bjhU7k70&amp;t=174s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Jusqu&#8217;\u00e0 pr\u00e9sent, nous avons utilis\u00e9 les probabilit\u00e9s<\/strong><\/a> pour d\u00e9crire les syst\u00e8mes thermodynamiques, et notre approche consiste \u00e0 imaginer que nous pouvons r\u00e9p\u00e9ter l&#8217;exp\u00e9rience et les mesures un nombre infini de fois pour pallier notre incapacit\u00e9 \u00e0 contr\u00f4ler leurs propri\u00e9t\u00e9s microscopiques (d\u00e9crites par les micro-\u00e9tats). Inspir\u00e9 par ces id\u00e9es, <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Josiah_Willard_Gibbs\" rel=\"noopener, nofollow, noreferrer noopener\" target=\"_blank\">Gibbs<\/a> introduit en 1878 le concept d&#8217;\u00ab ensemble \u00bb : il s&#8217;agit d&#8217;une id\u00e9alisation o\u00f9 un grand nombre de \u00ab copies du syst\u00e8me \u00bb est consid\u00e9r\u00e9, chacune repr\u00e9sentant un de ses \u00e9tats possibles. En thermodynamique, il existe trois types principaux d&#8217;ensembles.<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Ensemble microcanonique :<\/strong> Un ensemble de syst\u00e8mes ayant tous la m\u00eame \u00e9nergie fixe.<\/li>\n<li><strong>Ensemble canonique :<\/strong> Un ensemble de syst\u00e8mes, chacun pouvant \u00e9changer de l&#8217;\u00e9nergie avec un grand r\u00e9servoir de chaleur. Comme nous le verrons plus tard, cela \u00e9tablit (et d\u00e9finit) la temp\u00e9rature du syst\u00e8me.<\/li>\n<li><strong>Ensemble grand canonique :<\/strong> Un ensemble de syst\u00e8mes o\u00f9 chacun peut \u00e9changer \u00e0 la fois de la mati\u00e8re (des particules) et de l&#8217;\u00e9nergie avec un grand r\u00e9servoir de ces ressources. Cela d\u00e9finit la temp\u00e9rature et le potentiel chimique du syst\u00e8me.<\/li>\n<\/ol>\n<h3>L&#8217;ensemble canonique<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ch1bjhU7k70&amp;t=362s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Consid\u00e9rons deux syst\u00e8mes coupl\u00e9s<\/strong><\/a> de mani\u00e8re \u00e0 pouvoir \u00e9changer de l&#8217;\u00e9nergie. Dans ce cas, cependant, nous supposerons que l&#8217;un des syst\u00e8mes est immense par rapport \u00e0 l&#8217;autre et l&#8217;appellerons <strong>r\u00e9servoir, source<\/strong> ou <strong>bain de chaleur.<\/strong> Ce r\u00e9servoir est si grand que nous pouvons pr\u00e9lever d&#8217;importantes quantit\u00e9s d&#8217;\u00e9nergie sans que sa temp\u00e9rature change. Le nombre de fa\u00e7ons dont les quanta d&#8217;\u00e9nergie peuvent se r\u00e9arranger dans un r\u00e9servoir est, par cons\u00e9quent, gigantesque. L&#8217;autre syst\u00e8me est petit en comparaison et sera simplement appel\u00e9 <strong>syst\u00e8me.<\/strong><\/p>\n<p>Nous supposerons que pour chaque \u00e9nergie permise du syst\u00e8me, il existe un micro-\u00e9tat unique, et donc, le syst\u00e8me aura toujours une valeur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega=1.<\/span> De plus, nous maintiendrons constante l&#8217;\u00e9nergie totale des syst\u00e8mes coupl\u00e9s avec une valeur <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E.<\/span>\n<p><em>\u00c0 ce stade, nous pouvons observer que le syst\u00e8me et le r\u00e9servoir forment un ensemble microcanonique, o\u00f9 l&#8217;\u00e9nergie reste constante et o\u00f9 tous les micro-\u00e9tats sont \u00e9quiprobables.<\/em><\/p>\n<p>Dans ce sc\u00e9nario, si l&#8217;\u00e9nergie du syst\u00e8me est <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varepsilon,<\/span> alors l&#8217;\u00e9nergie du r\u00e9servoir sera <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E - \\varepsilon.<\/span> Cette situation, o\u00f9 un syst\u00e8me est en contact thermique avec un grand r\u00e9servoir d&#8217;\u00e9nergie, est ce que l&#8217;on appelle un <strong>ensemble canonique.<\/strong><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>La distribution de Boltzmann<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ch1bjhU7k70&amp;t=528s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>La probabilit\u00e9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\varepsilon)<\/span> que le syst\u00e8me<\/strong><\/a> ait une \u00e9nergie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varepsilon<\/span> est proportionnelle au nombre de micro-\u00e9tats accessibles au r\u00e9servoir multipli\u00e9 par le nombre de micro-\u00e9tats accessibles au syst\u00e8me. Autrement dit :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\varepsilon)\\propto \\Omega(E-\\varepsilon)\\cdot 1.<\/span>\n<p>Comme nous l&#8217;avons vu auparavant, la temp\u00e9rature peut \u00eatre exprim\u00e9e en termes du logarithme de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span> \u00e0 travers :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{1}{k_B T} = \\frac{d\\ln\\Omega}{dE}<\/span>\n<p>Et comme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varepsilon \\ll E,<\/span> il est possible de faire un d\u00e9veloppement en s\u00e9rie de Taylor de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\ln\\Omega(E-\\varepsilon)<\/span> autour de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varepsilon = 0.<\/span> Cela donne :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\ln\\Omega(E-\\varepsilon) = \\ln\\Omega(E) - \\frac{d\\ln\\Omega(E)}{dE}\\varepsilon + \\cdots<\/span>\n<p>En utilisant les deux expressions pr\u00e9c\u00e9dentes, nous obtenons :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\ln\\Omega(E-\\varepsilon) = \\ln\\Omega(E) - \\frac{\\varepsilon}{k_B T} + \\cdots<\/span>\n<p>O\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span> est la temp\u00e9rature du r\u00e9servoir. \u00c0 ce stade, nous pouvons n\u00e9gliger les autres termes de la s\u00e9rie de Taylor et \u00e9crire :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\ln \\Omega(E-\\varepsilon) \\approx \\ln\\Omega(E) - \\displaystyle \\frac{\\varepsilon}{k_B T}<\/span>\n<p>En d\u00e9veloppant cette derni\u00e8re expression, nous trouvons :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega(E-\\varepsilon) \\approx \\Omega(E) e^{-\\displaystyle \\frac{\\varepsilon}{k_B T}}<\/span>\n<p>En comparant cela avec la probabilit\u00e9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\varepsilon)<\/span>, on conclut que :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(\\varepsilon)\\propto e^{-\\varepsilon\/(k_B T)}<\/span>\n<p>Comme le syst\u00e8me est en \u00e9quilibre thermodynamique avec le r\u00e9servoir, ils ont la m\u00eame temp\u00e9rature. Cependant, bien que la temp\u00e9rature <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T<\/span> reste constante, l&#8217;\u00e9nergie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varepsilon<\/span> ne l&#8217;est pas ; au contraire, elle suit une distribution de probabilit\u00e9, celle que nous venons de d\u00e9duire. Cela est connu sous le nom de <strong>distribution de Boltzmann<\/strong>, ou <strong>canonique<\/strong> pour un ensemble canonique. Le terme <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">e^{-\\varepsilon\/(k_B T)}<\/span> est appel\u00e9 le <strong>facteur de Boltzmann.<\/strong><\/p>\n<h3>Normalisation de la distribution de Boltzmann et fonction de partition<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ch1bjhU7k70&amp;t=890s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Avec ces d\u00e9veloppements, nous avons commenc\u00e9<\/strong><\/a> \u00e0 construire une distribution de probabilit\u00e9 d\u00e9crivant le comportement d&#8217;un petit syst\u00e8me en contact avec un grand r\u00e9servoir \u00e0 temp\u00e9rature <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T.<\/span> Le syst\u00e8me a une probabilit\u00e9 raisonnable d&#8217;avoir une \u00e9nergie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varepsilon<\/span> inf\u00e9rieure \u00e0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k_B T,<\/span> mais l&#8217;exponentielle dans la distribution de Boltzmann d\u00e9cro\u00eet rapidement pour des \u00e9nergies sup\u00e9rieures. Cependant, il est important de noter que cette distribution n&#8217;est pas encore une distribution de probabilit\u00e9 stricte : elle doit \u00eatre normalis\u00e9e. Si un syst\u00e8me est en contact avec un r\u00e9servoir et poss\u00e8de un micro-\u00e9tat <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> avec une \u00e9nergie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_r,<\/span> alors :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P({micro\\;\u00e9tat\\;}r)= \\displaystyle \\frac{e^{-E_r\/(k_B T)}}{\\displaystyle \\sum_{i}e^{-E_i\/(k_B T)}}<\/span>\n<p>La somme dans le d\u00e9nominateur agit comme un facteur de normalisation permettant \u00e0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P<\/span> de devenir une v\u00e9ritable distribution de probabilit\u00e9. Cette somme est \u00e9galement appel\u00e9e <strong>fonction de partition<\/strong> et est not\u00e9e par <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Z<\/span> :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Z = \\displaystyle \\sum_i e^{-E_i\/(k_B T)}<\/span>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/lDtYzvXiNb4\" title=\"Lecteur vid\u00e9o YouTube\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Applications de la distribution de Boltzmann<\/h2>\n<p>Pour illustrer certaines applications de l&#8217;ensemble canonique et de la distribution de Boltzmann, examinons comment ils apparaissent dans quelques exemples pratiques. Cependant, avant de commencer, introduisons une notation pour une quantit\u00e9 qui appara\u00eet fr\u00e9quemment et peut \u00eatre utile \u00e0 l&#8217;avenir. Ce facteur est not\u00e9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta<\/span> et d\u00e9fini par l&#8217;\u00e9galit\u00e9 suivante :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta =\\displaystyle \\frac{1}{k_B T},<\/span>\n<p>de sorte que, \u00e0 partir de cela, nous pouvons \u00e9crire :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\beta = \\displaystyle \\frac{d\\ln\\Omega}{dE},<\/span>\n<h4>Le probl\u00e8me d&#8217;un syst\u00e8me \u00e0 seulement deux \u00e9tats possibles<\/h4>\n<p>Imaginons le cas le plus simple de tous, un syst\u00e8me qui ne peut \u00eatre que dans deux \u00e9tats : un avec une \u00e9nergie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span> et l&#8217;autre avec une \u00e9nergie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\varepsilon &gt; 0.<\/span> Quelle est l&#8217;\u00e9nergie moyenne du syst\u00e8me ?<\/p>\n<h4>Le probl\u00e8me d&#8217;une atmosph\u00e8re isotherme<\/h4>\n<p>Une fa\u00e7on simplifi\u00e9e d&#8217;\u00e9tudier l&#8217;atmosph\u00e8re est de supposer qu&#8217;elle est isotherme. Bien que cette hypoth\u00e8se soit fausse, elle sert de premi\u00e8re approximation pour tirer certaines conclusions. Par exemple, sous cette hypoth\u00e8se, il est possible d&#8217;estimer le nombre de particules qui composent l&#8217;atmosph\u00e8re en fonction de l&#8217;altitude. Comment pensez-vous que cette d\u00e9duction pourrait \u00eatre faite ?<\/p>\n<h4>Attention au risque d&#8217;explosion\u00a0! Relation entre les r\u00e9actions chimiques et la temp\u00e9rature<\/h4>\n<p>De nombreuses r\u00e9actions chimiques n\u00e9cessitent une certaine \u00e9nergie d&#8217;activation <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E_{act}<\/span>, qui est typiquement autour de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">1\/2 [eV].<\/span> \u00c0 une temp\u00e9rature <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">T=300[K],<\/span> correspondant approximativement \u00e0 la temp\u00e9rature ambiante, la probabilit\u00e9 qu&#8217;une r\u00e9action se produise est proportionnelle \u00e0 :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">e^{-E_{act}\/(k_B T)}<\/span>\n<p>Que se passe-t-il avec la probabilit\u00e9 de r\u00e9action si la temp\u00e9rature augmente de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">10[K]\u00a0?<\/span>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Pmthx9bQdO0\" title=\"Lecteur vid\u00e9o YouTube\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Exercices<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color:#000000;\">\n<li>Un syst\u00e8me poss\u00e8de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">N<\/span> \u00e9tats, qui peuvent avoir une \u00e9nergie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0<\/span> ou <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta.<\/span> Montrez que le nombre de configurations <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega(E)<\/span> pour un syst\u00e8me total avec une \u00e9nergie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E=r\\Delta<\/span> (o\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span> est un entier) est donn\u00e9 par :<\/li>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega(E) =\\displaystyle \\frac{N!}{r!(N-r)!}<\/span>\n<p>Maintenant, retirez une petite quantit\u00e9 d&#8217;\u00e9nergie <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s\\Delta<\/span> du syst\u00e8me, o\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">s \\ll r.<\/span> Montrez que :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega(E-\\epsilon) \\approx \\Omega(E)\\displaystyle \\frac{r^s}{(N-r)^s} <\/span>\n<p>et, par cons\u00e9quent, le syst\u00e8me a une temp\u00e9rature qui peut \u00eatre obtenue \u00e0 partir de la relation :<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\frac{1}{k_B T} = \\frac{1}{\\Delta}\\ln \\left(\\frac{N-r}{r} \\right) <\/span>\n<p>Tracez un graphique de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k_B T<\/span> en fonction de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r<\/span>, de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=0<\/span> \u00e0 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r=N,<\/span> et expliquez vos r\u00e9sultats.<\/p>\n<p><\/br><\/p>\n<li>\n<p style=\"text-align: justify;\">Un photon de lumi\u00e8re visible avec une \u00e9nergie de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">2[eV]<\/span> est absorb\u00e9 par un corps macroscopique qui reste \u00e0 temp\u00e9rature ambiante.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">a) De combien <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Omega<\/span> change-t-il pour un corps macroscopique\u00a0? <\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">b) Consid\u00e9rez un photon \u00e9mis par une antenne radio dans la plage FM (avec une fr\u00e9quence typique de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">100[MHz]<\/span>). En fonction de cela, r\u00e9p\u00e9tez les calculs de la partie pr\u00e9c\u00e9dente lorsque le photon absorb\u00e9 provient d&#8217;une source FM. Pour cela, utilisez la relation <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E=hf,<\/span> o\u00f9 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> est la fr\u00e9quence de l&#8217;onde et <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">h=4,135\\;667\\;696 \\cdot 10^{-15}[eV \\cdot s]<\/span> est la constante de Planck.<\/p>\n<\/li>\n<p><\/br><\/p>\n<li>\n<p style=\"text-align: justify;\">Trouvez l&#8217;\u00e9nergie moyenne <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\langle E \\rangle<\/span> pour :<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">a) Un syst\u00e8me avec <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">n<\/span> \u00e9tats, o\u00f9 chaque \u00e9tat peut avoir des \u00e9nergies <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0, \\varepsilon, 2\\varepsilon, 3\\varepsilon, \\cdots, n\\varepsilon.<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">b) Un oscillateur harmonique, o\u00f9 un \u00e9tat peut avoir des \u00e9nergies <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0, \\varepsilon, 2\\varepsilon, 3\\varepsilon, \\cdots <\/span> (sans limite sup\u00e9rieure).<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p><a href=\"https:\/\/drive.google.com\/file\/d\/1YU3OV7gGxLo-mINPLSMcSc0U7ki3zaqX\/view?usp=sharing\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>Tableau avec tous les calculs<\/strong><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Distribution de Boltzmann dans l&#8217;ensemble canonique La thermodynamique nous r\u00e9v\u00e8le comment les syst\u00e8mes physiques atteignent l&#8217;\u00e9quilibre et comment l&#8217;\u00e9nergie et la probabilit\u00e9 d\u00e9terminent leur comportement. Dans ce cours, nous explorerons l&#8217;ensemble canonique et la distribution de Boltzmann, des outils fondamentaux pour comprendre des ph\u00e9nom\u00e8nes tels que les r\u00e9actions chimiques et l&#8217;\u00e9quilibre dans des syst\u00e8mes complexes. 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