{"id":29639,"date":"2024-11-27T12:00:32","date_gmt":"2024-11-27T12:00:32","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=29639"},"modified":"2024-11-27T17:35:21","modified_gmt":"2024-11-27T17:35:21","slug":"la-derivada-como-el-limite-de-una-funcion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/la-derivada-como-el-limite-de-una-funcion\/","title":{"rendered":"La Derivada como el L\u00edmite de una Funci\u00f3n"},"content":{"rendered":"<style>\np{\ntext-align:justify;\n}\n<\/style>\n<h1 style=\"text-align:center;\">La Derivada como el L\u00edmite de una Funci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase exploraremos el concepto de derivada como la herramienta matem\u00e1tica para analizar cambios en funciones. Partiremos de la pendiente de una recta secante y, al tomar el l\u00edmite cuando los puntos se acercan, definiremos la derivada como la pendiente de la tangente. Adem\u00e1s, estudiaremos sus propiedades clave y reglas, como las de suma, producto y cociente, fundamentales para aplicar las derivadas en el an\u00e1lisis de funciones y fen\u00f3menos de cambio.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Objetivos de Aprendizaje<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de:\n<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la derivada como el l\u00edmite que describe el cambio instant\u00e1neo en una funci\u00f3n y como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.<\/li>\n<li><strong>Explicar<\/strong> c\u00f3mo la derivabilidad implica continuidad en funciones.<\/li>\n<li><strong>Demostrar<\/strong> las reglas b\u00e1sicas de derivaci\u00f3n a partir de la definici\u00f3n formal.<\/li>\n<li><strong>Utilizar<\/strong> las propiedades del \u00e1lgebra de las derivadas (suma, producto y cociente) en problemas matem\u00e1ticos.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>\u00cdNDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>El concepto de derivada<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">La pendiente de la recta secante<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Paso al l\u00edmite: La derivada y la pendiente de la recta tangente<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Definici\u00f3n alternativa<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\"><strong>Propiedades de las Derivadas<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Derivabilidad implica continuidad<\/a><br \/>\n<a href=\"#\">\u00c1lgebra de las derivadas<\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/TFxATgmYvkY\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>El concepto de derivada<\/h2>\n<p>La naturaleza es en general suceptible de cambio, y la herramienta matem\u00e1tica por excelencia para calcular y comprender el cambio es la Derivada. Esta surge de preguntarse \u00ab\u00bfqu\u00e9 pasar\u00e1 con el valor de una funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> cuando la variable <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> es incrementada o disminuida en una cantidad tan peque\u00f1a como queramos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta x<\/span><\/span>?\u00bb. El concepto de derivada emerge como el l\u00edmite de una funci\u00f3n al analizar esa pregunta.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h3>La pendiente de la recta secante<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=164s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Consideremos una funci\u00f3n<\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> evaluada en dos puntos <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0 + \\Delta x<\/span><\/span>. Toda recta que corta dos puntos de una curva se llama \u00abrecta secante\u00bb y se ve como lo que aparece en la figura.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/--KZ1YA55iug\/YI_jLiez_RI\/AAAAAAAAFCs\/xYcWyzwUaf88McAiTNK7l6tOSZQKyZFdwCLcBGAsYHQ\/s0\/graficosecante.PNG\" alt=\"Grafico recta secante\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"397\" height=\"233\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/--KZ1YA55iug\/YI_jLiez_RI\/AAAAAAAAFCs\/xYcWyzwUaf88McAiTNK7l6tOSZQKyZFdwCLcBGAsYHQ\/s0\/graficosecante.PNG\" alt=\"Grafico recta secante\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"397\" height=\"233\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>Esta recta secante en particular tiene pendiente<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{\\Delta f(x_0)}{\\Delta x} = \\dfrac{f(x_0 + \\Delta x) - f(x_0)}{\\Delta x}<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Paso al l\u00edmite: La derivada y la pendiente de la recta tangente<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=278s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Si consideramos la recta secante a la curva<\/strong><\/a> <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y=f(x)<\/span><\/span> que pasa por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> y <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0 + \\Delta x<\/span><\/span>, y luego tomamos el l\u00edmite en que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta x<\/span><\/span> tiende a cero, lo que obtendremos es la recta tangetente a la curva que pasa por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x_0, f(x_0)).<\/span><\/span><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-8wCxY7adTBw\/YI_kfLeezzI\/AAAAAAAAFC0\/o6nKbRKv1SISYU3Rx7ML5Rly29edqey3ACLcBGAsYHQ\/s0\/grafico%2Brecta%2Btangente.PNG\" alt=\"Gr\u00e1fico recta tangente\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"464\" height=\"268\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-8wCxY7adTBw\/YI_kfLeezzI\/AAAAAAAAFC0\/o6nKbRKv1SISYU3Rx7ML5Rly29edqey3ACLcBGAsYHQ\/s0\/grafico%2Brecta%2Btangente.PNG\" alt=\"Gr\u00e1fico recta tangente\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"464\" height=\"268\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>A partir de esto emerge la definici\u00f3n formal de la derivada de una funci\u00f3n <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> en un punto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> como el l\u00edmite<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\dfrac{df(x_0)}{dx}:= \\lim_{\\Delta x \\to 0}\\dfrac{\\Delta f(x_0)}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x_0 + \\Delta x) - f(x_0)}{\\Delta x}<\/span><\/span><\/p>\n<p>que a su vez representa la pendiente de la recta tangente que pasa por <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0.<\/span><\/span><\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Definici\u00f3n alternativa<\/h3>\n<p>Una forma alternativa de presentar la definici\u00f3n de derivada como un l\u00edmite se obtiene a partir de la siguiente sustituci\u00f3n:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\nx_i &amp;= x_0\\\\\n\nx_f &amp;= x_i + \\Delta x\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Con esto tendremos que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\Delta x = x_f - x_i<\/span><\/span> y la definici\u00f3n de la derivada quedar\u00e1 de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\dfrac{df(x_i)}{dx} &amp;=\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0}\\dfrac{ f(x_i + \\Delta x) - f(x_i)}{\\Delta x}\\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\lim_{x_f - x_i \\to 0} \\dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle  \\lim_{x_f \\to x_i } \\dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-GLyWOue8OUs\/YJAHOc_lTOI\/AAAAAAAAFC8\/3IV-onfsq9QC4nyweccS4ZN_O-JlWVz8wCLcBGAsYHQ\/s0\/definicion%2Bderivada%2Bcomo%2Blimite.PNG\" alt=\"definici\u00f3n de derivada como el l\u00edmite de las pendientes de las rectas secantes\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"469\" height=\"243\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-GLyWOue8OUs\/YJAHOc_lTOI\/AAAAAAAAFC8\/3IV-onfsq9QC4nyweccS4ZN_O-JlWVz8wCLcBGAsYHQ\/s0\/definicion%2Bderivada%2Bcomo%2Blimite.PNG\" alt=\"definici\u00f3n de derivada como el l\u00edmite de las pendientes de las rectas secantes\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"469\" height=\"243\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>Ambas definiciones son equialentes y se puede alternar en su uso seg\u00fan sea conveniente.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Propiedades de las Derivadas<\/h2>\n<p>Se dice que una funci\u00f3n es derivable en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> cuando existe el l\u00edmite<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x_0 + \\Delta x) - f(x_0)}{\\Delta x}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Y diremos que es derivable en un conjunto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">I<\/span> si el l\u00edmite est\u00e1 bien definido para todos los <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0\\in I.<\/span><\/span> Las funciones deribables tienen las siguientes propiedades:<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Derivabilidad implica continuidad<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=526s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Si una funci\u00f3n es derivable en <\/strong><\/a><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span>, entonces es continua en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span>. Esto lo podemos demostrar a trav\u00e9s del siguiente argumento.<\/p>\n<p>Para que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> sea continua en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> es necesario que se cumpla que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0}f(x) = f(x_0) <\/span><\/span><\/p>\n<p>Si examinamos el lado izquierdo de esta expresi\u00f3n tendremos que:<\/p>\n<p style=\"text-align:center\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} f(x) &amp;= \\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \\right] \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\left[f(x_0) + \\left( f(x)  - f(x_0) \\right) \\right] \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\left[f(x_0) + \\left( \\dfrac{f(x)  - f(x_0)}{x- x_0} \\right)(x-x_0)  \\right] \\\\ \\\\\n\n&amp;=f(x_0) +\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\left[ \\left( \\dfrac{f(x)  - f(x_0)}{x- x_0} \\right)(x-x_0) \\right] \\\\ \\\\\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>De aqu\u00ed se tiene que, para que <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> sea continua en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span> es necesario que el l\u00edmite de la derecha est\u00e9 bien definido; y tal cosa ocurre si y s\u00f3lo si<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to x_0} \\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} =\\dfrac{df(x_0)}{dx}<\/span><\/span><\/p>\n<p>En otras palabras, si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> es derivable en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span>. En consecuencia, si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span><\/span> es derivable en <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span><\/span>, entonces es cont\u00ednua en ese punto.<\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h3>\u00c1lgebra de las derivadas<\/h3>\n<p>Sean <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> funciones derivables en para todas la <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\in I<\/span><\/span>, y sean <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\alpha,\\beta\\in\\mathbb{R}.<\/span><\/span> Entonces se tiene que:<\/p>\n<ol>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx} \\left( \\alpha f(x) \\pm \\beta g(x) \\right) = \\alpha \\dfrac{df(x)}{dx} \\pm \\beta\\dfrac{dg(x)}{dx}<\/span><\/span><\/li>\n<\/li>\n<li><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx} \\left( f(x) g(x) \\right) = \\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x)\\dfrac{dg(x)}{dx}<\/span><\/span><\/li>\n<li>Si <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x)\\neq 0<\/span><\/span>, entonces <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{d}{dx} \\left( \\dfrac{f(x)}{g(x)} \\right) = \\dfrac{\\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \\dfrac{dg(x)}{dx} }{\\left[g(x)\\right]^2}<\/span><\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p>Como podemos ver, el \u00e1lgebra de las derivadas no es tan intuitiva como podr\u00eda parecer a primera vista; sin embargo, la demostraci\u00f3n de estas propiedades se pueden inferir sin mucha dificultad desde la definici\u00f3n de las derivadas como l\u00edmites.<\/p>\n<p><span style=\"color: #000080;\">DEMOSTRACI\u00d3N:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=925s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>La demostraci\u00f3n de la derivada de la suma<\/strong><\/a> nos queda siguiendo el siguiente razonamiento:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\dfrac{d}{dx}\\left(\\alpha f(x) \\pm \\beta g(x) \\right) &amp; =\\displaystyle \\lim_{\\Delta x\\to 0} \\dfrac{\\left[\\alpha f(x+\\Delta x) \\pm \\beta g(x+ \\Delta x)\\right] - \\left[\\alpha f(x) \\pm \\beta g(x) \\right]}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{ \\left[\\alpha f(x+\\Delta x) - \\alpha f(x)\\right] \\pm \\left[\\beta g(x+\\Delta x) - \\beta g(x)\\right]}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{ \\alpha \\left[ f(x+\\Delta x) -  f(x)\\right] \\pm  \\beta  \\left[ g(x+\\Delta x) - g(x)\\right]}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\alpha \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x+\\Delta x) -  f(x)}{\\Delta x} \\pm \\beta \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{ g(x+\\Delta x) -  g(x)}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\alpha \\dfrac{df(x)}{dx} \\pm \\beta \\dfrac{dg(x)}{dx}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p style=\"text-align: center;\">\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=1059s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Por otro lado, la demostraci\u00f3n de la derivada del producto<\/strong><\/a> es un poco m\u00e1s complicada, pero nada del otro mundo:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\dfrac{d}{dx}\\left[f(x)g(x)\\right] &amp;= \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x+\\Delta x) g(x+\\Delta x) -  f(x) g(x)}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x+\\Delta x) g(x+\\Delta x) + \\color{red}f(x)g(x+\\Delta x) - f(x)g(x+\\Delta x) \\color{black} - f(x) g(x)}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;= \\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{\\left[f(x+\\Delta x) - f(x) \\right] g(x+\\Delta x) + f(x) \\left[g(x+\\Delta x)  - g(x)\\right]}{\\Delta x} \\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} g(x+\\Delta x) \\dfrac{f(x+\\Delta x) - f(x)}{\\Delta x} + f(x)\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{g(x+\\Delta x) - g(x)}{\\Delta x}\\\\ \\\\\n\n&amp;=\\displaystyle \\lim_{\\Delta x \\to 0} g(x+\\Delta x)\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{f(x+\\Delta x) - f(x)}{\\Delta x} + f(x)\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\dfrac{g(x+\\Delta x) - g(x)}{\\Delta x}\\\\ \\\\\n\n&amp;= g(x) \\dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\\dfrac{dg(x)}{dx}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>Aqu\u00ed se ha aprovechado el hecho de que al ser <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g<\/span> una funci\u00f3n derivable, entonces es cont\u00ednua y por lo tanto <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{\\Delta x\\to 0 } g(x+\\Delta x) = g(x)<\/span><\/span>, para luego concluir la demostraci\u00f3n usando el <strong>\u00e1lgebra de l\u00edmites.<\/strong><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=TFxATgmYvkY&amp;t=162s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Finalmente, para la demostraci\u00f3n de la derivada de la divisi\u00f3n,<\/strong><\/a> podemos aprovechar el resultado de la derivada de la multiplicaci\u00f3n. Consideremos una funci\u00f3n de la forma <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">k(x) = f(x)\/g(x)<\/span><\/span>, con <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">g(x)\\neq 0<\/span><\/span>. A partir de esto se tendr\u00e1 que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\dfrac{df(x)}{dx}= \\dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\\dfrac{dg(x)}{dx}<\/span><\/span><\/p>\n<p>Ahora, despejando <span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{dk(x)}{dx}<\/span><\/span> se tiene:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span dir=\"ltr\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \\dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\\dfrac{dg(x)}{dx} = \\dfrac{d}{dx}f(x) - \\dfrac{f(x)}{g(x)}\\dfrac{dg(x)}{dx} <\/span><\/span><\/p>\n<p>Y por lo tanto:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\n\\begin{array}{rl}\n\n\\dfrac{d}{dx}\\left(\\dfrac{f(x)}{g(x)}\\right)\n\n &amp;= \\dfrac{dk(x)}{dx} =\\dfrac{1}{g(x)} \\dfrac{df(x)}{dx} - \\dfrac{f(x)}{\\left[g(x)\\right]^2}\\dfrac{dg(x)}{dx} \\\\ \\\\\n\n&amp; = \\dfrac{\\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \\dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2}\n\n\\end{array}\n\n<\/span>\n<p>que es lo que se quer\u00eda demostrar.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La Derivada como el L\u00edmite de una Funci\u00f3n Resumen: En esta clase exploraremos el concepto de derivada como la herramienta matem\u00e1tica para analizar cambios en funciones. 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