{"id":29432,"date":"2024-11-12T13:00:54","date_gmt":"2024-11-12T13:00:54","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=29432"},"modified":"2024-11-13T07:40:31","modified_gmt":"2024-11-13T07:40:31","slug":"limites-infinitos-y-divergencia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/limites-infinitos-y-divergencia\/","title":{"rendered":"L\u00edmites infinitos y divergencia"},"content":{"rendered":"<style>\np {\ntext-align: justify;}\n<\/style>\n<p><center><\/p>\n<h1>L\u00edmites infinitos y divergencia<\/h1>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase, abordaremos los l\u00edmites infinitos y las diferentes formas de divergencia en los l\u00edmites, explorando conceptos fundamentales para entender c\u00f3mo ciertas funciones no convergen a un valor real definido. Revisaremos los l\u00edmites laterales dispares, funciones infinitamente oscilantes y situaciones donde los l\u00edmites no existen debido a problemas de dominio o crecimiento ilimitado.<br \/>\n<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de\n<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Definir<\/strong> los l\u00edmites divergentes y reconocer cu\u00e1ndo un l\u00edmite es divergente.<\/li>\n<li><strong>Identificar<\/strong> los distintos tipos de divergencia en l\u00edmites, tales como l\u00edmites laterales dispares y l\u00edmites infinitos.<\/li>\n<li><strong>Analizar<\/strong> situaciones en las que una funci\u00f3n tiene problemas de dominio y c\u00f3mo esto afecta la existencia del l\u00edmite.<\/li>\n<li><strong>Evaluar<\/strong> l\u00edmites laterales para determinar si son dispares y el impacto en la convergencia del l\u00edmite.<\/li>\n<li><strong>Calcular<\/strong> l\u00edmites infinitos y distinguir entre l\u00edmites que divergen hacia el infinito positivo y el negativo.<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align:center;\">\n<u><strong>INDICE DE CONTEFNIDOS<\/strong><\/u>:<br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>\u00bfCu\u00e1ndo decimos que un limite es divergente?<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Tipos de Divergencia en los L\u00edmites<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">L\u00edmites con Problemas de Dominio<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Limites Laterales Dispares<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">L\u00edmite de Funciones Infinitamente Oscilantes<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Limites Infinitos<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Limites Infinitos al infinito<\/a>\n<\/p>\n<p><\/center><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/SFBMSd0Q7Io\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p>En esta ocasi\u00f3n no solo revisaremos los <strong>Limites Infinitos,<\/strong> sino que de los <strong>l\u00edmites divergente<\/strong> en general. Los l\u00edmites divergentes nos hablan sobre el c\u00f3mo una funci\u00f3n parece no converger, y esto puede ocurrir de muchas maneras.<\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00bfCu\u00e1ndo decimos que un limite es divergente?<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=106s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Decimos que un l\u00edmite es divergente cuando no converge a alg\u00fan valor real.<\/strong><\/a> Esto que suena tan obvio se puede dar de formas diferentes:<\/p>\n<ul>\n<li>Cuando los l\u00edmites laterales son distintos o inexistentes, los l\u00edmites bilaterales no existen.<\/li>\n<li>Si la funci\u00f3n no est\u00e1 bien definida, crece sin l\u00edmite u oscila infinitamente al acercarse al punto donde se calcula el l\u00edmite, entonces el l\u00edmite lateral no puede existir.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Esto puede aplicar, con sus particularidades, tanto a limites finitos como con los l\u00edmites al infintio y, seg\u00fan sea el caso, tendremos alg\u00fan tipo de divergencia.<\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Tipos de Divergencia en los L\u00edmites<\/h2>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>L\u00edmites con Problemas de Dominio<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=210s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Cuando intentamos calcular un l\u00edmite del estilo <\/strong><\/a><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{x\\to x_0}f(x)<\/span> o <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{x\\to +\\infty}f(x),<\/span> esperamos que como m\u00ednimo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> est\u00e9 bien definido para valores cercanos a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x_0<\/span> o para alg\u00fan intervalo de la forma <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">[a,+\\infty[, <\/span> respectivamente. Si tal cosa no ocurriese, entonces ninguna de las dos definiciones de l\u00edmites podr\u00eda tan siquiera tener sentido; la funci\u00f3n no puede \u00abtender\u00bb a alg\u00fan valor si se acerca por donde ni siquiera est\u00e1 definida. En tales casos simplemente escribimos que el l\u00edmite no existe: <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{x\\to x_0}f(x)=\\cancel{\\exists}<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{x\\to +\\infty}f(x)=\\cancel{\\exists},<\/span> seg\u00fan corresponda. De forma similar aplica con los l\u00edmites laterales y no queda mas nada que decir sobre este tipo de situaciones.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Limites Laterales Dispares<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=180s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Consideremos una funci\u00f3n del estilo<\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = x\/|x|<\/span> y calculemos el l\u00edmite cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to 0<\/span>. Lo primero que notaremos ser\u00e1 que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+} f(x) = 1<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^-} f(x) = -1<\/span>\n<p>En tal caso notaremos que si bien los l\u00edmites laterales existen, estos son distintos. Cuando esto ocurre simplemente decimos que el l\u00edmite (bilateral) no converge y, por lo tanto:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0} f(x) = \\cancel{\\exists}<\/span>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h3>L\u00edmite de Funciones Infinitamente Oscilantes<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=415s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Tambi\u00e9n existe el caso en que las funciones que, en lugar de acercarse a un cierto valor,<\/strong><\/a> comienzan a oscilar dentro de un determinado rango. Un ejemplo de esto vendr\u00eda siendo una funci\u00f3n del estilo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)= \\sin(1\/x)<\/span>. Si observamos qu\u00e9 pasa con esta funci\u00f3n cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to 0<\/span> veremos que oscila infinitamente.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-vrdcIAmLV50\/YGoC903Q62I\/AAAAAAAAE1M\/6AM7D-RM9lAy9ZrG105MbfCN8ltu6J09ACLcBGAsYHQ\/s0\/sin1sobrex.PNG\" alt=\"f(x) = sin(1\/x)\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"856\" height=\"442\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-vrdcIAmLV50\/YGoC903Q62I\/AAAAAAAAE1M\/6AM7D-RM9lAy9ZrG105MbfCN8ltu6J09ACLcBGAsYHQ\/s0\/sin1sobrex.PNG\" alt=\"f(x) = sin(1\/x)\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"856\" height=\"442\" \/><\/noscript><\/p>\n<p>Cuando cosas semejantes ocurren, diremos que el l\u00edmite simplemente no existe.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Limites Infinitos<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=658s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Veamos lo que ocurre con la funci\u00f3n<\/strong><\/a> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = 1\/x.<\/span> Lo primero que veremos es que cuando cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to 0<\/span> ser\u00e1 que el valor de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> crece sin l\u00edmite, pero la forma en que lo har\u00e1 depender\u00e1 desde donde se calcule el l\u00edmite. Intuitivamente escribiremos que<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+} \\dfrac{1}{x} = +\\infty<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^-} \\dfrac{1}{x} = -\\infty<\/span>\n<p>Con esta escritura no estamos diciendo que el l\u00edmite exista de alguna manera, en su lugar estamos indicando la forma en que este l\u00edmite no existe. A diferencia de los casos anteriores, en que el l\u00edmite no existe no converge a un valor concreto; en este caso diverge porque su tama\u00f1o va mas all\u00e1 de cualquier n\u00famero real.<\/p>\n<p>Esto que acabamos de revisar se puede formalizar a trav\u00e9s de las siguientes definiciones:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0^+}f(x) = +\\infty := \\left(\\forall M \\in \\mathbb{R}\\right)\\left( \\exists \\delta \\gt 0 \\right) ( x_0 \\lt x \\lt x_0 + \\delta \\rightarrow M \\lt f(x) )<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0^-}f(x) = +\\infty := \\left(\\forall M \\in \\mathbb{R}\\right)\\left( \\exists \\delta \\gt 0 \\right) ( x_0 - \\delta \\lt x \\lt x_0 \\rightarrow M \\lt f(x) )<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}f(x) = +\\infty := \\left(\\lim_{x\\to x_0^+}f(x) = +\\infty \\right) \\wedge \\left(\\lim_{x\\to x_0^-}f(x) = +\\infty \\right)<\/span>\n<p>Y de forma an\u00e1loga:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0^+}f(x) = -\\infty := \\left(\\forall m \\in \\mathbb{R}\\right)\\left( \\exists \\delta \\gt 0 \\right) ( x_0 \\lt x \\lt x_0 + \\delta \\rightarrow f(x) \\lt m )<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0^-}f(x) = -\\infty := \\left(\\forall m \\in \\mathbb{R}\\right)\\left( \\exists \\delta \\gt 0 \\right) ( x_0 - \\delta \\lt x \\lt x_0 \\rightarrow f(x) \\lt m )<\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}f(x) = -\\infty := \\left(\\lim_{x\\to x_0^+}f(x) = -\\infty \\right) \\wedge \\left(\\lim_{x\\to x_0^-}f(x) = -\\infty \\right)<\/span>\n<p>En ocasiones tambi\u00e9n se habla de l\u00edmite que tiende al infinito (sin signo)<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to x_0}f(x) = \\infty := \\lim_{x\\to x_0}|f(x)| = +\\infty <\/span>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h3>Limites Infinitos al infinito<\/h3>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=SFBMSd0Q7Io&amp;t=1147s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>De forma similar con los l\u00edmites revisamos anteriormente,<\/strong><\/a> es posible definir los l\u00edmites infinitos al infinito. Por ejemplo:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}f(x) = +\\infty := \\left(\\forall M \\in \\mathbb{R}\\right)\\left( \\exists N \\in\\mathbb{R} \\right) ( N\\lt x \\rightarrow M \\lt f(x) )<\/span>\n<p>Y con esto ya hemos visto todas las formas en que los l\u00edmites de las funciones pueden diverger.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>L\u00edmites infinitos y divergencia Resumen: En esta clase, abordaremos los l\u00edmites infinitos y las diferentes formas de divergencia en los l\u00edmites, explorando conceptos fundamentales para entender c\u00f3mo ciertas funciones no convergen a un valor real definido. 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