{"id":29357,"date":"2025-01-04T12:00:12","date_gmt":"2025-01-04T12:00:12","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=29357"},"modified":"2025-01-05T23:53:53","modified_gmt":"2025-01-05T23:53:53","slug":"modelo-simple-del-mercado-nociones-y-suposiciones-elementales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/modelo-simple-del-mercado-nociones-y-suposiciones-elementales\/","title":{"rendered":"Modelo Simple del Mercado: Nociones y Suposiciones Elementales"},"content":{"rendered":"<style>\np {\n    text-align: justify;\n}\n<\/style>\n<p><center><\/p>\n<h1><strong>Un Modelo Simple del Mercado:<\/strong><br \/>Nociones y Suposiciones Elementales<\/h1>\n<p><\/center><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEsta clase introduce el \u00abModelo Simple del Mercado\u00bb, un enfoque que facilita el aprendizaje de conceptos clave de inversi\u00f3n, combinando activos sin riesgo (bonos, con retorno conocido) y activos de riesgo (acciones, con retorno incierto). Veremos c\u00f3mo estos activos pueden combinarse en un portafolio que, gestionado correctamente, permite obtener retornos superiores a los intereses bancarios, equilibrando crecimiento y seguridad. Adem\u00e1s, aprenderemos a calcular el retorno de estos activos en una l\u00ednea de tiempo simplificada (presente y futuro) y analizaremos supuestos de mercado como la aleatoriedad de precios y la solvencia, para tomar decisiones informadas sobre inversi\u00f3n y riesgo.<\/em><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Reconocer<\/strong> las caracter\u00edsticas de  un Modelo Simple del Mercado, de los activos de riesgo y sin riesgo en la toma de decisiones de inversi\u00f3n.<\/li>\n<li><strong>Comprender<\/strong> la diferencia entre activos de riesgo y sin riesgo, identificando c\u00f3mo cada uno afecta el retorno y el riesgo en un portafolio.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> f\u00f3rmulas para calcular el retorno de inversi\u00f3n en activos de riesgo y sin riesgo, utilizando precios iniciales y finales.<\/li>\n<li><strong>Analizar<\/strong> la construcci\u00f3n de portafolios que combinan activos de riesgo y sin riesgo para optimizar el retorno mientras se gestiona el riesgo en un modelo simple del mercado.<\/li>\n<li><strong>Evaluar<\/strong> el impacto de escenarios de mercado en el valor y retorno de un portafolio, considerando las variaciones en el precio de los activos.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> la probabilidad para calcular el retorno esperado en situaciones de mercado inciertas, determinando posibles resultados financieros.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align:center;\"><strong><u>INDICE DE CONTENIDOS<\/u><\/strong><br \/>\n<a href=\"#1\"><strong>Introducci\u00f3n<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#2\"><strong>Definiciones y Suposiciones Te\u00f3ricas<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">Activos de Riesgo y Activos Sin Riesgo<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">Escala de Tiempo en el Modelo<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">Retorno de una Inversi\u00f3n<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Construcci\u00f3n y Valoraci\u00f3n de un Portafolio<\/a><br \/>\n<a href=\"#7\">Suposiciones B\u00e1sicas del Modelo<\/a><br \/>\n<a href=\"#8\"><strong>Problemas Resueltos<\/strong><\/a><br \/>\n<a href=\"#9\"><strong>Ejercicios Propuestos<\/strong><\/a>\n<\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/MK9owXS381U?si=7KmgnPbga5fihMVy\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><br \/>\n<center><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<p><\/center><\/p>\n<p>Imagina que acabas de recibir una bonificaci\u00f3n en tu trabajo y has ahorrado una cantidad considerable en el banco. Sin embargo, al observar las tasas de inter\u00e9s actuales y el impacto de la inflaci\u00f3n, te preocupa que el poder adquisitivo de tus ahorros disminuya con el tiempo. Quieres que tu dinero no solo se conserve, sino que tambi\u00e9n crezca.<\/p>\n<p>Has o\u00eddo que invertir en acciones y bonos puede ser una buena forma de hacer crecer el dinero. Sabes que algunos activos, como los bonos, son seguros, mientras que otros, como las acciones, ofrecen mayores rendimientos pero conllevan m\u00e1s riesgo. Te preguntas si podr\u00edas combinar ambos tipos de activos en una estrategia que te permita ganar m\u00e1s que los intereses bancarios, sin asumir un riesgo excesivo.<\/p>\n<p>Decides investigar y encuentras un enfoque llamado <strong>\u00abModelo Simple del Mercado\u00bb<\/strong>, que facilita el aprendizaje de los conceptos b\u00e1sicos de activos de riesgo y sin riesgo, retornos y construcci\u00f3n de portafolios. Este modelo es ideal para principiantes, ya que simplifica el an\u00e1lisis financiero al enfocarse en dos puntos en el tiempo: el presente y un momento futuro.<\/p>\n<p>Con esta motivaci\u00f3n, decides aprender m\u00e1s sobre c\u00f3mo calcular el retorno de una inversi\u00f3n y construir un portafolio que maximice tus retornos. A medida que avanzamos, exploraremos estos conceptos en profundidad para que puedas tomar decisiones informadas y gestionar mejor tus finanzas personales.<\/p>\n<p>Ahora que est\u00e1s listo, vamos a sumergirnos en el conocimiento te\u00f3rico que necesitas para comprender este modelo de mercado y aplicarlo a tus propias decisiones de inversi\u00f3n.<\/p>\n<p><center><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Definiciones y Suposiciones Te\u00f3ricas<\/h2>\n<p><\/center><br \/>\n<a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h3>Activos de Riesgo y Activos Sin Riesgo<\/h3>\n<p>Para comenzar a entender el modelo simple del mercado, necesitamos familiarizarnos con los conceptos de <strong>activos de riesgo<\/strong> y <strong>activos sin riesgo<\/strong>. Estos dos tipos de activos forman la base de la mayor\u00eda de las estrategias de inversi\u00f3n.<\/p>\n<p>Un <strong>activo sin riesgo<\/strong> es un tipo de inversi\u00f3n cuyo retorno es conocido y seguro. Un ejemplo cl\u00e1sico de activo sin riesgo es un <em>bono<\/em> emitido por el gobierno o por una instituci\u00f3n financiera estable, que garantiza un pago de inter\u00e9s fijo al final de un per\u00edodo. Estos bonos pueden verse como dep\u00f3sitos en una cuenta bancaria o instrumentos de deuda que ofrecen un retorno predecible y estable.<\/p>\n<p>Por otro lado, un <strong>activo de riesgo<\/strong> es aquel cuyo precio futuro es incierto y puede variar, tanto al alza como a la baja. Un ejemplo com\u00fan de activo de riesgo son las <em>acciones<\/em> de empresas que cotizan en bolsa. Las acciones pueden ser vol\u00e1tiles y su precio depende de m\u00faltiples factores, lo que hace que su valor en el futuro sea impredecible.<\/p>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h3>Escala de Tiempo en el Modelo<\/h3>\n<p>En el modelo simple del mercado, restringimos el an\u00e1lisis a solo dos instantes en el tiempo: el presente, que llamamos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span>, y un momento futuro, como un a\u00f1o despu\u00e9s, que llamamos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span>. Este enfoque simplificado permite analizar los cambios en el valor de los activos sin entrar en una complejidad excesiva.<\/p>\n<p>Este modelo de dos puntos en el tiempo es especialmente \u00fatil para principiantes, ya que facilita la comprensi\u00f3n de c\u00f3mo cambian los precios de los activos en el tiempo y c\u00f3mo estos cambios afectan al valor de un portafolio.<\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h3>Retorno de una Inversi\u00f3n<\/h3>\n<p>El retorno es una medida de cu\u00e1nto valor ha ganado o perdido una inversi\u00f3n en un per\u00edodo de tiempo. Dependiendo del tipo de activo, el c\u00e1lculo del retorno puede ser incierto o determinado.<\/p>\n<p>Para un activo de riesgo, como una acci\u00f3n, el retorno es incierto y se calcula usando el precio inicial y el precio futuro del activo. Si el precio de la acci\u00f3n en el momento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t <\/span> se representa por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(t) <\/span>, el retorno de la acci\u00f3n entre <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> se calcula de la siguiente forma:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S = \\dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)} <\/span>\n<p>Este retorno, representado por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S <\/span>, es una fracci\u00f3n del valor inicial de la acci\u00f3n y puede ser positivo (si el precio de la acci\u00f3n ha subido), negativo (si ha bajado) o cero (si el precio no ha cambiado).<\/p>\n<p>Para un activo sin riesgo, como un bono, el retorno es conocido con certeza de antemano. Si representamos el precio de un bono en el tiempo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t <\/span> por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(t) <\/span>, el retorno de este bono entre <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> se calcula como:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A = \\dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} <\/span>\n<p>Este retorno, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A <\/span>, es fijo y se garantiza por el emisor del bono. La diferencia clave entre <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S <\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A <\/span> es la certeza: mientras que el retorno de una acci\u00f3n es incierto, el retorno de un bono es fijo y conocido.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h3>Construcci\u00f3n y Valoraci\u00f3n de un Portafolio<\/h3>\n<p>Ahora que entendemos el concepto de retorno, podemos combinar activos de riesgo y sin riesgo para formar un <strong>portafolio<\/strong>. Supongamos que decides construir un portafolio que contenga <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x <\/span> acciones y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> y <\/span> bonos. El valor total del portafolio en cualquier momento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t <\/span> es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(t) = xS(t) + yA(t) <\/span>\n<p>Aqu\u00ed, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(t) <\/span> representa el valor total del portafolio, que es la suma del valor de las acciones (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> xS(t) <\/span>) y del valor de los bonos (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> yA(t) <\/span>).<\/p>\n<p>En el momento inicial (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span>), el valor del portafolio es conocido si conocemos el n\u00famero de acciones y bonos y sus respectivos precios actuales. Sin embargo, en el tiempo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span>, el valor de las acciones puede variar, haciendo que el valor del portafolio sea incierto.<\/p>\n<p><a name=\"7\"><\/a><\/p>\n<h3>Suposiciones B\u00e1sicas del Modelo<\/h3>\n<p>Para simplificar el modelo, establecemos algunas suposiciones clave que nos permiten hacer los c\u00e1lculos y el an\u00e1lisis de manera m\u00e1s manejable:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Suposici\u00f3n de Aleatoriedad:<\/strong> El precio de una acci\u00f3n en el futuro (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) <\/span>) es una <em>variable aleatoria<\/em>, lo que significa que puede tomar diferentes valores en funci\u00f3n de factores impredecibles del mercado.<\/li>\n<li><strong>Positividad de Precios:<\/strong> Todos los precios de acciones y bonos son estrictamente positivos, es decir, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(t) &gt; 0 <\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(t) &gt; 0 <\/span> para <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0, 1 <\/span>. Esta suposici\u00f3n asegura que los valores de los activos sean realistas.<\/li>\n<li><strong>Divisibilidad, Liquidez:<\/strong> Los activos pueden comprarse en cantidades fraccionarias, lo que permite a los inversores ajustar sus portafolios sin restricciones. Adem\u00e1s, se asume que los activos se pueden comprar o vender en cualquier cantidad.<\/li>\n<li><strong>Solvencia:<\/strong> La riqueza total de un inversor debe ser no negativa en todo momento, es decir, <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(t) \\geq 0 <\/span>. Esto significa que no es posible perder m\u00e1s de lo que se ha invertido.<\/li>\n<li><strong>Precios Discretos:<\/strong> El precio futuro <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">S(1)<\/span> de una acci\u00f3n es una variable aleatoria que puede tomar s\u00f3lo un n\u00famero finito de valores posibles. Esto facilita el an\u00e1lisis y la modelizaci\u00f3n del mercado.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Con estas suposiciones, el modelo se vuelve m\u00e1s f\u00e1cil de manejar, permiti\u00e9ndonos analizar los retornos y valores de portafolio sin complejidades adicionales.<\/p>\n<p>Hasta ahora, hemos cubierto los conceptos te\u00f3ricos fundamentales para entender el modelo simple del mercado. En la siguiente secci\u00f3n, aplicaremos estos conocimientos en ejercicios pr\u00e1cticos para ver c\u00f3mo calcular el valor y el retorno de un portafolio en distintos escenarios.<\/p>\n<p><center><a name=\"8\"><\/a><\/p>\n<h2>Problemas Resueltos<\/h2>\n<p><\/center><br \/>\n<center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/BdcylGfSgtA?si=QwVbLqRiAaULJ6v1\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><\/p>\n<h3>Ejercicio 1: C\u00e1lculo del Retorno en Bonos (Activo Sin Riesgo)<\/h3>\n<p>Supongamos que tienes un bono cuyo precio en el momento inicial es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 100 <\/span> d\u00f3lares. Al final de un a\u00f1o, el valor del bono ha aumentado a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 110 <\/span> d\u00f3lares.<\/p>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el retorno de esta inversi\u00f3n en bonos?<\/p>\n<p><strong>Soluci\u00f3n:<\/strong> Dado que el bono es un activo sin riesgo, el retorno es seguro y puede calcularse usando la f\u00f3rmula de retorno para activos sin riesgo:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A = \\dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} <\/span>\n<p>Sustituyendo los valores:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A = \\dfrac{110 - 100}{100} = \\dfrac{10}{100} = 0.10 <\/span>\n<p>El retorno es del 10%.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 2: C\u00e1lculo del Retorno en Acciones (Activo de Riesgo)<\/h3>\n<p>Supongamos que compras una acci\u00f3n al precio de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span> d\u00f3lares. Al final del a\u00f1o, el precio de la acci\u00f3n puede variar. Hay dos posibles resultados:<\/p>\n<ul>\n<li>Si el mercado sube, el precio de la acci\u00f3n ser\u00e1 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 52 <\/span> d\u00f3lares, con una probabilidad <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> p <\/span>.<\/li>\n<li>Si el mercado baja, el precio de la acci\u00f3n ser\u00e1 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 48 <\/span> d\u00f3lares, con una probabilidad <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 1 - p <\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong>En un modelo simple de mercado \u00bfCu\u00e1l es el retorno de esta inversi\u00f3n en cada escenario?<\/p>\n<p><strong>Soluci\u00f3n:<\/strong> El retorno de una acci\u00f3n, al ser un activo de riesgo, es incierto y se calcula usando la f\u00f3rmula de retorno para activos de riesgo:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S = \\dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)} <\/span>\n<p>Calculamos el retorno en cada escenario:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Si el precio sube a 52 d\u00f3lares:<\/strong><\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S = \\dfrac{52 - 50}{50} = \\dfrac{2}{50} = 0.04 <\/span>\n<p>El retorno en este caso es del 4%.<\/p>\n<li><strong>Si el precio baja a 48 d\u00f3lares:<\/strong><\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S = \\dfrac{48 - 50}{50} = \\dfrac{-2}{50} = -0.04 <\/span>\n<p>El retorno en este caso es de -4%.<\/p>\n<\/ul>\n<p>Por lo tanto, dependiendo del comportamiento del mercado, el retorno puede ser positivo (4%) o negativo (-4%).<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 3: Valor de un Portafolio con Activos de Riesgo y Sin Riesgo<\/h3>\n<p>Sup\u00f3n que decides construir un portafolio que contiene 20 acciones y 10 bonos. Sabemos que:<\/p>\n<ul>\n<li>El precio de una acci\u00f3n al inicio es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span> d\u00f3lares.<\/li>\n<li>El precio de un bono al inicio es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 100 <\/span> d\u00f3lares.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el valor de este portafolio en el momento inicial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span>?<\/p>\n<p><strong>Soluci\u00f3n:<\/strong> El valor de un portafolio en el momento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t <\/span> se calcula como:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(t) = xS(t) + yA(t) <\/span>\n<p>Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x <\/span> es el n\u00famero de acciones y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> y <\/span> es el n\u00famero de bonos.<\/p>\n<p>Sustituyendo los valores:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(0) = (20)(50) + (10)(100) <\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(0) = 1000 + 1000 = 2000 <\/span>\n<p>El valor del portafolio en el momento inicial <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span> es de 2000 d\u00f3lares.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 4: C\u00e1lculo del Retorno en un Portafolio Mixto<\/h3>\n<p>Sup\u00f3n que el precio de los activos en el portafolio del Ejercicio 3 var\u00eda en el tiempo <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> de la siguiente manera:<\/p>\n<ul>\n<li>Si el mercado sube, el precio de la acci\u00f3n ser\u00e1 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 52 <\/span> y el bono ser\u00e1 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 110 <\/span>.<\/li>\n<li>Si el mercado baja, el precio de la acci\u00f3n ser\u00e1 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 48 <\/span> y el bono ser\u00e1 <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 110 <\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong>En un modelo simple del mercado \u00bfcu\u00e1l es el valor y el retorno del portafolio en cada escenario?<\/p>\n<p><strong>Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n<p><strong>Escenario 1: El mercado sube<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(1) = (20)(52) + (10)(110) <\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(1) = 1040 + 1100 = 2140 <\/span>\n<p>El valor del portafolio en este caso es de 2140 d\u00f3lares.<\/p>\n<p>El retorno del portafolio es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_V = \\dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \\dfrac{2140 - 2000}{2000} = \\dfrac{140}{2000} = 0.07 <\/span>\n<p>El retorno es del 7%.<\/p>\n<p><strong>Escenario 2: El mercado baja<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(1) = (20)(48) + (10)(110) <\/span>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(1) = 960 + 1100 = 2060 <\/span>\n<p>El valor del portafolio en este caso es de 2060 d\u00f3lares.<\/p>\n<p>El retorno del portafolio es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_V = \\dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \\dfrac{2060 - 2000}{2000} = \\dfrac{60}{2000} = 0.03 <\/span>\n<p>El retorno es del 3%.<\/p>\n<p>En resumen, el retorno del portafolio depende del comportamiento del mercado. Si el mercado sube, el retorno es del 7%; si el mercado baja, el retorno es del 3%.<\/p>\n<h3>Ejercicio 5: C\u00e1lculo de Retorno Ponderado en un Portafolio Mixto<\/h3>\n<p>Sup\u00f3n que decides construir un portafolio mixto con la siguiente distribuci\u00f3n inicial:<\/p>\n<ul>\n<li>50% de tu inversi\u00f3n est\u00e1 en bonos sin riesgo, con un precio inicial de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 100 <\/span> y un precio al final del a\u00f1o de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 105 <\/span>.<\/li>\n<li>50% de tu inversi\u00f3n est\u00e1 en acciones de riesgo, con un precio inicial de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span>. El precio de la acci\u00f3n en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> podr\u00eda ser <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 55 <\/span> si el mercado sube (probabilidad de 0.7) o <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 45 <\/span> si el mercado baja (probabilidad de 0.3).<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el retorno esperado total del portafolio considerando la probabilidad de que el mercado suba o baje?<\/p>\n<p><strong>Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n<p>1. Primero, calculamos el retorno de cada tipo de activo:<\/p>\n<ul>\n<li>Para los bonos sin riesgo:<\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A = \\dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} = \\dfrac{105 - 100}{100} = 0.05 <\/span> (5%)<\/p>\n<li>Para las acciones en cada escenario:<\/li>\n<ul>\n<li>Si el mercado sube:<\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S^{\\text{up}} = \\dfrac{55 - 50}{50} = 0.10 <\/span> (10%)<\/p>\n<li>Si el mercado baja:<\/li>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_S^{\\text{down}} = \\dfrac{45 - 50}{50} = -0.10 <\/span> (-10%)<\/p>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>2. Calculamos el retorno esperado de las acciones considerando las probabilidades:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\text{Retorno esperado de las acciones} = (0.7 \\times 0.10) + (0.3 \\times -0.10)  = 0.04 <\/span> (4%)<\/p>\n<p>3. Ahora calculamos el retorno ponderado del portafolio, dado que el 50% est\u00e1 en bonos y el 50% en acciones:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_{\\text{portafolio}} = (0.5 \\times 0.05) + (0.5 \\times 0.04) = 0.045 <\/span> (4.5%)<\/p>\n<p><strong>Respuesta:<\/strong> El retorno esperado total del portafolio es de 4.5%.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 6: Evaluaci\u00f3n de Riesgo y Retorno de un Portafolio con Venta en Corto en un modelo simple del msercado<\/h3>\n<p>Sup\u00f3n que tienes una estrategia en la que inviertes 2000 d\u00f3lares en bonos sin riesgo, con un retorno garantizado del 3% al final del a\u00f1o. Adem\u00e1s, tomas prestados 1000 d\u00f3lares para vender en corto acciones con el objetivo de que su precio baje y puedas obtener una ganancia. Actualmente, las acciones tienen un precio de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span> d\u00f3lares por acci\u00f3n, y al final del a\u00f1o el precio puede ser:<\/p>\n<ul>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 40 <\/span> d\u00f3lares si el mercado baja (probabilidad de 0.6)<\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 60 <\/span> d\u00f3lares si el mercado sube (probabilidad de 0.4)<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el retorno esperado del portafolio y cu\u00e1l es el riesgo asociado a la venta en corto, medido mediante la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de los retornos?<\/p>\n<p><strong>Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n<h4>C\u00e1lculo del retorno esperado<\/h4>\n<p>Primero, calculamos el retorno de los bonos sin riesgo:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> K_A = 0.03 <\/span> (3%)<\/p>\n<p>Para la venta en corto, calculamos la ganancia o p\u00e9rdida en cada escenario:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Si el mercado baja:<\/strong><\/li>\n<p>La venta en corto fue realizada a 50 d\u00f3lares por acci\u00f3n, y el precio al final del a\u00f1o es de 40 d\u00f3lares. La ganancia por cada acci\u00f3n es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 50 - 40 = 10 <\/span> d\u00f3lares<\/p>\n<p>Si tomaste prestados 1000 d\u00f3lares, esto equivale a vender en corto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\dfrac{1000}{50} = 20 <\/span> acciones. La ganancia total es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 20 \\times 10 = 200 <\/span> d\u00f3lares<\/p>\n<li><strong>Si el mercado sube:<\/strong><\/li>\n<p>La venta en corto fue realizada a 50 d\u00f3lares por acci\u00f3n, y el precio al final del a\u00f1o es de 60 d\u00f3lares. La p\u00e9rdida por cada acci\u00f3n es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 50 - 60 = -10 <\/span> d\u00f3lares<\/p>\n<p>Por 20 acciones, la p\u00e9rdida total es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 20 \\times -10 = -200 <\/span> d\u00f3lares<\/p>\n<\/ul>\n<p>Calculamos el retorno esperado de la venta en corto:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\text{Retorno esperado de la venta en corto} = (0.6 \\times 200) + (0.4 \\times -200) = 120 - 80 = 40 <\/span> d\u00f3lares<\/p>\n<h4>C\u00e1lculo de la varianza y desviaci\u00f3n est\u00e1ndar para medir el riesgo<\/h4>\n<p>Ahora, para medir el riesgo en un modelo simple del msercado, calculamos la <strong>varianza de los retornos<\/strong> de la venta en corto. La f\u00f3rmula de la varianza, en funci\u00f3n de los posibles resultados y sus probabilidades, es:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\text{Varianza} = (0.6) \\times (200 - 40)^2 + (0.4) \\times (-200 - 40)^2 = 38400<\/span>\n<p>Finalmente, calculamos la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar como la ra\u00edz cuadrada de la varianza:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\text{Desviaci\u00f3n est\u00e1ndar} = \\sqrt{38400} \\approx 196 <\/span>\n<h4>Interpretaci\u00f3n de la Desviaci\u00f3n Est\u00e1ndar en el Contexto de la Distribuci\u00f3n Normal<\/h4>\n<p>La desviaci\u00f3n est\u00e1ndar es una medida de la dispersi\u00f3n de los valores alrededor de la media. En el contexto de una distribuci\u00f3n normal, la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar tiene un papel importante en la comprensi\u00f3n del riesgo y la probabilidad de ciertos retornos.<\/p>\n<h4>Relaci\u00f3n entre la Desviaci\u00f3n Est\u00e1ndar y la Distribuci\u00f3n Normal<\/h4>\n<p>La <strong>distribuci\u00f3n normal<\/strong> (o campana de Gauss) es una distribuci\u00f3n de probabilidad sim\u00e9trica alrededor de su media, y en ella la mayor\u00eda de los valores se concentran cerca de la media. Muchos retornos financieros, como los rendimientos de portafolios bien diversificados, suelen aproximarse a una distribuci\u00f3n normal.<\/p>\n<p>En una distribuci\u00f3n normal:<\/p>\n<ul>\n<li>Aproximadamente el 68% de los valores se encuentran dentro de una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de la media.<\/li>\n<li>Aproximadamente el 95% de los valores se encuentran dentro de dos desviaciones est\u00e1ndar de la media.<\/li>\n<li>Aproximadamente el 99.7% de los valores se encuentran dentro de tres desviaciones est\u00e1ndar de la media.<\/li>\n<\/ul>\n<h4>Interpretaci\u00f3n en el Contexto de Riesgo y Retornos Financieros<\/h4>\n<p>Si asumimos que los retornos de la venta en corto siguen una distribuci\u00f3n aproximadamente normal, la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 196 d\u00f3lares nos permite estimar la probabilidad de obtener ciertos retornos alrededor del promedio esperado. Por ejemplo:<\/p>\n<ul>\n<li>Con una desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de 196 d\u00f3lares y un retorno esperado de 40 d\u00f3lares, podemos decir que el 68% de los resultados estar\u00e1n en el rango de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> 40 \\pm 196 <\/span> d\u00f3lares (es decir, entre -156 y 236 d\u00f3lares).<\/li>\n<li>Para evaluar <strong>riesgos extremos<\/strong>, podr\u00edamos analizar resultados a dos o tres desviaciones est\u00e1ndar de la media. En una distribuci\u00f3n normal, eventos a dos o m\u00e1s desviaciones est\u00e1ndar de la media son menos probables (5% o menos) pero pueden tener un impacto significativo en el portafolio.<\/li>\n<\/ul>\n<h4>Limitaciones en el Contexto de la Venta en Corto<\/h4>\n<p>Es importante tener en cuenta que en la venta en corto, los retornos pueden no seguir una distribuci\u00f3n perfectamente normal debido a la <strong>asimetr\u00eda<\/strong> de la estrategia: el precio de una acci\u00f3n puede subir indefinidamente, generando p\u00e9rdidas ilimitadas, pero no puede caer por debajo de cero. Esto introduce un sesgo en la distribuci\u00f3n, haciendo que el riesgo de p\u00e9rdidas extremas sea m\u00e1s probable de lo que una distribuci\u00f3n normal podr\u00eda sugerir.<\/p>\n<p><center><a name=\"9\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejercicios Propuestos<\/h2>\n<p><\/center><\/p>\n<h3>Ejercicio 1: C\u00e1lculo de Retorno en un Bono<\/h3>\n<p>Sup\u00f3n que compras un bono sin riesgo a un precio inicial de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 200 <\/span> d\u00f3lares, y al final del a\u00f1o el precio del bono aumenta a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 220 <\/span> d\u00f3lares.<\/p>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el retorno de esta inversi\u00f3n en bonos?<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 2: Retorno en una Acci\u00f3n de Riesgo con Escenarios Probabil\u00edsticos<\/h3>\n<p>Compras una acci\u00f3n a un precio inicial de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 100 <\/span> d\u00f3lares. Al final del a\u00f1o, el precio de la acci\u00f3n puede ser <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 110 <\/span> con una probabilidad de 0.5, o <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 90 <\/span> con una probabilidad de 0.5.<\/p>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> Calcula el retorno en cada escenario y el retorno esperado de esta inversi\u00f3n en la acci\u00f3n.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 3: Valor de un Portafolio Mixto<\/h3>\n<p>Construyes un portafolio con 15 acciones y 5 bonos. Al inicio, el precio de cada acci\u00f3n es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 30 <\/span> d\u00f3lares, y el precio de cada bono es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 100 <\/span> d\u00f3lares.<\/p>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el valor total de tu portafolio en el momento <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 0 <\/span>?<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 4: Retorno del Portafolio en Diferentes Escenarios de Mercado<\/h3>\n<p>Para el portafolio del ejercicio anterior, al final del a\u00f1o el precio de la acci\u00f3n puede ser <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 35 <\/span> si el mercado sube, o <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 25 <\/span> si el mercado baja. El bono sin riesgo tendr\u00e1 un precio de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 105 <\/span> en ambos casos.<\/p>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> Calcula el valor y el retorno del portafolio en cada escenario de mercado.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 5: Impacto de Cambios en el Precio de la Acci\u00f3n en el Portafolio<\/h3>\n<p>Sup\u00f3n que tienes un portafolio compuesto por 10 bonos y 40 acciones. El precio de cada bono es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 90 <\/span> d\u00f3lares, y el de cada acci\u00f3n es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 20 <\/span> d\u00f3lares al inicio. Al final del a\u00f1o, el precio de la acci\u00f3n aumenta a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 30 <\/span> y el del bono a <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 95 <\/span>.<\/p>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> Calcula el valor inicial y final del portafolio, y determina el retorno del portafolio.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 6: C\u00e1lculo de Retorno Ponderado en un Portafolio Diversificado en un modelo simple del mercado<\/h3>\n<p>Inviertes el 60% de tu portafolio en bonos sin riesgo y el 40% en acciones. El precio inicial de los bonos es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 200 <\/span> d\u00f3lares, y su precio final es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(1) = 210 <\/span> d\u00f3lares. El precio inicial de las acciones es <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span> y su precio final depende de si el mercado sube (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 55 <\/span> con probabilidad de 0.6) o baja (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 45 <\/span> con probabilidad de 0.4).<\/p>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> Calcula el retorno esperado total del portafolio.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 7: Evaluaci\u00f3n de Riesgo mediante la Desviaci\u00f3n Est\u00e1ndar<\/h3>\n<p>En una estrategia de venta en corto, tomas prestados 500 d\u00f3lares para vender en corto acciones que est\u00e1n a un precio inicial de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 25 <\/span> d\u00f3lares. Al final del a\u00f1o, el precio de las acciones puede ser <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 20 <\/span> (probabilidad de 0.7) o <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(1) = 30 <\/span> (probabilidad de 0.3).<\/p>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> Calcula el retorno esperado y la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar de esta inversi\u00f3n en la venta en corto.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 8: Creaci\u00f3n de un Portafolio que Garantice un Retorno Espec\u00edfico<\/h3>\n<p>Dispones de 2000 d\u00f3lares y deseas armar un portafolio con bonos sin riesgo (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 100 <\/span> d\u00f3lares, con un retorno del 5%) y acciones (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 50 <\/span> d\u00f3lares) cuyo retorno esperado es del 8%.<\/p>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> \u00bfCu\u00e1ntos bonos y acciones debes comprar para que el retorno total esperado del portafolio sea del 6%?<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 9: An\u00e1lisis del Impacto de Diversificaci\u00f3n en el Portafolio<\/h3>\n<p>Inviertes 3000 d\u00f3lares en un portafolio compuesto por bonos y acciones. La mitad de tu inversi\u00f3n est\u00e1 en bonos (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> A(0) = 150 <\/span> d\u00f3lares, con retorno garantizado de 4%) y la otra mitad en acciones (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 75 <\/span> d\u00f3lares), cuyo precio en <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> t = 1 <\/span> puede ser 90 (probabilidad de 0.5) o 60 (probabilidad de 0.5).<\/p>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> Calcula el retorno esperado y la desviaci\u00f3n est\u00e1ndar del portafolio.<\/p>\n<p>&#8212;<\/p>\n<h3>Ejercicio 10: Efecto del Cambio de Precio en el Portafolio y Solvencia<\/h3>\n<p>Construyes un portafolio con 1000 d\u00f3lares, invirtiendo 300 en bonos y 700 en acciones. En el caso de los bonos, el retorno es fijo al 3%, mientras que el precio de las acciones (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> S(0) = 35 <\/span>) puede bajar a 25 o subir a 45 con probabilidades iguales.<\/p>\n<p><strong>Pregunta:<\/strong> \u00bfCu\u00e1l es el valor del portafolio en cada escenario en el modelo simple del mercado? Eval\u00faa si el portafolio cumple con la suposici\u00f3n de solvencia (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> V(t) \\geq 0 <\/span>).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Un Modelo Simple del Mercado:Nociones y Suposiciones Elementales Resumen: Esta clase introduce el \u00abModelo Simple del Mercado\u00bb, un enfoque que facilita el aprendizaje de conceptos clave de inversi\u00f3n, combinando activos sin riesgo (bonos, con retorno conocido) y activos de riesgo (acciones, con retorno incierto). 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