{"id":29322,"date":"2024-10-22T13:00:33","date_gmt":"2024-10-22T13:00:33","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=29322"},"modified":"2024-10-23T14:35:34","modified_gmt":"2024-10-23T14:35:34","slug":"limite-al-infinito-definiciones-y-ejemplos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/limite-al-infinito-definiciones-y-ejemplos\/","title":{"rendered":"L\u00edmite al Infinito: Definiciones y Ejemplos"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>L\u00edmite al Infinito: Definiciones y Ejemplos<\/h1>\n<p><em><\/p>\n<p><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\nEn esta clase se abordar\u00e1n los l\u00edmites al infinito, describiendo el comportamiento de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> tiende a infinito. Se explican l\u00edmites b\u00e1sicos como <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{x\\to \\infty} \\frac{1}{x} = 0<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\lim_{x\\to \\infty} k = k<\/span>, junto con propiedades algebraicas similares a las de l\u00edmites finitos.\n<\/p>\n<p><\/em><\/p>\n<p><strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\nAl finalizar esta clase, el estudiante ser\u00e1 capaz de<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Describir<\/strong> el comportamiento de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> tiende a infinito.<\/li>\n<li><strong>Definir<\/strong> el l\u00edmite al infinito utilizando notaci\u00f3n matem\u00e1tica formal.<\/li>\n<li><strong>Aplicar<\/strong> propiedades algebraicas en el c\u00e1lculo de l\u00edmites al infinito.<\/li>\n<li><strong>Distinguir<\/strong> entre diferentes casos de l\u00edmites en funciones racionales al infinito.<\/li>\n<li><strong>Demostrar<\/strong> la validez de propiedades de suma, resta, multiplicaci\u00f3n, divisi\u00f3n y potencias de l\u00edmites al infinito.<\/li>\n<li><strong>Resolver<\/strong> ejercicios pr\u00e1cticos de l\u00edmites al infinito en diferentes funciones.<\/li>\n<\/ol>\n<p><u>INDICE DE CONTENIDOS<\/u>:<br \/>\n<a href=\"#1\">Introducci\u00f3n<\/a><br \/>\n<a href=\"#2\">Definici\u00f3n de L\u00edmite al Infinito<\/a><br \/>\n<a href=\"#3\">L\u00edmites B\u00e1sicos al Infinito<\/a><br \/>\n<a href=\"#4\">\u00c1lgebra de L\u00edmites al Infinito<\/a><br \/>\n<a href=\"#5\">L\u00edmite al infinito en Funciones Racionales<\/a><br \/>\n<a href=\"#6\">Ejemplos de l\u00edmites al infinito<\/a><br \/>\n<\/center><\/p>\n<p><center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/MjjSAQLeNBE\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/center><\/p>\n<p><a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Introducci\u00f3n<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=41s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Uno de los elementos m\u00e1s caracter\u00edsticos del c\u00e1lculo son el infinito y el l\u00edmite al infinito.<\/span><\/strong><\/a> El concepto de infinito no apunta a un n\u00famero real, en su lugar intenta describir una magnitud que supera cualquier cota real. Por ejemplo, cuando tenemos la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x) = 1\/x<\/span> y nos preguntamos por su comportamiento cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> es tan grande como se quiera, cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> tiende a infinito (<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to \\infty<\/span>), lo que observamos es que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> podr\u00e1 en consecuencia acercarse a cero tanto como se quiera. Ante esto escribimos:<\/p>\n<p style=\"text-align: center; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to + \\infty}\\dfrac{1}{x} = 0<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Gr\u00e1ficamente, este asunto tiene la siguiente apariencia:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-fX0lg2ICTTU\/YGD0hNJWI6I\/AAAAAAAAEwQ\/0v8hW6ARkQYDIzT_eG5WVgZ0-pPwwPBwgCLcBGAsYHQ\/s0\/limiteAlinfinito.PNG\" alt=\"limite al infinito\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"400\" height=\"300\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-fX0lg2ICTTU\/YGD0hNJWI6I\/AAAAAAAAEwQ\/0v8hW6ARkQYDIzT_eG5WVgZ0-pPwwPBwgCLcBGAsYHQ\/s0\/limiteAlinfinito.PNG\" alt=\"limite al infinito\" class=\"alignnone size-full lazyload\" width=\"400\" height=\"300\" \/><\/noscript><\/center><\/p>\n<p><a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Definici\u00f3n de L\u00edmite al Infinito<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=144s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">A partir de esta idea que acabamos de introducir<\/span><\/strong><\/a> es que podemos formular la definici\u00f3n matem\u00e1tica de l\u00edmite al infinito:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}f(x) = L := (\\forall\\epsilon\\gt 0) (\\exists M\\in\\mathbb{R})(M\\lt x \\rightarrow |f(x) - L|\\lt \\epsilon )<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to -\\infty}f(x) = L := (\\forall\\epsilon\\gt 0) (\\exists N\\in\\mathbb{R})(x\\lt N \\rightarrow |f(x) - L|\\lt \\epsilon )<\/span>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">La noci\u00f3n intuitiva de este l\u00edmite nos indica lo que pasa con <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x<\/span> se aleja tanto como queramos del origen, sea y\u00e9ndose a la derecha o a la izquierda. La estrategia para el c\u00e1lculo de l\u00edmites al infinito no es muy diferente a la que usamos al calcular l\u00edmites finitos porque su \u00e1lgebra es practicamente la misma, s\u00f3lo debemos tener en cuenta los siguientes resultados<\/p>\n<p><a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>L\u00edmites B\u00e1sicos al Infinito<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=450s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">A partir de estas definiciones podemos demostrar<\/span><\/strong><\/a> los siguientes l\u00edmites b\u00e1sicos.<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to \\pm\\infty}k = k <\/span><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to \\pm\\infty}\\dfrac{1}{x} = 0 <\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><span style=\"color: #000080;\">DEMOSTRAC\u00cdON:<\/span><\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>Por la definici\u00f3n de l\u00edmite al infinito, tenemos que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}k = k <\/span> es equivalente a decir:<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall\\epsilon\\gt 0) (\\exists M\\in\\mathbb{R})\\left(M\\lt x \\rightarrow \\left|k-k\\right|\\lt \\epsilon \\right)<\/span>Pero <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left|k-k\\right|=0\\lt \\epsilon <\/span> se cumple siempre y para cualquier <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\epsilon \\gt 0,<\/span> y sin importar el valor de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M,<\/span> por lo que el l\u00edmite queda asegurado.\n<p>&nbsp;<\/li>\n<li>Sabamos que, por definici\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}k = k <\/span> es equivalente a decir:<span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(\\forall\\epsilon\\gt 0) (\\exists M\\in\\mathbb{R})\\left(M\\lt x \\rightarrow \\left|\\dfrac{1}{x}\\right|\\lt \\epsilon \\right)<\/span>Pero esta implicancia se satisface de inmediato si consideramos un <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M=1\/\\epsilon,<\/span> de modo que el l\u00edmite queda asegurado.\n<p>&nbsp;<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Estas demostraciones se realizan de forma an\u00e1loga para cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to+\\infty.<\/span>\n<p><a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>\u00c1lgebra de L\u00edmites al Infinito<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=620s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">El \u00e1lgebra de los l\u00edmites infinitos es an\u00e1loga a la de los l\u00edmites finitos.<\/span> <\/strong><\/a>Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to \\pm \\infty}f(x) = L<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to \\pm \\infty}g(x) = M,<\/span> entonces se cumplen las siguientes reglas:<\/p>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><strong>Suma y Resta de L\u00edmites:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to \\pm\\infty}(f(x)\\pm g(x)) = L \\pm M<\/span><\/li>\n<li><strong>Multiplicaci\u00f3n por constante<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to \\pm\\infty}cf(x) = cL<\/span><\/li>\n<li><strong>Producto de l\u00edmites:<\/strong> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to \\pm\\infty}f(x)g(x) = LM<\/span><\/li>\n<li><strong>Divisi\u00f3n de L\u00edmites:<\/strong> Siempre que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">M\\neq 0,<\/span> entonces <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to \\pm\\infty}f(x)\/g(x)=L\/M<\/span><\/li>\n<li><strong>Potencias de L\u00edmites:<\/strong> Si <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p,q \\in\\mathbb{Z}<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q\\neq 0<\/span>, entonces <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to \\pm\\infty}[f(x)]^{p\/q} = L^{p\/q}<\/span>\nSi <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">q<\/span> es par, se da por sentado que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">L\\geq 0<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">En realidad, la demostraci\u00f3n de todas estas propiedades son an\u00e1logas a la de los <a href=\"https:\/\/toposuranos.com\/la-definicion-de-limite-demostraciones-y-teoremas\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">l\u00edmites finitos<\/a><\/p>\n<p><a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>L\u00edmite al infinito en Funciones Racionales<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=792s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">Una funci\u00f3n racional es aquella que se puede expresar como cociente entre dos polinomios.<\/span><\/strong><\/a> Al realizar el c\u00e1lculo de l\u00edmites al infinito sobre este tipo de funciones se puede observar una propiedad que es de suma utilidad:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Supongamos que queremos calcular <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to \\infty}P(x)\/Q(x)<\/span>\n<ul style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li>Si el grado de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)<\/span> es mayor al de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x)<\/span>, entonces el tama\u00f1o de la funci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f(x)<\/span> crecer\u00e1 sin l\u00edmite cuando <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\to\\infty<\/span> (el limite no existir\u00e1)<\/li>\n<li>Cuando el grado de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)<\/span> es menor al de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x)<\/span>, entonces el el l\u00edmite ser\u00e1 cero.<\/li>\n<li>Y finalmente, si el grado de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">P(x)<\/span> es igual al de <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Q(x)<\/span>, entonces el l\u00edmite ser\u00e1 igual al cociente de los coeficientes que acompa\u00f1an a la potencia de mayor grado.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify; color: #000000;\">Lo mejor de este resultado es que, como veremos en los siguientes ejemplos, funciona de modo an\u00e1logo a\u00fan si las potencias involucradas no son n\u00fameros enteros.<\/p>\n<p><a name=\"6\"><\/a><\/p>\n<h2>Ejemplos de l\u00edmites al infinito<\/h2>\n<ol style=\"text-align: justify; color: #000000;\">\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}\\dfrac{x+1}{x^2+3}<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=907s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to -\\infty}\\dfrac{2x^3 + 7}{x^3 - x^2 + x + 7}<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=986s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}\\dfrac{9x^4 + x}{2x^4 + 5x^2 - x + 6}<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=1049s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}\\dfrac{10x^5 + x4 + 31}{x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 9}<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=1111s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}\\dfrac{2\\sqrt{x}+x^{-1}}{3x - 7}<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=1220s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to -\\infty}\\dfrac{2x^{5\/3} - x^{1\/3} + 7}{x^{8\/5}+3x + \\sqrt{x}}<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=1284s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}\\dfrac{\\sqrt[3]{x}-5x+3}{2x + x^{2\/3} - 4}<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=1406s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<li><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}\\dfrac{x^{8\/3}+2x + \\sqrt{x}}{x^2+x-3}<\/span> <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=MjjSAQLeNBE&amp;t=1521s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong><span style=\"color: #ff0000;\">[SOLUCI\u00d3N]<\/span><\/strong><\/a><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>L\u00edmite al Infinito: Definiciones y Ejemplos Resumen: En esta clase se abordar\u00e1n los l\u00edmites al infinito, describiendo el comportamiento de cuando tiende a infinito. 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