{"id":28948,"date":"2021-04-28T13:00:22","date_gmt":"2021-04-28T13:00:22","guid":{"rendered":"http:\/\/toposuranos.com\/material\/?p=28948"},"modified":"2024-09-22T02:00:14","modified_gmt":"2024-09-22T02:00:14","slug":"ecuacion-de-las-elipses-y-las-circunferencias","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/toposuranos.com\/material\/es\/ecuacion-de-las-elipses-y-las-circunferencias\/","title":{"rendered":"Ecuaci\u00f3n de las Elipses y las Circunferencias"},"content":{"rendered":"<p><center><\/p>\n<h1>Ecuaci\u00f3n de las Elipses y las Circunferencias<\/h1>\n<p><em><strong>Resumen:<\/strong><br \/>\n   En esta clase se explica la obtenci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de las elipses a partir de su definici\u00f3n geom\u00e9trica, que establece que la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a dos focos fijos es constante. A trav\u00e9s de un desarrollo algebraico detallado, se deduce la ecuaci\u00f3n general de las elipses y su forma can\u00f3nica, as\u00ed como la conexi\u00f3n entre las elipses y las circunferencias, mostrando que una circunferencia es un caso particular de elipse cuando los semiejes son iguales.<br \/>\n   <\/em><\/p>\n<p>   <strong>Objetivos de Aprendizaje:<\/strong><br \/>\n   Al finalizar esta clase el estudiante ser\u00e1 capaz de<\/p>\n<ol style=\"text-align:left;\">\n<li><strong>Deducir<\/strong> la ecuaci\u00f3n de las elipses a partir de su definici\u00f3n geom\u00e9trica.<\/li>\n<li><strong>Reconocer<\/strong> la la forma general y la forma can\u00f3nica de la ecuaci\u00f3n de las elipses.<\/li>\n<\/ol>\n<p>   INDICE DE CONTENIDOS<br \/>\n   <a href=\"#1\">Formulaci\u00f3n geom\u00e9trica<\/a><br \/>\n   <a href=\"#2\">Obtenci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de las elipses<\/a><br \/>\n   <a href=\"#3\">Ecuaci\u00f3n general de las elipses<\/a><br \/>\n   <a href=\"#4\">Ecuaci\u00f3n can\u00f3nica de las elipses<\/a><br \/>\n   <a href=\"#5\">Reducci\u00f3n a la Ecuaci\u00f3n de las Circunferencias<\/a>\n   <\/p>\n<p>   <\/center><\/p>\n<p>   <center><iframe class=\"lazyload\" width=\"560\" height=\"315\" data-src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/HHiC0bp-Vyc\" title=\"YouTube video player\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/center><br \/>\n   <a name=\"1\"><\/a><\/p>\n<h2>Formulaci\u00f3n geom\u00e9trica<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=HHiC0bp-Vyc&amp;t=133s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Para obtener la ecuaci\u00f3n que describe a las elipses,<\/strong> <\/a>debemos razonar, como con las par\u00e1bolas, sobre el significado geom\u00e9trico de \u00e9stas. Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano tal que la suma de las distancias entre estos y otros dos puntos que llamamos focos es siempre la misma.<\/p>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-rHroj77w4-o\/YIhoGfTvE_I\/AAAAAAAAFAw\/2Yoa3Q2yrmknQMPObDz8wuyDoOehCug5QCLcBGAsYHQ\/s0\/elipse.PNG\" alt=\"Elipse\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"338\" height=\"241\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-rHroj77w4-o\/YIhoGfTvE_I\/AAAAAAAAFAw\/2Yoa3Q2yrmknQMPObDz8wuyDoOehCug5QCLcBGAsYHQ\/s0\/elipse.PNG\" alt=\"Elipse\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"338\" height=\"241\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Es decir, se cumplir\u00e1 que:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">d(f_1,p) + d(f_2,p) = constante<\/span>\n<p>   <a name=\"2\"><\/a><\/p>\n<h2>Obtenci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de las elipses<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=HHiC0bp-Vyc&amp;t=311s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>A partir de la definici\u00f3n geom\u00e9trica<\/strong><\/a> de las elipces podemos obtener una expresi\u00f3n algebraica que la describe. Para hacer esto con facilidad, recurriremos, sin embargo, a algunas simplificaciones. Consideraremos, sin perdida de generalidad, que los focos tienen posiciones <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_1 =(-c,0)<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">f_2 =(c,0),<\/span> de este modo, si un punto cualquiera <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">p=(x,y)<\/span> forma parte de la elipse, entonces se tendr\u00e1 que cumplir que<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a<\/span>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-LtAamnh5D78\/YIiBshjM70I\/AAAAAAAAFA4\/hGiHx6jf_nMOOUHfH-Ywj34TyDJDGEv-wCLcBGAsYHQ\/s0\/ecuacion%2Bde%2Blas%2Belipses.PNG\" alt=\"Ecuaci\u00f3n de las Elipses\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"412\" height=\"333\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-LtAamnh5D78\/YIiBshjM70I\/AAAAAAAAFA4\/hGiHx6jf_nMOOUHfH-Ywj34TyDJDGEv-wCLcBGAsYHQ\/s0\/ecuacion%2Bde%2Blas%2Belipses.PNG\" alt=\"Ecuaci\u00f3n de las Elipses\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"412\" height=\"333\" \/><\/noscript><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Donde <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a\\in\\mathbb{R}<\/span> es una constante fija. A partir de esto podemos construir el siguiente razonamiento<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"50\">(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a<\/span><\/td>\n<td>;Def. geom\u00e9trica de elipse<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \\sqrt{(x+c)^2 + y^2}<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(2)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x-c)^2 + \\cancel{y^2} = 4a^2 -4a \\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + \\cancel{y^2}<\/span><\/td>\n<td>; elevando al cuadrado (1)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x-c)^2 = 4a^2 -4a \\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 <\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\cancel{x^2} -2xc + \\cancel{c^2} = 4a^2 -4a \\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \\cancel{x^2} +2xc + \\cancel{c^2} <\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">-2xc = 4a^2 -4a \\sqrt{(x+c)^2 + y^2} +2xc <\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">4a \\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 4a^2 +4xc = 4(a^2 + xc) <\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a \\sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + xc <\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(3)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a^2 [(x+c)^2 + y^2] = (a^2 + xc)^2 <\/span><\/td>\n<td>; elevando al cuadrado (2)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a^2 [x^2 + 2xc + c2 + y^2] = a^4 +2a^2xc + x^2c^2 <\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> a^2 x^2 + \\cancel{2xca^2} + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + \\cancel{2a^2xc} + x^2c^2 <\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> a^2 x^2 + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + x^2c^2 <\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> x^2 (a^2 - c^2) + a^2 y^2 = a^4 - a^2 c^2 =a^2(a^2-c^2) <\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> \\dfrac{x^2}{a^2} +\\dfrac{ y^2}{a^2-c^2} = 1 <\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(4)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">0\\lt a^2 - c^2 =: b^2 <\/span><\/td>\n<td>; El n\u00famero representado por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^2<\/span> es positivo, esto se ve de la figura.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>(5)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">{\\dfrac{x^2}{a^2} +\\dfrac{ y^2}{b^2} = 1}<\/span><\/td>\n<td>; De (3) y (4)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\left(\\dfrac{x}{a}\\right)^2 + \\left(\\dfrac{y}{b}\\right)^2 = 1}<\/span><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: center;\">Esto \u00faltimo es lo que llamamos \u00abecuaci\u00f3n de las elipses\u00bb.<\/p>\n<p>   <a name=\"3\"><\/a><\/p>\n<h2>Ecuaci\u00f3n general de las elipses<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=HHiC0bp-Vyc&amp;t=706s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>La ecuaci\u00f3n que acabamos de obtener<\/strong><\/a> se puede llevar a su forma general mediante transformaciones de traslacion haciendo al sustituci\u00f3n <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">x\\longmapsto (x-h)<\/span> e <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">y\\longmapsto (y-k).<\/span> Con esto llegamos a la forma general de la ecuaci\u00f3n de las elipses<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\boxed{\\left(\\dfrac{x-h}{a}\\right)^2 + \\left(\\dfrac{y-k}{b}\\right)^2 = 1}<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Esto es una elipse con centro en el punto <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(h,k)<\/span>\n<p>   <img decoding=\"async\" src=\"data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7\" data-src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-lkxt91FvMTs\/YIiQaL9wpII\/AAAAAAAAFBA\/sUxc6ajd6tcPymC8g4oh3M0l2CTI-xOvgCLcBGAsYHQ\/s0\/elipsegeneral.PNG\" alt=\"elipse general\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"469\" height=\"373\" \/><noscript><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/1.bp.blogspot.com\/-lkxt91FvMTs\/YIiQaL9wpII\/AAAAAAAAFBA\/sUxc6ajd6tcPymC8g4oh3M0l2CTI-xOvgCLcBGAsYHQ\/s0\/elipsegeneral.PNG\" alt=\"elipse general\" class=\" aligncenter lazyload\" width=\"469\" height=\"373\" \/><\/noscript><br \/>\n   <a name=\"4\"><\/a><\/p>\n<h2>Ecuaci\u00f3n can\u00f3nica de las elipses<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=HHiC0bp-Vyc&amp;t=761s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Haciendo \u00e1lgebra sobre esto <\/strong><\/a>se llega a la ecuaci\u00f3n can\u00f3nica de las elipses:<\/p>\n<table style=\"text-align: justify;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"50\">(1)<\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">\\left(\\dfrac{x-h}{a}\\right)^2 + \\left(\\dfrac{y-k}{b}\\right)^2 = 1<\/span><\/td>\n<td>; ecuaci\u00f3n general de las elipses<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^2 (x-h)^2 + a^2(y-k)^2 = a^2 b^2<\/span><\/td>\n<td>; Muliplicar todo por <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a^2b^2<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b^2 [x^2-2xh+h^2] + a^2[y^2-2yk + k^2] = a^2 b^2<\/span><\/td>\n<td>; desarrollar cuadrados<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> b^2 x^2-2hb^2 x + h^2b^2 + a^2 y^2-2ka^2y + k^2a^2 = a^2 b^2<\/span><\/td>\n<td>; desarrollar par\u00e9ntesis<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\"> b^2 x^2- 2hb^2 x + a^2 y^2-2ka^2y +(h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2) = 0 <\/span><\/td>\n<td>; agrupar t\u00e9rminos constantes<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Sobre esta \u00faltima expresi\u00f3n podemos hacer las sustituciones <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A:=b^2,<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B:=-2hb^2,<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">C:=a^2,<\/span> <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">D:=-2ka^2<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">E:=h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2.<\/span> As\u00ed podremos ver que las elipses quedar\u00e1n descritas por ecuaciones de la forma<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">Esto es lo que llamamos \u00abEcuaci\u00f3n can\u00f3nica de las elipses\u00bb.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">De estos desarrollos se pueden extraer algunas restricciones sobre las constantes de la ecuaci\u00f3n can\u00f3nica. La m\u00e1s importante es que <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">A<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">B<\/span> deben tener el mismo signo, en caso contrario ya no estaremos hablando de una elipse sino que de una hip\u00e9rbola. Existen m\u00e1s restricciones sobre las constantes de la representaci\u00f3n can\u00f3nica, pero hablar de ellas ahora no es lo m\u00e1s eficiente, lo veremos en detalle cuando revisemos la caracterizaci\u00f3n de las elipses y las hiperbolas.<\/p>\n<p>   <a name=\"5\"><\/a><\/p>\n<h2>Reducci\u00f3n a la Ecuaci\u00f3n de las Circunferencias<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\"><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=HHiC0bp-Vyc&amp;t=948s\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><strong>Una cosa que revisaremos cuando hablemos<\/strong><\/a> sobre la caracterizaci\u00f3n de las elipses es que las constantes <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a<\/span> y <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">b<\/span> de la ecuaci\u00f3n general se corresponden con los semiejes de la elipse. Si tomamos ambos semiejes y los igualamos, hacemos <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">a=b=r,<\/span> entonces la elipse se transformar\u00e1 en una circunferencia de radio <span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">r.<\/span>\n<h3>Ecuaci\u00f3n general de las circunferencias<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">De \u00e9ste modo se obtiene la ecuaci\u00f3n general de las circunferencias como:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2<\/span>\n<h3>Ecuaci\u00f3n can\u00f3nica de las circunferencias<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">De forma an\u00e1loga, se obtiene la ecuaci\u00f3n can\u00f3nica de las circunferencias<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><span class=\"katex-eq\" data-katex-display=\"false\">Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0<\/span>\n<p style=\"text-align: justify;\">En su forma can\u00f3nica coincide con las elipses, debido a que las circunferencias, como hemos visto, son un caso particular de elipse.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ecuaci\u00f3n de las Elipses y las Circunferencias Resumen: En esta clase se explica la obtenci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n de las elipses a partir de su definici\u00f3n geom\u00e9trica, que establece que la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a dos focos fijos es constante. 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